Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 CLASS Предварительна CLASS я 9
1.1 Предварительные сведения 9
1.2 Предпучки с Wztt-трансферами 10
Глава 2 Ассоциированный пучок в топологии Зарисского 18
2.1 Инъективность на аффинной прямой 18
2.2 Вырезание на Агк 21
2.3 Гомотопическая инвариантность ассоциированного пучка 30
Глава 3 Ассоциированный пучок в топологии Нисневича 33
3.1 Этальное вырезание в размерности 1 33
3.2 Гомотопическая инвариантность ассоциированного пучка 46
Глава 4 Дополнительные результаты 49
4.1 Вырезание на А^ 49
4.2 Ассоциированный пучок как предпучок с трансферами 56
4.3 Этальное вырезание в размерности п 60
4.4 План построения категории И^Ш-мотивов 71
Список литературы
- Предпучки с Wztt-трансферами
- Вырезание на Агк
- Этальное вырезание в размерности
- Ассоциированный пучок как предпучок с трансферами
Предпучки с Wztt-трансферами
Согласно нумерации диссертации — это теорема 5. Следствием теорем В, Г и Д является то, что для гомотопически инвариантного предпучка & с И Ш-трансферами ассоциированный пучок Нисневича is обладает следующим свойством: его значение на любом открытом по Зарисскому подмножестве U аффинной прямой равно значению на U исходного предпучка, т.е. &{U) = Nis(U)- Это свойство вместе с упомянутой выше теоремой об инъективносити на локалвных схемах и приводит бвістро к доказателвству теоремві Б.
Имеется еще ряд резулвтатов, которвіе понадобятся для доказателвства в будущем теоремві о гомотопической инвариантности когомологий гомотопически инвариантного пучка с И Ш-трансферами. Это теоремы Е и Ж. Теорема Е - это специалвнвш случай ввірезания по Зарисскому на аффинной прямой над локалвной базой. Согласно нумерации диссертации — это теорема 7. Теорема Ж — это эталвное вырезание в размерности п для любого п. Согласно нумерации диссертации — это теорема 9.
Теперь уместно сказать несколько слов о категории Wor(k), с помощью которой было определено, что такое предпучок с И Ш-трансферами и, что такое пучок Нисневича с И Ш-трансферами. Напомним, что у Воеводского объекты категории Cor — это гладкие многообразия, а морфизмы Cor(X,Y) — это свободная абелева группа, порожденная замкнутыми неприводимыми подмногообразиями Z С X х Y, которые конечны и сюръективны над какой-либо неприводимой компонентой X. Объекты нашей категории Wor(k) — это гладкие многообразия над к. Группа морфизмов Wor(X, Y) определяется следующим образом (детали даны в пункте 1.2 текста диссертации). Рассматривается категория P(X,Y) конечнопорожденных к[Х х У]-модулей, которые конечнопорождены и проективны как /с[Х]-модули. На этой категории имеется инволюция . А именно, если Р Є P(X,Y), то по определению Р = Нотк[Х](Р, к[Х]). Действие k[Y] на Р индуцирова Введение но действием k[Y] на Р.Квадратичное пространство в категории P(X,Y) с инволюцией — это пара (Р, ф : Р = Р ), в которой ф — симметрический изоморфизм к[Х х У]-модулей. Группа Wor(X, Y) — это по определению группа Витта классов изоморфизма квадратичных пространств в категории P(X,Y) с инволюцией .
Композиция морфизмов (Р,ф) Є Wor(X, Y) и (Q/ф) Є Wor(Y,Z) определяется как (Pk\Y\Q, ФҐФ) Є Wor(X, Z). Тождественный морфизм X в себя — это пара (fc[X], idk[x\)i где k[X] рассматривается как k[X х X] естественным образом. Упомянутый выше функтор г : SmAff/к — Wor(k) определяется просто (с использованием графика; см. Замечание 3).
Таким образом, у нас в руках есть все исходные определения и можно начинать доказывать сформулированные выше теоремы А-Д, Е и Ж. Это и делается в основном тексте диссертации.
Опишем содержание глав диссертации. Глава 1 содержит описание используемых в дальнейшем понятий и утверждений, являющихся базовыми для дальнейшего текста диссертации. Параграф 1.1 содержит обзор используемых определений и утверждений о группах Витта и топологии Нисневича. В параграфе 1.2 даётся определение используемых И Ш-соответствий, доказываются их базовые основные свойства и вводится основной объект исследования — предпучки с И Ш-трансферами.
