Содержание к диссертации
Введение
1 Моделирование резерва по долгосрочному страхованию 12
1.1 Общая характеристика резерва по долгосрочному страхованию 12
1.2 Учет инвестиционного дохода при моделировании страхового резерва 17
1.3 Модель с конечным числом состояний 23
1.4 Выводы по главе 34
2 Модель резерва по договору смешанного страхования жизни 37
2.1 Классическая модель резерва для договора смешанного страхования жизни 37
2.2 Модель резерва, учитывающая кусочно-постоянную зависимость интенсивности начисления процента от размера резерва 44
2.3 Модель резерва, учитывающая кусочно-постоянную зависимость интенсивности начисления процента от размера совокупного резерва 54
2.4 Линейная зависимость интенсивности начисления процента от размера резерва 58
2.5 Выводы по главе 66
3 Модель резерва по иным договорам долгосрочного страхования 68
3.1 Резерв по договору страхования потери доходов вследствие постоянной полной утраты трудоспособности з
3.2 Модель резерва по договору страхования полной постоянной потери трудоспособности при наличии кусочно-постоянной зависимости процентной ставки от размера инвестируемого капитала 74
3.3 Резерв по договору страхования потери доходов вследствие временной утраты трудоспособности 82
3.4 Резерв по договору страхования потери доходов вследствие временной утраты трудоспособности в случае кусочно-постоянной зависимости интенсивности начисления процента от размера инвестируемого капитала 87
3.5 Выводы по главе 95
Заключение 98
Список использованных источников
- Учет инвестиционного дохода при моделировании страхового резерва
- Модель резерва, учитывающая кусочно-постоянную зависимость интенсивности начисления процента от размера резерва
- Модель резерва по договору страхования полной постоянной потери трудоспособности при наличии кусочно-постоянной зависимости процентной ставки от размера инвестируемого капитала
- Резерв по договору страхования потери доходов вследствие временной утраты трудоспособности в случае кусочно-постоянной зависимости интенсивности начисления процента от размера инвестируемого капитала
Учет инвестиционного дохода при моделировании страхового резерва
Аккумуляция значительных денежных средств в страховом бизнесе делает страховые компании важнейшим инвестиционным институтом. Страховые организации имеют возможность размещать средства страховых резервов, а также собственные средства. Инвестиционная деятельность является важным источником доходов страховщика, имеет первостепенную важность для его коммерческого успеха, финансовых результатов и безопасности. Согласно классической точке зрения, при размещении собственных средств и страховых резервов страховая организация не должна быть склонна к риску, так как её первостепенной задачей является выполнение страховых обязательств, а инвестиционная деятельность страховщика является вторичной по отношению к страховой.
Размещению средств страховых резервов уделяется особое внимание, так как они обеспечивают выполнение обязательств страховой организации перед своими клиентами. Согласно закону [2] в Российской Федерации страховщик обязан инвестировать средства страховых резервов в соответствии с требованиями органа страхового надзора на условиях диверсификации (для снижения риска возможных потерь капитала или доходов от него инвестируемый капитал должен быть распределен между различными объектами вложений ); ликвидности (активы должны быстро и безущербно для их держателя обращаться в денежные средства); возвратности (риск потери актива должен быть сведен к минимуму), доходности (страховая организация должна иметь возможность получения дохода от инвестиционной деятельности).
Вторичность инвестиционной деятельности страховщика по отношению к страховым операциям определяет еще одно условие ее проведения — инвестирование страховых резервов и собственных свободных средств должно быть согласовано по объемам и времени с выполнением страховых операций.
Инвестирование может осуществляется страховыми организациями самостоятельно или путем передачи части средств в доверительное управление управляющей компании.
В России орган страхового надзора устанавливает перечень разрешенных для инвестирования активов, а также порядок инвестирования средств страховых резервов, предусматривающий в том числе требования к структуре активов, в которые допускается размещение средств страховых резервов [5]. Отобранные активы должны соответствовать объемам обязательств и срокам их выполнения. В международной практике также требуется соответствие активов валюте обязательств.
