Содержание к диссертации
Введение
1 Тождества векторных пространств, вложенных в линейные алгебры 25
1.1 Основные определения и вспомогательные утверждения 25
1.2 Базисы тождеств некоторых ассоциативных векторных пространств. 34
1.3 Сильно бесконечно базируемые векторные пространства. Существенно бесконечно базируемые векторные пространства 50
1.4 Сильно бесконечно базируемые векторные пространства над полем нулевой характеристики, являющиеся алгебрами с единицей 58
1.5 Некоторые условия, влекущие конечную базируемость тождеств векторных пространств63
1.6 Тождества векторных пространств, вложенных в неассоциативные алгебры 68
2 Примеры конечномерных линейных алгебр, не имеющих конечного базиса тождеств 71
2.1 Основные определения и вспомогательные утверждения 71
2.2 Связь тождеств векторных пространств с тождествами алгебр многообразия Полина75
2.3 Пример центральной простой конечномерной алгебры, не имеющей конечного базиса тождеств 80
2.4 Пример центральной простой коммутативной конечномерной алгебры, не имеющей конечного базиса тождеств82
2.5 Некоторые следствия 88
Список литературы 91
Работы авторапотеме диссертации 96
- Базисы тождеств некоторых ассоциативных векторных пространств
- Некоторые условия, влекущие конечную базируемость тождеств векторных пространств
- Связь тождеств векторных пространств с тождествами алгебр многообразия Полина
- Пример центральной простой коммутативной конечномерной алгебры, не имеющей конечного базиса тождеств
Введение к работе
Актуальность темы. Одним из способов изучения алгебраических систем является изучение их тождеств. Если рассмотреть алгебру A некоторой сигнатуры , то множество тождеств алгебры A, из которых следуют все тождества этой алгебры, называется базисом тождеств алгебры A. Если базис тождеств алгебры A конечен, то алгебру A называют конечно базируемой (или короче, КБ-алгеброй). В противном случае говорят, что алгебра A бесконечно базируема или не конечно базируема (коротко: НКБ-алгебра).
Одной из центральных задач при изучении тождеств конечных алгебр является проблема, сформулированная в 1966 году А. Тар-ским [17]: будет ли множество всех конечно базируемых конечных алгебр фиксированной сигнатуры, содержащей по крайней мере одну двуместную операцию, рекурсивно? В 1996 году Р. МакКензи решил проблему Тарского отрицательно [14]. Однако, проблему Тар-ского можно изучать в конкретных классах конечных алгебр. Ясно, что эта проблема имеет содержательный смысл лишь в тех классах конечных алгебр, в которых существуют как КБ-алгебры, так и НКБ-алгебры. Поэтому важным направлением в изучении многообразий алгебр является построение примеров конкретных конечных алгебр, не имеющих конечного базиса тождеств.
Примеры таких алгебр приведены: в классе группоидов – Р. Лин-доном [13] и В.Л. Мурским [6], в классе полугрупп – П. Перкин-сом [15], в классе луп – М.Р. Воон-Ли [18], в классе колец и линейных алгебр – С.В. Полиным [7].
Важным объектом при изучении конечных алгебр являются существенно бесконечно базируемые алгебры и многообразия алгебр. Напомним, что локально конечное многообразие алгебр называется существенно бесконечно базируемым (коротко: СББ-многообразием), если любое локально конечное многообразие алгебр, его содержащее, не имеет конечного базиса тождеств. Алгебра называется существенно бесконечно базируемой, если она порождает СББ-многообразие. Из этого определения следует, что любая конечная алгебра, содержащая в качестве подалгебры некоторую СББ-алгебру, сама не имеет
конечного базиса тождеств. Таким образом, конечная СББ-алгебра определяет в классе алгебр целую серию НКБ-алгебр.
