Содержание к диссертации
Введение
Глава I Задача дробно-линейного программирования
I. Постановка и основная экономическая интерпретация задачи дробно-линейного программирования II
2. Основные определения и теоремы дробно-линейного программирования 17
Глава 2 Двойственность в дробно-линейном программировании
I. Построение двойственной задачи 24
2. Основные георемы двойственности 29
3. Исследование влияния изменений условий задачи дробно- линейного программирования на оптимум целевой функции 48
4. Интерпретация двойственных переменных дробно-линейно го программирования как экономических оценок ресурсов и продукции в планово-экономических задачах 61
Глава 3 Разработка алгоритмов для решения задач дробно-линейного - программирования
I. О втором алгоритме метода последовательного улучшения плана 70
2. О методе последовательного уточнения оценок 81
3. Метод последовательного сокращения невязок 82
Глава 4 Использование разработанных алгоритмов при определении оптимальной структуры территориально-производственных комплексов
I. Моделирование формирования и развития территориально-производственных комплексов 94-
2. К проблеме выбора наилучшего варианта комплексного использования ресурсов Иссык-Кульской области и районов Чуйской долины Киргизской ССР 96
Заключение 107
Литература
- Основные определения и теоремы дробно-линейного программирования
- Исследование влияния изменений условий задачи дробно- линейного программирования на оптимум целевой функции
- Интерпретация двойственных переменных дробно-линейно го программирования как экономических оценок ресурсов и продукции в планово-экономических задачах
- Моделирование формирования и развития территориально-производственных комплексов
Введение к работе
Планирование производства, управление системами и проектирование техники на основе экстремальных принципов экономит время, ресурсы и труд, повышает качество решения экономических и технических задач.
Теоретические основы и методы решения задач планирования, управления и проектирования разрабатываются в сравнительно новой математической дисциплине, получившей название математического программирования. За последние 15-20 лет возник и начал формироваться новый раздел этой дисциплины - дробно-линейное программирование (ДЛП), ставшее необходимым инструментом при решении многих оптимизационных задач с удельными показателями качества.
Появление и развитие теории ДЛП обусловлено необходимостью системного подхода к анализу функционирования социалистической экономики. Так, обратимся за примером к отраслевому планированию. Отраслевое планирование - это та область, в которой в течение последнего десятилетия интенсивно развиваются теоретические исследования и оптимизационные расчеты, связанные с применением экономико-математических методов и вычислительной техники. Тем не менее, многие отрасли, в частности сезонные производства, связанные с переработкой сельскохозяйственного сырья, остаются до сих пор слабо разработанными как в теоретическом, так и в практическом отношении. Это объясняется спецификой сезонных производств. При планировании и управлении сезонного производства возникает проблема согласования и оптимизации работы сельскохозяйственной отрасли, выращивающей и поставляющей сырье, автомобильного и железнодорожного транспорта, перевозящего сырье, и пищевой промышленности, перерабатывающей его. К тому лее, обычно, в сезонных производствах объем производства конечной продукции нельзя фик 5 сировать, так как он сам является искомой величиной. Поэтому в сезонных производствах наряду с абсолютными критериями оптимальности типа "максимум прибыли", "максимум объема конечной продукции" целесообразно применять удельные критерии оптимальности типа "минимум удельной себестоимости продукции",, "минимум удельных приведенных затрат", "максимум уровня рентабельности".
Также и в перспективном планировании для многих отраслей производства недостаточен критерий "минимум приведенных затрат" при заданном объеме конечной продукции. Действительно, при такой постановке задач из расчета выпадают те варианты плана, в которых сравнительно небольшое приращение приведенных затрат дает сравнительно большое приращение конечной продукции.
О важности применения удельных экономических показателей в планировании промышленности говорится в "Основных направлениях экономического и социального развития СССР на I98I-I985 годы и на период до 1990 года": "Считать увеличение производства и повышение качества товаров для населения первостепенной задачей всех отраслей промышленности, всех предприятий и организаций, предметом особой заботы всех партийных, советских и хозяйственных органов.
