Теоремы Гуревича для толерантных пространств Коробченко, Елена Витальевна

Введение к работе

Актуальность темы. В последние десятилетия были разработаны несколько направлений, использующих категорную и алгебро- топологическую технику для изучения дискретных по своей природе объектов таких, как автоматы, дискретные системы управления, вычислительные сети, параллельные вычислительные процессы, лингвистические структуры и др. В настоящее время наиболее развитыми и оформленными являются два направления, идейно и технически близкие друг другу. Первое из этих направлений связано с теорией толерантных пространств и гомологий отношений, и представлено в работах Доукера, Зимана, Мюира, Уорнера, Арбиба, Шрейдера, Небалуева и

і 2345678

других авторов.

Второе направление систематически использует теоретико- категорные методы и представлено работами Губо, Гаше, Йенсена, Шилдса, Хусаинова и др. ^{9 10 11 12} Диссертационная работа развивает первое из этих направлений и ставит своей целью доказательство теоремы Гуревича и обобщенной теоремы Гуревича для толерантных пространств, устанавливающих связи между толерантными гомотопическими и гомологическими группами. Доказательства толерантных теорем Гуревича получаются с помощью разработанного в диссертации специального метода, который является аналогом метода Серра в алгебраической топологии.

¹ApSuS М. Теория автоматов с точки зрения теории управления // Сборник Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971. С.185-265.

²Arbib M.A. Tolerance automata // Kybernetik. 1967. № 3.

³Muir A., Worner M. W. Homology theories and tolerance automata // Diacrete Math. 1981. № 33.

⁴Muir A, Worner M. W. The decomposition of tolerance automata // Kybernetes. 1980. № 9.

⁵Muir A., Worner M. W. Homogeneous tolerance space // Czech. Math. J. 1980. № 30.

⁶Шрейдер Ю.А. Пространства толерантности // Кибернетика № 2. 1970.

⁷Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок // М.: Наука, 1971.

⁸ Небалуев С.И. Фундаментальная группа толерантного пространства и толерантные накрытия // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тезисы докладов V Международной конференции. Тула 2003. С.166-167.

⁹Хусаинов А.А., Лопаткин В.Е., Трещев И.А. Исследование математической модели параллельных вычислительных процессов методами алгебраической топологии // Сибирский журнал индустриальной математики. 2008. Т.11. №1. С.141-151.

¹⁰Хусаинов А.А., Ткаченко В.В. О группах гомологий асинхронных систем переходов // Дальневосточный математический журнал. 2005. Т.6. №1-2. С.23-38.

¹¹Gausher P. About the globular homology of higher dimensional automata // Cahiers Topologie Geom. Differentielle Categ. 2002. Vol. 43. №2. P.107-156.

¹²Goubalt E. The Geometry of Concurrency: Ph. D. thesis. Ecole Normale Superieure // . 1995.

Применение гомологической алгебры в теории отношений начинается с работы Доукера¹³. В 1962 году Зиман¹⁴ использовал методы алгебраической топологии для изучения рефлексивных и симметричных отношений, которые он назвал отношениями толерантности, и которые оказались весьма интересными, как с математической, так и с прикладной точки зрения. Пару, состоящую из множества и отношения толерантности на этом множестве, Зиман назвал толерантным пространством. Отношения толерантности в настоящее время интерпретируются как наиболее общая математическая модель понятия схожести, а толерантные пространства применяются в различных разделах „дискретной" математики для перенесения в них методов „непрерывной" математики.

В 1970 году была опубликована важная работа Зимана и Бьюнема-

на , в которой ряд интересных вопросов, имеющих прикладное значение, были сформулированы как математические задачи гомологической теории толерантных пространств. Однако решение этих задач тормозилось неразвитостью теории гомологий толерантных пространств, и отсутствием сколь-нибудь продвинутого варианта гомотопической теории. В конце прошлого и в начале текущего века была построена достаточно развитая гомологическая и гомотопическая теория толерантных пространств ^{16 17}, с помощью которой удалось решить некоторые из задач, сформулированных в работе Зимана и Бьюнемана. В частности, получены условия, при которых толерантное пространство гомологически эквивалентно своему дискретному (или даже конечному) подпространству. Эти результаты показывают каким образом внешняя среда, имеющая в принципе непрерывную континуальную структуру, может быть отражена в работе дискретно структурированной сетчатки глаза, которая функционирует как конечный автомат. Более того полученные результаты позволяют получать оценки для числа точек и плотности их расположения в дискретном подпространстве, сохраняющем глобальную

¹³Dowker C.H. Homology groups of relations // Ann. of Math. 1956. Vol. 56.

¹⁴Zeeman E.C. The topology of brain and visual perception // The Topology of 3-Manifolds /Ed. M.K. Fort, 1962.

