Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математические модели описания финансовых временных рядов .,. 15
1.1. Методы анализа финансовых рынков 15
1.2. Особенности моделей стоимости финансовых инструментов 18
1.3. Линейные стохастические гауссовские модели 20
1.4. Нелинейные стохастические условно-гауссовские модели 22
1.4.1. ARCH-модель 23
1.4.2. GARCH-модель 26
1.4.3. EGARCH-модель 28
1.4.4. Другие одномерные параметризации 29
1.4.5. Модель стохастической волатильности 31
1.4.6. Многомерные модели волатильности 32
1.5. Непараметрические модели 33
1.5.1 Историческое моделирование 34
1.5.2 Непараметрическое моделирование волатильности 35
Выводы 38
Глава 2. Оценивание параметров волатильности 40
2.1. Понятие волатильности 40
2.2. Алгоритмы оценивания параметров волатильности 43
2.2.1. Оценивание параметров волатильности на основе обобщенной авторегрессионной модели условной гетероскедастичности 43
2.2.2. Оценивание параметров волатильности на основе модели стохастической волатильности 48
2.2.3. Фильтр Калмана - Бьюси 52
2.3. Программная реализация алгоритма оценивания параметров волатильности 54
Выводы 59
Глава 3. Идентификация распределения доходностей финансовых инструментов 60
3.1. Постановка задачи идентификации 60
3.2. Семейство гиперболических распределении 61
3.2.1. Обобщенное гиперболическое распределение 62
3.2.2. Нормальное обратно-гауссовское распределение 63
3.2.3 Гиперболическое распределение 66
Глава 4. Прогнозирование стоимости финансовых инструментов 70
4.1 Доходность финансовых инструментов 70
4.2 Статистические характеристики доходностей 77
4.3. Оценивание параметров волатильности 78
4.4. Идентификация функции распределения доходностей 82
4.5. Прогнозирование стоимости финансовых инструментов 85
4.6. Комплекс программ прогнозирования стоимости финансовых инструметов 87
Выводы 94
Заключение 95
Список использованных источников
- Особенности моделей стоимости финансовых инструментов
- Алгоритмы оценивания параметров волатильности
- Семейство гиперболических распределении
- Оценивание параметров волатильности
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Научный интерес к математическому моделированию в теории финансов обусловлен революционными преобразованиями финансового рынка - изменением его структуры, возрастанием вола-тильности (изменчивости) в ценах, появлением новых финансовых инструментов, использованием современных информационных технологий для анализа цен, что предъявляет к финансовой теории соответственно новые требования и ставит новые проблемы, для решения которых необходимо проведение глубоких научных исследований в области математического моделирования финансовых процессов. Будучи большой и сложной системой с огромным количеством переменных, различных факторов и связей, финансовые рынки требуют для своего анализа достаточно сложных математических методов, методов статистической обработки данных, численных методов и компьютерных средств.
Важнейшим направлением исследований является моделирование динамики доходности фондового и валютного рынков. Долгое время было принято считать, что доходность финансового рынка следует процессу "случайного блуждания" и, следовательно, является величиной непредсказуемой [24]. Эта точка зрения полностью соответствовала гипотезе эффективного рынка, постулирующей, что вся информация о рынке включена в текущую цену актива. В этом случае цены должны совпадать со своими фундаментальными значениями, любые отклонения от которых связаны с процессом поступления новостей на рынок, носящим случайный характер.
Однако, в последнее время ставится под сомнение адекватность этой гипотезы реалиям финансового рынка. Большинство современных исследований показали, что величина доходности не подчиняется закону «случайного блуждания», и, следовательно, является предсказуемой [2-5].
Другим важнейшим направлением финансового моделирования является исследование динамики волатильности рынков [3], показавшее изменчивость этой характеристики во времени, тогда как ранее предполагалось, что вола тильность является постоянной величиной. Целью моделирования волатильно-сти является построение ее прогноза и изучение различных аспектов рыночной доходности. Подобные прогнозы применяются в таких областях финансовой деятельности, как риск - менеджмент [4], оценка стоимости финансовых инструментов [5], определение структуры портфеля ценных бумаг [б], выбор оптимального времени для осуществления операций на рынке [7] и т.д. В каждом из этих случаев немаловажным оказывается построение оценки волатильности, ожидаемой в будущем.