Для решения этих задач: ... повысить рентабельность, снизить себестоимость промышленной продукции".
Именно с позиций удельных экономических показателей позволяет теория ДЛП подходить к проблеме оптимизации функционирования народного хозяйства, его отраслей и предприятий.
Первые статьи, посвященные рассмотрению задач дробно-линейного программирования и разработке методов их решения, появились в начале 60-х годов. В I960 году была опубликована работа [7б], в которой ее автор -JUcMltos Jj. - рассмотрел задачу "гиперболического программирования" и показал, что для решения этой задачи может быть использован "слегка модифицированный" симплексный метод. Работа [76] положила начало развитию нового раздела математического программирования, получившего в середине 60-х годов название дробно-линейного программирования. Вслед за этой статьей в 1962 году появилась работа CkcLdnesJI. и СооренЖЩъ , в которой был предложен метод решения задачи ДЛП с ограниченной областью допустимых планов. Метод обеспечивает получение решения путем решения одной задачи линейного программирования (ЛП). Эта задача формируется в результате добавления одной переменной и одного ограничения. В том же 1962 году Ъоап, W.S.в [59J доказал, что любой локальный минимум задачи ДЛИ является в то же время глобальным, и указал способ нахождения решения задачи путем решения серии соответствующих линейных задач. При использовании метода решение задачи ДЛП заме няется решением последовательности линейных задач с исходными ограничениями, но с разными целевыми функциями.
Названные работы обозначили три основных подхода к решению задач дробно-линейного программирования:
- обобщение методов линейного программирования на случай дробно-линейной целевой функции [5І, [гз], [24] , [25], [2б], [30] , [76].
- сведение исходной задачи путем нелинейной замены переменных к задаче ЛП [го] ,[2l] ,[22],[54].
- декомпозиционные методы [б], [7], [8], [9], [Ю], [її], [Зі], [34], [36] , [38J , [43], [44], [45] ,[46], [50] , [5Ї] , [53], [57], [58], [59], [61] , [71], [77], [80] , [81], [82], [83] , [85] , [8б], [88], [94], [95] .
Следует отметить, что для решения специальных задач ДЛП, имеющих фиксированную структуру ограничений (транспортная задача, распределительная задача, задача блочного ДЛП и т.п.) наиболее предпочтительным является первый подход, так как использование двух других приводит к изменению системы ограничений исходной задачи, а это значительно затрудняет или вообще делает невозможным использование специальных алгоритмов, учитывающих специфику ограничений.
Первая отечественная работа [ЗО], в которой рассмотрена за-дача дробно-линейного программирования и предложен метод ее решения, принадлежит Шварцману А.П. Эта работа увидела свет в 1965 году.
Полученные в вышеупомянутых и других работах результаты по теории дробно-линейного программирования были позднее обобщены и во многом развиты в монографии Чернова Ю.П. и Ланге Э.Г. [2б]. В [2б] рассмотрены методы решения непосредственно задачи ДЛП и других задач нелинейного программирования с дробной целевой функцией без сведения их к задаче линейного программирования или к другим соответствующим задачам математического программирования. Наоборот, линейное, выпуклое, вогнутое и параметрическое линейное программирование рассмотрены в [2б] как частные случаи дробно-линейного, дробно-выпуклого, дробно-вогнутого и параметрического дробно-линейного программирования соответственно.
Перечисленные и другие работы по ДЛП быстро получили широкую известность и породили многочисленные исследования в этой области. Среди многих работ, внесших весомый вклад в дело разработки эффективных методов решения как общих, так и специальных задач дробно-линейного программирования и дробного программирования вообще следует в первую очередь отметить [б],[ю] ,[п]э[20] ,[2l], [2Z], [31], [36] , [Щ , Щ , [52],[54], [57] , [58], [бб], [бб], Щ, [80] , [81], [82], [83], [86], [88].
