Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Развитие и обоснование метода декомпозиции области для решения краевых задач теории переноса
1.1. Введение 26
1.2. Постановка и исследование исходной задачи 27
1.3. Интегральная формулировка методов декомпозиции 46
1.4. Интегро-дифференциальная формулировка . 52
1.5. Обобщенный метод Смелова-Шварца... 55
1.6. Альбедная формулировка задачи .57
1.7. Квазиодномерные системы подобластей .65
1.8. Методы распараллеливания по подобластям. 70
1.9. Схемы приближенной реализации 72
1.10. Краткие выводы к главе 1 76
Глава 2. Развитие и обоснование метода граничных интегральных уравнений в теории переноса
2.1. Введение 77
2.2. Фундаментальное решение уравнения переноса .79
2.3. Формулировка и обоснование метода ГИУ 93
2.4. Метод поверхностных псевдоисточников 107
2.5. ГИУ типа сингулярных интегральных уравнений 111
2.6. Другие формулировки метода ГИУ .122
2.7. Краткие выводы к главе 2 126
Глава 3. Разработка и обоснование алгоритмов метода групп марчука и метода эквивалентных разностей
3.1. Введение 128
3.2. Обзор предыдущих результатов 131
3.3. Метод групп Марчука для неоднородных задач .139
3.4. Метод групп Марчука для нестационарных задач 148
3.5. Схемы метода эквивалентных разностей 158
3.6. Обоснование метода для неоднородных задач 173
3.7 Обоснование для условно критических задач 181
3.8. Обоснование для нестационарных задач .185
3.9. Краткие выводы к главе 3 191
Глава 4. Развитие методов математического моделирования кинетики реактора и расчета эффектов реактивности
4.1. Введение 193
4.2. Обобщенные уравнения точечной кинетики 195
4.3. Обобщенные уравнения многоточечной кинетики .201
4.4. Развитие метода обратной кинетики измерения реактивности 206
4.5. Методы идентификации коэффициентов уравнений кинетики 225
4.6. Методы расчета локальных возмущений 235
4.7. Компонента утечки 238
4.8. Развитие алгоритмов точной теории возмущений 242
4.9. Эффекты реактивности при деформациях
4.10. Обобщения и уточнения 252
4.11. Краткие выводы к главе 4. 254
Глава 5. Разработка схем и алгортмов реализации численных методов для кодов jarfr и academ
5.1. Введение 256
5.2. Модификации метода грубой сетки Askewakeda 257
5.3 Метод расчета флюенса на корпус реактора 275
5.4. Метод коррекции констант отражателя 279
5.5 Краткие выводы к главе 5 284
Заключение 285
Список литературы .
- Интегро-дифференциальная формулировка
- Формулировка и обоснование метода ГИУ
- Схемы метода эквивалентных разностей
- Развитие алгоритмов точной теории возмущений
Введение к работе
Актуальность. Известно, что прогресс в области вычислительной математики и техники, приводящий к переоценке возможностей тех или иных численных методов, их качества и надежности, а также растущие требования к безопасности и эффективности атомной энергетики выдвигают задачу селекции, отбора накапливаемых знаний в области теории и методов математического моделирования нейтронно-физических процессов, и дальнейшего развития их до уровня, адекватного современным воззрениям на математическую теорию переноса нейтронов, сформированным в основополагающих работах академика Владимирова [2], профессора Шихова [5] и др., и возможностям, которыми располагает современная вычислительная математика и техника. Отсюда и из сказанного выше и вытекает актуальность проводимых автором исследований, основные результаты которых представлены в диссертации.
Цель работы заключается в модернизации известных и разработке новых высокоэффективных математически обоснованных вычислительных методов теории переноса нейтронов и теории ядерных реакторов и, в частности, таких актуальных методов, объединенных общей идеей редукции сложной задачи к более простым задачам:
методы декомпозиции области для интегро-дифференциальных уравнений переноса, где задача определения плотности нейтронов в рассматриваемой геометрически сложной области пространства сводится (редуцируется) к задаче определения этой плотности на границах раздела подобластей более простого вида, на которые разделяется исходная область;
методы редукции уравнений переноса с общего вида зависимостью сечений от энергии и координат к уравнениям с кусочно-постоянной зависимостью;
методы эквивалентных разностей (ЭР) редукции краевых задач для уравнения переноса к системам нелинейных алгебраических уравнений (СНАУ) относительно важнейших функционалов типа интегральных по пространственным ячейкам, энергетическим группам и угловым секторам скоростей реакций, потоков и односторонних токов нейтронов через границы раздела ячеек и т.д.;
многосеточные методы редукции конечно-разностных уравнений реактора на мелкой сетке к уравнениям на крупной сетке;
методы точечной и многоточечной кинетики редукции уравнений распределенной нейтронной кинетики реактора к уравнениям с независящими от пространственных, энергетических и угловых переменных коэффициентами.