Глава 2 посвящена свойствам предпучков с ГГШ-трансферами по отношению к топологии Зарисского. В параграфе 2.1 доказана теорема В, в параграфе 2.2 — теорема Г, и в параграфе 2.3 — теорема о гомотопической инвариантности ассоциированного пучка в топологии Зарисского.
Глава 3 содержит теоремы связанные с топологией Нисневича, а именно: в параграфе 3.1 доказана теорема Д, и в параграфе 3.2 — теорема Б.
Наконец, глава 4 содержит доказательства теорем Е, А и Ж, в параграфах 4.1, 4.2 и 4.3 соответственно, а в параграфе 4.4 приведено описание плана построения категории Witt-мотивов, аналогично тому, как построена категория DM {k).
Глава 1 Глава 1. Предварительная
1.1 Предварительные сведения
Исследуемые трансферы определяются как группы Витта некоторых категорий с двойственностью. Напомним определение категории с двойственностью.
Определение 1 Двойственность на точной категории С — это контравариантный точный эндофунктор D: С — С вместе с естественным изоморфизмом zu: Ыс — D2. Определение 2 (Квадратичное пространство) Симметрическое квадратичное пространство в точной категории с двойственностью С — это пара (P,qp), состоящая из объекта Р категории С и изоморфизма qp: Р — D(P), такого, что коммутативна диаграмма D2(P)HD(P) А +D(P) (это условие симметричности). Определение 3 Симметрическое квадратичное пространство (Р, qp) называется метаболическим, если существует подобъект подпространство L в Р, такой, что последовательность LAP D(4qp D(L) является короткой точной последовательностью. Определение 4 Группа Витта W(C,D) категории с двойственностью — это факторгруппа NA pJ группы Гротендика группоида симметрических квадратичных пространств по подгруппе, порождённой метаболическими пространствами.
Лемма 1.1.1 Пусть (P,qp) — квадратичное пространство и L — его подлагранжево подпространство, тогда квадратичное пространство (Q,qg), определяемое как когомо логии последовательности L — Р D(L), задаёт тот же элемент в группе Вит та, что и (Р, qp).
Приведём также определение топологии Нисневича и некоторые используемые свойства. Глава 1 Определение 5 Топология Нисневича на категории гладких схем Sm — это топология Гротепдика, в которой покрытиями являются эталъные морфизмы t: Я — X, такие, что для любой точки х Є X существует точка и Є Я, для которой t задаёт изоморфизм и — х.
Определение 6 (Локальная гензелева схема) Локальная схема U называется ген-зелевой в точке х, если для любого морфизма и: U — U, этального в точке х , такого, что и{х ) = х и и : к(х) — к(х ) — изоморфизм, существует сечение s: U — U такое, что s(x) = х1. Далее будет использоваться следующее утверждение, доказанное Гротендиком. Теорема 1 Пусть Y — локальная гензелева схема, и пусть X — конечная схема над п Y, тогда X = Ц ХІ распадается в дизъюнктное объединение локальных гензелевых схем г-1 ХІ. 1.2 Предпучки с И і -трансферами В этом параграфе вводится понятие предпучков с И Ш-трансферами через определение категории Wor, а также сопутствующих понятий. Приведено детальное обсуждение используемых в дальнейшем базовых свойств. Пусть Sink — категория аффинных гладких многообразий над произвольным полем к.
