Содержание к диссертации
Введение
1 Индексы потребительского спроса 14
1.1 Индексный метод 14
1.2 Основные направления в теории индексов 19
1.3 Бинарные статистические индексы. Тесты Фишера 21
1.4 Индексы в непрерывном времени Дивизиа 25
1.5 Аналитические индексы 26
1.5.1 Задача максимизации полезности 26
1.5.2 Примеры функций полезности и построение функций спроса 29
1.5.3 Задача минимизации расходов. Полные аналитические индексы 31
2 Непараметрический метод Африата-Вэриана. Инвариантные и квазиинвариантные индексы 36
2.1 Однородные предпочтения. Инвариантные индексы 37
2.2 Обратная задача теории потребительского спроса 40
2.3 Однородная теорема Африата и инвариантные индексы . 42
2.4 Определение и свойства квазиинвариантных индексов . 45
2.5 Основные подходы к решению неравенств Африата 47
2.6 Проблема несовместности. Известные подходы 48
2.7 Алгоритм Варшалла-Флойда 51
3 Метод и алгоритмы решения неравенств Африата 53
3.1 Специальная система 54
3.2 Общая система 56
3.3 Оценка точности полученного решения 58
3.4 Алгоритм симплекс-метода для ограничений-неравенств . 59
3.5 Алгоритм поиска нормального решения 65
3.6 Преобразования общего квадратичного функционала . 69
3.7 Схема решения неравенств Африата разработанным методом 74
4 Экспериментальные исследования инвариантных и квазиинвариантных индексов с использованием разработанных программ 76
4.1 Закон спроса и индексы потребления 76
4.2 Тестовые примеры 79
4.3 Инвариантные индексы потребления продуктов питания. Швеция, 1921-1938 г.г. 82
4.4 Моделирование данных о спросе 86
4.4.1 Пример 1 88
4.4.2 Пример 2 91
4.5 Исследование рынков продовольственных товаров 94
4.5.1 Российская Федерация, годовые индексы за 2000-2007г.г. 94
4.5.2 Ульяновская область, годовые индексы за 2004-2007 г.г. 98
4.5.3 Ульяновская область, месячные индексы за 2007 год 104
Заключение 113
Приложение
- Бинарные статистические индексы. Тесты Фишера
- Обратная задача теории потребительского спроса
- Алгоритм симплекс-метода для ограничений-неравенств
- Инвариантные индексы потребления продуктов питания. Швеция, 1921-1938 г.г.
Введение к работе
Экономическая теория и методы количественного анализа в последние десятилетия развиваются в существенной мере благодаря математическим методам. Однако до настоящего времени остаются разделы экономической науки и практики, в которых использование эффективного метода математического моделирования не соответствует его потенциалу. Это, но нашему мнению, относится к методам построения экономических индексов.
Диссертация посвящена развитию и реализации численных методов построения аналитических индексов потребительского спроса, учитывающих рациональность поведения потребителей на рынках продуктов и услуг (благ) конечного потребления.
История индексологии насчитывает более двухсот лет, однако ее современное состояние характеризуется множественностью подходов [53], их слабой согласованностью, субъективизмом исследователей и политиков, использующих индексный метод. Как научное направление индексология сформировалась в 20-ые годы XX века.
Современная экономика характеризуется очень большой номенклатурой выпускаемых товаров. Это существенно усложняет задачу анализа и регулирования многопродуктовых рынков и производств. Цены и количества выпускаемых и продаваемых продуктов меняются во времени с различными темпами, что затрудняет объективную оценку изменения экономической конъюктуры в целом, для всей экономики и ее сегментов.
Кроме того, при разработке государственных экономических и социальных программ, а также при контроле за эффективностью их реализации
очень важно проследить изменение структуры объемов и цен многопродуктового производства и потребления, выяснить относительную значимость двух многомерных наборов количеств и цен для различных моментов времени. Снизить размерность экономических показателей и тем самым упростить задачу анализа и регулирования экономики позволяет процедура агрегирования, то есть введение обобщенных скалярных показателей количеств (объемов) и цен потребления для отдельных групп товаров, выделяемых на основе схожих свойств и характеристик. Теория и методы агрегирования, а значит, и анализа многомерных экономических показателей тесно связаны с понятием индексов количеств и цен потребления.
