Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Возможность реализации концепции жизненного цикла систем и объектов на основе параметрического подхода 38
1.1. Необходимость наличия количественных детерминант экономических систем и объектов для их параметрического моделирования .38
1.2. Параметрические модели ЖЦ в общей типологизации научных моделей 46
1.3. Параметрические модели ЖЦ экономических объектов как инструмент анализа действия факторов внешней среды 52
1.4. Многообразие форм и видов жизненных циклов экономических объектов 63
Выводы по Главе 1 70
Глава 2. Организация параметрического моделирования и прогнозирования жизненного цикла экономических объектов 72
2.1. Проблемы сбора и обработки данных для параметрического моделирования и прогнозирования ЖЦ 72
2.2. Процедуры моделирования ЖЦ экономических объектов 78
2.3. Критерии качества параметрических моделей ЖЦ .84
2.4. Критерии качества метода идентификации параметров нелинейных моделей ЖЦ 97
Выводы по Главе 2 .109
Глава 3. Методологические основы параметрического моделирования жизненного цикла 110
3.1. Описание общих подходов к идентификации параметров моделей ЖЦ 110
3.2. Метод идентификации параметров моделей ЖЦ с использованием приема перепараметризации и обобщенных моделей авторегрессии – скользящего среднего 117
3.3. Метод идентификации параметров моделей ЖЦ с использованием генетического алгоритма 130
3.4. Метод декомпозиции в решении задач параметризации моделей ЖЦ
3.4.1. Тренд-колебательная декомпозиция .139
3.4.2. Декомпозиция по этапам ЖЦ .154
3.5. Методика построения и использования для анализа интервальных прогнозов параметрических моделей ЖЦ 159
Выводы по Главе 3 170
Глава 4. Атлас моделей ЖЦ в параметрическом виде и методы идентификации их параметров .172
4.1. Модели ЖЦ на основе экспоненциально-степенной функции и их параметризация 172
4.2. Модели ЖЦ на основе дробно-степенной функции и их параметризация 177
4.3. Модели ЖЦ на основе произведения многочленов и экспоненциальной функции 185
4.4. Модели ЖЦ на основе экспоненциальных функций .208
4.5. Модели ЖЦ на основе дифференциалов логистических функций .
2 4.5.1. Симметричные модели ЖЦ c одинаковым темпом роста и спада 219
4.5.2. Асимметричные модели ЖЦ с разным темпом роста и спада .222
4.5.3. Обобщенная модель
2 4.6. Моделирование асимметрии симметричных колоколообразных моделей ЖЦ .235
4.7. Модели ЖЦ с аддитивным взаимодействием функций 238
4.8. Модели ЖЦ с мультипликативным взаимодействием функций 259
Выводы по Главе 4 263
Глава 5. Реализация методик моделирования и анализа ЖЦ на тестовых и реальных выборках 264
5.1. Основные характеристики разработанного программного комплекса идентификации моделей ЖЦ 264
5.2. Сравнения точности методов идентификации ЖЦ на примере логист в широких динамических диапазонах параметров, различной дисперсии помех и рекомендации по их выбору .274
5.3. Колоколообразные модели ЖЦД невозобновляемых ресурсов и их адаптация к реальной асимметрии траекторий 298
5.4. Моделирование ЖЦД невозобновляемых ресурсов колоколообразными трендами с колебательной компонентой 331
5.5. Моделирование ЖЦД невозобновляемых ресурсов обобщенной колоколообразной моделью .342
5.6. Определение интервала и горизонта достоверности прогнозов моделей ЖЦ .349
5.7. Мониторинг момента смены вида модели в течение периода ЖЦ .360
5.8. Приложения разработанного инструментария для моделирования ЖЦ отдельных товаров, товарных категорий и финансовых организаций 370
Выводы по Главе 5 381
Заключение .384
Список литературы
- Параметрические модели ЖЦ экономических объектов как инструмент анализа действия факторов внешней среды
- Критерии качества параметрических моделей ЖЦ
- Метод идентификации параметров моделей ЖЦ с использованием генетического алгоритма
- Модели ЖЦ на основе произведения многочленов и экспоненциальной функции
Параметрические модели ЖЦ экономических объектов как инструмент анализа действия факторов внешней среды
Как уже отмечалось во введении, понятие «жизненный цикл» применяют для описания динамики развития широкого класса различных систем и объектов. Под объектом, как и в классической философии, будем понимать нечто, существующее в реальности. Объектом может быть как отдельный элемент, так и система - множество взаимосвязанных элементов, находящихся в определенных отношениях и связях друг с другом, с внешней средой и образующих определенную целостность.