Большое внимание уделяется также таким актуальным методам, как:
методы решения обратных задач кинетики реактора по определению реактивности и других коэффициентов уравнений нейтронной кинетики;
методы теории возмущения для расчета эффектов реактивности;
методы расчета флюенса быстрых нейтронов на корпус реактора;
методы коррекции констант отражателя.
Объектом исследования являются ядерно-технические установки (ЯТУ), включая ядерные реакторы (ЯР), электроядерные установки (ЭЛЯУ, ADS) и т.д.
Предметом исследования являются математические модели переноса нейтронов в ЯТУ и методы их численной реализации.
Методы исследования и используемый инструментарий. Функциональный анализ.
10 Теория положительных операторов в полуупорядоченных пространствах. Численные методы и методы системного программирования. Аттестованные комплексы программ нейтронно-физического расчета.
Научная значимость и новизна определяется как значимостью самой проблемы все более достоверного математического моделирования весьма сложных и потенциально опасных процессов в ядерных реакторах, так и использованием для этого адекватного математического аппарата и соответствующих новых методов повышенной точности и надежности, адаптированных к возможностям современной вычислительной математики и техники.
Таким аппаратом, как уже указывалось выше, является функциональный анализ и теория положительных операторов в полуупорядоченных банаховых пространствах. Применение этого аппарата позволило получить ряд новых результатов, касающихся принципиальных вопросов существования и единственности положительных решений для соответствующих линейных или нелинейных операторных уравнений рассматриваемых в диссертации задач теории переноса нейтронов и теории ядерных реакторов в их исчерпывающе общей постановке, разработать и обосновать методы отыскания этих решений.
На этом пути были получены, в частности, следующие новые результаты.
1. Разработаны модификации метода декомпозиции области для решения интегро-дифференциальных уравнений переноса нейтронов с общего вида энергетической зависимостью и подобластями, включая:
новую постановку краевых задач в системах смежных подобластей;
новые дифференциальные, интегральные и альбедные алгоритмы метода итераций по подобластям;
новые алгоритмы методов прогонки и распараллеливания по подобластям;
новые алгоритмы метода граничных интегральных уравнений (ГИУ).
Эти модификации являются методами отыскания положительных решений соответствующих операторных уравнений, к которым сводится указанная новая постановка краевых задач, исследованная в диссертации. Они могут рассматри-
11 ваться в качестве обобщения известных методов решения краевых задач частного вида (односкоростных, одномерных и т.д.) на задачи общего вида.
2. Разработаны и обоснованы новые нелинейные методы расчета функ
ционалов на решениях краевых задач, включая:
методы ЭР редукции однородных, неоднородных и нестационарных краевых задач к СНАУ относительно важнейших реакторных функционалов;
обобщения известного метода групп (многогруппового метода) Марчука на неоднородные и нестационарные задачи теории переноса нейтронов;
модификации известного многосеточного метода Askew-Takeda.
Значимость методов ЭР заключается, в частности, в том, что они предоставляют методическую основу для качественно нового шага в направлении дальнейшего развития многогрупповых конечно-разностных методов численного решения краевых задач теории переноса нейтронов и теории реакторов. Обобщения метода Марчука дают иной подход к этой проблеме. Модификации метода Askew-Takeda устраняют недостатки исходного метода, применяемого в ряде версий известных кодов JARFR и TRIGEX расчета быстрых реакторов. Обоснование этих сложных нелинейных методов получено впервые.
3. Разработаны новые элементы математического моделирования пря
мых и обратных задач нестационарного переноса нейтронов, включая:
новые уравнения распределенной кинетики с учетом зависимости постоянных распада предшественников запаздывающих нейтронов от энергии;
новые уравнения точечной и многоточечной кинетики, обобщающие и уточняющие известные уравнения Усачева, Henry и Avery;
новые алгоритмы метода обратной кинетики измерения реактивности, анализ погрешностей метода;
новый критерий выбора данных по запаздывающим нейтронам;
- методы идентификации коэффициентов уравнений нейтронной кинетики.
Указанные новые элементы могут рассматриваться в качестве уточнения,
обобщения и дальнейшего развития известных методов моделирования ней-
12 тронной кинетики реактора, используемых в целях диагностики и регулирования его режимов. В частности, новые точечные и многоточечные уравнения обобщают известные в плане расчета произвольных функционалов, новые алгоритмы метода обратной кинетики уточняют известные алгоритмы.
4. Развиты новые методы расчета возмущений полей нейтронов и обу
словленных ими эффектов реактивности, включая:
методы расчета локальных возмущений полей нейтронов;
методы расчета эффектов реактивности по точной теории возмущений;
методы расчета эффектов при термических деформациях ячеек реактора.
Значимость этих новых методов заключается в том, что они позволяют: находить решение возмущенной задачи в подобласти локализации возмущения, не прибегая к ее решению во всей области реактора; вычислять эффекты реактивности по известным возмущениям коэффициентов уравнения переноса, а не по разности значений реактивности возмущенного и исходного состояний реактора; вычислять эффекты реактивности при термических деформациях с изменением размеров, формы и взаимного расположения ячеек реактора.