Развитие дробно-линейного программирования шло и идет, естественно, не только по пути разработки вычислительных методов. Ведь численное решение любой экстремальной задачи должно базироваться на соответствующем математическом аппарате. Таким аппара 8 том (так же, как, в частности, и в линейном программировании) стала в дробно-линейном программировании теория двойственности, согласно которой данной экстремальной задаче ставится в соответствие тесно связанная с ней двойственная задача.
Первой работой, посвященной теории двойственности в дробном программировании, является статья ІІ4-] советского математика Гольштейна Е.Г. В этой статье автор описал общую схему формирования двойственных задач для функциональных аналогов задач выпуклого и дробно-выпуклого программирования и сформулировал ряд утверждений, составляющих основу теории двойственности для этих задач. Предложенная в [14] схема составления двойственной задачи имеет аналитический характер и обобщает подход, изложенный в [12], для конечномерных задач выпуклого программирования. Результаты работы [т] были впоследствии развиты в [15[ и [17]. Указанные работы Гольштейна Е.Г. определили одно из направлений в исследовании вопроса о двойственности в дробном программировании, которое характеризуется использованием терминов, связанных с задачей об отыскании седловой точки дробной функции Лагранжа. Реализация этого направления, как будет показано ниже, может дать весьма полезные в теоретическом и практическом отношении результаты.
Первая зарубежная работа [9і] по теории двойственности в дробно-линейном программировании появилась почти одновременно с [I4-], а именно в 1967 году. Автор ее, индийский математик5і Ш// л! показал, что теоремы двойственности, сформулированные и доказанные (см., напр., [65], [72] ,[95] и др.) для задач нелинейного программирования, могут быть распространены на случай, когда целевая функция экстремальной задачи имеет дробно-линейный вид и достигает своего оптимума в конечной точке допустимого множества. При построении двойственной задачи $\х/ ъ&сср К апеллировал к функции Лаграюка, имеющей обычную (не дробную) структуру. Используемая в [9l] формулировка двойственной задачи имеет несколько схематичный характер и не очень удобна для практических применений. Вероятно именно поэтому данная формулировка двойственной задачи дробно-линейного программирования не получила широкого распространения.
Качественно иной подход к вопросу о двойственности в дробно-линейном программировании предложен в работе [55], авторы -Cd&veibD. и ПопА Ь. - которой показали, что для частного случая задачи ДЛП двойственная к ней может быть сформулирована также в виде задачи дробно-линейного программирования, В [48], [49]»[б2],[б8], [78] ,[79] ,[87] ,[91] ,[9г1 аналогичная (имеющая дробный вид) формулировка двойственной задачи получена для других частных случаев задачи ДЛП.
Наибольшее распространение получил другой подход, при котором исходная задача ДЛП с помощью нелинейной замены переменных преобразуется в линейную задачу [39],[40]-[45],[53],[55],[бб], [б7],[74],[75],[80]-(85]. Это объясняется тем, что такой подход к рассмотрению задачи дробно-линейного программирования позволяет пользоваться хорошо разработанным аппаратом линейного программирования. Однако при этом теряется один из важнейших результатов теории двойственности - практический смысл двойственных оценок.
Настоящая работа также посвящена двойственности в дробно-линейном программировании и ее приложениям. Целью работы является:
1. реализация общей идеи [14] (использование дробной функции Ла-гранжа) для случая задачи ДЛП;
2. использование результатов пункта I при разработке теоретических основ алгоритмов решения задач ДЛП и при проведении экономических исследований.
Работа состоит из четырех глав.
Глава I имеет вводный характер, в ней даются общая постановка задачи ДЛП, ее основная экономическая интерпретация и излагаются некоторые основные положения дробно-линейного программирования.
Распространению принципа двойственности на задачи ДЛП посвящена вся вторая глава. Здесь приводится построение двойственной задачи, формулируются и доказываются основные теоремы двойственности, исследуется влияние изменений условий задачи ДМ на оптимум целевой функции, дается экономическая интерпретация двойственных переменных.