Учет возможного дохода от размещения средств страховых резервов важен при назначении тарифов для нового страхового продукта, при корректировке существующих тарифов, определении потребности в денежных средствах при проведении выплат, при резервировании. При этом важно учесть наибольшее количество возможных параметров, от которых может зависеть получаемый инвестиционный доход. Это повысит точность оценок, а, значит, уменьшит вероятность невыполнения страховой организацией своих обязательств и, как следствие, вероятность ее разорения.
В долгосрочном личном страховании при формировании резервов страховые организации обязаны учитывать возможный инвестиционный доход. Это обычно делается с помощью введения в расчеты нормы доходности, которая определяется в момент заключения договора и является неизменной в течение всего срока страхования. Однако на практике фактическая норма доходности, по которой размещается страховой резерв, как правило, существенно отличается от заложенной в расчеты. Последняя рассчитывается исходя из консервативных предположений, поэтому фактическая норма доходности в течение срока инвестирования оказывается, как правило, выше. Таким образом, реально получаемый инвестиционный доход оказывается больше предполагаемого. Этот дополнительный инвестиционный доход может быть использован страховой организацией для своих нужд или же распределен между договорами долгосрочного страхования, если они предполагают участие страхователей в прибыли страховщика. В последнем случае различают гарантированный инвестиционный доход (актуарная оценка изменения страховых резервов за период, рассчитанная с использованием нормы доходности, заложенной в условиях договора) и фактический инвестиционный доход (совокупность доходов, полученных от владения, пользования, распоряжения определенной группой активов страховщика, в том числе, от размещения средств страховых резервов, за вычетом инвестиционных расходов) [6].
Страховой организации для целей финансового менеджмента необходимо иметь возможность рассчитать значение страховых резервов на любой момент времени с учетом именно фактической нормы доходности [25]. Для решения этой задачи необходимо построить такую актуарную модель страхового резерва, которая позволила бы учесть влияние на его размер существенных факторов, в том числе — фактической нормы доходности. Тогда, если по оценке специалистов в какой-то момент времени норма доходности изменилась, страховой резерв как оценка обязательств тоже может быть пересчитан.
Модель резерва, учитывающая кусочно-постоянную зависимость интенсивности начисления процента от размера резерва
Страхование жизни — один из наиболее распространенных в мире видов страхования. Он предназначен для уменьшения неблагоприятных финансовых последствий, вызванных смертью застрахованного лица. Объектом страхования являются имущественные интересы, связанные с дожитием граждан до определенного момента времени, определенного возраста застрахованного или срока окончания договора, его смертью или с наступлением иных событий в жизни граждан [2].
В классических продуктах страхования жизни (страхование на случай смерти, страхование на дожитие, смешанное страхование жизни) устанавливаются фиксированные выплаты в обмен на единовременную или периодически уплачиваемую премию. При страховании на случай смерти страховое обеспечение выплачивается выгодоприобретателю, если застрахованное лицо умерло в течении срока действия договора страхования. При страховании на дожитие страховое обеспечение выплачивается (единовременно или в виде аннуитета) в случае, если застрахованное лицо доживает до момента указанного в договоре (как правило, до окончания договора). Смешанное страхование является комбинацией этих двух видов: обеспечение выплачивается выгодоприобретателю в случае смерти застрахованного лица в течение срока страхования и, возможно в другом размере, при его дожитии до окончания договора.
Рассмотрим договор смешанного страхования жизни для некоторого лица (возраста ж), при котором выплаты на случай смерти C\2(t), осуществляются непосредственно в момент смерти t; выплаты на случай дожития di(n): осуществляются в момент окончания договора п; нетто-премии выплачиваются непрерывно по t с интенсивностью р\ (t) в год пока застрахованное лицо живо;
Заметим, что договор страхования на случай смерти и договор страхования на дожитие можно представить как частный случай, положив равной нулю соответствующую выплату.
Такой договор описывается моделью с двумя состояниями (состояние 1 "застрахованное лицо живо "и состояние 2 "застрахованное лицо умерло") и единственным возможным переходом из первого состояния во второе (рис.2).