5. Разработаны и реализованы в комплексе программ ACADEM расчета
реакторов эффективные методы:
расчета флюенса быстрых нейтронов на корпус реактора;
коррекции констант отражателя.
Эти методы расширяют возможности комплекса программ ACADEM.
Практическое значение проведенных исследований состоит в том, что они, совместно с аналогичными исследованиями других авторов, способствуют расширению и обновлению базы знаний математической теории переноса, выводу ее на качественно новый уровень путем пополнения новыми идеями, концепциями, приемами и математически обоснованными высокоэффективными методами численного решения. Стимулируя, тем самым, дальнейший прогресс в области теории и методов математического моделирования нейтронно-физических процессов, методов численного решения краевых задач теории пе-
13 реноса нейтронов и теории ядерных реакторов, они содействуют повышению качества и надежности прогнозирования характеристик ЯР как косвенно, путем развития теории, так и непосредственно: путем внедрения разработанных алгоритмов в практику.
Особое внимание в диссертации уделяется вопросам математического обоснования предлагаемых методов, включая доказательства теорем существования и единственности положительных решений соответствующих линейных или нелинейных задач, способы численного отыскания этих решений.
Эти результаты используются затем при разработке алгоритмов и программ расчетов реакторов. И, в частности, они учитывались при:
анализе методов расчета и измерения эффектов реактивности;
модернизации схем метода грубой сетки Askew-Takeda в известных комплексах программ JARFR и TRIGEX расчета быстрых реакторов;
разработке опций вычисления флюенса и коррекции констант отражателя для комплекса программ ACADEM расчета тепловых реакторов;
учете термических деформаций в быстрых реакторах.
Отметим, что разработанный в ФЭИ и аттестованный в 2012 для расчетов реакторов ВВЭР-1000 комплекс программ ACADEM предназначен для связанных трехмерных нейтронно-физических и теплогидравлических расчетов водо-водяных реакторов с квадратной и гексагональной геометрией тепловыделяющих сборок на покассетном и потвэльном уровнях. Он использовался для расчетов Билибинской, Балаковской и Курской АЭС и применялся в рамках проекта ТВС-КВАДРАТ для нейтронно-физических и термомеханических расчетов бельгийских PWR Tihange – 1 и Tihange – 2 и шведского PWR Ringhals-3.
Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается доказательствами соответствующих теорем, публикациями в ведущих рецензируемых журналах, сравнением полученных результатов с экспериментом и расчетами других авторов, положительными оценками этих результатов на российских и международных конференциях и семинарах.
Апробация работы. Результаты работы неоднократно докладывались на семинарах, конференциях, симпозиумах и научных семинарах различного уровня, среди которых отметим: международный симпозиум «Численные методы решения уравнения переноса», ИПМ (1992); Российские научные конференции по защите от ионизирующих излучений ядерно-технических установок, ФЭИ (1994,1998,2006); International Conference on Simulation of Devices and Technologies “ICSDT”, ФЭИ (1996); ANS International Topical Meetings on Mathematics and Computations M&C (1999, 2001,2003,2005,2009); International Conference on Computational Mathematics ICCM, Novosibirsk (2002); форум «Ядерные реакторы на быстрых нейтронах», ФЭИ (2003); International Conference on Transport Theory ICTT, ФЭИ (2007); International Conference on the Physics of Reactors PHYSOR’(2008); семинар «Современное состояние и развитие программных средств для анализа динамики и безопасности АЭС», ВНИИЭФ (2003); семинары «Актуальные проблемы физики ядерных реакторов», МИФИ (1995,1997, 2000,2004,2006,2008); ежегодные межведомственные семинары «Нейтронно-физические проблемы атомной энергетики», ФЭИ (1992 – 2015) и др.
Публикации. По теме диссертации представлено 75 работ автора, включая 32 статьи в рецензируемых журналах: 5 - «Журнал вычислительной математики и математической физики»; 12 - «Атомная энергия»; 5 - «Вопросы атомной науки и техники», Серия: Физика ядерных реакторов; 1 - «Вопросы атомной науки и техники», Серия: Математическое моделирование физических процессов; 4 - «Ядерная энергетика»; 1 - «Математическое моделирование»; 1 -«Ядерная физика и инжиниринг»; 3 - «Transport Theory and Statistical Physics». Из них 25 входят в перечень SCOPUS: 5 - Computational Mathematics and Mathematical Physics; 12 - Atomic Energy; 5 -“Voprosy Atomnoi Nauki i Tekhniki. Seriya: FizikaYadernykh Reaktorov”, Special Issue of the Journal: “Physics of Atomic Nuclei”; 3 -Transport Theory and Statistical Physics.