Первые примеры СББ-группоидов приведены В. Л. Мурским [5] и П. Перкинсом [16]. М. В. Сапир привел пример СББ-полугруппы [9]. В классе колец и линейных алгебр пример конечной СББ-алгебры привел И. М. Исаев [2]. М. В. Сапир в 1987 году получил полное описание негрупповых СББ-многообразий полугрупп [10].
Р. Фриз, Дж. МакНалти и Дж. Нейшн в 2002 году указали метод построения СББ-решеток [12]. Этими же авторами в 2006 году построен пример существенно бесконечно базируемой модулярной решетки [11].
В 1978 году И.В. Львов построил пример конечномерной неассоциативной алгебры V = V Е (здесь V - конечномерное векторное пространство, Е = Endi?^) над полем F, тождества которой не задаются конечным набором тождеств [3]. Ясно, что V Є P = V&i{x(yz) = 0). Всякое тождество алгебры V = V ф Е эквивалентно (по модулю x(yz) = 0) конечной системе тождеств вида zf(RXl, RX2,..., RXn) = 0, где /(xi, Ж2, , ж„) - тождество векторного пространства Е, Rx - оператор правого умножения на элемент х в свободной алгебре многообразия P [3].
В 1973 году Ю.П. Размыслов при описании тождеств алгебры матриц второго порядка ввел понятие слабого тождества ассоциативно лиевой пары (A, L) (здесь L - алгебра Ли, А - ее ассоциативная обертывающая алгебра), т. е. ассоциативного многочлена /(жі, Ж2,..., хп), который обращается в нуль в алгебре А при подстановке вместо переменных любых элементов из L [8].
Пусть далее Е - векторное пространство, являющееся подпространством линейной алгебры А. Будем называть тождеством векторного пространства Е (вложенного в линейную алгебру А) слабое тождество пары (А,Е), т.е. такой неассоциативный многочлен /(жі, Ж2,..., ж„) Є F(X), что /(еі, Є2,..., en) = 0 в алгебре А при всех еі, Є2,..., еп Є Е.
Пусть О С F{X) - подмножество абсолютно свободной алгебры. Класс всех пар (А, Е) (Е - векторное пространство, А - обертывающая алгебра пространства Е), в которых выполняются все тождества вида g = 0, где g Є С, будем называть L-многообразием, задан-
ным множеством тождеств О. Если О - множество тождеств пары (А,Е), где Е - векторное пространство, А - обертывающая алгебра пространства Е, то L-многообразие, заданное множеством тождеств О, будем называть L-многообразием векторных пространств, порожденным векторным пространством Е и обозначать Var^L.
Рассмотрим L-многообразие А ассоциативных векторных пространств, т. е. векторных пространств, в которых выполняются все тождества ассоциативности вида (uv)w = u(vw), где и, v, w – произвольные неассоциативные слова. Всюду далее, если не оговорено противное, мы будем рассматривать все векторные пространства и их тождества внутри L-многообразия А.
В связи с примерами НКБ-алгебр, приведенными в различных классах алгебраических систем, нами была поставлена следующая задача.
Задача 1. Построить примеры конечномерных векторных пространств минимальной размерности, вложенных в ассоциативные алгебры и не имеющих конечного базиса тождеств.
Ввиду условия локальной конечности, в классе линейных алгебр понятие СББ-алгебры может рассматриваться только для линейных алгебр над конечным полем [2]. Нами введено понятие сильно бесконечно базируемой или сильно не конечно базируемой алгебры (сокращенно СНКБ-алгебры), являющееся некоторым аналогом существенно бесконечно базируемых алгебр для произвольного поля. А именно, рассмотрим тождества Капелли
^п = / ( — 1)'г(;(ж(т(1)! ж<т(2Ь і ха(п)} 2/11 У2> j У к) = О
и обозначим через Cap(n) = Var(C„ = 0|w Є F(X) - неассоциативное слово) - многообразие линейных алгебр, удовлетворяющих всевозможным тождествам Капелли С„ = 0 для фиксированного п. Многообразие линейных алгебр 9Т, такое что 9Т С Сар(/г) при некотором к, будем называть сильно бесконечно базируемым, если любое многообразие 9Я, удовлетворяющее условию 91 С fflt С Сар(п) для некоторого п, не имеет конечного базиса тождеств. Алгебру А назовем сильно бесконечно базируемой, если многообразие Var А является СНКБ-многообразием. Аналогично можно рассматривать сильно
бесконечно базируемые векторные пространства, вложенные в произвольные линейные алгебры. Отметим, что любая конечномерная линейная алгебра (конечномерное векторное пространство, вложенное в линейную алгебру), содержащая в качестве подалгебры сильно бесконечно базируемую алгебру (векторное пространство), сама не имеет конечного базиса тождеств. Таким образом, конечномерные СНКБ-алгебры задают в классе линейных алгебр серию НКБ-алгебр.
