Введение к работе
Актуальность темы. Исследования, проведенные в диссертации, можно отнести к двум областям современной алгебры.
Первое направление связано с теорией решеток. Матрицы над решетками находят применение во многих областях математики. Различным аспектам теории булевых матриц посвящена монография Кима1. Матричные уравнения с коэффициентами в решетках тесно связаны с задачами искусственного интеллекта2 и, в частности, используются в теории распознавания образов3. Различные свойства булевых матриц, в том числе и их обратимость, исследовались в работах Веддерберна, Рузерфорда, Люка и др. Полное описание обратимых матриц над ограниченными дистрибутивными решетками дано Скорняковым4. Матрицам над го-полурешетками с наибольшим элементом 1 и наименьшим элементом 0 посвящена статья Блиса5, а матрицам над квазибулевыми решетками — статья Салия6.
Другое направление связано с быстро развивающейся в последние десятилетия теорией полуколец, имеющей приложения в компьютерной математике, идемпотентном анализе. В частности, в рамках общей теории полуколец изучаются матричные полукольца. Однако, что касается результатов об обратимых матрицах над (не сводящимися к перечисленным выше решеткам) полукольцами, то за исключением известных элементарных свойств неотрицательных вещественных матриц, а также некоторых результатов о матрицах над полукольцами специального вида7 автору из-
1 Кіт К.Н. Boolean matrix theory and applications. M. Dekker, New York, 1982.
2См. Сагнаева С.К., Цаленко М.Ш. Решение систем линейных уравнений с коэффи-диентамив решетках. Ч. 1. // НТИ. Сер. 2. Информационные процессы и системы. 1992. 41. С. 11-19.
3 Гисин В.Б., Цаленко М.Ш. Алгебраическая теория систем и ее приложения // Сис
темные исследования. Методологические проблемы. — М.: Наука, 1984, с. 130-151; 1985,
:. 113-135.
4 Скорнгков Л.А. Обратимые матрицы над дистрибутивными структурами // Сиб.
лат. журн. 1S8S. Т. 27, N2. С. 182-185.
5 BIyth Т. S. Matrices over ordered algebraic structures // Proc. London Math. Soc. 1964.
/. 39. P. 429-431.
6 Салпй B.H. О хвазибулевьгх решетках и хвазибулевых преобразованиях конечного
лножества // Теория полугрупп и ее приложения. Вып. 7. Саратов. 1987. С. 71—76.
Маслов В.П., Колокольное В.Н. Идемпотентный анализ и его применения в опти-
вестна лишь статья Ройтенауэра и Страубинга8, посвященная обратимым матрицам над коммутативными полукольцами.
Учитывая тот факт, что наиболее активно изучаемые полукольца (полукольца с идемпотентным сложением, полукольцо неотрицательных вещественных чисел, а также конструируемые на его основе полукольца неотрицательных вещественных последовательностей, матриц, функций и др.) могут быть естественным образом частично упорядочены, в работе применен общий подход к изучению свойств обратимых матриц над обширным классом упорядоченных алгебраических систем, включающим в себя перечисленные полукольца, а также многие решетки.
Цель работы. В работе рассматривается широкий класс упорядоченных алгебраических систем. Основные направления исследований следующие:
-
Описание обратимых матриц.
-
Связь между обратимостью матрицы и свойствами составляющих ее элементов.
Методы исследований. В диссертации используются понятия и методы теории упорядоченных алгебраических систем (группоидов, полугрупп, полуколец).
Основные результаты. Основные результаты работы заключаются в следующем:
-
Доказано, что полученное Скорняковым описание обратимых матриц над ограниченными дистрибутивными решетками справедливо (за исключением одного свойства) для матриц над рассмотренными в диссертации более общими упорядоченными алгебраическими системами при условии, что все элементы как самих матриц, так и обратных к ним, не превосходят элемент 1.
-
Описаны отличия в строении и свойствах обратимых матриц, возникающие при ослаблении указанного выше ограничения. (Требуется,
мальком управлении. Москва.: Наука, 1984.
8Reutenauer Ch., StrauHng Н. Inversion of matrices over a commutative semiring // J. Algebra. 1984. V. 88. N2. P. 350-360.
чтобы каждый элемент как самой, так и обратной к ней матрицы не превосходил некоторой суммы единиц.) Показано также, что при отсутствии данного (ослабленного) ограничения исследование обратимых матриц в общем случае весьма затруднительно.
-
Для менее обширного класса алгебраических систем (в которых умножение ассоциативно и любой элемент я; удовлетворяет равенствам Ох = хО — 0) описано строение множества обратимых матриц при отсутствии ограничений на их элементы; сделан анализ качественных отличий матриц с различными видами обратимости.
-
В каждом из рассмотренных случаев дано описание множества элементов обратимых матриц.
Научная новизна.'Все результаты являются новыми и получены автором лично.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейших исследованиях свойств матриц над упорядоченными алгебраическими системами, в том числе, в общей теории полуколец (исследование матричных полуколец), в теории частично-упорядоченных множеств (решение матричных уравнений над различными обобщениями дистрибутивных решеток), а также при чтении спецкурсов на физико-математических факультетах университетов.
Апробация. Основные результаты докладывались на ежегодной студенческой конференции, организуемой механико-математическим факультетом МГУ (Москва, 1994), II Республиканской конференции молодых ученых и специалистов (Казань, 1996), конференции "Алгебра и анализ" (Казань, 1997), на алгебраическом семинаре проф. С.П.Мищенко в Ульяновском государственном университете, а также на алгебраических семинарах в Казанском государственном университете и Казанском государственном педагогическом университете.
Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 5 работ, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, каждая из которых разбита на два параграфа, и списка литературы. Объем диссертации — S4 страницы.