15 Автор выносит на защиту:
1. Теорию и алгоритмы метода декомпозиции области, включая:
новую постановку краевых задач в системах смежных подобластей;
новые интегро-дифференциальные, интегральные и альбедные алгоритмы метода итераций по подобластям;
новые алгоритмы методов операторной прогонки и распараллеливания по подобластям;
новые алгоритмы метода граничных интегральных уравнений.
2. Теорию и алгоритмы метода групп Марчука и метода эквивалентных
разностей расчета функционалов на решениях краевых задач, включая:
обобщения метода Марчука на неоднородные и нестационарные задачи;
методы эквивалентных разностей (ЭР) редукции неоднородных, однородных и нестационарных задач теории переноса нейтронов к СНАУ.
3. Методы математического моделирования нейтронной кинетики реак
тора и расчета эффектов реактивности, включая:
- новые уравнения распределенной кинетики с учетом зависимости постоян
ных распада предшественников запаздывающих нейтронов от энергии;
новые уравнения точечной и многоточечной кинетики, обобщающие и уточняющие известные уравнения Усачева, Henry и Avery;
новые алгоритмы метода обратной кинетики измерения реактивности и анализ их погрешностей;
новый критерий выбора данных по запаздывающим нейтронам;
новые алгоритмы идентификации коэффициентов уравнений кинетики по известной зависимости потока нейтронов от времени;
новые алгоритмы расчета локальных возмущений полей нейтронов;
новые алгоритмы расчета эффектов реактивности по точной кинетической теории возмущений;
новые алгоритмы расчета эффектов реактивности при термических деформациях зон (ячеек) реактора.
16 4. Разработку схем и алгоритмов реализации численных методов для кодов JARFR и ACADEM нейтронно-физических расчетов реакторов, включая:
- методы многогруппового конечно-разностного расчета реактора в трех
мерной гексагональной и прямоугольной геометриях, обобщающие и уточ
няющие нелинейный метод грубой сетки Askew-Takeda, используемый в ряде
версий комплексов программ JARFR и TRIGEX расчета быстрых реакторов;
- эффективные алгоритмы вычисления флюенса быстрых нейтронов на кор
пус реактора и коррекции констант отражателя, реализованные в комплексе
программ ACADEM расчета тепловых реакторов.
Личный вклад. Все представленные к защите положения, данные и результаты являются достоверными, новыми и получены диссертантом лично.
Структура диссертации. Диссертация состоит из Введения, 5 глав, Заключения, содержит 296 страниц основного текста, 12 рисунков, 17 таблиц и 5 Приложений на 18 страницах. Список литературы - 204 наименования.
Каждая из глав состоит из Введения, основного текста, разделенного на разделы и подразделы, и Кратких выводов.
Интегро-дифференциальная формулировка
Под функцией Q ниже понимается либо некоторый независимый источник нейтронов, либо источник нейтронов деления Q = Kfy/lkэф (и тогда в (2.2а) полагается K = KS), либо произвольная комбинация их. Выбор функции /, характеризующей режим облучения области G нейтронами извне, также может варьироваться. В частности, при / = d,Q = K fy/1кэфф и выпуклой области G уравнение (2.1) переходит в уравнение (4.2) работы [12], разделенное на 4Е . Предполагается, что «поверхностный источник» /фиксирован, так что учет перелетов нейтронов (в случае невыпуклых областей) из G в G по участкам пространства, не принадлежащим G, вообще говоря, не производится. Если же перелеты имеют место, то их можно сколь угодно точно учесть, например, путем дополнения G соответствующими участками пространства, заполненными чисто поглощающим веществом со сколь угодно малым сечением поглощения.
Таким образом, данная постановка задачи охватывает при надлежащем выборе K,Q,f,G достаточно широкий круг однородных и неоднородных краевых задач, представляющих теоретический и практический интерес.
Перейдем к изложению понятий, связанных с возможным разделением исходной области G на конечное число подобластей Gn,n = 1,2,...,N. Подобластью Gn области G (а, опуская индекс п, и самой областью G) назовем, следуя [5], всякое открытое связное измеримое подмножество GncG с кусочно-гладкой границей Гп класса С(1) такое, что почти все (относительно меры в зо прямые линии, имеющие с Gn общую очку, пересекают Gn по конечному числу интервалов. Предполагается, что всякое множество Gn содержит выпуклое подмножество ненулевой меры /1 0 в R3 и что N ju(Gn,nGn) = ju(G\\jGn) = 0, n,ri=l,2,...,N, пїгі. (2.5) п=\ Отметим, что это весьма общее определение: вводимые подобласти могут не быть «хорошими» и, в частности, не обладать свойством конуса (когда каждой точки границы Гп можно коснуться вершиной фиксированного кругового конуса, лежащего целиком в Gn), не быть звездными и т.д.[139]. Вместе с тем, они не являются и наиболее общими, поскольку не включают, например, подобласти, получаемые путем наматывания на стержень неограниченно утончающейся плоской ленты бесконечной длины и т.п.