Оба указанных выше направления исследований продолжают развиваться, опираясь на новейшие разработки в области эконометрики. Стремление «подобрать» модель, наиболее точно соответствующую реальному поведению финансовых рынков, и повысить качество строящихся прогнозов ведет к появлению, как новых классов моделей, так и модификаций уже существующих.
Таким образом, построение и исследование математических моделей, адекватно описывающих динамику таких финансовых инструментов как акции, облигации, опционы, котировки валют и др., в настоящее время является актуальным направлением финансовой математики. В связи с чем, становится необходимым изучение статистических характеристик и особенностей структуры финансовых временных рядов, вычисление параметров моделей, описывающих эволюцию финансовых инструментов и определение вида распределения стохастического процесса, лежащего в основе рыночных флуктуации.
Актуальность перечисленных проблем предопределила выбор темы диссертационной работы.
Современное состояние проблемы. Основные вопросы, связанные с разработкой моделей и построением алгоритмов оценки и прогнозирования стоимости финансовых инструментов рассмотрены в работах таких зарубежных специалистов как: Engle R.F. [62-77], Bollerslev Т. [50-57], Nelson D.B. [97-101], Fama E. [76], Mandelbrot B. [94], Shephard N. [31], Taylor S.J. [109], Barndorff-Nielsen O.E. [44-46], Andersen T. [37-43] и др.
В российской науке наиболее значительный вклад в исследование указан ных проблем внесли Ширяев А.Н. и группа ученых, работающих под его руководством в математическом институте им. В.А.Стеклова [25,30,34-36], отдельными задачами занимаются такие ученые как Суслов В.И., Ибрагимов Н.М., Талышева Л.П., Цыплаков А.А. [26], Терпугов А.Ф. [27,28], Медведев Г.А. [22] и др.
Актуальность проблем оценивания волатильности и прогнозирования стоимости финансовых инструментов привлекает к этой области исследования все большее количество ученых, которые пытаются ее решить, используя как традиционные, так и новые подходы: вейвлет- анализ [65], фрактальный анализ [66], нейросетевое программирование [67], спектральный анализ [68].
Однако, наибольший интерес сосредоточен вокруг моделей из семейства стохастических условно-гауссовских моделей (ARCH-Autoregressive Conditional Heteroscedasticity), многообразие которых, позволяет учесть особенности финансовых временных рядов независимо от их происхозкдения и дает достаточную точность прогноза без субъективной интерпретации входных данных, поступающих с торгового терминала.
В этой области традиционно исследования ведутся в двух самостоятельных направлениях, первое из которых характеризуется разработкой адекватных моделей функции волатильности с последующей оценкой ее параметров, а второе - разработкой алгоритмов идентификации функции распределения доход-ностей финансовых инструментов.
В связи с чем, оказываются необходимыми дальнейшие исследования, связанные с разработкой алгоритмов, сочетающих в себе и первое, и второе направления.
Таким образом, приведенные аргументы обусловили цели и задачи диссертационного исследования.
Целью работы является выявление и формализованное описание эмпирических закономерностей финансовых временных рядов, разработка алгоритмов и комплекса программ оценивания параметров функциональной и стохастической волатильности и прогнозирования стоимости финансовых инструментов.
Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие задачи:
1. Выявить и проанализировать особенности структуры и динамики финансовых временных рядов.
2. Разработать алгоритм оценивания параметров волатильности на основе обобщенной авторегрессионной модели условной гетероскедастич-ности.
3. Разработать алгоритм оценивания параметров волатильности на основе модели стохастической волатильности.
4. Разработать алгоритм идентификации функции распределения доход-ностей финансовых активов.
5. Разработать комплекс программ, реализующий алгоритмы оценивания параметров волатильности, идентификации функции распределения доходностей и прогнозирования стоимости финансовых инструментов.
6. Апробировать комплекс программ прогнозирования на основе реальных данных, поступающих с торгового терминала.
Объектом исследования являются реальные финансовые временные ряды на примерах обменных курсов ряда валют: швейцарский франк (CHF), английский фунт стерлингов (GBR), японская иена (YEN), канадский доллар (CAD), единая европейская валюта (EUR) к доллару США (USD) за период со 2 января 1997г. по 29,12.2006г. (около 2600 наблюдений для каждого ряда).
Предметом исследования являются: математические модели волатильности финансовых временных рядов, алгоритмы оценивания параметров волатильности, алгоритмы прогнозирования стоимости финансовых инструментов с учетом влияния вида функции распределения доходностей. На защиту выносятся следующие результаты: 1. Алгоритм оценивания параметров волатильности на основе обобщенной авторегрессионной модели условной гетероскедастичности с заданным лагом.