Третья и четвертая главы настоящей работы отведены под приложения теории двойственности, развитой в главе 2. В третьей главе рассмотрен круг вопросов, связанных с использованием принципов двойственности при разработке эффективных методов решения задач дробно-линейного программирования. Экономическим приложениям теории двойственности отведена четвертая глава. Здесь, в частности, сформулирована проблема определения наиболее эффективного варианта комплексного использования материальных, трудовых и природных ресурсов Иссык-Кульской области и районов Чуйской долины Киргизской ССР, построена ее экономико-математическая модель (в виде задачи ДЛП) и предложена схема решения этой проблемы.
Известно, что задача линейного программирования может быть получена как частный случай задачи дробно-линейного программирования. В связи с этим изложение материала в данной работе проводится таким образом, что ее можно рассматривать как попытку обобщения теории линейного программирования на случай, когда целевая функция задачи имеет дробную структуру.
В работе принята автономная для каждого параграфа нумерация формул и утверждений. Номер формулы или утверждения (теоремы, лем-мы, следствия) состоит из двух чисел: первое число указывает номер параграфа, второе - порядковый номер формулы или утверждения в параграфе. При ссылках на формулы или утверждения из других глав в тексте дополнительно указывается номер главы. При написании настоящей работы автор опирался на результаты исследований, приведенных ранее в [2R3bW,[28],[29].
Основные определения и теоремы дробно-линейного программирования
Этот параграф носит вспомогательный характер и содержит некоторые важные сведения из теории дробно-линейного программирования. Здесь приводятся основные определения и свойства задач ДЛП, необходимые для дальнейшего изложения.
Рассмотрим следующую задачу ДЛП: Будем предполагать, что система условий (2.2), (2.3) непротиворечива. В таком случае, как известно, совокупность точек ос , удовлетворяющих соотношениям (2.2), (2.3), является выпуклым многогранным множеством ([32]).
При анализе задач дробно-линейного программирования допустимые планы, соответствующие вершинам многогранного множества условий, играют особую роль. Поэтому совокупность таких планов обычно выделяют.
План ос =-fajCczy..;осп)задачи (2.1)-(2.3) называют ОПОРНЫМ, если среди соотношений (2.2)-(2.3), которым он удовлетворяет как точным равенствам, имеется /г- линейно независимых.
Поскольку понятие опорного плана эквивалентно понятию вершины многогранного множества, определяемого условиями (2.2)-(2.3), то ч \ ясно, что число опорных планов задачи дробно-линейного программирования всегда конечно. В случае, когда область допустимых планов оказывается ограниченной, т.е. представляет собой выпуклый много гранник, любой план задачи является выпуклой линейной комбинацией ее опорных планов.
Поскольку задачи линейного и дробно-линейного программирования отличаются лишь видом целевых функций, а области допустимых планов в обеих задачах задаются линейными ограничениями, то известная по линейному программированию теорема о существовании опорного плана (см., напр.,[32], гл.2, теорема 4.1) справедлива и для задач ДЛП.
Теорема 2.1 (георема о существовании опорного плана). Если множество планов задачи (2.1)-(2.3) непусто, то среди ее планов имеется хотя бы один опорный.
Пусть эс ..., - полная совокупность опорных планов задачи (2.1)-(2.3); &,, &г ----, направляющие векторы всех неограниченных ребер многогранного множества S допустимых планов. В гаком случае согласно известной теореме о представлении многогранных множеств (см., иапр.,[зз], гл.З, теорема 2.10) об-ласть Я задачи (2.1)-(2.3) совпадает с совокупностью точек х вида
Неразрешимость задачи дробно-линейного программирования может быть обусловлена либо несовместностью системы условий задачи {=0), либо неограниченностью (сверху или снизу, в зависимости от постановки задачи) целевой функции задачи на множестве ее планов. Приводимая ниже теорема показывает, чго других причин, определяющих неразрешимость задачи ДЛП, не существует.