Также понятие существенно бесконечно базируемых (сильно бесконечно базируемых) векторных пространств можно рассматривать внутри Л. Отметим, что если векторное пространство, вложенное в ассоциативную алгебру, бесконечно базируемо (существенно бесконечно базируемо, сильно бесконечно базируемо) внутри L-многообразия Л, то оно обладает этим же свойством внутри класса всех векторных пространств, вложенных в линейные алгебры.
Задача 2. Построить примеры:
а) существенно бесконечно базируемого (сильно бесконечно бази
руемого) конечномерного векторного пространства;
б) конечномерного векторного пространства, вложенного в ассоци
ативную алгебру, не имеющего конечного базиса тождеств и не
являющегося существенно бесконечно базируемым (сильно бес
конечно базируемым);
Задача 3. Описать конечномерные сильно бесконечно базируемые векторные пространства, являющиеся ассоциативными алгебрами с единицей.
Задача 4. Найти условия, при которых произвольное векторное пространство, вложенное в ассоциативную алгебру, имеет конечный базис тождеств.
Задача 5. Выяснить, задаются ли тождества классов векторных пространств, вложенных в ассоциативные алгебры, либо в алгебры Ли, конечным набором тождеств, выполняющихся в этих классах.
В связи с примерами шести- и пятимерных НКБ-алгебр из многообразия P = Vai{x(yz) = 0), построенными Ю.Н. Мальцевым, В. А. Парфеновым и И. В. Львовым, была сформулирована следующая задача.
Задача 6. Построить пример алгебры из многообразия P, не имеющей конечного базиса тождеств, размерность которой меньше пяти.
В 1993 году И. П. Шестаков в «Днестровской тетради» поставил вопрос о существовании центральной простой конечномерной алгебры над полем нулевой характеристики, не имеющей конечного базиса тождеств [1].
Задача 7. Построить пример центральной простой конечномерной алгебры над произвольным полем, тождества которой не задаются конечным набором тождеств.
Задача 8. Построить пример центральной простой коммутативной конечномерной алгебры над полем нулевой характеристики, тождества которой не задаются конечным набором тождеств.
Цель работы. Данная работа посвящена решению задач 1-8.
Методы исследования. В работе используются методы и результаты теории многообразий линейных алгебр, структурной теории колец и теории Р/-алгебр.
Основные результаты. Основные результаты диссертационного исследования заключаются в следующем:
-
построены примеры конечномерных НКБ-пространств минимальной размерности, вложенных в ассоциативные алгебры; построены примеры СББ-пространства и СНКБ-пространства, вложенного в ассоциативную алгебру; описаны конечномерные СНКБ-пространства над полем нулевой характеристики, являющиеся ассоциативными алгебрами с единицей; доказана конечная базируемость тождеств некоторых классов векторных пространств; доказано, что тождества классов векторных пространств, вложенных в ассоциативные алгебры, либо в алгебры Ли, не следуют из конечного набора тождеств, выполняющихся в этих классах;
-
построены новые примеры конечномерных НКБ-алгебр из многообразия P = Vai{x(yz) = 0); построен пример центральной простой конечномерной НКБ-алгебры; построен пример централь-
ной простой коммутативной конечномерной НКБ-алгебры над полем нулевой характеристики.