Пусть пQn и х0- ортогональные проекции подобласти Gn и вектора xeG на плоскость, перпендикулярную вектору Сіє Slи проходящую, например, через начало координат в R 3 . Обозначим через Nn = Nn (1, х0) число интервалов (t k,4k) по которым прямолинейная траектория х0 +lt, х0єл п, te (-00,00), полета нейтрона, проходящая через точку х0 є ж п в направлении вектора 1, пересекаетGn, где t%. = t%.(1,х0)- точки влета нейтрона в Gn и вылета из Gn, к = 1,2,...,Nn. Зависимость Nn, t%. от Q,x0 далее не указывается. Для выпуклых подобластей индекс п единственного интервала (t , t„) опускается. Через Yn,Tn обозначим множества Yn=Gnx[E,E]xS\ (2.6а) T+-= { x,E, TAE,EW:x = x0+lU, х0е п, k = l,2,..,Nn\- (2.6б) где пп(х) - единичный вектор внешней нормали к Г„. При этом, очевидно, Г =fa,E,Q.ernx[E,E\xS1 :Q.nn(x) o} с точностью до множества Г меры нуль в rnx[E,E]xS\ где либо пп(х) не существует, либо Опп(х) = 0. Используя эти определения, введем в рассмотрение банаховы пространства Lp(Yn),Lp(T ) вещественных функций y/(x,E,Q), суммируемых (интегрируемых по Лебегу) на множествах Yn ,Г с р -ой степенью модуля, полагая где последнее равенство справедливо, если соответствующие «поверхностные» интегралы существуют (в противном случае оно понимается как другое обозначение определения (2.7бв) [5]).
Обобщенные решения уравнения (2.1) внутри подобластей Gn и на их границах Гп будем искать в пространствах Lp(Yn),Lp(Г ) функций у/(х,Е,1), определенных лишь почти всюду в Уп,Г . Это позволяет избежать ряда трудностей, возникающих при рассмотрении сложной картины особенностей решения для практически важных задач, когда граница Гп - кусочно-гладкая по 32 верхность, а коэффициенты уравнения (2.1) - кусочно-постоянные в области Gn. Решение у/ в этом случае будет иметь особенности в первых производных
на различных поверхностях в Yn. Более того, если граница Гп или поверхности разрыва коэффициентов содержат отрезки прямых линий (характеристики дифференциального оператора W), то даже само решение у/ не будет, вообще говоря, непрерывным по Q. на этих линиях [5].
Обратимся к рассмотрению вопросов, связанных с поиском решений уравнения ( У + Е) =Ф в подобластях. Обозначим через DZn =Lp(Yn) линейное множество функций у/ = П„Ф, Фє Lp(Yn), представимых при почти всех Е, 1, х0 на соответствующих отрезках [ tnk, t ] в виде t t -]dt"Z(x0+nt",E) у/(х0 +Ш,Е,а)=Ь 1Ф= \й Ф(х0 +Ь ,Е,1)е , (2.9) где L"1 - оператор, обратный к линейному неограниченному замкнутому оператору Ln из Dpon в Lp(Yn) с плотной вLp(Yn) (при 1 /? оо) областью определения Dgn [5,15,45], порождаемому линейным дифференциальным выражением ( V + Z) на функциях peD согласно известной формуле [5,12]
Формулировка и обоснование метода ГИУ
Рассматриваются вопросы развития и обоснования метода граничных интегральных уравнений (метода ГИУ), как специальной разновидности метода декомпозиции области, сводящего решение краевых задач для кинетических уравнений переноса в однородных подобластях к решению ГИУ для плотности нейтронов по границам раздела подобластей [11,14,52,53,81-84,144-149].
Вообще методом ГИУ принято называть [142,143] специальный метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений эллиптического типа, в основе которого лежит использование формул, выражающих значения решения внутри данной области через его значения на ее поверхности. Он считается мощным численным методом, успешно конкурирующим с конечно-разностными и другими методами главным образом потому, что редукция краевой задачи к ГИУ позволяет на единицу понизить ее размерность.
Мы переносим это название и на группу методов решения краевых задач теории переноса нейтронов в средах с кусочно-постоянными по пространственной координате сечениями, объединенных аналогичной идеей, и относим к разновидностям метода ГИУ такие известные методы, как метод Кейза [11], Cn - метод Бенуа и Кавеноки [144], метод поверхностных псевдоисточников
Лалетина [14], методы интегральных преобразований Ершова и Шихова [19] и др. Все эти методы можно рассматривать как некоторые разновидности метода Фурье разделения переменных, когда решение исходной задачи ищется в виде суперпозиции частных решений соответствующих однородных уравнений переноса с неопределенными коэффициентами, к задаче вычисления которых и редуцируется исходная задача. Специфика задач теории переноса проявляется здесь в том, что уравнения для определения коэффициентов являются либо ин 78 тегральными уравнениями Фредгольма, либо сингулярными интегральными уравнениями. Мы называем эти уравнения, по аналогии с [142,143], ГИУ.