Теорема 2.2 (теорема о разрешимости задачи ДЛП). Если множество планов задачи ДЛП (2.1)-(2.3) непусто и целевая функция Q-(&) задачи ограничена сверху на этом множестве, го рассматриваемая задача разрешима, т.е. обладает хотя бы одним оптимальным планом. Доказательство. Поскольку множество планов задачи непусто, то оно является многогранным множеством и совпадает с совокупностью точек а:" вида (2.4).
Пусть ее - произвольный план рассматриваемой задачи (2.1)-(2.3). В силу соотношения (2.4) эта точка может быть представлена в виде суммы эс х +ос«; (2.5) где 3 =2 3 и x/ Pi i , а функция Qtfa) - в виде ( ", )+(с; рЛ0"ї Рассмотрим два случая: І» (с" (Іі)ФО , для всех і , 1=4,2,...,кг ; 2. (с"?Я) = о , для некоторого 4 , 4
Случай I. Прежде всего отметим, что согласно [зо] дробно-линейная функция Qfo) изменяется монотонно на любом луче, на котором ее знаменатель не обращается в нуль. Запишем частную производную функции (2.6) по д
Исследование влияния изменений условий задачи дробно- линейного программирования на оптимум целевой функции
Как уже ранее отмечалось, задача дробно-линейного программирования имеет реальный экономический смысл. В качестве основного примера может служить описанная в главе I задача о составлении такого плана производства продукции п, наименований, при котором достигался бы наивысший уровень рентабельности.
Очень часто органу, управляющему экономическим объектом, требуется отвечать на возникающие в практике вопросы о целесообразности замены некоторого количества одного производственного ресурса на некоторое количество другого ресурса или об изменении плана выпуска некоторых видов продукции при одновременном изменении запасов производственных ресурсов и т.д. В связи с этим для приложений немалый интерес может представлять вопрос об изменении оптимального значения целевой функции задачи ДЛП в зависимости от изменений условий задачи.
Следует отметить, что анализу чувствительности решения задачи ДЛП к вариации условий уже уделено немалое внимание в таких работах, как [35], [37] ,[43] ,[44] ,[47] ,[93] и др. Однако некоторые вопросы этого анализа все еще не освещены или мало изучены.
Так, например, при анализе решения задачи линейного программирования обычно используются двойственные переменные, которые могут быть интерпретированы как оценки влияния изменений правых частей ограничений вида на оптимум целевой функции (см., напр.,[зз_], гл.З, теорема 7.7). В связи с этим представляется полезным выяснение вопроса о том, являются ли двойственные переменные ДЛП аналогичными оценками или нет.
Решению этого вопроса и посвящен настоящий параграф, в котором исследуется влияние вариаций вектора ограничений »=$ 4 -,4 т на оптимум целевой функции задачи дробно-линейного программирования.
При рассмотрении атой задачи будем предполагать, что в области 0 , определяемой ограничениями (3.3), знаменатель / (х-) целе-вой функции U(ос.) нигде не обращается в нуль (в практических задачах эго имеет место). Тогда ввиду непрерывности, линейная функция Lz(x ) будет в области 0 сохранять знак и можно считать (относя, если нужно, знак "минус" к числителю), что /"2-ґх) 0 всюду в 0 .
Как известно ([30], [34-7), оптимум целевой функции задачи ДЛП может достигаться как в вершине многогранного множества допустимых планов, так и в бесконечно удаленной точке, принадлежащей неограниченному ребру этого множесгва. /&г/г-(#- УіМаЗіьалііГ. . в [43 ] и [44] показали, что в последнем случае некоторое изменение компонент вектора ограничений і (в пределах, определяемых стабильностью базиса) не влияет на оптимальное значение целевой функции Q(x) . Поэтому при исследовании влияния изменений вектора ограничений задачи (3.1)-(3.3) на оптимум ее целевой функции можно ограничиться рассмотрением лишь того случая, когда оптимум целевой функции этой задачи достигается в вершине многогранного множества S .
Пусть вектор сс =(х}гх$;...,эг)- невырожденный оптимальный план задачи (3.1)-(3.3). Без ограничения общности рассуждений можно считать, что отличными от нуля являются первые т компонент ВеКТОра "X . ТОГДа веКТОры УСЛОВИЙ Jt -(лу;йг],...,вги;)Т i/ -vW j линейно независимы и любой m -мерный вектор /=(,с(2 ...,dm)Tпредставим в виде их линейной комбинации А І=с(
Теорема 3.1. Если задача (Л$) имеет хотя бы один невырожденный оптимальный план я; " и векторы ограничений и d задач (JgJ и (Дс[)соответственно удовлетворяют условию (3.8), то задача (Jlj) разрешима и к.-мерный вектор ос/ , базисные компоненты сс6- , t= f,2,...,/r), которого определяются по формуле (3.5), является ее оптимальным планом, причем имеет место соотношение (3.19).
Предположим теперь, что вектор of имеет следующий вид: и для векторов и of выполняется условие (3.8). Тогда, учитывая равенство 0.(ъ )=-у} , из (3.19) получим
Это равенство показывает, что двойственные переменные ДЛП нельзя трактовать как оценки влияния изменений вектора ограничений на оптимум целевой функции Q(x) в том виде, как это делается в линейном программировании. Тем не менее, доказанная теорема позволяет определить изменение оптимального значения функции при достаточно малых (ограниченных условием (3.8)) изменениях компонент вектора ограничений $
Наметим теперь общую схему возможного использования полученного теоретического результата при решении народнохозяйственных проблем, приводящих к задачам дробно-линейного программирования.
Пусть, например, требуется оптимизировать деятельность некоторого предприятия, производящего продукцию п наименований и использующего в процессе производства гп видов ресурсов, имеющиеся запасы которых составляютSi?iZj--w единиц соответственно. Считаем, что математическая модель этого производства может быть представлена в виде задачи ДЛП (3.1)-(3.3), целевая функция которой выражает уровень рентабельности этого предприятия при производстве продукции по плану ге= гл.а,.../ . Здесь величины ее,- , y=/,2,..v/&, выражают плановый объем выпуска продукта /-го вида. Естественно, работу этого предприятия надо организовать гак, чтобы уровень рентабельности его был наивысшим из возможных.
Предположим теперь, что существует возможность некоторого изменения запасов производственных ресурсов. В такой ситуации возникают вопросы: "Стоит ли изменять запасы ресурсов? Если да, то запасы каких ресурсов следует изменить и на сколько единиц?" Иными словами, возникает задача определения таких векторов d и ее1 , которые доставляли бы наибольшее значение целевой функции Q(x)задачи (3.1)-(3.3).
Для решения возникшей задачи обратимся к формуле (3.19). Если учитывать соотношение (3.5), то формулу (3.19) можно рассматривать как запись сложной функции Q(x (of)) , в которой первое слагаемое, у/, есть величина постоянная, а второе (обозначим его через l(o() ) является дробно-линейной функцией переменных 4 4...,я , т.е.
Интерпретация двойственных переменных дробно-линейно го программирования как экономических оценок ресурсов и продукции в планово-экономических задачах
В этом параграфе будет продолжено начатов в 2 исследование экономического смысла компонент оптимального плана двойственной задачи ДЛП. Хотя этому уже уделялось внимание в работах [27], [39], [70], [73], [80], тем не менее отсутствие четкой экономической интерпретации двойственных оценок ДЛП делает желательным вновь обратиться к этому вопросу.
Изложение материала построим следующим образом. Вначале рассмотрим задачу об оптимизации производственной деятельности некоторого предприятия в рамках линейного программирования. Затем ту же задачу сформулируем в виде задачи ДЛП. Такая структура изложения позволит провести параллель между экономическим смыслом двойственных оценок ДЛП и ЛП и дать их сравнительную характеристику.