При описании жизненного цикла выделяют следующие существенные свойства объектов и систем: - значимые характеристики объектов и систем изменяются во времени; - объекты и системы проходят в своем развитии несколько последовательных стадий (этапов, фаз), переход к каждой из которых характеризуется определенным качественным и количественным изменением их показателей.
Общими параметрами жизненного цикла различных объектов являются: 1) наличие момента появления объекта; 2) определенный временной промежуток существования объекта; 3) определенный временной промежуток существования каждой фазы или этапа развития объекта; 4) наличие определенного порядка чередования фаз или этапов развития, с характерными нелинейными изменениями количественных и качественных показателей состояния объекта в каждой фазе; 5) существование момента, после которого развитие объекта имеет две альтернативы: прекращения его существования (ухода, умирания) или продолжение развития с новой динамикой изменения его количественных и качественных показателей (по существу - формирование нового цикла). Жизненный цикл системы (System Lifecycle - SLC) и объекта можно определить как множество ее (или его) закономерных изменений во времени от момента возникновения (появления) системы (объекта) до момента ее (или его) исчезновения (ухода).
Экономические системы, как частный вид систем, по критерию выделения их основных функциональных областей можно условно разделить на три основных типа [128]: - социально-экономические системы (СЭС); - технико-экономические системы (ТЭС); - биолого-экономические системы (БЭС). СЭС - это целостная совокупность взаимосвязанных и взаимодействующих социальных и экономических институтов (субъектов) и отношений по поводу распределения и потребления материальных и нематериальных ресурсов, производства, распределения, обмена и потребления товаров и услуг. ТЭС - целостная совокупность взаимосвязанных и взаимодействующих технических и экономических институтов (субъектов) и отношений по поводу производства материальных и нематериальных ресурсов, товаров и услуг. БЭС - это целостная совокупность взаимосвязанных и взаимодействующих экономических институтов (субъектов) и биологических ресурсов, используемых в производстве товаров и услуг. Текущее состояние и динамика развития каждой из перечисленных систем могут быть во многих случаях описаны количественными показателями. Наибольший практический интерес в экономике представляют: - для СЭС - жизненные циклы отдельных отраслей, организаций, работников организаций, индивидов и домохозяйств; - для ТЭС - жизненные циклы существования на рынке отдельных технологий, материальных ресурсов всех видов (полезных ископаемых и т. п.), отдельных продуктов и услуг; - для БЭС - жизненные циклы биологических ресурсов всех видов (численность популяций животных, динамика рыбных, лесных и прочих биоресурсов). Отметим, что все указанные выше типы экономических систем являются сложными, динамическими (изменяющимися во времени), открытыми (активно взаимодействуют со своей естественной внешней средой), вероятностными (их поведение описывается не полностью, а с определенной степенью вероятности, т. к. принципиально невозможно в каждый данный момент получить абсолютно точные сведения о всех процессах, которые в этот момент в ней происходят, а тем более в деталях предвидеть будущее).
В [57] приведены и примеры применения концепции жизненного цикла для социокультурных систем (СКС). «Социокультурный» – термин, используемый в социальной антропологии и культурологии в качестве альтернативы терминам «социальная система» и «культурная система».