Вырезание на Агк
Далее все произведения схем и тензорные произведения модулей будем подразумевать производимыми над К. Для построения Фив нужно найти 1) конечнопорождённый К[U х У]-модуль Р (проективный над if [V]) и симметрический К[U х У]-линейный изоморфизм ф : Р Нот(Р, К[V]), 2) конечнопорождённый К [V х V х А1]-модуль І/ (проективный над if [У х А1]) и симметрический K[V xVx А1]-линейный изоморфизм ф : Н Нот(Н, K[V х А1]), такие, что в группе Витта категории if [V х -модулей, конечнопорождённых, проективных над второй компонентой if[V], с функтором двойственности Hom,K[v](—,К[V]) справедливы равенства
Поскольку h имеет старший коэффициент 1 по X, F — конечный сюръективный морфизм гладких схем, то с помощью изоморфизма НОГПА(В,А) = u(F) из утверждения 2.1 из [4] и тривиализации канонического класса А1 х V х А1 получим 5-линейный изоморфизм (форму) в: НОГПА(В, А) В, который симметричен вследствие коммутативности алгебры В. С помощью двух последовательных замен базы вдоль вложений 0хг іухАі: Ох Ух А1 - -А1 х V х А1 и idv х 0: V - - определим симметрические K[V xV х A1]/(h) и К [У х V]/(f)-линейные формы ф и ф . Теперь положим искомую форму ф равной форме, получающейся из ф после ограничения скаляров до K[V х V х А1], а ф — форме, получающейся из ф после ограничения скаляров до K[U х V], которое корректно определено, поскольку, как отмечалось, в силу обратимости f\D v K[V х V]/(f) K[U х V]/(f).
Таким образом, определены пространства (Р, ф) и (Н, ф) и остаётся добиться вы-полнеия свойств 2.1.1, в действительности, первое из них уже выполнено даже в группе Гротендика-Витта, а для выполнения второго достаточно домножить обе квадратичные формы на некоторую обратимую функцию на V по второй координате. что доказывает первое равенство. Перейдём ко второму. Обозначим (L, v) — квадратичное пространство, получающееся в результате расширения скаляров (Н,ф) S К[УХАЦК[У Х 1], тогда L K[V х V]/(f\AixVxl) — K\V х V]/(X — Y)n. Поскольку полученная квадратичная форма v на L — K[V х У]-линейна, то она K[V х V]/(X — Y)"-линейна. Пусть п-2т+1, и рассмотрим идеалы /= (X-Y)m,J= (X-Y)m+l С K[Vх V]/(X - Y)n как
Глава 2 подпространства в L. По приведённой ниже подлемме, 1=3. Значит, J — подлагран-жево подпространство L, и по редукции по подлагранжевому подпространству (теорема 32 [2]), класс [L] в группе Витта совпадает с классом пространства J/I. J/I — свободный модуль ранга 1 над К [V], и квадратичная форма на нём определяется некоторой обратимой функцией І є if [V] . Тогда домножим квадратичные формы, определённые на Р и Н, на Z-1, и класс (Н,ф) к\ухкцК[V х 1] станет равен классу Ек\у\ Подлемма 2.1.1.1 Пусть В — А-алгебра, и q: В НОГПА(В,А) — В-линейная невырожденная квадратичная форма на В. Тогда для любого идеала I в В ортогонал Iі- к I в В по отношению к q совпадает с аннулятором I в В. 1) Предпучок ,J можно ограничить на схемы над К, и в терминах замечания 4-2 теорема 3 означает, что i : J? (V, V — z) — J? (U, U — z) — изоморфизм. 2) Поскольку гомотопически инвариантный предпучок с Witt-трансферами как функтор из Work пропускается через Work, fno теорема 3 следует из следующей леммы. 3) Наконец отметим, что без использования теоремы об инъективности из следующей леммы следует изоморфность ядер и коядер гомоморфизмов ограничения , (V) — , {V— — z) и J?(U) — ,J{U — z), т.е. декартовостъ и кодекартовостъ соответствующего квадрата, что можно считать формулировкой теоремы о вырезании не использующей теорему 2.