Основным звеном народного хозяйства, его первичным хозяйственно-самостоятельным элементом является производственное предприятие. В современных условиях, условиях экономики развитого социализма, необходимость научно обоснованного подхода к планированию производственной деятельности предприятий становится особенно актуальной. Как известно, основой планирования деятельности и развития предприятия является пятилетний план, который разрабатывается вышестоящей инстанцией и разбивается по годам, кварталам и т.д. Однако планирующий орган обычно может лишь приближенно определить план отдельного предприятия, так как часто он не точно знает все параметры, характеризующие его технологические возможности. Поэтому показатели, полученные в процессе планирования, рассматриваются как ориентировочные, подлежащие уточнению. В связи с этим возникает необходимость определения таких откорректированных планов отдельных предприятий, которые максимально способствовали бы достижению цели социалистического производства. Решение комплекса вопросов, возникающих при этом, в большинстве случаев нецелесообразно осуществлять целиком на верхних уровнях. Желательно, чтобы каждое предприятие само определяло в рамках представленной ему хозяйственной самостоятельности наиболее выгодный для него вариант плана. При этом предприятие должно стимулироваться к эконом ному и более эффективному использованию ресурсов и к выпуску необходимых объемов тех видов продукции, которые наиболее нужны народному хозяйству и обществу в целом. Для того, чтобы обеспечить такое стимулирование, можно каждому предприятию дать возможность, наряду с выполнением плана производства продукции, максимизировать свою прибыль.
Эффективное средство для достижения таких целей дает теория линейного программирования, в рамках которого задача о максимизации прибыли некоторого предприятия может быть сформулирована следующим образом. Предположим, что вышестоящий планирующий орган предложил некоторому предприятию произвести в заданных объемах /t видов продукции. Считаем, что необходимые производственные ресурсы имеются в распоряжении предприятия в достаточном количестве, т.е. план, спущенный сверху, технологически выполним. Требуется определить такой вектор ъ-Схихгг...,т:Л% /-я компонента которого показывает объем производства продукции У-го вида, который придает наибольшее значение функции прибыли
Здесь через с!.- обозначена прибыль, получаемая предприятием от реализации единицы продукции у -го вида; с - некоторая условно-постоянная прибыль, не зависящая от плана производства. Кроме того вектор ос должен удовлетворять требованиям по объемам производства продукции отдельно по видам (заданные потребности должны быть удовлетворены), а также учитывать тот факт, что объемы необходимых производству ресурсов ограничены. Напомним важнейшие экономические выводы о взаимной связи двойственных оценок с использованием ресурсов и удовлетворением потребностей в продукции. Если оценка некоторой продукции строго положительна, то оптимальный план производства таков, что заданная потребность в этой продукции удовлетворяется точно, т.е. по оптимальному плану не будет произведено ее излишнего количества; и наоборот, если некоторая продукция производится по оптимальному плану в количестве, превышающем заданную прибыль, то оценка этой продукции равна нулю. Если оценка некоторого ресурса строго положительна, то этот ресурс по оптимальному плану используется полностью; и наоборот, если некоторый ресурс по оптимальному плану используется не весь, то соответствующая ему двойственная оценка равна нулю. При этом оценку какого-либо вида продукции можно трактовать как величину увеличения прибыли при уменьшении заданной потребности в этой продукции на единицу. Таким образом, увеличение выпуска продукции, имеющей положительную оценку, невыгодно; выпуск "невыгодной" продукции желательно снизить. Аналогично оце» ку ресурса можно трактовать как величину увеличения прибыли при увеличении объема данного ресурса на единицу.
Использование двойственных оценок ЛП позволяет руководству предприятия разработать такие рекомендации по корректировке производственного плана, которые приводят к улучшению показателей, характеризующих производство (в данном случае - к увеличению прибыли). При этом увеличение прибыли происходит в результате вовлечения в производство дополнительных средств (увеличены объемы ресурсов) и сокращения объемов выпуска "невыгодной" продукции. Однако двойственные оценки ЛП не позволяют учесть влияние изменений объемов производства отдельных видов продукции и изменений объемов отдельных видов ресурсов на эффективность производства. Поэтому не исключена возможность того, что дополнительные средства, вовлеченные в производство, будут использованы в нем с меньшей эффективностью (это, естественно, повлечет за собой понижение эффективности производства в целом) и прирост прибыли будет достигнут за счет расширения производства.