СКС – это целостная совокупность взаимосвязанных и взаимодействующих социальных и культурных аспектов явления или процесса. Развитие многих СКС также проходит последовательные этапы, которые словесно можно описать терминами «рождение», «рост», «зрелость» и «умирание». Под жизненным циклом СКС (объекта или явления), как и для экономической системы, понимается период от ее зарождения до гибели.
Концепция жизненного цикла СКС предполагает описание динамики развития ее социокультурных детерминант. Однако, в отличие от экономических систем, детерминанты СКС являются качественными характеристиками ее социокультурного пространства, описывая ее свойства и признаки в динамике их изменения во времени, в то время как жизненные циклы экономических систем содержат описание их количественных характеристик – объемов продаж, добычи и т. п. в натуральных показателях, выручки или прибыли в денежных единицах.
Модели жизненного цикла СКС, в отличие от СЭС, ТЭС и БЭС, обычно являются качественными и содержат список и последовательность фаз (этапов) их развития. Из-за природы определяющего их качественного показателя число фаз жизненного цикла СКС субъективно назначается исследователем и, следовательно, число фаз и их длительность из-за отсутствия четких количественных критериев может колебаться в весьма широких пределах. Исследователей СКС обычно интересуют качественные характеристики каждой фазы и механизм чередования фаз, а исследователей экономических систем – количественные характеристики моделируемых показателей, присущих каждой фазе.
Критерии качества параметрических моделей ЖЦ
В числителе формулы (2.3.6) для расчета R стоит сумма квадратов отклонений, которая интерпретируется как мера остаточного, не объясненного моделью, разброса. Знаменатель дроби является мерой общего рассеивания Yk относительно линии математического ожидания М[У ]. Коэффициент детерминации является безразмерной мерой, позволяющей определить, в какой степени найденная модель дает лучший результат для объяснения исследуемой динамики, чем горизонтальная прямая M[Yk], соответствующая стационарности показателя. Коэффициент детерминации R является наиболее популярным в эконометрическом моделировании, т. к. имеет очевидные достоинства: он легко вычисляется, интуи 88 тивно понятен и имеет четкую интерпретацию из-за нормированного диапазона (его значения в общем случае лежат в диапазоне от нуля до единицы (от 0% до 100%)). Чем ближе коэффициент детерминации модели к 1 (или к 100%), тем точнее модель. Если, например, мы получим в результате моделирования, что R2 =0,83, то это означает, что предложенная модель объясняет 83% имеющихся реальных данных. Нижним допустимым пределом точности модели, оцениваемым коэффициентом детерминации, обычно считают 70-75%, а модели с коэффициентом R2 0,9 (более 90%) принято считать высокоточными.
Однако использование коэффициента детерминации порождает и ряд проблем: - R всегда увеличивается при усложнении модели, что может создать у исследователя стимул необоснованно ее усложнять; - при оценке качества моделей временных рядов динамики значение R зачастую достигает значения 0,9 и выше (или значения R для разных моделей очень близки), в результате чего выбор лучшей модели на основании данного коэффициента является трудновыполнимой задачей; - при отсутствии постоянного слагаемого в модели ряда, неверном выборе структуры модели ряда, значительных вычислительных ошибках в процессе идентификации R может принимать и отрицательные значения [16]. Тем не менее, указанные выше достоинства коэффициента детерминации заставляют отдать ему предпочтение вместо более сложных, требующих наличия длинных выборок, тестов Ф. Диболда, Р. Мариано и В. Ендерса [168, 174].
Точность получаемых моделей является необходимым, но не единственным требованием, предъявляемым к результатам моделирования. Другим, и зачастую более важным для практических приложений, критерием качества модели, являются ее прогностические способности - точность получаемых с помощью модели прогнозов (forecasting). Модель обычно предназначена для построения прогнозов и, в конечном итоге, для обоснования и принятия управленческих и маркетинговых решений. Важной характеристикой прогноза является горизонт прогноза, или время упреждения прогноза, - отрезок времени от момента, для которого имеются последние статистические данные об изучаемом объекте, до момента, к которому относится прогноз.