Отметим, что в соответствии с этими определениями к методу ГИУ следует отнести и так называемые нодальные методы решения уравнения диффузии, основанные на аналитическом представлении решений внутри однородных подобластей и являющиеся частным случаем ГИУ теории переноса (см., например, [150-152]), однако их рассмотрение выходит за рамки данной работы.
Несмотря на значительное количество работ, посвященных приложениям метода ГИУ к задачам теории переноса нейтронов, многие вопросы конструкции и обоснования этого метода остаются, по-видимому, открытыми. В этой связи встает задача дальнейшего развития математической теории и алгоритмов численной реализации метода ГИУ с целью адаптации их к современным требованиям, предъявляемым к методам расчета ядерных реакторов
Решению этой задачи методами функционального анализа в рамках математической теории переноса нейтронов, развитой в работах Владимирова [4], Шихова [12] и др., и посвящена глава 2 диссертации, в которой рассмотрен и решен весьма широкий круг вопросов, касающихся данной проблемы.
В разделе 2.2 приводится постановка и анализ условий разрешимости краевых задач теории переноса нейтронов в пространствах обобщенных функций медленного роста и устанавливаются основные положения, касающиеся существования, единственности и свойств фундаментального решения уравнения переноса нейтронов в общем случае энергетической и угловой зависимости сечений. Там же обсуждаются алгоритмы построения фундаментальных решений односкоростных уравнения переноса нейтронов методами интегральных преобразований Радона и Фурье обобщенных функций медленного роста. Попутно разрешается ряд связанных с этим известных дискуссионных вопросов.
В разделе 2.3 дается математическая постановка и обоснование рассматриваемых методов редукции краевых задач теории переноса нейтронов к ГИУ и устанавливаются основные положения, касающиеся существования, единственности, свойств и методов отыскания решений этих ГИУ.
В разделе 2.4 исследуются алгоритмы метода ГИУ для расчета ячеек реакторов и вопросы математического обоснования метода поверхностных псевдоисточников Лалетина [14] как разновидности метода ГИУ.
Раздел 2.5 посвящен развитию и обоснованию методов редукции краевых задач теории переноса нейтронов к ГИУ типа сингулярных интегральных уравнений (СИУ) Соболева [2] как для односкоростных и многогрупповых задач, так и для задач с непрерывной энергетической зависимостью.
Схемы метода эквивалентных разностей
Теорема 2.3.2 имеет фундаментальное значение для обоснования метода ГИУ решения краевых задач теории переноса нейтронов, гарантируя существование и единственность решения ГИУ (3.10а) в средах с кх = с 1, указывая свойства этого решения и метод (3.10д,е) двусторонних приближений к нему. Отметим, что обычный способ оценки г (А) на основе неравенства AdL д11чк{\-ь-1ку1 Ы\ L (Г+) (У)МГ+ ( 1 )Р lfiJL ,г л Шт ҐГ „ с =ТГ1к (3.12) р 1-е" llLp(r+) 1-е" llLp(r+ ) Lp(Y) не позволяет получить столь тонких результатов, поскольку приводит к излишне грубой оценке г(А) А\ с/(1 - с), не только не гарантирующей существование и единственность решения при с 1/2, но и ставящей под сомнение саму возможность применения метода ГИУ для решения таких задач.
Вместе с тем, теорема 2.3.2 описывает лишь сравнительно узкий круг задач с выпуклыми областями. Поэтому представляет интерес ее обобщение на более широкий круг задач с квазиодномерными (в смысле раздела 1.7) слоями [86].