1. Зиман Э., Бьюнеман О. Толерантные пространства и мозг // Сборник На пути к теоретической биологии. М.: Мир, 1970.

2. Небалуев С.И. Высшие гомотопические группы толерантных пространств // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. Межвузовский сборник научных трудов. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003.Вып.2. С.15-30.

¹⁷Небалуев С.И. Фундаментальная группа толерантного пространства и толерантные накрытия // Чебышевский сборник. Труды V международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и прложения».Тула, 2004. T.V. Вып. 1(9). С.144-152.

стурктуру всего толерантного пространства. На следующем этапе развития этой теории актуальным стал вопрос изучения связи между толерантными гомотопическими и гомологическими группами. В алгебраической топологии такому же вопросу посвящены теоремы Пункаре и Гуревича. Толерантный аналог теоремы Пуанкаре об изоморфизме между первой гомологической группой и фактор-группой фундаментальной группы по коммутанту был доказан Небалуевым. Толерантные теоремы Гуревича представляют собой важный вычислительный инструмент в гомотопической теории толерантных пространств и, как было сказано выше, являются основным предметом диссертационой работы. Не менее важной частью диссертационного исследования является разработка метода, позволяющего получить доказательства указанных теорем, а также и многих других результатов. Этим методом является приспособленный к теории толерантных пространств метод, предложенный Ж.П. Серром. В рамках разработки этого метода в диссертации решались следующие задачи: построение теории A-пунктированных толерантных кубических сингулярных гомологий, построение толерантного квазирасслоения толерантных путей с условно толерантно стягиваемым пространством квазирасслоения, построение гомологической спектральной последовательности Лере-Серра толерантного квазирасслоения и вычисления первых ее членов, построение n-связных толерантных квазирасслоений. Решенные в диссертационной работе задачи применимы не только для доказательства теорем Гуревича, но и для получения многих других результатов в гомотопической и гомологической теории толерантных пространств.

Цель работы. Доказательство теоремы Гуревича и обобщенной теоремы Гуревича для толерантных пространств.

Методы исследования. В диссертационном исследовании использованы методы гомологической алгебры и теории толерантных пространств, а также метод, разработанный в самой работе, аналогичный методу Сер- ра в алгебраической топологии.

Достоверность результатов. Достоверность результатов диссертационного исследования обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов их решения.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты работы расширяют арсенал алгебраических методов, используемых для изучения толерантных пространств. Эти результаты могут быть использованы в тех разделах математики и ее приложений, которые занимаются дискретными математическими моделями. Они также могут использоваться для математического моделирования неоднозначного поведения сложных объектов. Результаты работы могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов СГУ, СГТУ, СамГУ.

Научная новизна. К новым результатам, представленным в данной работе, нужно отнести следующие:

2. 1. Разработана конструкция окаймления толерантного сингулярного (ТС) куба, и доказана тривиальность действия окаймления на группы толерантных кубических сингулярных (ТКС) гомологий.

   2. Построен функтор A-пунктированных ТКС гомологий и доказана его изоморфность гомологическому функтору Зимана на категории толерантных пространств.

   3. Построено квазирасслоение со стягиваемым толерантным пространством.

   4. Доказаны свойства ТС кубов толерантного квазирасслоения, необходимые для построения спектральной последовательности.

   5. Построена спектральная последовательность Лере-Серра толерантного квазирасслоения и вычислены два ее первых члена.

   6. Доказана классическая теорема Гуревича для толерантных пространств.

   7. Доказана теорема о существовании n-связного толерантного квазирасслоения.

   8. Доказана обобщенная теорема Гуревича для толерантных пространств.

   Основные положения, выносимые на защиту. Доказательство теоремы Гуревича и обобщенной теоремы Гуревича для толерантных пространств. Разработанный в диссертации толерантный аналог метода Сер- ра.

   Личный вклад. Постановка задач в работе принадлежит научному руководителю С.И. Небалуеву. Предварительные результаты получены как лично диссертантом, так и совместно с научным руководителем. Доказательство основных результатов, выносимых на защиту, получено самостоятельно диссертантом.

   Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре кафедры алгебры и теории чисел СГУ, на научных конференциях на механико-математическом факультете СГУ (2008-2011), на Международной конференции «Современные проблемы дифференциальной геометрии и общей алгебры», посвященной 100-летию В.В. Вагнера, (Саратов, 5-8 ноября 2008 года), на VIII Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвященной 190- летию П.Л. Чебышева и 120-летию И.М. Виноградова, (Саратов, 12-17 сентября 2011 года).

   Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах, в том числе 2 статьи из списка ВАК. Список статей приведен в конце автореферата.

   Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Первая глава содержит 3 параграфа. Вторая глава — 3 параграфа. Третья глава содержит 4 параграфа. Четвертая глава — 3 параграфа. Список литературы содержит 48 наименования. Общий объем диссертации - 128 страниц.