Прогнозы связаны с используемым при моделировании ЖЦ периодом дискретизации и обычно классифицируются по будущим временным горизонтам, которые они описывают. В большинстве научных литературных источников дается следующая классификация прогнозов (при использовании ежемесячных наблюдений): - краткосрочный прогноз: охватывает период до одного года, но обычно в пределах трех месяцев. Он используется для планирования закупок, распределения работ, определения потребности в рабочей силе и объемов производства; - среднесрочный прогноз: охватывает обычно период от одного года до трех лет и используется в планировании тенденции сбыта, распределении бюджета между новыми разработками и производством, прогнозе развития территорий; - долгосрочный прогноз: обычно на три года и более и используется при планировании новых товаров, оценке новых инвестиционных проектов, строительстве новых производств или логистических терминалов и т. д.
Следует заметить, что такая классификация может быть справедлива лишь для наличия ежемесячных или более часто наблюдаемых моделируемых экономических показателей. Оправдано предложить и иной взгляд на определение долгосрочности прогноза. Говорить о горизонте прогноза необходимо только с учетом свойств самого объекта прогнозирования, а точнее, исходя из характеристик его инерционности [68]. Например, прогноз на один месяц котировок акций на бирже из-за сильной изменчивости внешней среды будет считаться среднесрочным прогнозом, а для мировой экономики прогноз на один месяц практически ничто.
Под инерционностью понимается способность объекта сохранять прежнюю динамику его характеристик в течение некоторого промежутка времени при сохранении или незначительном изменении действия на него внешних факторов, выявленных в момент составления прогноза. Период времени, в течение которого объект продолжает развиваться по инерции, можно назвать периодом инерционности. Прогнозист при составлении прогнозов социально-экономических процес 90 сов должен оценить способность прогнозируемого объекта сохранять присущую ему динамику и, исходя из этого, сформулировать временной критерий долго-срочности прогноза. Исходя из этого, можно дать иные определения прогнозов с точки зрения их долгосрочности: - краткосрочный прогноз - это прогноз на такой промежуток времени, который мал по отношению к периоду инерционности и за этот промежуток времени особых изменений в тенденциях развития объекта прогнозирования произойти не может; - среднесрочный прогноз прогноз на промежуток времени, соизмеримый с периодом инерционности объекта прогнозирования. Для правильного среднесрочного прогнозирования важно правильно выявить и смоделировать динамику развития объекта; - долгосрочный прогноз - прогноз, выполняемый на период времени, значительно превышающий период инерционности. При долгосрочном прогнозировании на динамику объекта могут оказать существенное влияние факторы, о существовании которых в момент составления прогноза может быть неизвестно, или сила влияния, которых на объект точно спрогнозирована быть не может. В этом случае, как правило, рассматривают несколько вариантов развития объекта и факторов внешней среды, используя, дополнительно к фактографическим, и экспертные методы прогнозирования.
Параметрические модели ЖЦ из-за имеющейся периодичности наблюдений моделируемого показателя являются дискретными, и горизонт прогноза измеряется не в натуральных величинах (год, месяц, неделя), а в количестве периодов дискретизации.
В большинстве учебников и научных работ среднесрочные или долгосрочные прогнозы на основе трендовых моделей для стационарной динамики рекомендуется назначать на период не больше 1/3 интервала наблюдения (выборки), но для эволюционирующих временных рядов (а именно такими являются ряды динамики показателей жизненного цикла) такой горизонт прогноза может быть абсурдным: прогнозировать, например, фазу спада (этап упадка) ЖЦ по фазам роста и насыщения не представляется возможным. Необходимо уточнить понятие допустимого горизонта для среднесрочных и долгосрочных прогнозов по моделям ЖЦ. Метод экстраполяции предполагает распространение тенденций, сложившихся в прошлом, на будущее в силу инерционности экономического объекта. Таким образом, имеет смысл говорить о горизонте прогноза только отдельно, для каждой текущей фазы ЖЦ. Действительно, до начала следующей фазы ЖЦ в модели, построенной по временному ряду наблюдений прошлых фаз, никакой информации о смене имеющейся тенденции нет.
