Введение к работе
Актуальность темь В теории групп известно большое число результатов о разрешимости уравнений в группах (см.например [9-12]). С другой стороны, в теории алгебр Ли проблема разрешимости уравнений в алгебрах Ли мало разработана, и в ддгагой работе получены одшї из первых результатов в этом направлении. В диссертации рассматривается покоторые вопросы, связашшо о разрешимостью системы уравнений Ч = О в свободной алгебро Ли и свойства ассоциированной с системой алгебры Ли А (Т) Также в ней изучаются некоторые классы алгебр Ли, близких к свободным (алгебры Ли, аппрокенглируемые и о) -аппроксимируемые свободными, 3 -свободные алгебры Ли, парасвободнио алгебры Ли).
А.А'.Разборов [із] показал, что множество всех решений системы ^ «= І уравнений в свободной группе взаимно однозначно соответствует некоторому множеству гомоморфизмов группы
От (У), ассоциированной с этой системой. Разреліимость системы
if = I оказалась связанной со свойством аппроксимируемости группы G (^) свободными группами. Аппроксимируемость группы свободными группами изучалась Б.Баумслагом [і4], в частности, игл установлены .связи медду свойствами аппроксимируемости и
со -аппроксимируемости (вполне аппроксимируемости) группы свободными группами, построены примера несвободных групп, которые
ь) -аппроксимируются свободными . В.Н.Ремесленников [15], продолшт изучение класса групп, аппроксимируемых свободными группами, доказал, что конечно-порожденная группа
W -аппроксимируется свободными группами тогда и только тогда, когда она 3 -свободная, то есть ее 3 -теория совпадает с 3 -теорией свободной неабелевой группы, кроме того, в [15] указаны примеры несвободных 3 -свободных групп. Аналогичные проблемы рассматриваются в диссертации для алгебр Ли, з частности, вычисляются ранги некоторых боскоэффкциэнтных уравнеїшй в свободных алгебрах Ли, устанавливаются условия, при которых алгебра Ли, аппроксимируемая свободными алгебрами Ли, будет и) -аппроксимироваться свободными, изучаются 3 -теории алгебр Ли (метабелевых алгебр Ли) и их связи со свойством
W -аппроксимируемости свободными алгебрами Ли (свободными метабелевыми алгебрами Ли). Также построен пример уразнегаїя
і=0 в свободной алгебре Ли, для которого ассоциированная ал-
гебра Ли A (f ) является несвободной, СО -аппроксимируемой свободными алгебрами Ли, кроме того, A ("f ) - 3 -свободна.
В работах [20, 2і] Г.Баумслаг ввел понятие парасвободной группы и построил некоторые примеры парасвободных несвободных групп, в частности, такой парасвободной группы G , для которой фактор-группа & /G является свободной метабелевой группой. В диссертации изучаются парасвободные алгебры Ли, в частности, доказан результат о парасвободности свободного произведения парасвободных алгебр Ли, построена счетная серия парасвободных несвободных алгебр Ли.
Поль таботь;. Целью работы является изучение некоторых проблем, связанных с разрешимостью систем уравнений в свободных алгебрах Ли, исследование свойств алгебры Ли, ассоциированной с системой уравнений. Кроме того, рассматриваются связи моаду свойствами аппроксимируемости и СО -аппроксимируемости ачгебры Ли свободными алгебрами Ли, отношения между классами 3 -свободных алгебр Ли и СО -аппроксимируемых свободными алгебр Ли. Также в диссертации проведено исследование парасвободных алгебр Ли.
Методика исследования» Основные методы исследования восходят к методам, разработанным А.И.Ширшовым при изучении свободных алгебр Ли. Доказательства основных утверждений и свойств построенных алгебраических объектов используют результаты теории свободных алгебр Ли и теории относительно свободных алгебр Ли многообразий нильпотентных и метабелевых алгебр Ли. В частности, применяются результаты А.И.Ширшова: о вложении свободной алгебры Ли со счетным множеством свободных порождающих в свободную алгебру Ли о двумя свободными порожда-щимп [з], теорема о свободе подалгебр свободной алгебры Ли [2]; результаты о композиции, введенной в [4], изложенные в [5]. Кроме того, результаты о базах свободных метабелевых апгобр Ли [6], о примитивных элементах в свободной алгебре Ли [7], о вложении свободных метабелевых алгебр Ли в сплетения [В]. В работе также применяются некоторые методы теории моделей.
Научнач новизна. Всо основные результаты диссертации яв-лтотся новыми. Они получены автором за период с 1988 по 1992 г.
Теоретическая и практическая пешюоть. Работа нооит теоретический характер. Ее результаты и методы исследований могут найти применение в дальнейших исследованиях проблем, связанных с разрешимостью систем уравнений в свободных алгзб-рах Ли, использоваться при алгебраическом описании класса 3 -свободных алгебр Ли. Также работа дает маториачы для учебных специальных курсов по теории алгебр Ли, близких к свободным.
Апробация работн. Результаты, изложенные в диссертации, неоднократно докладывались на алгебраическом семинаре Омского государствеїшого университета, на международной конференции по алгебре (Барнаул, 1991 г.), на семинаре "Алгебра и логика" Новосибирского государственного университета, а такяе в Институте Математики СО РАН.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликовали в пяти работах автора, список которых приведен в конце азто-рефератас
Структура работы. Текст диссертации состоит из введения, восьми параграфов и списка цитируемой литературы, содерскщего 28 наименований. Работа изложена на 74 отршпщах машинописного текста.