Пусть G = G2- квазиодномерный слой, возникающий при удалении из выпуклой области G ее выпуклой подобласти Gl с G (скажем, сферический слой 0 2 х Ь оо и т.п.). Тогда граница Г области G расщепляется на внешнюю Г2 и внутреннюю Гх границы, а уравнение (3.10а) - на два уравнения вида у/+ = - Any/t Апу/2 + h, (3.13а) Wi=- А2\\ А222 + Ь2, (3.13б) записываемые в векторно-матричных обозначениях в виде уравнения хР+=-АхР++В, (ЗЛЗв) где в данном случае 102 Д.. = /f (l-L /rfitfjO), (3.14а) bt = +(1-І"1Л"1[Ь"1Є +Я_(/)]є (Г+), (3.14б) оператор P - проектор на Ц+, а Я( )- распределение нейтронов первого пробега от поверхностного источника у/+:, вылетающих из G через Г , соответственно, внутрь (при j=l) или наружу (при j = 2), Ч + = col(\ffi ,Yi), В = соЩ ,Ь2), (А) = А-.. Пусть также L+p = Lp(Ц+)хLp(Г2+). Справедлива
Теорема 2.3.3. Пусть G- квазиодномерный слой. Тогда на оператор А в L+ распространяются заключения теоремы 2.3.2, касающиеся свойств оператора А в L (Г+), при выполнении условия (2.5) уравнения (3.13) имеют единственное решение 0 у/+: є L (Tj) при всяких 0 / є L (Tj), 0 QEL (Y), і = 1,2, 1 р , получаемое методом последовательных приближений y/[m+l)+ = - Anyr[m)+ - Al2y/(2m)+ + Ьх, (3.15а) у/(2т+1)+ = - А21у/(]т)+ - А22у/(2т)+ + Ь2, (3.15б) сходящимся в Ь+р со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем г(А) с и формирующим (при у/\0)+ = 0) двусторонние оценки вида у/ + р+ ... + ... (4)+ р)+ о, i = 1,2. (3.15в) Дополняя слой G = G2 снаружи слоем G3 произвольно большого внешнего радиуса R3, рассмотрим, наряду с (3.13), вспомогательную систему аль-бедных уравнений (1.7.1) для трех слоев, вложенных друг в друга: щ = Bxv2, и2 = А2щ + B2v3, v2 = С2щ + D2v3, щ = А3и2, v3 = С3и2, согласно которой v2 = C2Bxv2 + D2C3u2, (3.16а) и2 = A2Bxv2 + В2С3и2, (3.16б) 103 отку да u2=(1-B2C3)-1A2B1(1-C2B1)-1D2C3u2, то есть, в согласии с (1.7.13), и2 = Р2У3и2. По теореме 1.7.2 однородная системы уравнений (3.16) однозначно разрешима при г(/32у3) с 1, оператор из ее правой части обратим, а на операторы Р273 ,У2Р1 распространяются положения теоремы 1.6.5. Устремляя R3— , приходим, по аналогии с доказательством предыдущей теоремы 2.3.2, к искомым заключения теоремы, ибо при этом функции u2,v2 переходят в функции у/2 , у/1 , а операторы А11,А12,А21,А22- в операторы, эквивалентные соответствующим операторам С2В1, D2C3 ,В2С3, А2В1.
Конкретные выражения ГИУ для плоских, сферических и цилиндрических слоев приведены в [86]. Аналогичные построения могут быть выполнены для эллиптических, тороидальных и прочих квазиодномерных слоев. В общем же случае области G произвольной формы может быть использована схема редукции ГИУ к системе интегральных уравнений для моментов m(x)= \daan(x)Ylm(a/n(x))yr±(x,a), m = 0,±1,...,±/, / = 1,3,... (3.17а) s± разложения угловой зависимости функции (х,0.)=0.п(х)ір(х,0.)на полусферах S± направлений Qe S1наружу (при Qn(x) 0) или внутрь (при Qn(x) 0) в точке хє Г поверхности Г области G в ряд по нечетным сферическим функциям Уы(Шп(х)), ориентированным вдоль внешней нормали п(х) к Г [153]. Действительно, поскольку (x,Q) = 0 при Оп(х) = 0 и 1 1 1 1 при нечетных к,1, то на полусферах S± имеют смысл разложения вида ± (x,Q)= J] 2J Ylm(Q/n(x)) m(x), (3.17б) і=1,3,... 2я" m=-i используя которые, можно свести ГИУ 104 ЩхЛ) = \dV[\dx Q(x ,l ) -\dfV(x ,a№nW(x- х ,1,П), ХЕ Г (3.18) Y Г вытекающее из уравнения (3.3а), к системе интегральных уравнений / =1,3,... lK т =-Г Г N 0/ _i_1 I + I S [Л /Г (х,х )Єг„Лх ), (3.19) / =0,1,... 4Л" m =-/ G для приближенного определения коэффициентов (х) разложения функции ip+(x,Q) на Г, где хєГ, / = l,3,...,iV, N 1 - номер приближения, I±jV(x,x )= jdQ. Ylm(Q/n(x))Qn(x) \dl I(x-x ,Q,Q )Yrm,(Q /n(x )), (3.20а) s+ x s 2/т(х) = т( /х)Є(х, ), (3.20б) а 7wmm (x,x ) дается формулой (3.20а) при замене в ней 5J на Sl. На этом пути решение краевой задачи (3.1) методом ГИУ сводится к решению системы линейных интегральных уравнений (3.19) относительно коэффициентов y/im{x) разложения угловой зависимости функции у/+(x,Q) на поверхности Г по сферическим функциям и к последующему восстановлению распределения потока нейтронов у/(х,1) внутри ячейки по формулам (3.17)-(3.20).
Решение интегральных уравнений (3.20) на Г, в свою очередь, может быть получено известными методами численного решения интегральных уравнений, такими, как метод конечных элементов и т.п. В частном случае одномерных слоев, где зависимость y/j m от х на соответствующих участках поверхности отсутствует, задача определения y/j m существенно облегчается.
