Введение к работе
Актуальность темы и задачи исследования
Знаменитая теорема Веддерберна сводит вопрос о строении произвольной ассоциативной конечномерной алгебры над нолем к соответствующему вопросу для полной алгебры матриц и нильпотентной алгебры, которые к настоящему времени, достаточно хорошо изучены. Тем не менее, как для матричных, так и для нильпотентных алгебр остается нерешенным довольно широкий круг задач. В рамках данной работы нас будут интересовать следующие направления в указанной проблематике:
1) описание тождеств нильпотентной алгебры фиксированной раз
мерности над произвольным нолем;
2) строение минимальных некоммутативных алгебр.
Рассмотрению этих направлений посвящены первые две главы
данной работы.
Относительно первого направления заметим, что в 80-е годы в Днестровской тетради [5] была поставлена задача (N 1.23) об описании тождеств, выполняющихся во всех n-мерных ассоциативных алгебрах над полем (п - фиксированное число). В 1980 году С.А.Пихтиль-ковым [13] эта задача была решена для алгебр с единицей при п < 18. В 1986 году Ю.В.Мальцевьш [12] изучалось многообразие Мл ассоциативных алгебр над произвольным полем, порождённое всеми n-мерными нильпотентными алгебрами. Такие многообразия там были описаны для п = Т7&\ а также доказано, что каждая ».-мерна.я нильпотентная алгебра удовлетворяет тождествам:
-
ххх2... хп_2 = 2:,(1)2:,,(2). -. ,(,,.2), а Є S„-2, п > 6;
-
[хих2,...,хк] =0, где fc=[*fi) + l.
Кроме того, в работе [12] был поставлен следующий вопрос:
(*) Какова степень минимального тождества в многообразии .М,?
Заметим, что описание многообразия Мп на языке тождеств зволит ответить на вопрос: когда приведсшю свободная алге(: некоторого многообразия аппроксимируется ^-мерными нильпотеї ными алгебрами (к < п)? Исходя из этого, представляется естеств ным изучение тождеств сначала нильпотентных n-мерных алгеб] а затем уже произвольных n-мерных алгебр.
Далее, в 1989 г. И.Л.Гусевой [3] была анонсирована, следуюн теорема:
Теорема 1.1.1. Пусть Л —n-мерная нилъпотентная алгебр к = [] +- 2. Тогда R удовлетворяет стандартному тождеств
Sk(xu ...,хк)= J2 (-l)"a;ff(i) х„(к) = -
Как будет показано в настоящей работе, число к = []+2 не являет степенью минимального тождества в Мп. Поискам решения проб, мы (*) и будет пссайп;с;па. tisp-j.aa глаза диссертации.
Что касается второго направления, строение и свойства некомі тативных колен (алгебр), все собственные подкольца (подалгебр которых коммутативны, издавна вызывали определенный интер Такие кольца (алгебры) называют кольцами (алгебрами) 1-ой с пени. Еще в 1959 году L.Redei в своей книге [24] дал некотої описание ненильпотентных колец 1-ой ступени, оставив для пю потентных колец вопрос открытым. В 60-х годах Л.Р.Бусаркиноі [1],[2] изучались кольца и алгебры 1-ой ступени. Было доказано частности, что нильпотентное кольцо 1-ой ступени конечно. Но сих пор не решена проблема об описании нильпотентных колец 1-ступени (с точностью до изоморфизма).
Необходимо заметить, что в теории групп подобная задача д конечных групп уже давно решена. Еще в 1903 году J.F.Millei H.E.Moreno [20] изучали конечные группы 1-ой ступени, полное oi сание которых получил в 1947 году L.Redei [22]. К этой темат*
также относятся работы [16], [23].
В данной работе' изучается строение нильпотентных алгебр 1-ой ступени над произвольным нолем, у которых, кроме этого, все собственные факторы коммутативны. Этому посвящена вторая глава диссертации.
Естественным продолжением исследования строения колен 1-ой ступени является изучение почти коммутативных многообразий колец. Многообразие ассоциативных колец М называется почти коммутативным, если М — некоммутативное многообразие, а каждое собственное подмногообразие N С М является коммутативным. Из леммы Цорна следует, что каждое некоммутативное многообразие содержит почти коммутативное. Поэтому изучение таких многообразий представляет определенный интерес. В 1976 году в работе Ю.Н.Мальцева [9] было док?за.т:'і. что го^ти коммутативные многообразия порождаются одним конечным кольцом. В ненильпотентном случае указан базис тождеств таких многообразий. В нильпотент-ном случае найден базис тождеств для многообразий индекса 3. В 1982 году Е.Н.Захаровой [8] продолжено изучение нильпотентных почти коммутативных многообразий алгебр. Точнее, было сведено описание таких многообразий к описанию полиномов специального вида (коммутативных критических) в свободной двупорожденной коммутативной алгебре. В частности, было доказано, что существует бесконечно много различных нильпотентных почти коммутативных многообразий алгебр над полем.
Добавим, что полное описание колец 1-ой ступени или почти коммутативных многообразий дало бы эффективный алгоритм проверки коммутативности Р/-колец, что следует из результата работы [11].
В данной работе изучаются почти коммутативные многообразия экспоненты р, р - простое число. Этому посвящена третья глава.
диссертации.
Научная новизна и практическая значимость работы.
Результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. бота носит теоретический характер. Ее результаты и методы гут найти применение в теории конечномерных алгебр, теории алгебр и при доказательстве теорем коммутативности. Они та могут быть использованы при чтении алгебраических спецкурсе подготовке учебных пособий и монографий.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывал на 2-й международной конференции по алгебре, посвященной пам А.И.Ширшова, (Барнаул, 1991) и на 3-й международной конферен по алгебре, посвященной памяти М.И.Каргаполова, (г.Красноя 1993). Все результаты подробно излагались на семинаре "Алк и логика" в Новосибирском государственном университете, на а наре "Теория колец" Института математики СО РАН и на алгеї ическом семинаре в Алтайском государственном университете.
Публикации. По теме диссертации имеется 6 публикаций, в числе 3 тезиса [28], [29], [32], 3 статьи [27], [30], [31].
Структура и объем работы. Диссертация изложена н; страницах текста, выполнена в системе ШТ$)(. (12pt), и состой введения, трёх глаз и списка литературы, включающего 32 на нования.
г>