Публикации. Основные результаты исследования опубликованы в виде статей как в отечественных, так и в зарубежных журналах [19]– [23], а также в материалах конференций [24]-[35]. Статьи [19, 20, 23] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретическое значение. Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейшего исследования тождеств векторных пространств, вложенных в линейные алгебры, для описания различных классов векторных пространств, а также для исследования вопросов конечной базируемости тождеств некоторых классов неассоциативных линейных алгебр. Кроме того, результаты работы могут быть использованы при чтении специальных курсов по теории многообразий линейных алгебр и по теории Р/-алгебр.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории колец кафедры алгебры и теории чисел Алтайского государственного университета (Барнаул, 2008-2009 гг.); на семинаре по теории колец кафедры алгебры и методики обучения математике Алтайской государственной педагогической академии (Барнаул, 2010-2014 гг.); на международной конференции по теории колец, посвященной 90-летию со дня рождения А. И. Ширшова (Новосибирск, Институт математики СО РАН, 2011 г.); на международной конференции «Фундаментальные науки и образование» (Бийск, АГАО, 2012 г.); на семинаре по теории колец им. А. И. Ширшова Института математики СО РАН (Новосибирск, апрель 2012 г.); на международной конференции «Ломоносовские чтения на Алтае» (Барнаул, Алтайская государственная педагогическая академия, Алтайский государственный университет, 2010, 2012, 2013 гг.); на международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, Институт мате-
матики СО РАН, 2010, 2012, 2013 гг.); на семинаре «Алгебраические системы» кафедры алгебры и дискретной математики Уральского федерального университета (Екатеринбург, май 2014 г.); на семинаре «Алгебра и логика» Института математики СО РАН (Новосибирск, май 2014 г.).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав. Объем диссертации составляет 98 страниц. Список литературы, приведенный в конце работы, содержит 73 наименования.
Базисы тождеств некоторых ассоциативных векторных пространств
Лемма 1.2. Всякое тождество векторного пространства V, вложенного в линейную алгебру, следует из слабо однородных тождеств этого пространства.
Лемма 1.3. Всякое тождество векторного пространства V над бесконечным полем F, вложенного в линейную F-алгебру, следует из однородных тождеств этого векторного пространства.
Доказательство. Пусть / = - тождество векторного пространства V над бесконечным полем F. Ввиду леммы 1.2 можно считать, что / существенно зависит от переменных Xi, Х2-, Представим многочлен f в виде: f = f] + fo + + fk, где cleg,,, f) = і (і = 1, 2,..., k). Сделав замены x\ — Xx\, X Є F, получим: Xf\ + X2f2 + +Xkfk = 0. Заменяя далее Л на Лі, Л2,..., Л& (Л Ф Xj), получим систему уравнений, которая в матричной форме записывается следующим образом:
Применяя к многочленам рассуждение, аналогичное приведенному выше, получим справедливость леммы.
Лемма 1.4. Всякое тождество векторного пространства V над полем F нулевой характеристики, вложенного в линейную F-алгебру, следует из полилинейных тождеств этого векторного пространства.
В заключительной лемме данного параграфа устанавливается связь бесконечной базируемости тождеств L-многообразия внутри Л с бесконечной базируемостью его тождеств в классе всех векторных пространств.
Лемма 1.5. Пусть 9JT - произвольное L-многообразие. Если Ь-многооб-разие Шід не имеет конечного базиса тождеств {является существенно бесконечно базируемым, является сильно бесконечно базируемым) внутри Л, то 9JT не имеет конечного базиса тождеств {является существенно бесконечно базируемым, является сильно бесконечно базируемым).