2. Алгоритм идентификации функции распределения доходностей финансовых инструментов.
3. Результаты прогнозирования стоимости финансовых инструментов с использованием нормального обратно - гауссовского распределения.
Научная новизна результатов исследования состоит в следующем:
1. Разработан новый алгоритм оценивания параметров волатильности, отличительной особенностью которого является использование лага фиксированной длины. Кроме того, в отличие от известных методов оценивания, в данном алгоритме не требуется информация о функции распределения доходностей финансовых инструментов.
2. Разработан алгоритм оценивания параметров стохастической волатильности с использованием метода последовательного анализа и фильтра Калмана - Бьюси.
3. Впервые исследована возможность использования нормального обратно -гауссовского распределения для прогнозирования стоимости финансовых инструментов на примере обменных курсов валют.
Методология и методы исследования. Теоретическую и методологическую основу диссертационной работы составляют труды отечественных и зарубежных ученых - специалистов в области построения и анализа моделей, описывающих динамику финансовых временных рядов.
Диссертационная работа основана на использовании методов анализа временных рядов, имитационного моделирования, математической статистики, последовательного анализа, а также численных методов.
Программное обеспечение реализовано в среде программирования Borland Delphi 7.0, проверка конкретных расчетов осуществлялась в среде MathCad 12 и в системе автоматизации математических вычислений «Макрокалькулятор».
Практическая значимость. Разработан комплекс программ для оценивания параметров функциональной и стохастической волатильности, идентификации функции распределения доходностей и прогнозирования стоимости финансовых инструментов.
Разработанные в диссертации алгоритмы оценки и прогноза и их программные реализации используются для оценивания и прогнозирования реальной ситуации на финансовом рынке, для решения задач доверительного управления капиталом, для прогнозирования стоимости финансовых инструментов.
Личный вклад автора. Постановка задач исследования выполнена совместно с научным руководителем А.А. Мицелем. Проведение обзорных н теоретических исследований, разработка алгоритмов оценивания и прогнозирования, проведение экспериментальных исследований и создание комплекса программ осуществлены автором лично.
Апробация работы. Основные теоретические результаты и законченные этапы диссертационной работы, а также результаты прикладных исследований и разработок докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:
? XII международная научно - практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (Томск, 27-31 марта 2006г.);
? Научная сессия ТУСУР (Томск, 3-7 мая 2006 г.) секция «Математическое моделирование в технике, экономике и менеджменте»;
? Научная сессия ТУСУР (Томск, 3-7 мая 2006 г.) секция «Автоматизация управления в технике и образовании»;
? XIII международная научно - практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (Томск, 2-5 апреля 2007 г.);
? Научная сессия ТУСУР (Томск, 4-7 мая 2007 г.) секция «Математическое моделирование в технике, экономике и менеджменте»;
Научная сессия ТУСУР (Томск, 4-7 мая 2007 г.) секция «Автоматизация управления в технике и образовании»;
? научный семинар кафедры ТОЭ ТУСУР (2006 - 2007 г.г.);
? научный семинар кафедры АСУ ТУСУР (2005 - 2007 г.г.);
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 14 научных публикациях, в числе которых публикации в журналах, рекомендованных ВАК - 2, научных и научно-технических сборниках - 3 , трудах Всероссийских и Международных конференций - 6, учебном пособии - 1, в отраслевом фонде алгоритмов и программ - 2.
Результаты работы внедрены:
- в финансовой компании «БрокерКредитСервис»;
- в консалтинговой компании «Томск-Телетрейд»;
- в учебном процессе Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР);
Достоверность результатов работы подтверждается исходными теоретическими, методологическими и практическими данными исследований, апробацией результатов и успешным внедрением в финансовых компаниях, осуществляющих работу на валютном и фондовом рынках.
Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, приложений и содержит 140 страниц основного текста, 19 рисунков, 7 приложений, 112 использованных источников, в том числе 76 зарубежных.
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ
Во введении дана общая характеристика работы: обоснована ее актуальность, сформулированы цели и задачи исследования, представлены основные положения, выносимые на защиту, показана научная новизна и практическая значимость работы, приведены основные результаты апробации и краткое содержание диссертации.
