Введение к работе
Актуальность ТЄІИ. Регулярные кольца были введены в рассмотрение Джоном фон Нойманом в середине тридцатых годов для координатизации структур подпространств проективных геометрий, а также для изучения структур.проекций определенных алгебр операторов гильбертовых пространств.. Позже выяснилось, " что ' регулярные кольца связаны с очень многими кольцами операторов; Более того, когда были введены другие алгебраические 'обобщения колец операторов, такие как *-Бэровскйе кольца и риккартовы алгебры, обнаружились связи регулярных колец с этими понятиями. В' соответствии с этим первый втап развития теории регулярных ко-,лец тесно связан с функциональным анализом, с различными кольцами операторов и'с теорией структур с .дополнениями. Это ' направление в.теориирегулярных колец перспективно и сегодня, хотя уже и не является главным и определяющим. . '
В основном в этот-первый период развития рассматривались' .регулярные кольца ограниченного индекса нильпотентности,' в' частности,, строго регулярные кольца и коммутативные регулярные кольца; В та же время с самого' "рождения" регулярных'колец было 'заменено, что очень многие теорема могут быть.доказаны в - большей общности, для всех- регулярных -колец. Постепенно общекольцевой подход к регулярным кольцам приобретал'все большую популярность и, хотя в вышедших около 1960 года монографиях ' Д.НоЗмана' (изданной по еле его смерти),. И.Капланского' и Л.А.Скорнякова подход к регулярным'кольцам как к кольцам операторов преобладал, -в них фактически были подведены.итоги первого этапа разви-. тия в теории регулярных колец и намечены путидальнейших исследований.' Особенно сказанное относится к'книге Льва Анатольевича Скорнякова,' в.которой приведен'обширный список 'открытых проб- .
.-4- . - "
лем, связанных прежде всего с внутренним строением регулярных колец. Можно сказать, что'этот список явился также программой дальнейших исследований.
В следующий период развития, который можно условно назвать теоретико-кольцевым, было введено множество условий конечности, такие как.прямая конечность, обратимая регулярность, конечность индекса нильпотентности и другие. Для расчленения регулярных колец на "хорошие" подклассы такие условия необходимы, так как многие другие условия- конечности слишком сильны здесь: так, например, регулярное кольцо с конечной размерностью Голди является классически полупростым.' '
Кроме того, было найдено множество важных характеризаций регулярных колец. Чудесным образом регулярные кольца описывают--ся, например, как кольца, над которыми каждый (правый) .модуль-.является плоским. Было написано множество, работ, ставших' уже классическими', по поводу регулярности колец частных-. Таким образом - как полные правые кольца частных антисингулярных полупервичных колец - возникают регулярные, самоинъективные кольца. Этот подкласс регулярных колец вызывает особый интерес. Он был' достаточно хорошо исследован, в частности, разбит на подклассы самоинъективных регулярных колец типов I, II и III, на прямо конечные"и чисто бесконечные кольца, подобно тому,.как это было ранее сделано для AW -алгебр.
Приблизительно к концу семидесятых годов был накоплен богатый теоретикб-кольцеЕой материал по регулярным кольцам и решены многие из открытых .проблем,, сформулированных-в .монографии Льва Анатольевича Скорняко^а, упоминавшейся выше. В 1979 году Гудерлом была написана новая, последняя на настоящий момент монография по регулярным, кольцам (если не-считать'ее переиздания ь 1991 году): В ней фактически подведены, итоги второго периода
развития теории регулярных колец и сформулирован новый список открытых проблем. Разумеется, не только вопросы, затронутые в этом списке, являются предметом исследований в регулярных кольцах. Верно и то, что для большинства из упомянутых проблем в настоящее время может быть предложена новая редакция, более общая и точная. Тем не менее, не будет преувеличением сказать, что эти открытые вопросы явились удачной программой развития и в настоящий момент именно они определяют основные направления развития теории регулярных колец. На настоящий момент примерно половина - около 25 - этих проблем решено. Автору приятно отметить, что семь из них решены им (некоторые из этих результатов независимо и приблизительно одновременно решены другими исследователями) и опубликованные разными авторами решения еще, как минимум, шести вопросов использует его исследования или конструкции. Эти результаты и составляют содержание настоящей диссертации.
Целью работы является изучение различных условий конечности в регулярных кольцах. Как уже отмечалось, для структуризации теории регулярных колец были введены и исследованы в разные годы разными авторами такие понятия, как прямая конечность, обратимая регулярность, конечность индекса нильпотентности кольца -или всех его примитивных гомоморфных образов, резидуально' арти-новы кольца. Все перечисленные условия можно трактовать как определенные условия конечности на регулярных кольцах. Большинство результатов диссертации касается проблем, связанных с такими условиями. Это не означает, что изучались только конечные в каком-либо смысле кольца: вернее будет сказать, что не столько сами исследования, сколько постановка вопросов, затронутых в диссертации, связана непосредственно с условиями конечности в регулярных кольцах.
Структура И объем диссертации. Диссертация состоит из введения, нулевого параграфа, содержащего базовые результаты, по регулярным кольцам, и пяти глав, разбитых каждая соответственно на 3,2,3,2,3 параграфов, и списка литературы. Полный объем диссертации 244 страницы. Библиография включает 81 наименование.