Доказательство. Пусть 9JT - произвольное L-многообразие и Шід не конечно базируемо внутри Л. Предположим, что 9JT конечно базируемо в классе всех векторных пространств и G = {/і, /2,... , fn} - базис тождеств ШТ. Тогда эти же тождества образуют базис тождеств ШТд внутри Л, что противоречит бесконечной базируемости тождеств Шід внутри Л. Таким образом, L-многообразие ШТ не конечно базируемо.
Пусть теперь L-многообразие Шід существенно бесконечно базируемо внутри Л и УХ - такое локально конечное L-многообразие, что ШТ С УХ. Тогда Шід С УХд и УХд не имеет конечного базиса тождеств внутри Л, поскольку Шід является СББ-многообразием внутри Л. Следовательно, как показано выше, УХ не имеет конечного базиса тождеств в классе всех векторных пространств. Таким образом, L-многообразие ШТ существенно бесконечно базируемо. Пусть, наконец, L-многообразие Шід сильно бесконечно базируемо внутри А и УХ - такое L-многообразие, что ШІ С 91 С Сар(п) при некотором п. Тогда Шід С 9Тд Сар(п). Поскольку ШТд является СНКБ-многообразием внутри „4, L-многообразие У1д не имеет конечного базиса тождеств внутри А. Следовательно, как показано выше, УХ не имеет конечного базиса тождеств в классе всех векторных пространств. Таким образом, L-многообразие 9JT сильно бесконечно базируемо.
Данный параграф посвящен построению примеров векторных пространств, вложенных в ассоциативные алгебры и не имеющих конечного базиса тождеств, с явным указанием этого базиса. Основными результатами данного параграфа являются теоремы 1.1-1.5. Все векторные пространства и их тождества рассматриваются внутри L-многообразия Л, однако, ввиду леммы 1.5, утверждения о бесконечной базируемости тождеств векторных пространств, рассмотренных в теоремах данного параграфа, остаются справедливыми в классе всех векторных пространств.
Обозначим А\ = (ец,еі2) , А2 = (ец,Є2і) .
Теорема 1.1. Пусть F - бесконечное поле произвольной характеристики. Векторное пространство Е = А\ 0 Ач является НКБ-пространством с базисом тождеств
Доказательство. Заметим, что пространство Е является алгеброй. Докажем, что тождества множества Go = {Sts{x,y, z),x[y,u]v, [x,y][u,v]} порождают идеал тождеств ассоциативной алгебры L, а потом воспользуемся леммой 1.1.
Непосредственной проверкой можно убедиться, что многочлены множества Go являются тождествами алгебры Е. Покажем, что произвольное тождество ф(Х) = ф(хі, Х2-, , хп) = 0 алгебры Е является следствием тождеств множества Go. Ввиду бесконечности поля F многочлен ф(Х) можно считать однородным.
Некоторые условия, влекущие конечную базируемость тождеств векторных пространств
Цель настоящего параграфа - сформулировать и доказать некоторые условия, которые повлекут конечную базируемость тождеств произвольного ассоциативного векторного пространства. Эти результаты приведены в теоремах 1.13-1.15. Теорема 1.14 справедлива для произвольных (не обязательно ассоциативных) векторных пространств. Теорема 1.13. Векторное пространство V над полем F, вложенное в ассоциативно-коммутативную F-алгебру, имеет конечный базис тождеств.
Доказательство. Пусть R = F[X] - свободная ассоциативно-коммутативная алгебра с бесконечным множеством порождающих X над полем F. Обозначим через &х группу всех перестановок X. Группа &х естественным образом действует на Л и задает на R структуру левого модуля над групповым кольцом R[&x}. В работе [33] доказано, что любой идеал Л, замкнутый относительно действия Л[@х], конечно порожден как R[&x}-модуль. В частности, любой L-идеал тождеств векторного пространства, вложенного в ассоциативно-коммутативную алгебру, конечно порожден, как L-идеал.
Следствие 1.4. Любое одномерное ассоциативное векторное пространство имеет конечный базис тождеств.
Из этого следствия, а также из теорем 1.1, 1.2, 1.5 и предложения 1.4 следует, что минимальная из возможных размерностей НКБ-пространства, вложенного в ассоциативную алгебру, равна двум.