Под экономическими индексами мы понимаем обобщенные скалярные показатели характера изменения многомерных экономических явлений (в данном случае потребления) во времени и в пространстве.
Используемые в экономико-статистической практике индексы количеств и цен потребления относятся к классу бинарных статистических [29, 35], рассчитываемых по двум парам многомерных наборов (векторов) "цены-количества", соответствующим сравниваемым ситуациям. Эти многочисленные методы представляют субъективизм исследователей и политиков, но игнорируют субъективизм и рациональность потребителей.
Наиболее применяемыми в экономической статистике оказались индексы цен и количеств Ласпейреса и Пааше, в которых индексируемый показатель строится на основе соответственно базового и текущего набора цен или количеств потребления. Кроме них было разработано множество альтернативных методик построения экономических индексов, но значения, полученные с их помощью, различаются, что затрудняет их использование для объективного анализа особенно в периоды экономической нестабильности [1, 2, 29].
Качество различных индексов потребления принято оценивать по их соответствию известной системе "тестов" (аксиом) И.Фишера [35]. Основной
интерес представляют три теста - транзитивности (цепное свойство), мультипликативности и промежуточности [29]. Индексы Ласпейреса и Пааше удовлетворяют из этих тестов только тесту промежуточности.
Теория экономических индексов до 20-х годов XX столетия развивалась независимо от теории потребительского спроса как статистическая теория, оперирующая произвольно сформированными наборами количеств товаров и их цен без выявления каких-либо функциональных связей между этими показателями спроса, вытекающих из рациональности поведения потребителей, приспосабливающихся к меняющейся конъюнктуре рынка в соответствии со своими субъективными предпочтениями.
Новый подход к проблеме индексов, позволяющий рассчитывать на преодоление отмеченной множественности систем индексов, порождаемой субъективизмом различных исследователей, был заложен в работе советского экономиста-математика Конюса [38] в 1924 году. Его идеи легли в основу нового направления в теории экономических индексов, названного теоретико-экономическим [3, 86] или аналитическим [29, 19]. Основой этого направления является предположение о рациональном поведении потребителей, которые максимизируют свою субъективную полезность при бюджетном ограничении. В современной трактовке классической модели потребительского выбора максимизация полезности заменена на выбор наиболее предпочтительного набора на доступном (при данных ценах и уровне расходов) множестве товаров. Это позволило использовать модель рационального потребления для построения аналитических индексов. Конюс ввел "истинный индекс стоимости жизни" как отношение стоимостей двух наборов товаров, обеспечивающих одинаковый уровень потребления при разных ценах. Подход Конюса был развит или переоткрыт в ряде работ англоязычных авторов [71, 86, 77, 87, 75], однако до недавнего времени был проигнорирован отечественными специалистами.
Несмотря на очевидную прогрессивность этой идеи, аналитические ин-
дексы до настоящего времени не вошли в полной мере в статистическую практику и спорадически появляются как объект исследования в отдельных научных публикациях [88, 23, 45, 46, 60, 61]. Мы выделяем две основные причины, препятствующие развитию и внедрению в статистическую практику аналитических индексов, - методологическую и техническую.
Методологическая причина, сдерживающая развитие аналитического направления, заключается в известной несостоятельности традиционно излагаемой теории потребительского спроса как раздела микроэкономики [85]. Здесь одна и та же модель максимизации функции полезности на множестве товаров ограниченной стоимости применяется как к индивидуальному потребителю, так и к ансамблю потребителей некоторого рынка1. Такая схема объясняется желанием построить теорию макрообъекта - рыночного (агрегированного) спроса - через теорию микрообъекта - индивидуального потребителя, причем на основе одинаковой аналитической модели максимизации полезности. При этом естественно возник вопрос об аналитических свойствах индивидуальной и коллективной функций полезности, обеспечивающих корректное агрегирование [85]. Ответ был дан в статье У. Гормана 1953 года [79]. Оказалось, что необходимым и достаточным условием корректного агрегирования является "выпрямление" кривых Энгеля для всех покупателей, причем все индивидуальные прямые Энгеля должны быть параллельными. Аналогичный результат получен в последние годы В.И. Зоркальцевым [31]. Класс соответствующих предпочтений является некоторым обобщением однородных предпочтений2, совершенно недостаточным для представления известных свойств наблюдаемого рыночного спроса, установленным на основе анализа торговых статистик (классификация благ как ценных, малоценных, заменителей, дополнителей...). Также
LB большинстве курсов микроэкономики излагается только теория индивидуального потребления
[4, 34, 25].