Первая глава содержит обзор работ, посвященных построению моделей финансовых временных рядов. Проведена систематизация моделей, исследованы свойства этих моделей. Рассмотрены закономерности, существующие на финансовом рынке, преимущества и недостатки моделей финансовых временных рядов.
Описаны существующие методы оценивания параметров волатильности и приведены постановки основных задач, решаемых в диссертации: исследование структуры и статистических зависимостей финансовых временных рядов, оценивание параметров функциональной и стохастической волатильностей, идентификация функции распределения доходностей и прогнозирование стоимости финансовых инструментов с учетом особенностей эмпирических данных.
Вторая глава посвящена оцениванию параметров волатильности. В п. 2.1. предложен алгоритм оценивания параметров волатильности на основе обобщенной авторегрессионной модели условной гетероскедастичности с заданным лагом.
В п. 2.2. описан алгоритм построения гарантированной оценки параметров стохастической волатильности на основе метода последовательного анализа, рассмотрены свойства полученных оценок и предложен алгоритм построения модифицированной оценки стохастической волатильности с использованием фильтра Калмана - Бьюси.
В заключение главы 2 приводится описание программ оценивания параметров волатильности на основе обобщенной авторегрессионной модели условной гетероскедастичности и модели стохастической волатильности.
В третьей главе ставится задача идентификации функции распределения доходностей финансовых инструментов. Для описания распределения доходностей рассматривается нормальное обратно-гауссовское распределение из семейства обобщенных гиперболических распределений» изучаются его свойства. Предложен алгоритм оценивания параметров нормального обратно-гауссовского распределения на основе метода максимального правдоподобия и метода моментов. Используя данный алгоритм, аналогично получены оценки для гиперболического распределения, также являющегося подклассом семейства обобщенных гиперболических распределений. В конце главы приводится описание программ оценивания параметров нормального обратно - гауссовско-го и гиперболического распределений.
Четвертая глава содержит анализ эмпирических данных на примере пяти финансовых временных рядов обменных курсов валют: швейцарский франк, английский фунт стерлингов, японская иена, канадский доллар и единая европейская валюта к доллару США за период со 2 января 1997г. по 29.12.2006г. (около 2600 наблюдений по каждому ряду)
Проведены следующие исследования:
- исследованы статистические характеристики временных рядов и описаны их особенности;
- осуществлена проверка статистических гипотез на стационарность и нормальность изучаемых временных рядов;
- получены оценки параметров волатильности согласно предложенным алгоритмам с различными временными лагами и вычислены значения относительной погрешности оценок;
- выбрано оптимальное значение лага, обеспечивающее наилучшие оценки параметров модели;
- произведена идентификация функции распределения доходностей финансовых инструментов;
- осуществлено имитационное моделирование исследуемых временных рядов на основе обобщенной авторегрессионной модели условной гетероскеда- стичности с нормальным распределением, распределением Стьюдента, распределением Лапласа, гиперболическим и нормальным обратно - гауссовского распределениями и модели стохастической волатильности.
Глава содержит иллюстрации в виде графиков и таблиц.
В заключении подводятся итоги диссертационной работы, сформулированы основные выводы по результатам исследований. Приводятся сведения об апробации, о полноте опубликования в научной печати основного содержания диссертации, ее результатов и выводов. Указываются предприятия, где внедрены результаты диссертационной работы, и описываются перспективы данного направления исследований.
В приложение отнесены тексты программного обеспечения:
1. Программа оценивания параметров волатильности на основе обобщенной авторегрессионной модели условной гетероскедастичности «Volatility».
2. Программа оценивания параметров волатильности на основе модели стохастической волатильности.
3. Программа оценивания параметров гиперболического и нормального обратно - гауссовского распределений.
4. Комплекс программ прогнозирования стоимости финансовых инструментов «Predict».
5. Акты о внедрении результатов диссертационной работы.
6. Свидетельства ОФАП.
Особенности моделей стоимости финансовых инструментов
Проблема «правильного» описания эволюции финансовых инструментов имеет давнюю историю и занимает в теоретических и прикладных исследованиях заметное место.
Начало математическому описанию эволюции цен акций S = (St) было положено Л.Башелье [30]. В 1900 году он опубликовал свою знаменитую диссертацию по «теории спекуляции», основная идея которой состояла в том, что вероятностные методы математической физики могут быть использованы для анализа динамики рыночных цен, если от самих цен активов прейти к их приращениям. Используя процесс броуновского движения W = ( ) ,,» Башелье предложил модель «случайного блуждания»: St = S0+\it + oWt,
С двумя постоянными параметрами (Х,а). При этом, параметр д характеризует локальный снос (норму возврата, коэффициент роста), а параметр а - стандартное отклонение, которое в финансовой литературе принято называть ео-латилъностъю. В 1965 году П.Самуэльсон показал, что предпочтительнее сначала перейти к логарифмам цен - возникла концепция геометрического (экономического) броуновского движения: S,=S(A 0.1) которая заключалась в том, что приращения =taS,a$_,=hiA- (1.2) имеют нормальное распределение.
Гипотеза о том, что S = (S() _ подчиняется геометрическому броуновскому движению, приводит к тому, что для всех значений t 0 величины yt определяются последовательностью нормальных одинаково распределенных независимых случайных величин. Однако, в финансовой литературе, посвященной проверке этих свойств последовательности \ytj, неоднократно указывалось, что предположение о гауссовости не оправдывается в связи с тем, что эмпирические функции плотности более вытянуты в окрестности среднего значения и имеют более «тяжелые хвосты», чем для нормального распределения.
В начале 60-х годов Б.Мандельброт в качестве альтернативы нормальному распределению предложил использовать устойчивые распределения для приращений [94]. Успех использования устойчивых распределений для описания величин yt связан с тем, что в этом случае появляется возможность оперировать с четверкой параметров (а,р,ц.,ст). Основное возражение против использования устойчивых распределений состоит в том, что оценивание параметра а по возрастающему числу наблюдений приводит к оценке, которая не имеет тенденции стабилизироваться [52].
Неудовлетворенность практических участников финансового рынка результатами, полученными на основе нормального приближения, заставила исследователей искать новые распределения и разрабатывать новые подходы для обработки эмпирических финансовых данных. Так, Кларк [36] предложил использовать смесь нормальных распределений, в работах [96] для описания временных рядов было использовано обобщенное распределение Парето, в [25] -обобщенное распределение Стьюдента, в [39] - распределение Лапласа.
В последнее время внимание исследователей привлекает класс обобщенных гиперболических распределений (Generalized Hyperbolic - GH), который в 1977 году ввел Барндорф-Нильсен [44]. Как и в случае устойчивых распределений, обобщенные гиперболические распределения также характеризуются четырьмя параметрами.
Другая альтернатива для описания динамики финансовых активов состоит в том, чтобы «разрешить» параметрам модели (в частности, математическому ожиданию и дисперсии) меняться во времени.
Первыми такими моделями были линейные стохастические гауссовские модели, которые долгое время применялись для описания финансовых времен ных рядов. Причины популярности этих моделей кроются, с одной стороны, в их простоте, с другой стороны, в том, что уже с небольшим числом параметров ими можно аппроксимировать весьма широкий класс стационарных последовательностей. Особую популярность линейные модели приобрели после выхода в свет книги Дж. Бокса и Г. Дженкинса «Анализ временных рядов» [2].
Этот класс моделей характеризуется тремя основными моделями: модель скользящего среднего (MA - Moving Average), модель авторегрессии (AR -Autoregressive) и смешанная модель авторегрессии и скользящего среднего (ARMA)
Алгоритмы оценивания параметров волатильности
Последние исследования в области финансовой математики показали, что волатильность носит стохастический характер, т.е. волатильность «сама по себе волатильна» [31]. Также было доказано, что волатильность не является постоянной во времени и, что модели со стохастическим непостоянством могут быть использованы для описания эволюции финансовых инструментов, например, обменных курсов валют.
Рассмотрим модель стохастической волатильности (SV) Уп=пЕп Ыо2„ = aQ + alhia2n_l +yvv„, (2.11) где ап - ненаблюдаемый процесс волатильности, уп - наблюдения, {vn}, {є„} -шумы. Пусть v„ = 0, Ev\ =1, (1пє )2 . Предположим, что параметры Yv и Р = (1п„) являются известными. Обозначим в = [а0,аі] - вектор неизвестных параметров.
Параметры модели стохастической волатильности в литературе предлагается оценивать методом Монте-Карло или строить байесовские оценки [86]. Однако, предлагаемые методы являются трудоемкими и не позволяют построить оценку с априорно заданной точностью.
В работе ставится задача построения оценки неизвестных параметров стохастической волатильности с априорно заданной точностью.