Теорема 1.14. Векторное пространство V над полем F, вложенное в произвольную {не обязательно ассоциативную) нильпотентную F-алгебру, имеет конечный базис тождеств.
Доказательство. Пусть V - векторное пространство над полем L, вложенное в нильпотентную (не обязательно ассоциативную) F-алгебру индекса к [7] и Wk(xi,X2, ж&) - множество всех полилинейных неассоциативных одночленов длины к от переменных xi, Х2, , Xk. Поскольку Wk С L(V), длина всех слов в алгебре F(X)/L(V) не превосходит к. Пусть / = f(xi, Х2, хп) = 0 произвольное тождество V. В силу леммы 1.2 его можно считать слабо однородным. Тогда, если п к, то, ввиду нильпотентности, все одночлены / будут нулевыми. Таким образом, если f(xi, Х2-, , Хп) = 0 тождество У, то п к. Тогда количество различных слов от букв х\, Х2, , хп конечно, а значит размерность F(X)/L(V) конечна и любой L-идеал этой алгебры конечно порожден. Следовательно, векторное пространство V имеет конечный базис тождеств.
Теорема 1.15. Пусть V - векторное пространство над полем F нулевой характеристики, вложенное в ассоциативную F-алгебру. Если V удовлетворяет одному из тождеств [x,y\z = 0 или х[у, z] = О, то оно имеет конечный базис тождеств.
Доказательство. Проведем доказательство для векторного пространства, удовлетворяющего тождеству x[y,z] = 0, поскольку доказательство для второго тождества проводится аналогично.
Пусть / = f(xi,X2,---,xn) = 0 произвольное тождество V. Если п К, то, ввиду представления ( ) и тождества [жі, Х2]хзХ4 ... хк = 0, многочлен / будет нулевым. Таким образом, п К. Кроме того, длина всех слов алгебры F[X]/L(V) не превосходит К, поскольку любой элемент F[X]/L(V) может быть представлен в виде линейной комбинации выражений вида [жі, Х2]хзХ4 ... xi = 0 и / К.
Но тогда количество различных полилинейных слов в алгебре F[X]/L(V) конечно, откуда следует, что алгебра F[X]/L(V) конечномерна. Это значит, что любой L-идеал этой алгебры конечно порожден, а следовательно, векторное пространство V имеет конечный базис тождеств. Отметим, что в случае поля нулевой характеристики предложение 1.1 и теорема являются следствием доказанной теоремы.
Тождества векторных пространств, вложенных в неассоциативные алгебры
На протяжении всей главы нами рассматривались векторные пространства, вложенные в ассоциативные алгебры, т. е. предполагалось, что в рассматриваемых пространствах выполнены все тождества ассоциативности вида (uv)w = u(vw), где u,v,w Є F(X). Все тождества этих пространств являлись элементами свободной ассоциативной алгебры [Х]. В настоящем параграфе рассматриваются векторные пространства, вложенные в произвольные, не обязательно ассоциативные алгебры. Основным результатом параграфа являются теоремы 1.16 и 1.17 о бесконечной базируемости тождеств классов векторных пространств, вложенных в ассоциативные алгебры, либо в алгебры Ли.
Теорема 1.16. Тождества L-многообразия А векторных пространств, вложенных в ассоциативные алгебры, не следуют из конечного набора тождеств, выполняющихся в этом L-многообразии.
Доказательство. Допустим напротив, что тождества L-многообразия А задаются конечным набором Н = {/її, /і2,..., hn}. Обозначим (ж, у, z) = (xy)z — x(yz) ассоциатор элементов ж, у, z и рассмотрим множества А = {(u,v,w)\ degu + deg-u + degw k}, где u, v, w - неассоциативные одночлены из F(X). Поскольку L(A) = L([J A&), то найдется такое число m, А; 3 что H С Ат, и, ввиду предположения, Ь(А) = L(Am). Пусть S = ( 2i, Й2, , (im+i)F – свободная ассоциативная алгебра от порождающих А = { 2i, Й2, ..., o-m+i}. Рассмотрим в алгебре S новое умножение, заданное на множестве одночленов правилом: U V = О, если degu 2, deg-u 2, degu + deg-u m, uv в остальных случаях, где под uv понимается произведение элементов и и v в S. Обозначим через Sx алгебру, порожденную относительно нового умножения множеством А = { 2i, 22, , Q"m+i}. Рассмотрим мультипликативную векторную пару (SX,L(A)), где L(A) - векторное пространство, порожденное множеством А. Ввиду определения умножения в алгебре Sx, все тождества множества Ат являются тождествами пары (Sx, L(A)). Так как L(A) = L(Am), то все тождества L-многообразия А должны выполняться в паре (SX,L(A)). Рассмотрим слова и = x\RX2... RXm_1, v = хт, w = xm+i из F(X). В L-многообразии А, а значит и в паре (Sx, L(A)) должно выполняться тождество (uv)w = u(vw). Сделаем подстановку переменных х\ — ai, Х2 — Q.2, , %m+i — о-т+1 в слова u, г , w. Тогда (uv)w = а\(і2 -CLm+i ф 0 в алгебре Sx. С другой стороны, u(vw) = О в алгебре Sx. Следовательно, тождество (uv)w = u(vw) не выполняется в паре (Sx, L(A)).
Связь тождеств векторных пространств с тождествами алгебр многообразия Полина
В данном параграфе в качестве следствий результатов 2.3 и 2.4 приведены примеры неассоциативных СББ-алгебр и СНКБ-алгебр.
Теорема 2.12. Пусть В = (l,fi,f2, ец5 Є12, G22-,P)F – алгебра над произвольным полем F, где 1 - единица и ненулевые произведения базисных элементов, отличных от единицы, определяются следующими правилами: ViCij = Vj, V2P = 1. Алгебра В является простой центральной СНКБ-алгеброй.
Доказательство. Поскольку В D А = V 0 Е1, любая алгебра R Є Сар(п), содержащая алгебру В в качестве подалгебры, будет содержать в качестве подалгебры алгебру А = V 0 Е. Тогда R - НКБ-алгебра по теореме 2.5.
Теорема 2.13. Пусть В = (1,г і,г 2, ль ei2, Є22,р) GF{q) – алгебра над конечным полем GF(q), где 1 - единица и ненулевые произведения базисных элементов, отличных от единицы, определяются следующими правилами: ViCij = Vj, V2P = 1. Алгебра В является простой центральной СББ-алгеброй.
Доказательство. Если R - конечная алгебра, содержащая В в качестве подалгебры, то она порождает локально конечное многообразие и A = V(BEGB(1R. В работе [8] доказано, что алгебра А порождает СББ-многообразие алгебр. Очевидно, что VarA С Var С Vari?, откуда следует, что многообразие, порожденное алгеброй R (а значит и сама алгебра R) не имеет конечного базиса тождеств.
Теорема 2.14. Пусть А = (г і,г 2, еш е12, 622) - алгебра над полем F нулевой характеристики, где 1 - единица и ненулевые произведения базисных элементов, отличных от единицы, определяются следующими правилами: Vieij = eijVi = Vj, V2P = PV2 = 1. Алгебра С является коммутативной СНКБ-алгеброй.
Доказательство. Проведя рассуждения аналогичные доказательству предложения 2.4, можно показать, что любая алгебра R такая, что VarA С Vari? С Сар(п) не имеет конечного базиса тождеств.
Теорема 2.15. Пусть С = (1,г і,г 2, 6ц, Є12, G22-,P)F – алгебра над полем F нулевой характеристики, где 1 - единица и ненулевые произведения базисных элементов, отличных от единицы, определяются следующими правилами: ViCij = e Vi = Vj, V2P = PV2 = 1. Алгебра С является простой центральной коммутативной СНКБ-алгеброй.
Доказательство. Поскольку С D А = (г і, г 2, еш ei2, G22)F, любая алгебра Л Є Сар(п), содержащая алгебру С в качестве подалгебры, будет содержать в качестве подалгебры алгебру А. Тогда R будет являться НКБ-алгеброй ввиду теоремы 2.14.
Пример центральной простой коммутативной конечномерной алгебры, не имеющей конечного базиса тождеств
После положительного решения проблемы И. П. Шестакова возник естественный вопрос: решается ли положительно аналогичная проблема для коммутативных алгебр, т. е. существует ли пример центральной простой коммутативной конечномерной алгебры над полем нулевой характеристики, тождества которой не задаются конечным набором. В данном параграфе этот вопрос также решен положительно. Необходимый пример приведен в следующей теореме.
Теорема 2.11. Пусть С = (1,г і,г 2, ец5 Є12, G22-,P)F – алгебра над полем F нулевой характеристики, где 1 - единица и ненулевые произведения базисных элементов, отличных от единицы, определяются следующими правилами: ViCij = e Vi = Vj, V2P = PV2 = 1. Алгебра С является простой центральной коммутативной F-алгеброй, не имеющей конечного базиса тождеств.
Перед доказательством теоремы сформулируем и докажем ряд вспомогательных утверждений.
Пусть F - поле нулевой характеристики и А = (г і,г 2, еіь еі2, 622) -алгебра, ненулевые произведения базисных элементов которой определяются правилами: е = e Vi = Vj. Несложно проверить, что А Є .
Поскольку dim_pС = 7, то тождество / = 0 выполняется в алгебре С. Покажем, что оно не следует из множества Gk.
Пусть Y = {it i,it 2, ,W8, Ui,v,2,... lUk+i} - множество букв и W = (Y)p - алгебра многообразия ( с определяющими соотношениями vWiWj = 0, vWiUixUi2.. -UisWj = 0 (s к + 2, щ щ), viijUj = vUjUi, vu\ = vui, где v - произвольное (возможно, пустое) правонормированное слово, состоящее из букв множества Y. Проверим, что все тождества множества Gk выполняются в алгебре W.
Для тождества xy[z t][u v] = 0 это легко проверяется, если заметить, что, ввиду соотношения (xy)(uv) = 0, вместо переменных Z, t, U, V можно подставлять только буквы множества Y.
Рассмотрим тождество х[у, z\t\t2 .tm[u,v] — t\[y, z]xt2 tm[u,v] = 0 для некоторого фиксированного т 1. Обозначим для краткости Us = и лщ2 .. .Uis, где 1 i\ %2 is к + 4 и Vy - некоторое ненулевое правонормированное слово от букв множества Y.
Заметим, что все слова, входящие в тождество x[y,z]tit2--m[u,v] — ti[y, z]xt2 tm[u,v] = 0, равны нулю, если нарушаются условия хотя бы одного из следующих замечаний:
1) только вместо одной из переменных ж, у, z, t\ можно подставлять слова длины большей 1;
2) вместо переменных t2,ts, ,tk можно подставлять только буквы Mi
3) слова длины большей 1 могут иметь только один следующих пяти видов: Un, wrVYWs, и)гУу\]т, U]VYWS, UiVyUm, где 1 l,m к + 4, 2 n /c + 4, l r, s 8;
4) вместо одной из переменных u,v нужно подставить Wi, а вместо другой - Uj.
Если подставить слово длины большей 1 вместо ж, то, ввиду тождества (xy)(uv) = 0, все слова в правой части тождества равны нулю, а в каждом слове левой части будет присутствовать подслово VYWrUmws, т к + 2, т. е. все слова левой части будут равны нулю. Аналогично рассматривается случай, когда слово длиной большей 1 подставляется вместо переменной t\.
![Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0](/i/i/4467/317899.png "Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0 Ваулин Андрей Николаевич")