Обычно функцию интенсивности смертности по достижению возраста х + t при условии заключения договора страхования жизни в возрасте х обозначают fix(t). В актуарной математике и демографии существует несколько аналитических законов, описывающих изменение интенсивности смертности как функции возраста х. Ни один из них не является универсальным и полностью соответствующим практике. Для учета процентных ставок в непрерывной модели вводят функцию 5 — интенсивность начисления процента.
В случае независимости интенсивности начисления процента 5 от размера резерва V\{t) уравнение (14) является линейным дифференциальным уравнением первого порядка [13]. Его решение можно записать в виде f(S+ux(T))dT If - }(S+ux(s))ds \ Vl(t) = J[ d + y (рі(т)-с12(тК(т))е о dT\ (15) где С і — произвольная постоянная. Для ее нахождения нужно добавить какое-либо условие, определяющее размер резерва в конкретный момент времени. Так, воспользуемся принципом эквивалентности и положим резерв равным нулю в начальный момент времени. Следовательно, подставив t = 0 в (15), находим С\ = 0. Таким образом, выражение для размера резерва примет вид t t
Это уравнение позволяет выразить постоянную нетто-премию р\ через функцию страховых выплат и остальные параметры задачи:
Приведем далее несколько конкретных примеров, важных для анализа последующих результатов. В силу того, что выбор формы резерва (перспективная или ретроспективная) никак не повлияет на результат, будем использовать выражение (17). Предположим, что интенсивность смертности подчиняется закону Гомперца-Мейкема (9):
График резерва при п = 25 в случае независимости 2.2 Модель резерва, учитывающая кусочно-постоянную зависимость интенсивности начисления процента от размера резерва
Введение в существующие модели резервов по смешанному страхованию жизни кусочно-постоянной зависимости интенсивности начисления процента от инвестируемого капитала позволит проанализировать влияние использования шкал процентных ставок [11]. Рассмотрим для начала случай простейшей зависимости, при которой происходит лишь одно изменение интенсивности начисления процента. Результаты, представленные в этом параграфе, впервые были опубликованы автором в работе [16].
В начальный момент времени t = 0 значение нетто-резерва равно О, поэтому при малых t выполнено V\{t) VQ. Следовательно, первое время функция V\{t) удовлетворяет уравнению вида (14) с 5 = 5о. Решение этого уравнения задается формулой (17). В частности, ясно, что значение резерва растет и достигает критического значения Vo в некоторый момент времени to. Начиная с момента времени to7 V\{t) описывается уравнением вида (14) с 5 = 5\. Заметим, что от замены 5о на 5\ правая часть уравнения (14) увеличивается, т.е. увеличивается значение производной резерва. Иными словами
Модель резерва по договору страхования полной постоянной потери трудоспособности при наличии кусочно-постоянной зависимости процентной ставки от размера инвестируемого капитала
Несмотря на то, что законодательством предписывается расчет резерва отдельно по каждому договору страхования [4], инвестируется чаще всего совокупный резерв, сформированный для некоторого портфеля (набора) договоров. Таким образом, на практике чаще всего возникает зависимость интенсивности начисления процента не от размера резерва по каждому договору, а от совокупного резерва по всему портфелю. Для решения этой задачи необходимо рассмотрение всего набора как единого целого [21]. Полученные результаты впервые были опубликованы автором в работе [20].
Предположим, что шкала процентных ставок задается не уровнями резерва по отдельным договорам страхования, а совокупным резервом по всему портфелю договоров. В данном случае под портфелем договоров понимается совокупность отдельных договоров страхования жизни, при этом они могут различаться по некоторым параметрам (например, сроку действия договора, возрасту застрахованного, страховым суммам и т.д.).