После несложных преобразований модель SV можно привести к системе линейных уравнений [11,91]: „= Л+Л„, (2.12) и = «о+ , „_,+Yvv„, (2.13) где хп =Ьа , zn =1п -р, л„ =Ine«-Р Известно [86], что если шумы vn, Єп являются гауссовскими: vfl и є, -N(0,1), то Р = Е(1пє ) = -1,27; В(\ж2а)=4,93. Рассмотрим частный случай, где а0 = 0, т.е. имеется только один неизвестный параметр а,: « = ai «-i+YvV (2.14) Для построения гарантированной оценки щ воспользуемся методом последовательного анализа [92]. Пусть Н 0. Определим правило останова N = N(H) как т Заметим, что N(H)-l N(H) х1, Н-у1 J 4-І. Л=1 я=1 н тогда гарантированная оценка для а,, будет иметь вид: ЛГ(#)-1 хп-\хп + РІЮ %(Я)-1 XN(H) «iws n=Wi X -і+ц( )-4(я)-і и=2 (2.15) Я-Yv xN(H)-l XN(H) n=2 где д(Н) - корректирующий множитель, который единственным образом определяется из уравнения: ЩЯ)-1 X 4-l+»(H) XN(H)-\=H-yl. и=2 Свойства этой оценки формулируются в следующем утверждении. Для процесса, определенного формулой (2.14) и оценки cti(H), определенной в (2.15) для каждого Н 0 имеет место: 49 1.P(N(H) ) = 1, 2.Ea,(H) = a, для -w at +«, 3. sup Е(а1(Н) л1)2 — Д, где Д - заданная точность. 1 н Возвращаясь к основной задаче, из (2.12),(2.13) имеем: zn=a0+aizn_l + nJ (2.16) где =Ti„-aiVi+Yvv«- (2-17) Уравнение (2.16) может быть переписано в векторно-матричном виде: z„=zlre + t„, (2.18) где Z„=(l,z„f. (2.19)
Гарантированная оценка для вектора неизвестных параметров 8 строится на основе оценки Юла - Уокера, определенной следующими формулами: N N N=2 (2.20) N = ZjZn 2Zn-b п=2 где Gtf - обратная матрица к GN (которая по предположению существует). Оценка Юла - Уокера используются здесь вместо МНК - оценки, так как она является асимптотически несмещенной в предположении, что шум і\п Ф 0 в наблюдениях (2.9). Для построения гарантированной оценки используется следующая двухэтапная процедура. На первом этапе выберем такую неубывающую последовательность ск, что ск О и \imck = +о, при этом - «. (2.21) По мере наблюдения процесса {zn}, последовательно находятся марковские моменты гк = х(ск) по формуле: :( )=inf т m 2: \\Zn_x\ ск 0 и=2 (2.22) Здесь І ! - Евклидова норма для векторов и матриц, т.е. в =tr(B-Br). Дня каждого тк, к 1 модифицированная оценка Юла - Уокера определяется как: ёк=9(т(ск)), 6( )) = ( т(С,)-1 X Z«-2 tZn +H(cJfc)-ZT(Ci)-2 Не, и=2 (2.23) 4( Н Чск) 4Г 2 Zn-2 Zn-\ + &(ск ) Zx(ck )-2 Zt(ct )-1 n=2 где M-(c(t) " корректирующий множитель, единственным образом определяющийся уравнением: 1К-2І2 +l to) Kct)-2 л=2 = (2.24) Второй этап включает в себя оценивание количества оценок вд. типа (2.23), использованных этой процедурой. Для того, чтобы закончить процедуру, введем параметр # 0, определяющий последовательный план (N(H)tQ (H))t который состоит из длитель ности N(H) и оценки 9(#): к Г1 к 5 -2М к=\ J к=Л (2.25)
Здесь К - количество оценок типа (2.23), вошедших во взвешенное среднее, при этом К определяется следующей формулой: K = K(H) = ivf (2.26) где bk = b(ck) определяются следующим образом: _h- -\\e;l J 2 (2.27) det[G-(y 0, О, det[G )]=0.
Важным свойством плана (ЛГ(Я),8(Я)) является тот факт, что оценка 9(Я) характеризуется априорно известной среднеквадратической ошибкой. Указанное обстоятельство формулируется следующим образом [15]: Пусть {v„}, {є„} - последовательности независимых случайных величин таких, что: Evn = О, Evn = 1, Е 1ПЕИ » и процесс (2.8) устойчив, т.е. О aj 1.
