Введение к работе
Актуальность темы. Алгебраическая конструкция HNN расширения групп соответствует топологической операции приклеи-Еакия "ручки" к топологическому пространству. Помимо обусловленной таким образом связи с топологическими конструкциями, хорошо известна важная роль НА/А/ - расширения и при решении чисто алгебраических задач [I] . В частности, использование данной конструкции позволило доказать целый ряд замечательных теорем о вложениях групп [2] . HNN - расширения бшш широко использованы также при изучении внутреннего строения групп (например, при изучении групп с одним определявзрм соотношением) и при решении ряда алгоритмических вопросов [13 .
В диссертации рассматриваются два вопроса, связанные с HNN - расширениями групп. Во-первых, приводится построение аналога этой конструкции в классе периодических групп достаточно большого нечётного периода. Предлагается также похожая конструкция для фундаментальных групп некоторых графов групп в периодическом случае. Более того, строится аналог HNN - расширения с условием конечности на подгруппы. Во-вторых, изучаются HNN - расширения гиперболических групп. Гиперболические группы, интенсивное изучение которых качалось после работы Ыи-
-
Линдон Р., %пп П. Комбинаторная теория групп. - М.: Мир, 1980.
-
Hiaman. Cr., Neumann В. Н., Neumann Н. Embedding theorems tor groups. J. London rlalh. Soc, 1343, v. Z4, p. 247-.254
хайла Громова [33 , образуют очень ваяшй класс групп» исследуемый в настоящее время многими математиками. В частности, доказано, что, в определенном статистическом сштаю, почти каждая группа является гиперболической. Б диссертации найдены необходимые к достаточные условия, обеспечивающие гиперболичность ИШ . - расширения гиперболической группы с ассоциированными элементарными подгруппами, ^лее, как следствие, получены соответствующие условия гиперболичности для свободных произведений гиперболических групп с объединанными элементарными подгруппами. На основании полученных результатов строятся первые примера нетривиальных конечно порождённых вербально полных групп и новые примеры конечно порождённых делимых групп.
Цель" работы: построение аналога HNN - расширения
в теории групп с периодическими свойствами; нахождение похожей
конструкции дая фундаментальных групп более общих графов групп;
построение кокструшпи.аналогичной классическому НШ
расширению с сильным условием конечности на подгруппы; исследо
вание HHU - расширений гиперболических групп в случае
элементарных ассоциированных подгрупп; применение полученных
результатов дая нахождения нетривиальных конечно порождённых
вербально полных групп.
Методика исследования. В работе применяются геометрические методы теории групп, особенно - схема.использования диаграмм,
3. Gromov М Hyperbolic aroups. Essays in Croup Ъ ed. S. M. Gersten, M.S.R.I. Pub.'8, Spr/njer, 138*. p. 71-263.
предложенная в работах С 4, 5, 61 , а также методы, конструкции и результаты комбинаторной теории групп ГІІ .
ручная новизна. Все основные результаты диссертации является новыми. Работа носит теоретический характер и может найти применение в области теории групп и ее приложений. В диссертации решены следующие задачи.
-
Построен аналог HNW - расширения в классе периодических групп достаточно большого начётного пераода.
-
Найдена похожая конструкция, для фундаментальных групп некоторых более общих графов групп.
-
Получена конструкция аналогичная НШ - расшире-нив с сильный условием конечности на подгруппы.
-
Приведен критерий гиперболичности ИНН- - расширения гиперболической группы в случае элементарных ассоциированных подгрупп. Как следствие, получен критерий гиперболичности для свободных произведений гиперболических групп с объединёнными элементарными подгруппами. * - -
-
Построены первые примеры нетривиальных конечно порождённых вербально полных групп.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на семинаре кафедры высшей алгебры, семинаре по теории
-
Ольтанский А.Ю. ІЬометрия определяющих соотношний в группах. - М.: Наука, 1989.
-
Лоссов К.И. О вложении амальгамы в периодическую, группу. -Дзп. в ВИНИТИ 08.07.I9S8, S 5528-В38, 57 с.
-
Ol'shansKil A. Tu.. On residua fina homomorphisins and &-subanwps--v0* hyperbolic groups. Int. J. Algebra and Comput., 1993, V. 3(4), p. 365-Ч09.
4 груші в МГУ ш. М.В.Лоыоносова, на Международной конференции по теории групп (Италия, Нортона, сентябрь 1994 г.), а также были включены в програшу Третьей.международной конференции по алгебре памяти Ы.И.Каргаполова (Красноярск, 1993 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в печатных работах автора [I, 2, 3] , приведенных в конце автореферата, среди которых депонированная работа [3 3 написана на основании сданной в печать совместной статьи диссертанта и A.D.Ольшанского [7] .
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых в общей сложности на 14 параграфов, и списка цитированной литературы. Общий объём диссертации составляет 120 страниц. Библиография содержит 42.наименования.