В этом случае в модель вводится предположение о зависимости интенсивности начисления процента не от размера резерва по каждому договору, а от совокупного резерва по всему портфелю. Рассмотрим случай кусочно-постоянной зависимости такого типа с одним разрывом. Иными словами функция интенсивности начисления процента задается соотношением где V(t) = Vi(t) - совокупный резерв по портфелю из т договоров, г=1 Vi(t) размер резерва в момент времени t, сформированного по договору с номером г, VQ 0 - критический уровень резерва, 0 5Q 5\. Тогда изменение резерва, сформированного для договора с номером і, описывается дифференциальным уравнением Тиле с определенной выше интенсивностью начисления процента: Формулы для расчета величины резерва (как совокупного, так и по каждому отдельному договору) в этом случае будут подобны приведенным выше для случая одного договора страхования. Так, формула для каждого отдельного договора страхования будет иметь вид
Формула расчета совокупного резерва получается суммированием формул для отдельных договоров страхования.
Решение задачи учета кусочно-постоянной зависимости процентной ставки от размера совокупного резерва по всему портфелю договоров с произвольным числом разрывов может быть построено аналогичным образом.
Рассмотрим далее конкретный пример. Предположим, что портфель состоит из двух договоров смешанного страхования жизни: первый заключен с лицом в возрасте 30 лет на срок п\ = 15 лет, второй - с лицом в возрасте 40 лет на срок п = 10 лет. Пусть указанные договора заканчиваются в один момент времени. Положим, как и ранее, что премии p\{t) и выплаты
В этом случае премия для первого договора равна р\ = 0,042867 (на единицу страховой суммы), премия для второго договора р\ = 0,074872. Момент времени, в который совокупный резерв впервые достигает критического уровня, равен t = 5,603409 лет (с момента вступления в силу второго договора страхования). Графики резерва и его производной для первого договора представлены на рис. 10, для второго - на рис.11. График совокупного резерва представлены на рис. 12.
Каждый из приведенных графиков имеет излом в точке t = 5,603409 во временных единицах второго договора, соответствующей моменту достижения совокупным резервом величины в единицу страховой суммы. 0.15 0.14 0.13 О 0.12 i 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 резерв производная Рис. 11: Графики для второго договора где к: I — некоторые константы, к j 0. Так как о = 0, то в начальный момент времени 5 = 1. Далее, по мере увеличения размера нетто-резерва, интенсивность начисления процента также растет и достигает значения / + kdi(n) в конце срока договора. Подставим в уравнение (14) выражение (44).
Уравнение (45) является уравнением Риккати, которое в общем виде неразрешимо в элементарных функциях [13], однако при дополнительных предположениях, касающихся вида функций Pi(t)7 Ci2(), [Ax(t), решение может быть построено. Предположим, что Pi(t), C\2{t) — постоянны и интенсивности смертности подчиняется закону Гомперца-Мейкема (27)
Чтобы найти значение постоянной нетто-премии р\ в этом случае, необходимо решить уравнение Vi(0) = 0. Ясно, что перспективная и ретроспективная формы записи резерва будут совпадать.
Формула (46) вместе с константами (47) и (48) позволяет учесть при формировании резерва не только линейную зависимость интенсивности начисления процента от размера резерва, но и влияние на процентную ставку прочих факторов. Делается это также, как в рассмотренной ранее модели резерва по смешанному страхованию жизни, учитывающей кусочно-постоянную зависимость функции 5 от размера инвестируемых средств.
Приведем несколько примеров расчета резерва по договору смешанного страхования жизни, учитывающего линейную зависимость интенсивности начисления процента от размера резерва. Так, для п = 10 при значениях параметров
Резерв по договору страхования потери доходов вследствие временной утраты трудоспособности в случае кусочно-постоянной зависимости интенсивности начисления процента от размера инвестируемого капитала
Такие предположения отражают содержание наиболее типичного договора страхования на случай постоянной полной потери трудоспособности, дополнительные разовые выплаты, производимые в случае смерти здорового застрахованного лица и в случае наступления нетрудоспособности, используются в комбинированных страховых продуктах.
Заметим также, что в этом случае значение резерва, формируемого для здорового застрахованного лица, будет неположительно по соображениям, описанным выше.
Предположим, что функция интенсивности начисления процента 5 зависит от размера инвестируемого капитала, то есть от размера резерва Vi(t): сформированного по договору страхования на случай постоянной полной потери трудоспособности в момент времени t. Рассмотрим простейшую кусочно-постоянную зависимость, при которой происходит лишь одно изменение интенсивности начисления процента. Иными словами, функция
В каждый момент времени по каждому договору страхования формируется только один из резервов V\{t) и V2{t). Кроме того, если в некий момент времени происходит страховой случай, то резерв V\{t) по такому договору больше никогда не формируется. Значение резерва V\{t) по договору страхования на случай постоянной полной потери трудоспособности всегда отрицательно (если застрахованный риск находится в состоянии с номером 1, то страховые выплаты не производятся, а поступление премий происходит). Следовательно зависимость интенсивности начисления процента 5 от размера резерва V\{t) будет постоянной в течении всего срока страхования, иными словами 5 (Vi(t)) = бо. Если в некий момент времени застрахованный риск переходит в состояние с номером 2, то по такому договору начинает формироваться резерв V2{t). Его значение всегда неотрицательно (поступления премий не происходит, а выплаты производятся) и не возрастает. Таким образом, сначала функция интенсивности начисления процента принимает значение б\7 а затем, когда уровень резерва достигнет величины Vo, меняет значение на 8о.
Данное уравнение имеет решение Ш = (с\ - J (62(т) + с,а(т)Іі,3(т))е S,+KsMd dT J Ц6,+К Ш (58) при t toj где to - момент времени, в который значение резерва уменьшится до величины Vo- В момент времени to функция интенсивности начисления процента изменит свое значение, S (V2(t)) = о- При этом второе уравнение системы (57) снова окажется линейным дифференциальным уравнением первого порядка, чье решение может быть представлено в виде:
Для нахождения значения постоянной С2 можно воспользоваться соотношением V2(n) = 0. Тогда С2 = 0. Таким образом, после преобразований получим:
Соотношение V o) = Vo дает возможность вычисления значений постоянной С\ и момента времени to- Действительно, сначала в это соотношение подставим выражение для размера резерва при интенсивности начисления процента, принимающей значение So- Это уравнение относительно to, чье решение может быть найдено численно. Затем подставим выражение для размера резерва при интенсивности начисления процента, принимающей значение S\. Тогда получим уравнение относительно постоянной С\. Таким образом to т
Для нахождения интенсивности премии p\{t) необходимо воспользоваться принципом эквивалентности, то есть требованием о равенстве нулю резерва в начальный момент времени. Заметим, что построенные формулы для расчета резервов V\{t) и V ) дают возможность учесть зависимость интенсивности начисления процента не только от размера инвестируемого капитала, но и прочих факторов, не входящих в систему (57) в качестве параметров. В этом случае подстановка в систему дифференциальных уравнений Тиле функции 5: зависящей не только от размера резерва, не повлияет на вид решения, а значит формулы (66) и (63) будут пригодны для использования и в этой ситуации.
Рассмотрим далее пример расчета резерва по договору страхования постоянной полной потери трудоспособности. Предположим, что договор страхования был заключен с лицом в возрасте х = 40 лет на срок п = 10 лет. Пусть по условиям договора в случае наступления постоянной полной потери трудоспособности предусмотрена только выплата аннуитета с интенсивностью &2 = 1 (таким образом, с\2 = Сіз = С23 = 0). Пусть интенсивность начисления процента задается соотношением
Тогда можно показать, что премия по такому договору (при условии ее постоянства в течении всего срока действия договора) равна pi(t) = 0,007815. Момент времени, в который размер резерва V ) достигнет критического уровня, равен to = 6,660106.
Графики нетто-резервов, которые необходимо сформировать, в случае если застрахованное лицо здорово (V\(t)) и если наступила постоянная полная потеря трудоспособности(V )) при этом значении премии на интервале времени от 0 до 10 представлены на рис.21 и рис.22 соответственно.
Сравним классический резерв, построенный для постоянной функции интенсивности начисления процента, и резерв, построенный для случая кусочно-постоянной зависимости функции 5 от размера резерва.