Тогда для любого Н 0 последовательный план (N(H),6(H)) обладает следующими свойствами [92]: 1) N(H) оо с вероятностью почти наверное; 2)5ир ё(Я)-е2 , 8є0 " Я где Р=ЧГ )±, в = {(а0,а1): » а0 -н», -l al +l}. (EQ означает математическое ожидание по параметрам 0G0,aj)
Вычислительные аспекты алгоритмов оценивания параметров в моделях стохастической волатильности связываются обычно с фильтром Калмана-Бьюси [10].
Для оценки параметров стохастической волатильности х„ = 1пап естественно было бы воспользоваться оптимальной в среднеквадратическом смысле оценкой [4]: mn = E(xn\yv...,yn),
К сожалению, нелинейность рассматриваемой модели делает задачу отыскания тп в явном виде почти безнадежной. Поэтому, необходимо линеаризовать модель и далее воспользоваться теорией «гауссовской линейной фильтрации Калмана-Бьюси». Модель стохастической волатильности, как было показано выше, может быть приведена к системе линейных уравнений без потери информации: 2п=хп+Лп С2-2») хп = a0 + alxn_l + 3vvnt (2.29) где {vn,iln,n О}- последовательность независимых одинаково распределенных величин с нулевым средним и единичной дисперсией, распределение которых неизвестно. Тогда, при допущении, что тп = Е(хп zlv..,z„) и дисперсия уп =(хп тп) , соответствующая система рекуррентных уравнений оптималь ной линейной фильтрации, определяющая эволюцию величин пи и у„» имеет следующий вид:
Семейство гиперболических распределении
Решение задачи прогнозирования стоимости финансового инструмента определяется двухэтапнои процедурой, на первом этапе которой вычисляются параметры функции волатильности. Содержание второго этапа алгоритма прогнозирования определяется процедурой идентификации функции распределения доходностей.
Первоначальные исследования были связаны с предположением о нормальности дневных приращений цен акций, котировок валют и т.д. Однако, как уже было сказано, такое предположение не обосновано, так как приращения не имеют нормального распределения. У эмпирической функции плотности распределения, построенной на основе исторических данных, существует ненулевой эксцесс и асимметрия. Кроме того, присутствует вытянутость функции плотности в є-окрестности точки математического ожидания, а так же наблюдаются так называемые «тяжелые хвосты», когда вероятность значительных изменений ценовых приращений выше, чем для нормального распределения. Математически это означает, что случайный процесс является негауссовым с долговременной корреляцией между данными.
В связи с чем, на различных этапах исследований в течение ряда последних лет для описания временных рядов предлагалось использовать различные распределения: обобщенное распределение Парето, распределение Стьюдента, распределение Лапласа.
В последнее время внимание исследователей привлекает класс обобщенных гиперболических распределений, имеющих ряд привлекательных свойств для описания финансовых временных рядов: асимметричность и «тяжелые хвосты», убывающие по показательному закону, т.е. медленнее, чем хвосты нормального распределения.
В данном исследовании предлагается алгоритм прогнозирования цены финансового инструмента на основе модели GARCH(1,1) с использованием следующих распределений: - нормальное распределение; - распределение Стьюдента; - распределение Лапласа; - гиперболическое распределение; - нормальное обратно-гауссовское распределение.
В 1977 году Barndoff-Nielsen [44] описал класс обобщенных гиперболических распределений (Generalized Hyperbolic - GH), который стал очень популярным в областях теоретической и практической статистик. GH-распределение активно использовалось в физике, биологии и агрономии, а в 1995 г. Eberlein и Keller впервые использовали это распределение в финансах [89]. Обобщенное гиперболическое распределение имеет ряд свойств, которые являются привлекательными для описания финансовых временных рядов: во - первых, оно позволяет учитывать асимметричность и хвосты GH-распределения убьшают по показательному закону, т.е. медленнее, чем хвосты нормального распределения.
В диссертационной работе рассматриваются распределения, которые являются подклассами обобщенного гиперболического распределения: гиперболическое распределение (Hyperbolic - HYP) и нормальное обратно - гауссовское распределение (Normal Inverse Gaussian - NIG), которое является относительно новым [45].
Несмотря на то, что эти распределения имеют более сложные функции плотности по сравнению с известными распределениями, они дают эффективные результаты при описании финансовых временных рядов.
В работе рассматривается возможность построения оценок параметров гиперболического и нормального обратно - гауссовского распределений методом максимального правдоподобия и их использование при прогнозировании стоимости финансовых инструментов.