Развитие алгоритмов точной теории возмущений
Нейтронно-физические расчеты ядерных реакторов проводятся обычно в рамках многогруппового метода (приближения), заключающегося в разделении спектра нейтронов в реакторе на энергетические интервалы (группы), в пределах которых сечения взаимодействия нейтронов с веществом заменяются на некоторые эффективные среднегрупповые сечения (групповые константы).
Другим важным приближением является гомогенизация ячеек, заключающаяся в замене истинной пространственной зависимости сечений кусочно-постоянной зависимостью, постоянной в пределах каждой из ячеек реактора.
Разработке и обоснованию алгоритмов многогруппового метода и гомогенизации посвящено большое количество работ, обзор которых можно найти в [3-44], и в настоящее время эти проблемы для традиционных типов реакторов в практическом плане в значительной мере решены. Однако ряд важных вопросов математического характера, касающихся выбора тех или иных постановок такого рода задач, доказательства теорем существования и единственности решений соответствующих линейных или нелинейных уравнений, исследования свойств аппроксимации и сходимости надлежащих численных методик их отыскания и т.д., остаются, по-видимому, открытыми как для традиционных, так и, тем более, для перспективных реакторов со сложной гетерогенной компоновкой и нетрадиционными видами топлива. Между тем, без решения этих вопросов гарантированное повышение качества многогрупповых аппроксимаций и, тем самым, удовлетворение современных все возрастающих требований к проектированию и безопасности ядерных установок вряд ли возможно. Отсюда и вытекает необходимость дальнейшего совершенствования теории и алгоритмов многогруппового метода гомогенизации, доведения их до уровня, адекватного современным воззрениям на математическую теорию переноса, и возможностям, которыми располагает современная вычислительная математика и техника.
В плане реализации этой программы автором ранее уже был рассмотрен ряд известных и новых, линейных и нелинейных математических моделей многогруппового метода [54-58,85-92] и в рамках весьма широких представлений о взаимодействии нейтронов с веществом и о геометрических характеристиках рассматриваемых подобластей (ячеек) реактора для некоторых из них были установлены основные положения, касающиеся существования, единственности, свойств и способов отыскания решений соответствующих линейных или нелинейных операторных уравнений рассматриваемых моделей [56,57].
Краткие сведения об этих и других результатах автора приводятся в разделе 3.2, носящем обзорный характер. Одной из целей же данной главы является разработка и обоснование обобщений известного нелинейного метода групп (многогруппового метода) Марчука [6] на неоднородные задачи расчета защит [9], электроядерных установок (ЭЛЯУ), управляемых ускорителем (Accelerator Driven Systems, ADS) [157,204], расчета активации образцов, доз облучения и т.д. (раздел 3.3), и на задачи расчета асимптотического во времени поведения плотности нейтронов в импульсных нейтронных экспериментах, в некритических реакторах и т.п.(раздел 3.4).
Другой целью является разработка и обоснование предложенных автором новых нелинейных методов эквивалентных разностей (ЭР) редукции краевых задач к системам нелинейных алгебраических уравнений (СНАУ). Поясним это.
Численное решение краевых задач для уравнения переноса нейтронов проводится, как уже указывалось выше, в рамках различных приближений, сводящих решение исходных задач с истинной зависимостью потока нейтронов от энергетической, угловых и пространственных переменных к решению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно значений потока в энергетических группах, угловых секторах и пространственных ячейках, на которые подразделяются области определения этих переменных.
Эти приближения, как известно [1-44], заключаются обычно в 1). использовании многогруппового метода с целью редукции исходной задачи к системе односкоростных задач; 2). редукции полученных односкоростных уравнений переноса к системам дифференциальных уравнений методов сферических гармоник, характеристик, дискретных ординат и т.п. путем аппроксимации угловой зависимости; 3). редукции указанных дифференциальных уравнений к СЛАУ с последующим численным решением их.
Достоинства данной схемы поэтапной редукции краевых задач к СЛАУ общеизвестны, ее обоснованию посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных авторов (см., например, библиографию в [6,13,30,35]), а работоспособность подтверждена практикой. Вместе с тем, она не лишена и недостатков, к которым можно отнести, например, не всегда достаточную взаимную согласованность приближений, используемых на разных ее этапах и т.д.
С целью преодоления этих недостатков в диссертации предлагается новая схема редукции краевых задач непосредственно к системам нелинейных алгебраических уравнений (СНАУ), минуя указанные промежуточные этапы. Эта схема сводится, по существу, к переопределению коэффициентов обычных конечно-разностных уравнений (в диффузионном приближении, в приближениях методов характеристик и т.п.), обеспечивающему более высокую точность расчета искомых функционалов. Она может рассматриваться в качестве обобщения, обоснования и дальнейшего развития схем многогрупповых методов.
Возникающие при этом новые конечно-разностные уравнения оказываются эквивалентными исходной задаче относительно искомых функционалов и поэтому называются эквивалентными разностями, а сам метод редукции задачи к таким уравнениям – методом эквивалентных разностей (ЭР) (или методом эквивалентных сеток) [59,60, 93-96].