2Потребительские предпочтения называются однородными, если спрос на различные продукты пропорционален суммарным расходам.
необходимо отметить, что в традиционной схеме агрегирования индивидуальные потребители считаются автономными и независимыми. Но это противоречит очевидному взаимовлиянию потребителей через обычаи и моду, а также влиянию рекламы и другим эффектам. Ограниченности и соответствующей критике сложившейся схемы агрегирования покупателей и понятия "репрезентативного потребителя" посвящены современные статьи A.Kirman [83] и J.Chipman [73].
Далее, в 70-е годы XX столетия было установлено (теорема Дебре-Зонненшейна-Мантеля [82]), что агрегированный спрос, являющийся суммой индивидуальных спросов, которые порождаются различными предпочтениями классического типа (полных, непрерывных, транзитивных,...), может быть произвольной непрерывной функцией, удовлетворяющей расходному тождеству (закону Вальраса). Это, очевидно, также противоречит известным аналитическим свойствам рыночного спроса. Эти свойства воспроизводятся классической моделью максимизации полезности, которая накладывает жесткие аналитические ограничения на функции спроса требованием отрицательной полуопределенности и симметричности матрицы Слуцкого [85, 16].
Требование необходимой почти-однородности индивидуальных и коллективных предпочтений, а также эффект Дебре-Зонненшейна-Мантеля, делают несостоятельной традиционную схему построения теории потреблений "от индивидуального потребителя к коллективному" на основе одной и той же аналитической модели максимизации (порядковой) функции полезности. Однако эта несостоятельность не является основанием для отказа от позитивной части классической теории потребительского спроса, состоящей в формализации описания основного объекта теории - рыночного спроса, представляющего не отдельных потребителей, а их статистически значимые ансамбли, а также эффективный аппарат его качественного и количественного анализа.
Способ освобождения теории потребительского рыночного спроса от описанных противоречий предложен В.К.Горбуновым [17]. Именно анализ статистических данных, представляющих ансамбли потребителей, привел классиков теории спроса (Курно, Энгель, Госсен,...) к математической модели максимизации функции полезности и развитию современного аналитического и вычислительного аппарата. Поэтому статистический ансамбль потребителей необходимо взять за априорный объект аналитической теории спроса и признать, что для описания индивидуальных потребителей более уместен аппарат дискретных вероятностных процессов. Аналоги использования различного математического аппарата для описания сложных ансамблей и их компонент представляют физические теории сплошных сред. Поведение молекул газов и жидкостей описывается как броуновское движение (дискретный стохастический процесс), а поведение газа и жидкости, состоящих из таких молекул, - детерминированными дифференциальными уравнениями.
Техническая причина заключается в сложности построения полных аналитических индексов. Такие индексы определяются [86, 16, 19] через функцию потребительских расходов, которая представляет минимальные расходы потребителей данного рынка, обеспечивающие при заданных ценах покупку набора товаров, эквивалентного заданному набору [85]. Предпочтения ансамбля потребителей, определяющие наблюдаемый на рынке спрос, должны быть представлены соответствующей порядковой функцией полезности, называемой также функцией предпочтения [41]. Такая функция должна строиться по статистическим данным с неизбежными погрешностями. Соответствующая "обратная задача" в полном объеме (построение рационализирующей вогнутой pi дифференцируемой функции полезности) достаточно сложна и до настоящего времени методы ее решения далеки от завершения [13, 21, 16].
Разумеется, любая теория имеет свои границы применения, и функция
полезности, "рационализирующая" статистические данные, существует не всегда, особенно в периоды резких социально-экономических изменений. Но в такие периоды, как показывают исследования [29, 1,2], традиционные бинарные статистические индексы также несостоятельны для адекватной макроэкономической (агрегированной) оценки ситуации на потребительских рынках. Эффективный критерий адекватности рынков конечного потребления классической модели максимизации коллективной функции полезности был получен в 1967 году в работе С. Африата [69]. Эта работа открыла новое плодотворное направление в конструктивной теории потребительского спроса, цель которой - количественное исследование реальных рынков конечной продукции, в частности, построение индексов потребления. На основе этой работы X. Вэриан развил "непараметрический анализ" потребительского спроса [88, 89], который позволил существенно продвинуть методы построения аналитических индексов.
В случае однородных предпочтений, аналитические индексы количеств и цен потребления обладают свойством взаимной независимости. Индекс количеств определяется функцией полезности, вычисляемой на статистических наборах товаров, а индекс цен определяется множителем Лагранжа задачи максимизации полезности, причем этот множитель зависит только от цен. Соответствующие индексы рационального потребления [13] названы [86] инвариантными. Они удовлетворяют всем тестам Фишера и могут расчитываться в рамках непараметрического анализа Африата-Вэриана без построения функции полезности. Этот метод также является математическим аппаратом наших исследований и подробно излагается во второй главе. Инвариантные индексы являются основным предметом исследований российских авторов [8, 23, 60, 61], однако с иной терминологией, причем с постулированием однородности предпочтений как неотъемлемым свойством рациональности. Однако реальные предпочтения не являются однородными в общем случае, поэтому значение инвариантных индексов
ограничено, в основном, проолемой корректного агрегирования экономической информации методом поэтапного поиска номенклатурных подгрупп, спрос на которые однороден. Положительный, хотя и ограниченный относительно потенциальных возможностей опыт применения непараметрического метода к реальным данным, приведенный в этих работах, говорит о достаточно широких границах применимости классической модели потребления для построения индексов.
Диссертация состоит різ 4 глав, введения и заключения.
В главе 1 излагаются основные факты теории экономических индексов. В первой части главы уточняются понятия индексов потребительского спроса, излагаются: история возникновения и развития ипдексологии, бинарные статистические индексы Ласпейреса и Пааше, аксиоматика (тесты) Фишера, индексы в непрерывном времени Дивизиа. Вторая часть данной главы посвящена изложению теории аналитических индексов. Здесь представлены основные факты классической теории потребительского спроса, в рамках которой определяются полные аналитические индексы цен и количеств. Эти индексы являются развитием направления, заложенного в работе А.А. Конюса 1924 года, где он впервые ввел "истинный индекс стоимости жизни", учитывающий рациональность поведения потребителей.
Во 2 главе исследуются известные методы решения систем линейных неравенств Африата, возникающих в рамках непараметрического метода Африата-Вэриана решения обратной задачи теории потребительского спроса. Эта задача заключается в построении функции полезности, порождающей функции спроса, которые соотвествуют наблюдаемому на данном рынке статистическому спросу. Решением системы линейных неравенств Африата являются значения функции полезности и множителя Лагранжа для задач рационального выбора, соответствующих всем статистическим ценам и расходам. Эти значения, называемые "числами Африата", в слу-чае разрешимости специальной системы Африата определяют инвариант-
ные индексы, и в случае разрешимости общей системы Африата - квазиинвариантные индексы. Инвариантные индексы удовлетворяют всем тестам Фишера, таким образом, можно сказать, что они являются идеальными. Однако реальные предпочтения потребителей для произвольных групп товаров в общем не являются однородными, и в таких случаях инвариантные индексы не существуют. Квазиинвариантньте индексы удовлетворяют основным тестам мультипликативности и транзитивности, но в общем случае не удовлетворяют тесту промежуточности. Однако отсутствие теоретического обоснования не означает неизбежную невыполнимость свойства промежуточности для квазиинвариантных индексов, определенных для существенно более широкого множества возможных торговых статистик, чем инвариантные индексы.
В 3 главе излагается новый численный метод решения систем линейных неравенств Африата. Ввиду того, что использование реальных данных в большинстве случаев проиводит к неразрешимости линейных неравенств Африата, для решения общей и специальной систем применяется релаксационно-штрафной метод, предложенный Горбуновым [14]. Сущность его состоит в том, что вводится параметр несовместности, который делает систему неравенств совместной. Для решения специальной и общей систем неравенств Африата ставятся задачи линейного или квадратичного программирования, заключающиеся в минимизации введенного параметра или квадрата уклонения искомого набора чисел Африата от пробного набора, определяемого индексами Фишера. Эти задачи позволяют установить, совместна ли данная система в допустимых пределах. Допустимость невязки должна устанавливаться экспертами. В совместном случае по полученным решениям строятся инвариантные или квазиинвариантные индексы, наименее уклоняющиеся от индексов Фишера. В этой же главе описываются эффективные алгоритмы: симплекс-метод для ограничений-неравенств (для задачи линейного программирования) [32] и алгоритм Горбунова типа
активных наборов для решения задачи о нормальном решении (для квадратичного программирования) [11, 12].
В 4 главе представлены результаты применения разработанного метода построения инвариантных и квазиинвариантных индексов потребительского спроса. Также в этой главе предложена методика моделирования недостающих (например, помесячных) данных о количествах потребления продуктов по их суммарным (погодовым) значениям. Представлены результаты анализа некоторых рынков продовольственных товаров с помощью построенных инвариантных (если это возможно) или квазииивариаитных индексов. Использованы данные по Швеции (1921-1938 г.г., из работы [8]), г.Иркутску (90-е годы), Ульяновской области и РФ в последние годы.
Имеется Заключение и два Приложения "Описание программного комплекса", "Таблицы статистических данных". Список литературы содержит 89 источников. Из них работы автора, содержащие результаты диссертации [20, 37].
Положения, выносимые на защиту:
численный метод решения систем Африата, использующий в качестве дополнительной информации бинарные индексы Фишера,
алгоритмы линейного и квадратичного программирования для построения двух классов аналитических индексов - инвариантных для групп товаров, спрос на которые соответствует однородности потребительских предпочтений, и в случае неоднородности предпочтений - квазиинвариантных,
программный комплекс, разработанный для построения инвариантных и квазиинвариантных индексов на основе реальной торговой статистики и с применением моделирования данных о ценах и количествах потребления продуктов,
Автор выражает искреннюю благодарность и признательность научному руководителю В.К.Горбунову.
Бинарные статистические индексы. Тесты Фишера
Стохастический подход является самым старым. Его начало восходит к работам У.Джевонса (1863; 1865) и Эджуорта (1888). Суть данного подхода состоит в том, что темпы роста цен на отдельные товары рассматриваются как случайные независимые реализации величины общего роста цеп, которая является ненаблюдаемой. Стохастический подход не получил широкого распространения, так как имеет ряд недостатков. В их числе то, что темпы роста цен на отдельные товары рассматриваются как независимые величины, в то время как в реальной ситуации изменение цены на один товар влечет за собой изменение цен на другие, связанные с ним товары. Этот подход был подвергнут критике со стороны ведущих западных теоретиков: Дж.Кейнса, Фриша, К.Джини, Фишера в связи с тем, что данная теория "полиостью игнорировала экономические факты" (цит. по [36]).
Наибольшее распространение в индексологии получил аксиоматический подход. В его основе лежит идея отбора индексных формул, дающих в общем случае различные значения, при помощи формально-математических критериев-тестов. Родоначальником этого направления считается американский экономист и статистик Фишер, который сформулировал данную теорию в 1922 г. в книге "Построение индексов". Некоторые важнейшие тесты были известны задолго до этой книги. В частности, в 1890 г. датский статистик Х.Вестергаард выдвинул идею "циркулярного теста" (тест транзитивности), а в 1896 г. голландский экономист Н.Г.Пирсон привел тесты соизимеримости (независимость индекса от замены одних единиц на другие) и обратимости индексов во времени. Долгое время западные ученые вели поиск всеобщей, универсальной формулы, удовлетворяющей всем тестам. Однако, еще Фишер констатировал, рассмотрев большое количество различных индексных формул, тот факт, что ни один из существующих индексов, включая его собственный индекс1, не удовлетворяет всем тестам одновременно.
Исследованию различных методов расчета индексов цен посвящены работы [1, 29, 2]. В работе [1] производится анализ методов расчета индексов цен с целью выявления наилучших индексных формул. При этом качество индеков определяется степенью соответствия основным тестам Фишера, из которых выделяются тесты транзитивности, мультипликативности и промеэту точности (см. п. 1.4). Отметим, что в силу множественности тестов, оценка качества является многокритериальной процедурой, которая обладает неизбежным субъективизмом исследователя. Экспериментально устанавливается, что расхождение численных значений индексов цен, рассчитываемых разными методами, увеличивается с разбросом темпов роста цен на отдельные товары относительно друг друга. Для выделения лучших формул из наиболее известных и применяемых на практике используется стохастический, тестовый и экономический подход. В ходе экспериментов выявлено, что при стохастическом подходе к индексному анализу предпочтительными методами являются методы, имеющие форму среднего геометрического. При тестовом подходе использовалась статистика цен на продукты питания г.Иркутска в 1992-1997 гг. и торговой статистики Г.Будапешта в 60-70х гг. Наиболее удовлетворительными оказались индексные формулы Фишера, Торнквиста, Уолша, Вартий. В работе [2] продолжены экспериментальные исследования методов расчета индексов цен в рамках тестового, аналитического и стохастического подходов. Было установлено, что среди рассмотренных агрегатных индексов наилучшие результаты дали индексы Эджуорта, Уолша, Фишера. Индексы цен Ласпейреса и Пааше также признаны удовлетворительными для практического использования. Таким образом, данные исследования не приводят к объективному выбору одного метода и лишь подчеркивают актуальность дальнейшей работы по повышению объективности индексного метода.
Используемые до настоящего времени в экономико-статистической практике индексы количеств и цен потребления относятся к классу бинарных статистических, рассчитываемых по двум парам многомерных наборов (векторов) "цены-количества" (xs,ps) и (ж р ), соответствующих индексируемым периодам s и t динамики некоторого рынка продуктов (благ) конечного потребления [35, 29], представляемой торговой статистикой где Xі = (х\, ...,хьп) - вектор количества потребленного товара в момент времени t при соответствующих ценах рь = (р\, ...,Рп). Таковыми, в частности, являются индексы Пааше (1.6) и Ласпейреса (1.5). Статистические бинарные индексы являются самыми популярными и получили широкое распространение благодаря простоте их построения.
На данный момент существует множество различных формул, определяющих статистические бинарные индексы, но всем им свойственна субъективность построения и, их значения для одной и той же статистики, могут существенно различаться между собой [29, 35]. С целью устранения значительных расхождений и противоречий при построении различными способами индексов цен и количеств товаров Фишером был предложен ряд требований (тестов или аксиом), которым должны удовлетворять индексы цен и количеств товаров. Требования эти основаны на свойствах отношений соответствующих показателей элементарных товаров. Из-за того, что большая совокупность желаемых свойств индексов может оказаться невыполнимой, среди этих требований выделяют основные и дополнительные (желаемые).
Обратная задача теории потребительского спроса
Обратной задачей теории потребительского спроса называется задача определения функции полезности (индикатора отношения предпочтений) для данного рынка из условия наилучшего согласования расчетного спроса с наблюдаемыми значениями цен и количеств продаж продуктов.
Вопросы практического применения неоклассической теории долгое время не разрабатывались ввиду отсутствия адекватной теории экстремума (теории выпуклого программирования) и вычислительных сложностей решения обратной задачи для модели рационального потребления. Она решалась методами нелинейного регрессионного анализа, в ходе которых искомая функция полезности включалась в некоторый параметрический класс и расчетный спрос сопоставлялся с наблюдаемым спросом. Такой подход несовершенен в методологическом отношении из-за сложности обоснования выбора параметрического класса. Также он весьма сложен алгоритмически, поэтому можно отметить лишь отдельные исследовательские работы построения функции полезности, выполнявшиеся в последние десятилетия в нашей стране [б]1. Зарубежный опыт, отраженный в обзорной статье Чи-пмана [73], существенно богаче, однако он также ограничен использованием достаточно простых параметрических классов функций полезности или спроса.
Альтернативным подходом параметрическому методу стал непараметрический метод Африата-Вэриана [70, 88, 89]. В рамках данного подхода была выведена система линейных неравенств, определяющих значения рационализирующей функции полезности и множителя Лагранжа задачи РП (1.9) на статистических данных, и по этим значениям была построена простая кусочно-линейная рационализирующая функция. Пусть известна торговая статистика за некоторый период в дискретные
Цены рь = (р\,...,рьп) и количества товаров Xі = (х\, ...,х1п) определяют потребительские расходы et = (рь,х1). Статистика (2.8) предоставляет исходные данные обратной задачи рационального потребления.
Это означает, что наблюдаемый спрос (2.8) является реализацией расчетного спроса, т.е. решением задачи (1.9) с данной функцией полезности и(х) и параметрами (рь,е Для представления основных результатов непараметрического метода, следуя [69, 88, 89], введем следующие величины, связанные со статистикой (2.8), функцией полезности и(х), множителем Лагранжа Х(р, 6) исходной задачи РП:
Числа ets представляют перекрестные стоимости наборов xs в ценах р1, величины ats называются кросс-коэффициентами, {щ, Xt} - числами Аф-риата. Общая теорема Африата [88]. Следующие утверждения эквивалентны2: 1) существует непрерывная, возрастающая, вогнутая функция полезности, рационализирующая данные (2.8); 2) существует положительное решение {щ,Хь t — О, Т} системы неравенств Если существует полоэюительное решение системы (2.10), то кусочно-линейная функция рационализирует данные (2.8).
Система (2.10) называются общей системой неравенств Африата, а функция (3.5) - функцией Африата. Следует отметить, что теорема Аф-риата привлекает внимание математиков до настоящего времени [76].
Для обеспечения положительности решения {щ, Xt} системы (2.10) накладываются условия:
Структура системы позволяет сделать это без противоречия, так как система алгебраически однородна и для чисел {щ} важны не абсолютные значения, а их разности.
Из-за конечности статистических данных (2.8) функция полезности и(х) определяется неоднозначно в классе неограниченно возрастающих вогнутых функций. Кусочно-линейная функция Африата (2.11) представляет лишь одно из возможных решений поставленной задачи. Эта функция при использовании в задаче (1.9) порождает в общем случае многозначные функции спроса.
В случае однородных предпочтений используется модель РП (2.3), ее решение определяет удельный спрос х{р). В этом случае множитель Лагранжа Л = Л(р), соответственно, Xt = Х(рь), дискретные значения обратного множителя Лагранжа 2 = z{pb).
Алгоритм симплекс-метода для ограничений-неравенств
Если все свободные члены bj 0, j = 1, тг, то опорное решение найдено. Переходим к отысканию оптимального решения - шагу 5. Шаг 3. Рассматриваем строку с отрицательным свободным членом, пусть, например, bt 0. 3.1. Если в строке t нет отрицательных элементов, то система (3.17) несовместна и алгоритм завершен. 3.2. Находим в t-ой строке какой-нибудь из отрицательных коэффициентов, например, ats 0; столбец, содержапщй этот коэффициент, берем в качестве разрешающего. 3.3. Вычисляем неотрицательные отношения свободных членов к сот- ветствующим коэффициентам сц3 разрешающего (s-ro) столбца и среди них находим наименьшее число ars берем в качестве разрешающего элемента. Шаг 4. Выбрав разрешающий элемент, делаем шаг модифицированного жорданова исключения. В симплекс-методе, как в одном из приложений вычислительного аппарата жордановых исключений, необходимо, чтобы элементы разрешающей строки сохраняли знаки, а элементы разрешающего столбца меняли их на противоположные.
В этом случае вместо обыкновенных жордановых исключений используют модифицированные жордановы исключения. которая получается из предыдущей таблицы по правилам: 1) разрешающий элемент заменяется единицей; 2) остальные (кроме разрешающего) элементы разрешающей строки остаются без изменения; 3) остальные элементы разрешающего столбца меняют лишь свои знаки; 4) остальные элементы d{j(i ф r,j ф s) вычисляются по формуле: 5) все элементы последней таблицы делятся на разрешающий элемент (Xrs. После некоторого числа шагов основного алгоритма получается таблица следующего вида
Если все элементы f-строки неположительны, то задача решена, оптимальное решение найдено: жг+1 = ... = хп = 0, х\ = b\,.. .xr = br, minf = Q. 5.2. Если среди коэффициентов f-строки есть положительные, то в качестве разрешающего берем столбец, содержащий наибольший элемент f-строки, допустим, qs 0, отбираем все положительные элементы этого столбца, делим на них соответствующие свободные члены, находим наименьшее среди полученных отношений, определяем разрешающую строку. Шаг 6. Выбрав разрешающий элемент, делаем шаг модифицированного жорданова исключения. После шага модифицированного жорданова исключения с полученным разрешающим элементом, знак у элемента qs изменится на противоположный, таким образом, новый коэффициент будет отрицательным. Если все оставшиеся коэффициенты f-строки неположительны, то задача решена, в противном случае переходим к шагу 5. После конечного числа шагов придем либо к случаю, когда в f-строке все коэффициенты будут неположительны и задача решена, либо к отсутствию положительных элементов в некотором столбце, содержащем положительный коэффициент f-строки, что будет означать неограниченность целевой функции. Рассмоторим задачу (3.4), (3.3). Задача решается относительно вектора переменных х — (z\, ...,ZT, Г) размерности (Т+ 1), целевая функция (3.16) здесь имеет вид:
Инвариантные индексы потребления продуктов питания. Швеция, 1921-1938 г.г.
Применим предложенный метод построения инвариантных и квазиинвариантных индексов для реальной статистики потребления шести видов продуктов питания в Швеции за 1921-1938 г.г., приведенной и использованной в [8] для построения инвариантных индексов. Эта система представлена в таблице 4.3.1 (цены) и таблице 4.3.2 (количества потребления). Авторы [8] решали систему Африата (2.17) специальным методом Варшалла-Флойда и пришли к выводу о том, что включение во временной ряд хотя бы одного года из периода 1933-1935 гг. приводит к невозможности построения инвариантных индексов. Мы решали задачу КП (3.5), (3.3) (для специальной системы), которая оказалась разрешимой (с несущественной невязкой) также для всего временного интервала 1921-1938 гг.
В таблице 4.3.3 приведены числа Африата и%, А и инвариантные индексы Рх , QXti полученные в работе [8], числа Африата щ, \t и инвариантные индексы P\j, Qi,t Для периода 1921-1938 гг., исключая 1933-1935 гг., полученные нашим методом, а также инвариантные индексы P{t, Q[ t, построенные нами для всего периода 1921-1938 гг.
Сначала строились инвариантные индексы P1)t, QXjt для периода 1921-1938 гг., исключая из рассмотрения 1933-1935 гг. Включая во временной ряд 1933-1935 гг., получаем значение релаксационного параметра для ослабленной специальной системы (3.3) г = 0,0005. Дополнительно была проведена проверка полученных инвариантных индексов P{t, Q lt на выполнение теста транзитивности. Вычислялись меры нарушения данного теста (3.14) и (3.15), их значения оказались очень малы (числа порядка Ю-5). Поэтому можно считать, что получепые инвариантные индексы удовлетворяют тесту транзитивности. Таким образом, можно остановиться на первом этапе решения задачи построения аналитических индексов, построив инвариантные индексы.
Если сравнивать значения полученных индексов, то из таблицы 4.3.3 видно, что порядок индексов, приведенных в работе [8] и полученных по формуле (2.7) совпадает, максимальное отклонение значений индексов цен составляет 0.006, индексов объема 0.011, причем инвариантные индексы, полученные нами, меньше, чем приведенные в статье [8], а индексы объемов больше.
Во всех случаях динамика индексов в основном разнонаправленная. Индекс цен снижается, а индекс количества растет. Это означает выполнение Закона Спроса в индексной форме.
В настоящее время органы статистики для построения индексов спроса располагают достаточно детальной информацией о ценах продуктов, однако информация о количествах потребления существенно беднее, поэтому в реальной практике для построения бинарных индексов используется норма тивный метод (с использованием потребительской корзины). Для построения аналитических индексов, к которым мы относим квазиинвариантные индексы, требуется также детальная информация о количествах потребления товаров. Обычно имеется помесячная статистика цен и количества потребления продуктов за год. При этом по годовым данным смежных годов можно сформировать (как среднемесячное потребление) значения потребления за первый (январь) и последний (декабрь) месяц года, для которого строятся помесячные индексы.
Для формирования недостающей статистической информации о количествах продаж применяем несколько вариантов. 1. Геометрическая прогрессия. Задав начальные и конечные значения потребления товара х1 и хт, формируем статистику по формуле геометрической прогрессии: с показателем прогрессии
Этот простой способ позволяет по имеющейся статистике потребления, например, годовой, смоделировать помесячные значения потребления с заданной динамикой его роста. Формирования вектора потребления по геометрической прогрессии оправдано для стабильной динамики роста цен (без скачков). 2. Спрос Кобба-Дугласа. Этот спрос порождается функцией полезности (1.12) и имеет вид (1.13). Его можно применять для однородных взаимозаменяемых товаров. Здесь количество параметров сц равно числу товаров п, а чмело краевых условий вдвое больше, поэтому параметры функции подбираются по краевым (на начало и конец года) условиям на спрос методом наименьших квадратов, т.е. минимизацией функционала вида