Метод идентификации параметров моделей ЖЦ с использованием генетического алгоритма
Можно сделать вывод о том, что четвертый способ сложнее изложенных ранее, но обладает принципиально новой возможностью: определять точечные и интервальные значения параметров и определяемого показателя модели ЖЦ при реальной (или, во всяком случае, близкой к ней) мощности помехи. Он также позволяет выходить за границы прогнозной части выборки.
Отдельно отметим, что в настоящее время отсутствуют общепринятые методики построения доверительных интервалов для тренд-колебательных процессов. Если мы предполагаем модель ЖЦ с сезонной компонентой, то интервальные оценки тем или иным из указанных способов мы сможем получить только для трендовой компоненты, а учет сезонности для целей оперативного прогнозирования придется проводить отдельно. Это приведет к расширению доверительного интервала прогноза минимум на величину амплитуды сезонной компоненты для стратегического прогнозирования (уровень насыщения в ЖЦ и т. п.). Для оперативного прогнозирования тренд-колебательной динамики моделируемй детерминанты ЖЦ (прогноз продаж, добычи и т.п) в конкретный момент времени корректно определить доверительный интервал не представляется возможным.
Построенный (по методике настоящего раздела) доверительный интервал для прогнозирования до момента времени (горизонта прогноза) /, можно исполь 169 зовать для ряда практически важных аналитических исследований идентифицированной модели ЖЦ.
Знание доверительного интервала для модели ЖЦ позволяет: 1) анализировать изменения значения критерия точности в функции горизонта прогноза; 2) перемещая точку щ разделения исходной выборки на рабочую и контрольную по имеющейся выборке, приняв при этом один и тот же горизонт прогноза, рассчитать среднее значение критериев точности прогноза именно для этого горизонта прогноза. Такое исследование позволит оценить среднюю текущую точность выбранного критерия точности прогноза при задаваемом горизонте прогноза по длине выборки; 3) определить, каким может быть горизонт прогноза для каждой точки ЖЦ, чтобы не вывести ординату горизонта прогноза из доверительного интервала для конкретной точки. Или, иными словами, до какой точки можно экстраполировать модель, оперируя данными идентифицированной модели, полученными до данной определенной точки щ, не выходя из доверительного интервала; 4) для мониторинга (контроля) эволюции идентифицированной принятой конкретной модели ЖЦ с определением в этом случае допустимого горизонта прогноза; 5) для выявления момента смены моделей при использовании нескольких моделей - «мультимодельного анализа» - анализа, при котором имеющаяся выборка наблюдений детерминанты ЖЦ подвергается поэтапному анализу на предмет определения лучшей по выбранным критериям качества модели.
Проведем оценку горизонта достоверного прогноза модели, построенной на данных, известных до момента времени щ (рисунок 2.3.1). Для этого рассмотрим все моменты времени к после точки (на интервале наблюдений щ+\ к 1).
Пусть для какого-то горизонта прогноза М. прогноз, построенный на данных до точки щ, лежит внутри доверительного интервала, построенного по опи 170 санной в разделе 3.5 методике, и этот же прогноз выходит за рамки доверительного интервала, построенного на этих же данных до момента времени Мм. Тогда будем считать, что прогноз, построенный на данных до точки щ, достоверен до времени М., которое определяет максимальный достоверный прогноз для выборки щ. Повторяя аналогичный анализ для различных точек к из диапазона у\ +1 к I можно построить график зависимости максимального горизонта достоверного прогноза М. от границы к, до которой использованы данные, на основе которых построен данный прогноз, т. е. функция Mt (к) . По сути, такой прием позволяет определить характерные для данной модели горизонты прогноза, до которого справедлива прогностическая способность принятой модели ЖЦ из данной точки. При этом можем решить задачу оценки прогноза не только на принимаемый обычно горизонт в одну треть выборки, а индивидуализировать его (возможно) на меньшую или большую величину.