Перейдём к рассмотрению схем над К и будем строить искомые морфизмы в категории Worx, которая является подкатегорией в Work Глава 2 а) Для построения правого обратного к г є Wor((U, U — z), (V, V — z)) нужно найти квадратичные пространства Р и Н, соответствующие элементам Ф и G, а именно: 1) Р Є K[UxV]— mod— конечнопорождённый, проективный над K[V] и if [[/х У]-линейный изоморфизм qP: Р Hom(P,K[V]), 2) Н є K[V xV х А1] — mod — конечнопорождённый, проективный над K[V х А1] и K[V х xVx А1]-линейный изоморфизм дн - Н Нот(Н, K[V х А1]), такие, что: являются изоморфизмами (здесь одна из структур if [V]-модуля на Н подразумевается правой, а другая — левой), что означает, что Р и Н задают морфизмы пар, 4) в группе Витта категории К[V х -модулей, конечнопорождённых, проективных над второй компонентой if[V], с функтором двойственности Hom,K[v](—, K[V]), верны равенства Будем рассматривать V х V и U х V как подмножества в А и обозначим координаты соответственно X и Y. Для достаточно большого нечётного п по интерполяционной теореме найдём многочлен /о Е - [Х, У], п0 X имеющий степень п и старший коэффициент 1, такой, что Чтобы определить структуры квадратичных пространств на Р и Я, сначала определим некоторые K[S]-линейный и Х[5о]-линейный изоморфизмы qs: K[S] Hom(K[S],K[V х А1]), qs0:K[S0] Hom(K[S0],K[V]), где S = divof — замкнутая подсхема V xVxA1 и So = divofo — замкнутая подсхема UxV. Затем ограничениями скаляров вдоль вложений is: S - - V х V х А1 и і$0: So - - 7 х V получим искомые изоморфизмы qH: Я Нот(Н, K[V х А1]) и др: Р Нот(Р, K[V]). Рассмотрим отображение
Глава 2 и обозначим через А кольцо К[Аг х V х А1], а через В — А-алгебру соответсвующую отображению F. Поскольку старший коэффициент /поХ равен 1, то В является свободным А-модулем ранга п. Значит, F — конечный сюръективный морфизм гладких неприводимых многообразий, а по утверждению 2.1 из [4] существует 5-линейный изоморфизм ш(В/А) Нот(В,А). Поскольку канонический класс А1 х V х А1 тривиален, то тривиален и относительный канонический класс w(F) = ш(В/А), и, выбрав некоторую триви-ализацию, получим 5-линейный изоморфизм qB: В с Нот(В,А). Поскольку, как уже отмечалось, fL т_ А1 — обратим, то в которой квадраты декартовы. Квадратичная форма на модуле /qyjif [СУ] к[и\Р получается из qp ограничением скаляров вдоль г х idv, и, пользуясь определением qp и qs0, получаем, что она получается из qs последовательным применением замены базы idv х 0 и ограничения скаляров вдоль вложения і$0. Квадратичная форма на НQ/qvxA1] K[V х 0]
Глава 2 получается из qn заменой базы вдоль idy х 0, и значит, она получается из q$ последовательным ограничением скаляров вдоль вложения is и заменой базы вдоль idy х 0. Таким образом, поскольку ограничение скаляров коммутирует с заменой базы, эти квадратичные формы совпадают.
Осталось добиться выполнения второго равенства из 2.2.4, т.е. того, чтобы класс квадратичного пространства (Ь,дь) = K[V х 1] АГ[УХА1]( , ЧН) совпадал с классом пространства Ек\уу Поскольку L K[Vx V]/(f\AlxVJ K[V х V]/(X - Y)n, то аналогично тому как было показано в доказательстве инъективности на аффинной прямой, по подлемме 2.1.1.1 любая K[Al х А1 х [7]-линейная квадратичная форма на if [А1 х А1 х [7]/(#(2т+1)) обнуляется на подпространстве (8)т, и по подлагранжевой редукции квадратичное пространство (L,qi,) совпадает в группе Гротендика-Витта с пространством ранга 1, квадратичная форма на котором определяеся обратимой функцией / Є if [V] . Тогда домножим квадратичные формы, определённые на Р и Н, на 1 1, и класс K[V х 0] АГ[УХА1](ІІ, Чн) станет равен классу Ек\у\
Этальное вырезание в размерности
Будем строить эти модули с помощью специально выбранных глобальных сечений пучков s Є Jzf(nD /j) на Xv, s Є Jzf(lnDUxAi) на XUxAi и so,s\ Є J{lnDu) на XJJ (нижними индексами здесь обозначены замены базы), которые будем находить с помощью следующей подлеммы, являющейся следствием теоремы Серра (теорема 5.2, гл. 3 из [3]):
Подлемма 3.1.1.1 Пусть X — проективная схема над спектром некоторого нётеро-вого кольца, Z — замкнутая подсхема, & — когерентний пучок и J — очень обильное линейное расслоение на X. Для всех п, больших некоторого к, ограничение r( Jz ra) — Г(( J ?n)\z) — сюръективно. Глава З Введём дополнительные обозначения: z — диагональ в z х z, z — график 7г: z — z, который фактически тоже является диагональю, поскольку 7г задаёт изоморфизм z и z , W — локальная окрестность z в z х U, W — локальная окрестность z в z х U, 5 — локальный параметр в K[W], N = SpecK[W ]/5 2 — замкнутая подсхема в W.
Сначала построим искомое сечение на Xz, для этого докажем следующее утверждение:
Подлемма 3.1.1.2 Пусть ж: Xі — X — конечный морфизм проективных кривых над бесконечным полем, z — замкнутая точка Xі, Y — замкнутая подсхема Xі, не содер-жаи ая z, и — очень обильный локально свободный пучок ранга 1 на Xі . Тогда для всех п, больших некоторого щ, существует глобальное сечение s пучка Jzn, обращающееся в 0 в z, не обращающееся в 0 на Y и такое, что ограничение ж на div s является замкнутым вложением (точнее, имеется в виду ограничение ж на подсхему в Xі, определяемую пучком идеалов в &(Х ), состоящим из функций / : divf divs).
Доказательство подлеммы 3.1.1.2. То, что 7г: divs — X — замкнутое вложение, означает, что єп: &(Х)) — ж ((7(divs)), индуцированное 7г, сюръективно. Обозначим через Г аффинное пространство глобальных сечений Jzfn, состоящее из сечений обращающихся в 0 в z. По подлемме 3.1.1.1 для достаточно больших п Г не пусто. Покажем, что несюръективность єж — замкнутое условие в Г. Для этого рассмотрим отображение // = 7Гг:Х хГ- ХхГи универсальное сечение sr Є Г(рг х,(?п)), где рг: Xі Х Г - Xі — проекция вдоль Г. Пусть Zi С Xі х Г — носитель коядра єм: б[Х х Г) - fi, (&(divsr)) и Zn С Г — объединение подпространств сечений, обращающихся в 0 в какой-либо из точек Y. Тогда искомое сечение s — рациональная точка Г, лежащая вне prr(Zi) (где ргг — проекция вдоль X ) и вне Zn. Наличие рациональных точек Г вне prr(Zi) U Zn равносильно тому, что Г ф prr(Zi) U Zn, как схемы над базовым полем.
Поскольку Y не содержит z, по подлемме 3.1.1.1, для достаточно больших п существует сечение, обращающееся в 0 в г и не обращающееся в 0 на У, поэтому Г ф Zn, и, поскольку Г неприводимо, достаточно доказать, что Г ф prr(Zi).
Поскольку после расширения скаляров равенство бы не нарушилось, достаточно доказывать утверждение над алгебраически замкнутым полем F. Если 7г: divs — X не является вложением, то divs Pi + Р2 для некоторых Р\,Р2 Є Xі, 7г(рі) = 7г(р2) (pi и Р2 могут совпадать). Для того, чтобы оценить размерность Zi, определим коразмернось
Глава З подпространства. Обозначим через S(D) замкнутую подсхему в Xі, определяемую пучком идеалов в &(Х), состоящих из функций / : divf D для дивизора D в Xі . Заметим, что для достаточно больших п для любой пары точек р\,р2 Є Xі отображение ограничения сюръективно, поскольку при фиксированном п сюръективность тР1 Р2 п является открытым условием на пару (рі,Рг), а для каждой пары р\,р2 по подлемме 3.1.1.1 для достаточно больших п тР1 Р2 п сюръективно. Следовательно, коразмерность подпространства в Г0, состоящего из сечений div s р\ + Р2, совпадает с коразмерностью подпространства функций {/ є F[S(pi + Р2 + z)] : divf р\ + p2,divf z} в пространстве функций, обращающихся в 0 в z, т.е. равна 2, когда р\,Р2 ф z, и равна 1, когда хотя бы одна из точек совпадает с z.
Для произвольной точки р є X существует конечное множество пар р\,Р2 Є X : 7г(рі) = 7г(р2) = Р- Поскольку для р ф TT(Z) для каждой такой пары условие div s Р1+Р2 определяет подмножество в Г коразмерности 2, то dim(Z П(рх Г)) dim Г — 2. Для р = = 7r(z) ЭТИ условия имеют коразмерность хотя бы 1, значит, dim(Zn(7r(z) хГ)) dim Г— 1. Таким образом, dimZ dim Г — 1, и значит, Г ф prr(Zi).
По подлемме 3.1.1.2, применённой к nz: X — X и пучку {D" х z), для п, больших некоторого к, существует сечение s Є L(nD" х z) на Xz, такое, что ограничение nz на divs является замкнутым вложением, s обращается в ноль в т! и не обращается в ноль на 7f_1(z)xz—z и на D"xU. По подлемме 3.1.1.1, применённой к многообразиям X xU,XxU, пучкам 6{Х х U), 6{Х х U) и линейным расслоениям J{D" xU) и J{D" х U), для всех п, больших некоторого к, отображения ограничения
Первое равенство следует из того, что s не обращается в ноль на (TT 1(Z ) Х U) — z , поскольку s не обращается в ноль на TT 1(Z) Х Z — z , и того, что s w/ = # , а второе — переформулировка не обращения в ноль.
Ограничение тги на подсхему S является замкнутым вложением, поскольку над замкнутой точкой [У (т.е. z) оно совпадает с ограничением Wz на div s и является замкнутым вложением. Следовательно, Wu задаёт изоморфизм S -ч SQ. Заметим, что S С Xі х [У и S С X х U х А1 по вторым равенствам из 3.1.3
Для проверки условия 3.1.1, которое не зависит от выбора изоморфизмов qP и qHl воспользуемся тем, что s не обращается в ноль на z х {U — z) х А1 и s не обращается в ноль на z х (U — z), и следовательно,
Теперь убедимся что Р и Н — конечнопорождённые проективные К [U] и К [U х А1] соответственно модули, и зададим на них структуры квадратичных пространств. Для этого покажем, что морфизмы схем ps = ргц is S — U и ps = ргц о is: S —Ї U являются конечными и плоскими. Определим некоторые K[S ] -линейный и К [ -линейный изоморфизмы которые определяют квадратичные пространства в Proj(ps ) и Proj(ps), и ограничениями скаляров вдоль вложений is и is получим искомые изоморфизмы qp и qn Пусть d Є J {lnD х U х А1) — сечение, которое задаёт дивизор InD х U х А1, тогда / = — рациональная функция на X х U х А1, которая регулярна на X х [/ х А1. Рассмотрим отображение = (f,pru Ai) X х U х А1 - А1 х С/ х А1, и обозначим Б є XfA1 х U х А1] — mod — кольцо К[Х х U х А1], рассмотренное как К[Аг х U х А1]-модуль посредством F.
Покажем, что В — конечнопорождённый проективный K[Al х U х А1]-модуль. Для этого заметим, что F получается при помощи замены базы А1 х U х А1 — Р1 х U х А1 из морфизм относительной проективной кривой X х U х А1 в относительную проективную прямую Р1 х U х А1, заданный двумя непропорциональными сечениями, поскольку s не обращается в ноль на DJJX&I. По приведённой ниже подлемме F — конечный, сюръек-тивный, плоский, значит F — конечное, сюръективное, плоское, и, поскольку конечнопо-рождённый плоский модуль — проективный, то В — конечнопорождённый проективный К [А1 х U х А1]-модуль.
Подлемма 3.1.1.3 Пусть F: ХТ — Р — морфизм гладкой относительной проективной кривой ХТ в относительную проективную прямую FT над некоторой существенно гладкой схемой Т, заданный двумя непропорциональными сечениями s, d некоторого линейного расслоения на Хт- Тогда F — конечный, сюръективный, плоский.
Доказательство. Прообраз F x{t) С ХТ произвольной точки Є FT изоморфен div(s t\ — d 2) С Xt, где і,І2 непропорциональные сечения 0(1) на т. Поскольку s непропорционально d, то s t\ — d-2 0, и значит, cfo;(s 1 — (2) — непустое собственное замкнутое подножество в Xt, и значит, dimF_1() = 0 для любой точки . Таким образом, F — сюръективный и квазиконечный. А поскольку квазиконечный проективный морфизм — конечный, то F — конечный. Теперь заметим, что поскольку Хт и FT — существенно гладкие и их размерности совпадают, то F — плоский (см. следствие V.3.9. и теорему П.4.7 [5]).