Другой подход к проблеме оптимизации функционирования того же предприятия приводит к задаче дробно-линейного программирования и позволяет получить прирост прибыли в результате расширения производства, ведущего к повышению его эффективности.
Для математической формулировки этого подхода введем дополнительные обозначения. Пусть cj - затраты на производство единицы j -ой продукции, а с - условно-постоянные затраты, не зависящие от плана производства.
Моделирование формирования и развития территориально-производственных комплексов
Территориально-производственные комплексы как прогрессивная пространственная форма реализации целевых народнохозяйственных программ наиболее широкое распространение получили в последнее десятилетие. Создание ТПК - задача исключительных масштабов и сложности, но и эффект комплексы дают немалый. Они позволяют экономить трудовые ресурсы, сокращать объем капитальных вложений, комплексно и рационально использовать природные ресурсы, ускорять сроки создания отдельных объектов и получать быструю отдачу вложенных средств.
Современные ТІШ обладают сложной хозяйственной структурой. Основной естественный элемент этой структуры - природные ресурсы. Трудовые ресурсы, включающие все трудоспособное население, представляют собой главный активный элемент структуры ТПК. Существующий производственный аппарат, состоящий из производственных и транспортных объектов, инфраструктуры и других воспроизводимых элементов национального богатства, составляет наиболее динамичную часть общей структуры комплекса.
Развитие всех элементов, формирующих структуру ТПК во взаимной связи и обусловленности, подчиненное единому критерию оптимальности, согласованному с народнохозяйственным, является предметом оптимального планирования формирования и развития ТПК.
В настоящее время представления о возможности оптимизации ТПК связаны с построением системы взаимосвязанных моделей, которая в свою очередь являлась бы подсистемой более общей народнохозяйственной системы территориально-производственного планирования. При этом обычно выделяют два принципиально различных подхода.
При первом подходе задается общая народнохозяйственная потребность в тех видах продукции, на которых ТПК может специализироваться. Рассматриваются возможные пункты зз производства как в данном ТПК, так и за его пределами. По критерию минимума затрат выбирается наиболее эффективное сочетание производств, которое образует основу производственной структуры ТПК - отрасли специализации. Далее, исходя из этого, определяется набор комплексирую-щих производств, объектов инфраструктуры.
Другой подход предполагает, что задания на производство определенных видов продукции отсутствуют, считается известной только народнохозяйственная значимость отдельных ресурсов ТПК. Это и показатели экономии народнохозяйственных затрат от развития рассматриваемых производств в комплексе или оптимальные цены продукции, на производстве которой комплекс может специализироваться. По критерию, построенному на основе таких показателей, сравниваются все возможные варианты производственной структуры, т.е. отрасли специализации ТПК в сочетании с комплексирующими производствами.
В настоящее время принято считать, что наиболее приспособлен к существующей практике планирования первый подход. Таким образом в качестве основного критерия оптимизации принято требование минимизации затрат на создание и функционирование ТПК.
В то же время заслуживает внимания и другой подход к постановке подобных задач: при ограниченных ресурсах и удовлетворении заданных потребностей в каждом виде продукции определить суммарный объем выпуска продукции, обеспечивающий максимум продукции на единицу затрат. Действительно, при такой постановке задачи учитываются и те варианты плана, при которых сравнительно небольшое приращение затрат дает сравнительно большое приращение производства продукции. Кроме того, неопределенность объема выпускаемой продукции позволяет найти оптимальный план размещения производства вообще и на любое количество выпускаемой продукции.
При этом во всех случаях соответствие народнохозяйственному оптимуму достигается в результате того, что все основные параметры свободы решений, ограничения и условия принимаются по результатам решения задач на более высоком уровне системы оптимального территориально-производственного планирования.
