Введение к работе
Актуальность темы
Основным объектом настоящей диссертации является класс присоединение регулярных колец. (Здесь и ниже слово «кольцо» означает ассоциативное кольцо.)
Понятие присоединенной регулярности возникло на стыке двух важных направлений современной теории колец, а именно, теории регулярных колец и направления, изучающего присоединенное умножение. Напомним соответствующие определения.
Кольцо R называется регулярным, если для любого а Є R найдется такой элемент b Є R, что aba = а. Понятие регулярного кольца, введенное фон Нейманом [29] в 1936 году, обеспечило единообразный подход к классическим результатам теории полупростых колец. Позже выяснилось, что регулярные кольца обладают многими замечательными структурными и гомологическими свойствами. Обзор современного состояния теории регулярных колец дается в известной монографии Гудерла [15]. Отметим, что поскольку определение регулярности использует только умножение, его можно рассматривать и для полугрупп. Идея ввести в кольце R присоединенное умножение о по правилу aob = a + b — ab для любых а,Ь Є R возникла в 1940-х гг. в основополагающих работах Пер лиса [15], Бэра [1] и Джекобсона [25], посвященных распространению идеи радикала на кольца без условий конечности. Хорошо известен тот факт, что кольцо является радикальным (в смысле Джекобсона) тогда и только тогда, когда оно является группой относительно присоединенного умножения.
В общем случае легко проверить, что относительно присоединенного умножения любое кольцо становится полугруппой с единицей, роль которой играет нуль кольца. Полугруппа {R, о) называется присоединенной полугруппой кольца R.
Изучению присоединенной полугруппы кольца и связи ее свойств со свойствами кольца посвящены десятки работ, причем в последнее время интенсивность исследований в этом направлении возрастает. Из недавних работ, посвященных присоединенным полугруппам колец, упомянем здесь статьи Ду Ксиянкуна [12-14], Келарева [26-28], Чик и Гарднер [3-6], Колеман и Исдауна [8-11], Хитерли и Туччи [17-24].
По аналогии с определением фон Неймана назовем кольцо присоединение регулярным, если для любого а Є R найдется такой элемент b Є R,
что а о b о а = а. Другими словами, кольцо R присоединенно регулярно тогда и только тогда, когда его присоединенная полугруппа регулярна. Обозначим через AR класс всех присоединенно регулярных колец. Отметим, что этот класс весьма обширен. Очевидно, что класс AR содержит все радикальные кольца; с другой стороны, как было показано в работах Ду Ксиянкуна [13] и Хитерли и Туччи [20], все регулярные кольца являются присоединенно регулярными. Тот факт, что понятие присоединенно регулярного кольца дает одновременное обобщение двух столь полярных типов колец как радикальные и регулярные кольца, делает задачу изучения класса AR весьма интригующей. В то же время, изучение класса присоединенно регулярных колец весьма естественно в рамках направления, рассматривающего связь между свойствами кольца и свойствами его присоединенной полугруппы.
Цель работы
Целью работы является исследование присоединенно регулярных колец, осуществляемое в двух направлениях: структурном и эквациональ-ном. В первом случае изучается «индивидуальное» строение присоединенно регулярных колец; при этом основное внимание уделяется вопросу о реконструкции присоединенно регулярного кольца по его радикальному и регулярному подкольцам. Под эквациональным направлением мы понимаем изучение различных классов присоединенно регулярных колец с точки зрения теории многообразий.
Научная новизна
Основные достижения диссертации заключаются в следующем.
Получено достаточное условие присоединенной регулярности кольца, раскладывающегося в сумму радикального подкольца и присоединенно регулярного подкольца. Из него следует критерий присоединенной регулярности для кольца, являющегося суммой радикала и регулярного подкольца.
Дано полное описание (на языке тождеств и языке «запрещенных объектов») многообразий, состоящих из присоединенно регулярных колец.
Введено понятие е-многообразия присоединенно регулярных колец и выяснено соотношение между е-многообразиями присоединенно ортодоксальных и присоединенно право-инверсных [лево-инвер-
сных] колец. Это позволило описать важный фрагмент решетки е-многообразий присоединенно регулярных колец.
Все результаты диссертации являются новыми.
Основные методы исследования
В работе используются подходы, конструкции и результаты теории колец, теории регулярных полугрупп и теории многообразий. Характерным для работы является сочетание структурных и комбинаторных методов.
Практическая и теоретическая ценность
Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по присоединенным полугруппам колец.
Апробация результатов
Изложенные в диссертации результаты были представлены на международной алгебраической конференции, посвященной памяти 3. И. Бо-ревича (С-Петербург, 2002) и на международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения П. Г. Конторовича и 70-летию Л. Н. Шеврина (Екатеринбург, 2005). По результатам работы автор выступал с докладами в Екатеринбурге (семинар «Алгебраические системы», 1999-2006).
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах, список которых приведен в конце автореферата [31-36]. Результаты работ [31-34] получены автором и М. В. Волковым в нераздельном соавторстве.
Структура диссертации
Текст диссертации состоит из оглавления, введения, трех глав, предметного указателя, списка обозначений и списка литературы. Библиография включает 82 наименования. Общий объем диссертации составляет 71 страницу.