Ассоциированный пучок как предпучок с трансферами
Второе равенство из условия 4.3.3 может не выполняться, однако верно, что пространство (Н, qu) при ограничении на сечение X х 1 С X х А1 раскладывается в прямую сумму некоторых пространств (E,qE) и (G,gG), поскольку его носитель divs раскладывается в дизъюнктное объединение. Действительно, поскольку sA. = 0, то divs\ = А+ Д, а поскольку, s\Xxl = s\ и divs.(Z х А1) = Az х А1,то divs\.Z = Az = A.Z. Следовательно R П Z = 0. Наконец, поскольку Az — единственная замкнутая точка А (и Az С Z), то ДП А = 0. Таким образом, divsi = А Ц R, причём RC\Z = 0 и (Н, qH) при ограничении на X х 1 равно прямой сумме пространств с носителями А и R, а модули этих пространств (Е и G) равны соответственно К [А] и K[R], поскольку
Т.к. R П 2 = 0, пространство (G, дс), как и требуется, определено над К[Х — Z] и задаёт морфизм из U в X — Z, поскольку R является замкнутым подмножеством в X — Z, являющимся расслоенным произведением X — Z и U, однако квадратичная форма на слагаемом К [А] может быть задана произвольной обратимой функцией Л Є if [С/] (не обязательно единичной). Чтобы она стала единичной, нужно взять композицию всех построенных морфизмов справа на морфизм, заданный пространством (if [А], Л-1), т.е. домножить все построенные квадратичные формы на Л-1, используя то, что все носители этих форм являются схемами над U.
Теперь построим требуемые s , So, S\ и s. Заметим, что поскольку 7г и р — конечны, то ри — конечен, и, следовательно, рй — конечен, и, поскольку Jzf(oou) — обилен, то J (D) = р ( (оо{/)) — обилен. А т.к. ш — конечен и D" = w l(D), то J(D") — обилен.
Обозначим wz: Xі z — Xz, Zz соответственно слои w. Xі — X и Z над замкнутой точкой U, т.е. z. В соответствии с леммой 3.1.1.2, применённой к mz: Xі — X и пучку Jzf(D" х z), для п, больших некоторого к, существует сечение s Є r(X!z,Jzf(nD"), такое, что ограничение wz на divs является замкнутым вложением в X, s обращается в ноль в Az и не обращается в ноль на w l(Zz)z — z и на D". По подлемме 3.1.1.1, применённой к многообразиям X , X, пучкам &(Х ), &(Х) и линейным расслоениям J f(D") и f(D) для всех п, больших некоторого к, отображения ограничения сюръективны, где iV — нульмерная замкнутая подсхема X , задаваемая квадратом пучка идеалов функций, обновляющихся в Az. Выберем п к,к.И выберем s, удовлетворяющее описанным выше условиям.
Выберем s — глобальное сечение JzfinD") такое, что S \ FJ = s, s \., = 0 и s l = = 8 , где 8 — функция, задающая дивизор A z на N (здесь подразумевается некоторая тривиализация J ?(nD") и используется, что на локальной схеме все дивизоры главные). Тогда
Первое равенство следует из того, что s обращается в 0 на A z и, следовательно, divs .Z = A z + F, но поскольку s \N = 8 и, следовательно, divs .N = A z, то F П N = 0. С другой стороны, поскольку s не обращается в 0 в других замкнутых точках Z, то F = 0. Второе равенство — переформулировка необращения в ноль на D".
Рассмотрим расслоенные произведения А и А7 с U над U и обозначим их X" и X" соответственно, а также их замкнутые подсхемы Z", Az и А", являющиеся соответственно расслоенным произведением Z на U , графиком вложения г : U - - X , как морфизма над А"--1, и графиком вложения точки z в X , соответственно.
Для построения искомых морфизмов достаточно построить: 1) Р — квадратичное пространство в Proj(pru)- Т.е. Р Є К[Xі] — mod — конечнопорождён-ный над К[U] и Х[А ]-линейный изоморфизм Р Ноткр](Р, K\U]), 2) Н — квадратичное пространство в Proj(prvxAi). Т.е. Н є К[Х" х A1] —mod — конечнопо-рождённый над K[U хК1] и Х[А//хА1]-линейный изоморфизм Я Нотщи ХА ІН, K[U x однако верно, что (ІЇ, g#) при ограничении на X" х 1 раскладывается в прямую сумму некоторых пространств (G, qc) и (Л,дл), поскольку его носитель - divs раскладывается в дизъюнктное объединение А" и некоторой замкнутой подсхемы R, содержащейся в X" — Z".
