Значения мультикососимметрических полиномов на простых алгебрах Ли и алгебрах матриц Кагарманов, Альберт Аксанович

Введение к работе

Актуальность темы. Мультикососимметрические полиномы, т.е. такие полиномы f(x\,..., _mjt), все тк переменных которого можно разбить на к групп по т переменным таких, что /() кососимметричен по каждой такой группе переменных, возникают естественно в различных исследованиях тождественных соотношений простых алгебр. Следуя обозначениям Ю.П.Размыслова, полиномы такого типа мы будем называть полиномами R_mik- Частный (и наиболее важный) случай мультикососпмметрического полинома - стандартный полином

st_m(yi,...,у_т)= J2 (%*(i) у*м

получается при к = 1. Для ассоциативной алгебры пхп матриц хорошо известна теорема Амицура-Левицкого, о том что в М_п выполняется стандартное тождество степени 2п и не выполняется стандартное тождество степени 2п — 1. В современных терминах принято говорить, что минимальная степень стандартного толсдества на М_п равна 2п.

Известно,что простая ассоциативная алгебра Ац с тождеством после тензорного умножения на некоторое расширение К основного поля К является алгеброй М_п(К) всех пхп матриц некоторого порядка п над полем К:

А == КА М_п(К). (1)

Простые алгебры Ли с тождествами пока не имеют явного описания. До 1976г. даже существовала гипотеза, что

все они конечномерны. Первым контрпримером к этой гипотезе оказалась алгебра Ли W„(K) всех дифференцирований алгебры многочленов _п = К\х\,... ,х_п] от п коммутирующих переменных. Мы также будем рассматривать алгебру Ли W_n всех дифференцирований алгебры степенных рядов ІГ[[жі,...,а;_п]]. Независимо Е.Н.Суменковым, А.А.Кирилловым, Длс.Бергманом, Ю.П.Размысловым было показано, что в W_n выполняется тождество

Stl_n2+2_n+i(lJi, . . . ,2/„г+2п+Г)Уо) = = Y1 (tf)fa0iJ/«(l)>--->2/ff(n*+2n+l)] =0,

которое можно переписать как стандартное тождество степени п² + 2п -+ 1 на adW_n:

Stl_n2_+2n+i{^{yi), ,ad(y_n2_+2n+i)) = 0 .

В настоящее время существует гипотеза о том, что простая алгебра Ли с толсдеством является алгеброй Ли картановско-го типа, т.е. такой алгеброй G, что для некоторого расширения К центроида Z алгебры Q в К -алгебре

д == кд (2)

содерлштся собственная /{"-подалгебра Ли конечной коразмерности ¹. При этом известно ², что алгебры картановско-го типа вкладываются в W_n, которая тоже проста и содер-лсит единственную подалгебру коразмерности п, и считается (особенно это заметно на соответствии формул (1) и (2)),

'Размыслов 10.П. Тождества алгебр и их представлений. - М: Наука,1989. ²Cartan Е. Les groups de irnsformaiion continue, infinis, simpes. //Ann. Sci. Ecole Norm. - 1905. - V.26. - P. 93-161.

что в теории простых алгебр Ли с тождеством W_n играет ту же роль, что и М_п в теории простых ассоциативных PI-алгебр, а именно, и та, и другая является универсальным простым объектом, содержащим произвольную простую алгебру в своем классе ^ї.

Вопрос о минимальном стандартном тождестве на W_n не решен до сих пор. В настоящее время существует гипотеза, что для полей нулевой характеристики эта степень равна п² + 2п +1. Используя нетривиальные вычисления в супералгебре Ли типа W_n, автору удалось подтверить эту гипотезу для п = 2.

В изучении алгебр с тождеством большую роль играют центральные полиномы, т.е. такие полиномы, которые, будучи нетождеством алгебры, принимают значения в центре алгебры. Усилиями ряда авторов (В.Н.Латышев, А.Л.Шмелькин, Э.Форманек, Ю.П.Размыслов) решена проблема Капланского о существовании центрального полинома для полной матричной алгебры М_п(К).

Известно, что центральные полиномы для простых конечномерных ассоциативных и лиевых алгебр А можно искать среди полиномов типа R_mik {т = dim^A < оо). В этом направлении в диссертации показано существование центрального полинома мультикососимметрического вида для полной матричной алгебры над полем произвольной характеристики и для присоединенного представления простых классических алгебр Ли над полем ненулевой характеристики.

Важную информацию содержат значения мультикососим-метрических полиномов вида i?_m^- для т = п² + In и в исследованиях алгебры W_n. Кроме уже вышеупомянутой гипоте-

зы о том, что минимальная степень стандартного тождества на W_n равна п² + 2п + 1, т.е. 5/„2₊₂п Є ДіЧ2п,і таков, что

St_n^₊2n \adW„7^ 05 ПОЛИНОМЫ ИЗ -R„2₊2n,Jt Над ПОЛЯМИ Нулевой

характеристики содержат полином, восстанавливающий из W_n — derE_n само кольцо функций Е_п (мы считаем, что Е_п действует на W_n слева, посредством умножения на функцию, а поэтому Е_п Є End[_n). Здесь автору удалось получить результат об отсутствии такого полинома для алгебры W\ над полем характеристики 2.

Цель диссертационной работы. Исследование значений мультикососимметрических полиномов на простых алгебрах Ли и матричных алгебрах. Существование центральных полиномов присоединенных представлений и матричной алгебры над полями положительной характеристики. Нахождение минимальной степени стандартного тождества алгебры Ли Wi двумерных векторных полей над полями произвольной характеристики. Существование полиномов, позволяющих восстанавливать коммутативную алгебру бесконечно дифференцируемых функций гладкого n-мерного многообразия по алгебре Ли его векторных полей.

Методы исследования. В работе используются методы теории PJ-алгебр и алгебр Ли с тождеством, а-функция Размыслова, диаграммы Юнга, теория представлений простых классических групп, алгебра Грассмана.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1) Построен центральный полином мультикососимметри-ческого вида для полной матричной алгебры над полем не-

нулевой характеристики.

1. Построен центральный полином мультпкососимметри-ческого вида для присоединенного представления простых классических алгебр Ли над полем ненулевой характеристики.

2. Найдена минимальная степень стандартного полинома для алгебры Ли двумерных векторных полей.

3. Доказано, что не существует полилинейного восстановления коммутативной алгебры функций гладкого одномерного многообразия по алгебре Ли его векторных полей над полем характеристики 2.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть полезны для специалистов, занимающихся тождествами алгебр и их представлений, а также структурной теорией алгебр.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференции по алгебре в Новосибирске (1989г.), на 19-ой Всесоюзной алгебраической конференции во Львове (1987г.), на семинаре по теории колец в МГУ (1997г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Текст диссертации изложен на 89 страницах. Список литературы содержит 23 наименования.