Оценивание параметров волатильности
Комплекс программ «Predict» предназначен для прогнозирования стоимости финансовых активов, таких как акции, котировки валют, опционы и т.д. Программный комплекс включает в себя следующие модули и программы: 1) модуль интеграции в торговый терминал MetaQuotes MetaTrader4; 2) программу оценки параметров гиперболического (Hiperbolic Distribution) и нормального обратно-гауссовского (NIG - Normal Inverse Gaussian Distribution) распределений; 3) программу идентификации распределения доходностей финансовых инструментов; 4) программу прогнозирования стоимости финансовых инструментов. Модуль интеграции в торговый терминал MetaQuotes MetaTrader4.
В торговом терминале MetaQuotes MetaTrader4 выбирается временной период и тип финансового инструмента. Используя модуль, в окне терминала выбирается количество желаемых значений для анализа и генерируется три файла массивов данных: - цены финансовых активов; - даты; - общие данные (тип финансового актива, количество данных, дата формирования данных). Программа оценивания параметров HYP - и NIG - распределений Программа считывает данные, сформированные модулем, оценивает параметры HYP - и NIG - распределений и выводит их значения распределений. Программа идентификации распределения доходностей финансовых инструментов.
Используя распределения типа: нормальное распределение, распределение Лапласа, гиперболическое распределение и нормальное обратно - гауссов ское, программа осуществляет имитационное моделирование выбранного финансового актива и для каждого распределения вычисляет среднеквадратиче-скую ошибку между эмпирическими и моделируемыми данными.
Программа прогнозирования стоимости финансовых инструментов Используя распределение, обеспечивающее минимальную среднеквадра-тическую ошибку, программа реализует прогноз финансового инструмента и выводит результаты прогноза в виде графиков.
Алгоритм работы программного комплекса «Predict» 1. Загрузка первичных данных, сформированных модулем в торговом терминале. 2. Первичная обработка данных и определение статистических характеристик эмпирической выборки. 3. Активизация программы для определения параметров HYP - и NIG -распределений и создание файла с результатами выполнения программы. 4. Вычисление среднеквадратической ошибки для каждого из распределений и идентификация наилучшего в смысле будущего прогноза распределения ненаблюдаемой компоненты. 5. Считывание параметров волатильности, оценка которых производится в программе «Volatility» 6. Осуществление прогноза стоимости исследуемого финансового инструмента. 7. Экспорт полученных результатов прогноза в Microsoft Excel для их визуализации. Руководство пользователя Работа комплекса программ сводится к выполнению следующих 5 шагов: Шаг 1. Активировать торговый терминал, выбрать финансовый инструмент, период и инициализировать модуль GARCH. Данный модуль является опцией СКРИПТ панели НАВИГАТОР Поле «Ср. кв. отклонение» показывает величину ошибки прогноза для вы-бранного распределения. Клавиша .3 J позволяет создать книгу, Б которой создаются ЛИСТЫ С данными и графикам.и эмпирических и прогнозных данных для выбранного распределения. Клавиша J t t J создает директорию со списком файлов для дальнейшего анализа в других математических и статистических пакетах. Имена сохраняемых файлов 1. SigmaG.txt- файл волатидьноети GARCH(U) е найденными параметра-ми 2. SigH3afC.txt - фстйл эмпирической волатильностыо с заданным лагом 3. Param.txt - файл с найденными параметрами ClARCH{i,l), MG, HYP 4. NigjG.txt - файле генерированными случайными величинами NIG 5. Нyp.G.txt - файл с генерированными случайными величинами HYP 6. Norm G.txt - файл с генерированными случайными величинами Morma)(CU} 7. NJg__Pr,ixt. - файл формированными прогнозными значениями NK1 8. Hyp РґЛхі - файл с формированными прогнозными значениями HYP 9. Nonn Pr.txt - файл с формированными прогнозными значениями КолгшІ(ОЛ) Результаты внедрений системы
Комплекс программ Predict» дает возможность автоматизировать весь процесс прогнозирований и. осуществлять расчеты в реальном режиме времени, что существенно уменьшает время анализа е момента формирования первичных данных - до осуществления, прогноза в опережавшем масштабе времени.
Комплекс прошел апробацию к внедрен в Томских компаниях «Томск-Теяетрейд» и «БрокерКредшСервис»» а также в учебном процессе Высшего колледжа информатики адектооняки и менеджмента (ВКИЗМ) ТУСУРа.