График Mt (к) может использоваться и для оценки стадий развития временного ряда, на которых модель эволюционирует (в этом случае горизонт достоверного прогноза мал), и стадий, когда эволюция модели не происходит (в этом случае достоверен длительный прогноз).
Для идентифицированных по данным наблюдений моделей ЖЦ можно предложить ряд рассчитываемых при знании доверительного интервала показателей (средний горизонт достоверного прогноза, длина достоверного горизонта прогноза для определенной точки и др.), что позволяет производить сравнение моделей по этому критерию качества.
На представленных в пятой главе реальных примерах будут показана реализация ряда предложенных идей анализа параметрических моделей ЖЦ с использованием доверительного интервала и горизонта достоверного прогноза.
Модели ЖЦ на основе произведения многочленов и экспоненциальной функции
Можно предложить возможность описания основной тенденции ЖЦ и путем аддитивного взаимодействия повышательной тенденции (компоненты роста) и понижательной тенденции (компоненты спада).
Такой подход может быть использован для моделирования ЖЦ типа «обучения нет» (рисунок 1.4.2б), «всплеск с остаточным рынком» (рисунок 1.4.2г) и «длинный цикл» (рисунок 1.4.2е). Наиболее очевиден вариант использования для этого двух логист - растущей и падающей с ненулевой асимптотой.
Проблемой моделирования двумя логистами (растущая логиста описывает фазу роста, а уменьшающаяся - фазу спада) является необходимость искусственного разделения исходной выборки наблюдений. Выборку следует разделить на две: первую, описывающую фазу роста до точки смены тенденции т, и вторую, описывающую фазу спада, после т. Принцип такого разбиения уже был описан в разделе 3.4.2 и вполне возможен.
При аддитивном взаимодействии двух логист (разных тенденций - растущей и падающей) модель ЖЦ будет представлена системой моделей (например, двумя логистами Ферхульста): + /2 Г2 при, г,/?2 0,/2 0. Иллюстрация возможности описания ЖЦ суммой растущей и падающей логист приведена на рисунке 4.7.1.
Можно предположить возможность описания основной тенденции ЖЦ и за счет аддитивного взаимодействия двух повышательных тенденций, первая из которых отвечает за описание фазы роста, насыщения и падения, а вторая медленно растущая при малых значениях аргумента аналитической функции отвечает за описание уровня насыщения или повторный рост при больших значениях аргумента. Подробнее рассмотрим реализацию этой идеи на примере комбинаций различных функций.
Отмеченный в разделе 4.1 недостаток экспоненциально-степенной функции для описания ЖЦ, а именно стремление к нулю при больших значениях аргумента, может быть устранен посредством добавления к ней любой функции, значения которой растут при малых значениях аргумента, а при больших значениях аргумента значение функции стремится к какому-либо значению – уровню насыщения.
Такому условию отвечают растущие функции логистического вида. В тех видах кривых ЖЦ, в которых падение происходит не до нуля, а стабилизируется на некотором уровне (например, ЖЦ типа «всплеск с остаточным рынком», рисунок 1.4.2г), именно уровень насыщения растущей логисты может быть использован для моделирования уровня остаточного рынка ЖЦ.