Проверим это. Действительно, поскольку S\\A" = 0, то divs\ = А" + R. Далее, поскольку divs.(Z" х А1) = Az х А1 и s\z„xAi = si т0 divsi.Z" = Az = A".Z". Следовательно R П Z" = 0, и, поскольку Az/ является единственной замкнутой точкой А" и Az/ с Z", то R и А" не пересекаются.
Теперь заметим, что поскольку Н = K[divs], то G = K[R] и Е = К[А"], а квадратичная форма на слагаемом if [Д"] задаётся некоторой неединичной обратимой функцией Л Є К[U1] . Выберем функцию Л Є K[U] , такуюо что X (z) = X(z ) и домножим квадратичные формы qp и qu на обратную функцию Л/_ . В результате добьёмся того, что X(z ) = 1, и тогда наконец по подлемме 3.1.1.4 получим, что пространства (К[А"],Х) и (К[А"], 1) задают один и тот же морфизм пар (W, Z ) — (Xі, Z ) в категории Wor, что и требуется для выполнения условия 4.3.10.
Теперь опишем построение s , So, si, и s. Заметим, что, поскольку 7г и р — конечны и, следовательно, р и — конечен, то р и — конечен и, поскольку Jzf(oou) — обилен, то Jzf(D ) = = р и (Jzf(oou)) — обилен, а также, что, поскольку 7гх — конечен и D " = жх (D ), то =Sf (D ") — также обилен.
Построим сечение s Є Г(Х",J f(nD )) для достаточно больших п с помощью под-леммы 3.1.1.1, задав его согласованно на слое над замкнутой точкой, т.е. на X z и на нульмерной Сечение s должно обращаться в 0 в точке A z и не обращаться в 0 в замкнутых точках D и замкнутых точках Z , отличных от A z. По подлемме 3.1.1.1 для всех п, больших некоторого к, существует сечение s Є J f(Xz,nD), удовлетворяющее перечисленным свойствам (поскольку ограничение обратимого пучка на замкнутую точку тривиально). Как локально тривиальный, пучок J f(D") тривиален на 2A Z, и положим s при ограничении на 2А равным функции, дивизор нулей которой равен A z (такая функция существу Глава 4 ет, поскольку на нульмерной схеме любой дивизор главный). Эти условия согласованы, поскольку Xz П 2A Z = A z и оба заданных сечения обращаются в 0 в A z.
Построенное сечение обращается в 0 на A z и не обращается в 0 в замкнутых точках Z , отличных от A z, следовательно, пересечение divs с Z равно A z, а поскольку s не обращается в 0 в замкнутых точках D , то divs не пересекается с D .
Как легко вывести из теоремы 8, категория SNwittTr(k) пучков Нисневича с Witt-трансферами является абелевой. Эта категория лежит в основе определения категории И Ш-мотивов DWM(k), которое мы сейчас дадим. Сначала рассматривается производная категория DSNwittTr(k) абелевой категории SNwittTr(k), а затем в производной категории DSNwittTr(k) рассматривается полная подкатегория DWM(k), состоящая из таких комплексов А , все пучковые когомологии которых hl(A ) являются гомотопически инвариантными пучками Нисневича (с И Ш-трансферами). Категория DWM(k) и называется категорией Witt-мотивов поля к. Объекты категории DWM(k) называются мотивными комплексами. Гладкому -многообразию Y можно сопоставить его Witt-мотжв MW{Y) = {U н-). War {А х [/,У)}(отпучкованный), ковариантно зависящий от Y. Одно из ключевых свойств Witt-мотива MW(Y) следующее: для любого мотивного комплекса А должны иметь место естественные изоморфизмы HpNls(Y,A ) = HomDWM(k)(M(Y),A [p}). Для доказательства этого свойства нужно доказать следующие теоремы: Теорема 10 Для произвольного гомотопически инвариантного пучка с Witt-трансферами ,J когомологии НгШз(Х,, ) гомотопически инвариантны по схеме X для і 0. Теорема 11 Для произвольного гомотопически инвариантного пучка с Witt-трансферами ,J когомологии HlNis(X,, ) являются предпучками с Witt-трансферами для і 0. Теорема 12 Для произвольного гомотопически инвариантного пучка с Witt-трансферами ,J и гладкой схемы X справедливо,что HlNis(X,, ) = ExfShWtr(Zwtr(X), ). Между производной категорией пучков с И Ш-трансферами и категорией Witt-мотивов определён функтор