Для описания тренда ЖЦ типа «всплеск с остаточным рынком» предложим модель с аддитивным взаимодействием экспоненциально-степенной функции и растущей логисты T(t) (рисунок 4.7.2):
К частному случаю или особой форме записи логисты Гомпертца вида (4.7.9), по сути, можно отнести встречающуюся в научной литературе безымян b1-eat) ную логисту T(t) = A4e v Логисту Ферхульста [240] (и близкие к ней - логисту Прая-Фишера [176] и логисту Менсфилда [210]), являющуюся частным случаем логисты Ричардса при М = -1:
О предпочтении тех или иных логистических моделей при моделировании ЖЦ типа «всплеск с остаточным рынком» даже при достаточно проработанном атласе логистических моделей в каждом конкретном приложении судить достаточно сложно. Целесообразен перебор моделей и ориентация на уже известные экспериментальные данные.
Если же в качестве второй аддитивной компоненты модели ЖЦ взять логисту без явно выраженного уровня насыщения (логисту Джонсона (4.7.14), Нелдера (4.7.17), Моргана–Мерсера–Флодина (4.7.15) и др.) или логистическую функцию с эволюционирующими параметрами, приводящими к росту уровня насыщения, то решается задача моделирования ЖЦ типа «новые подъемы» (рисунок 1.4.2ж). Если же эволюция параметров логисты приводит к постепенному снижению уровня насыщения, то возможно получение модели ЖЦ типа «долгое обучение» (рисунок 1.4.2а).
В качестве 2-й компоненты T(t) модели (4.7.1) можно использовать и другие (кроме логистических) функции, у которых при росте значений аргумента продолжают расти уровень определяемого показателя и он стремится к некоторому уровню насыщения. Такие функции подходят для описания тех видов кривых ЖЦ, где после первого уровня насыщения происходит падение (за описание этой части кривой ЖЦ отвечает экспоненциально-степенная функция), а затем наступает новый рост, за описание которого отвечает вторая функция роста. Такая сложная динамика характерна для ЖЦ типа «новые подъемы», «новый старт» и «неудачное выведение» (они представлены соответственно на рисунках 1.4.2ж, 1.4.2з, 1.4.2и).
Приведем некоторые другие аналитические функции, которые можно использовать в модели (4.7.1) в качестве функций роста T(t):
Существенной проблемой их использования (например, T(t) = — ) для моде t лирования экономических показателей является наличие точек разрыва: в какой-то момент это приведет к необъяснимым с точки зрения экономики результатам. Использование лишь части известных гипербол (т. е. в ограниченном диапазоне их параметров) приводит к моделям, лишенным экономического смысла. Проблемой для поставленной задачи моделирования роста ЖЦ является и то, что рост классической гиперболы T(t) = — на графике отражается (при t 0 и А 0) во втором квадранте системы координат, т. е. при отрицательных значениях функции. Искусственное же выведение значений функции в область положительных значений (добавлением различных параметров, как это сделано в четырехпараметрической гиперболе наложением определенных ограничений на параметры таких моделей [96]) приводит к труднообъяснимым с точки зрения экономики моделям.
Перспективным для решаемой задачи моделирования динамики ЖЦ может быть использование в качестве компоненты роста T(t) модели (4.7.1) функции гиперболического тангенса T(t) = A4th(a(t0)) + C = A4 Є 0 g 0 + С ptt(l I0) І _ Я(1 I0) , где параметры А4 и С определяют уровень насыщения (асимптоту), параметр t0 сдвиг по оси времени t, параметр а - темп выхода на уровень насыщения (если t -целочисленный номер наблюдения временного ряда, то для компенсации слишком быстрого роста обычно ограничиваются диапазоном значений а є [0,1]). Модель основной тенденции ЖЦ будет в этом случае семипараметрической и иметь вид: a(t0) _ -a(t0) Tm(t) = A 1- t + A 4 + С еа( 0)+е а( 0 ) . (4.7.19) Возможно и моделирование растущей асимптоты за счет эволюции параметров А4 или С, например: T(t) = (A4t)th(a(t0)) + C, T(t) = A4th(a(t 0)) + Ct + B а модели тренда ЖЦ соответственно примут вид: