Алгоритмы решения задач рефракционной тензорной томографии и обработки мрт-изображений Мальцева Светлана Васильевна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Численное решение задач рефракционной томографии для скалярных и векторных полей 17

1.1. Постановка задачи 18

1.2. Свойства лучевых преобразований

1.2.1. Свойства лучевых преобразований векторных полей 23

1.2.2. Операторы обратной проекции 24

1.2.3. Алгоритм приближенного обращения лучевого преобразования 30

1.2.4. Алгоритмы приближенного обращения лучевых преобразований векторных полей 35

1.3. Численные эксперименты 37

Глава 2. Восстановление сингулярного носителя симметричного тензор ного поля малого ранга 59

2.1. Элементы тензорной томографии. Постановка задачи 60

2.1.1. Операторы обратной проекции 63

2.1.2. Операторы индикатора сингулярностей 63

2.1.3. Этапы дискретизации задачи 66

2.2. Примеры использования дифференциальных операторов для

восстановления множества точек разрыва тензорных полей 67

2.2.1. Поведение индикатора разрыва для скалярного поля 67

2.2.2. Поведение индикатора разрыва для симметричного 2-тензорного поля 70

2.3. Численные эксперименты

Глава 3. Восстановление параметров среды с линейной скоростью распространения сигнала вдоль выделенного направления 87

3.1. Постановка задачи 88

3.1.1. Зависимость скорости только от глубины 89

3.1.2. Линейная зависимость от глубины 90

3.2. Алгоритм решения задачи 94

3.2.1. Восстановление параметров среды, критерий горизонтальной однородности 94

3.2.2. Дискретизация задачи 96

3.3. Численные эксперименты 100

Глава 4. Восстановление разветвленной сосудистой сети по данным вы сокопольного МГ-томографа 105

4.1. Основные аспекты MFT 107

4.2. Математическая постановка задачи 112

4.3. Метод варьирования наклона сканирующей плоскости

4.3.1. Этапы алгоритма восстановления сосудистой сети, основанного на методе варьирования наклона сканирующей плоскости 114

4.3.2. Геализации метода варьирования наклона сканирующей плоскости 120

4.4. Тестирование алгоритма на реальных MFT-данных 121

4.4.1. Геализация предлагаемого алгоритма на MFT-данных головы мыши 121

4.4.2. Геализация предлагаемого алгоритма на MFT-данных головы крысы 124

Заключение 128

Литература

• Свойства лучевых преобразований векторных полей
• Этапы дискретизации задачи
• Линейная зависимость от глубины
• Этапы алгоритма восстановления сосудистой сети, основанного на методе варьирования наклона сканирующей плоскости

Введение к работе

Актуальность работы. Методы реконструктивной томографии для исследования внутренней структуры объектов различной природы широко используются в медицине и биологии, геофизике и дефектоскопии, при исследованиях жидких, газообразных и анизотропных сред. Преимуществом этих методов является их неразрушающая природа, сохраняющая целостность рассматриваемого объекта. Суть томографических методов состоит в многократных измерениях зондирующего поля, обычно приводящих к большим объемам данных, комплексной обработке собранной информации на ЭВМ с применением математических методов и наглядной визуализации результата обработки.

Задача компьютерной томографии состоит в восстановлении функции по ее преобразованию Радона — множеству ее интегралов вдоль прямых. Одним из обобщений задачи компьютерной томографии является задача восстановления векторных и тензорных полей по их лучевым преобразованиям. Такие постановки естественным образом возникают в задачах физики атмосферы и океана, исследованиях неоднородных и анизотропных сред и многих других задачах, где состояние исследуемого объекта описывается не только скалярными, но и векторными, и тензорными полями. Основными математическими методами, успешно применяемыми для задач скалярной, векторной и тензорной томографии, являются прежде всего формулы обращения и алгебраические методы, Фурье-алгоритмы (основанные на проекционных теоремах), метод наименьших квадратов (МНК), адаптированный для решения упомянутых задач, сингулярное разложение.

Другим обобщением задачи компьютерной томографии является задача восстановления тензорного поля по его интегралам вдоль кривых. В модели компьютерной томографии явлением рефракции обоснованно пренебрегают, отклонение луча от прямой является незначительным. Тем не менее, существуют постановки, в которых рефракция является существенным элементом модели. Такие более сложные постановки приводят к более сложному математическому аппарату для построения модели и сужают количество методов, которые можно применять для решения задачи. Так, неприменимыми оказываются методы, существенным элементом которых является предположение о распространении сигнала вдоль прямой (формулы обращения, проекционные теоремы и др.). Формулы обращения существуют для некоторых частных случаев. Возникает необходимость в разработке специальных алгоритмов, учиты-

вающих рефракцию. Отметим, что МНК показал хорошие результаты и в случае модели среды с рефракцией.

Развитые в томографии численные методы и алгоритмические средства направлены на восстановление функций класса гладкости по крайней мере С¹ и показывают существенно худшие результаты, если функция разрывна. Ввиду этого возникла необходимость в разработке специальных алгоритмических средств для восстановления разрывных функций. В дальнейшем задача восстановления множества точек разрыва функции была обобщена в следующих трех направлениях: 1) восстановление множества точек разрыва векторных и 2-тензорных полей, 2) восстановление множества точек разрыва производных конечного порядка скалярных, векторных и 2-тензорных полей (в этом случае говорим о восстановлении сингулярного носителя поля), 3) восстановление сингулярного носителя поля, заданного в среде с рефракцией. Данными для задачи являются лучевые преобразования рассматриваемого поля.

Важным примером неразрушающего исследования (векторных) характеристик объектов является магнитно-резонансная томография (МРТ), успешно применяющаяся при медицинской диагностике. Подготовительным этапом медицинских научных исследований, имеющих своей целью выявление и устранение патологических изменений церебральной (мозговой) сосудистой сети человека, является решение аналогичной задачи на животных. Для изучения патологий сосудистой сети и определения оптимального метода их устранения необходимо выявление особенностей геометрической конфигурации сосудов. Решение задачи построения сети кровеносных сосудов связано с трудностями, обусловленными малыми размерами исследуемых объектов и недостаточной чувствительностью даже сверх-высокопольных магнитно-резонансных томографов. Это приводит к тому, что полученные конфигурации сети сосудов являются фрагментированными (состоят из нескольких частей). Возникает необходимость в разработке методов, ориентированных на преодоление этих проблем.

Цель диссертационной работы состоит в разработке и исследовании новых алгоритмов для 1) решения задач восстановления тензорных полей малого ранга и их сингулярностей по интегралам вдоль геодезических заданной римановой метрики, 2) восстановления параметров слоистых сред в рамках постановки обратной кинематической задачи сейсмики, 3) обработки данных магнитно-резонансных томографов с целью построения геометрической конфигурации кровеносных сосудов. А

также разработка и тестирование научно-исследовательского программного обеспечения для реализации всех разработанных алгоритмов.

В соответствии с поставленными целями в диссертации рассмотрены следующие задачи:

1. Разработка численных методов и алгоритмов восстановления скалярных и векторных полей по их интегралам вдоль геодезических заданной римановой метрики. Исследование построенных алгоритмов.

2. Разработка численных методов и алгоритмов восстановления сингулярного носителя тензорных полей малого ранга (скалярных, векторных, симметричных 2-тензорных) по их интегралам вдоль геодезических заданной римановой метрики.

3. В рамках постановки обратной кинематической задачи сейсмики, восстановление параметров слоистых сред по временам пробега сигнала.

4. Разработка, реализация и тестирование алгоритма обработки данных магнитно-резонансного томографа с целью построения геометрической конфигурации кровеносных сосудов.

5. Разработка научно-исследовательского программного комплекса для реализации построенных алгоритмов.

Методы исследования. Основные результаты получены с использованием аппарата тензорного анализа на римановом многообразии, методов вычислительной математики, математического моделирования, решения экстремальных задач, обработки изображений, вычислительного эксперимента. Для программной реализации построенных алгоритмов использованы методы прикладного программирования.

Научная новизна.

6. Разработан и построен новый алгоритм восстановления скалярных и векторных полей по их лучевым преобразованиям, вычисленным вдоль геодезических заданной римановой метрики.

7. Разработан и построен новый алгоритм восстановления сингулярного носителя тензорных полей по их лучевым преобразованиям, вычисленным вдоль геодезических заданной римановой метрики.

8. В рамках обратной кинематической задачи сейсмики предложен новый способ восстановления параметров слоистой среды на основе критерия горизонтальной однородности.

9. Предложен численный метод, на основе которого реализован эффективный алгоритм обработки данных магнитно-резонансного томографа, позволяющий получать геометрические конфигурации кровеносных сосудов малых лабораторных животных, пригодные для дальней-

ших биологических и медицинских исследований. Основные результаты, выносимые на защиту:

10. Предложен, программно реализован и исследован на тестовом материале новый метод приближенного обращения операторов лучевых преобразований, действующих на скалярные и векторные поля. В математическую модель среды включено явление рефракции.

11. Построен, программно реализован и исследован на тестовом материале новый алгоритм восстановления сингулярного носителя симметричного тензорного поля ранга 0, 1, 2 по данным томографического типа. В математическую модель среды включено явление рефракции.

12. Предложен новый подход определения качественных характеристик сред в рамках обратной кинематической задачи сейсмики. На основе локального критерия горизонтальной однородности среды предложен его интегральный аналог.

4. Построен эффективный метод обработки данных магнитно-
резонансного томографа, позволяющий строить однофрагментные про
странственные конфигурации церебральных сосудистых сетей малых ла
бораторных животных.

Практическая ценность работы. Построенные новые алгоритмы восстановления тензорных полей и их сингулярностей могут быть использованы для обработки экспериментальных данных при исследовании задач теории упругости, океанических течений, дефектоскопии, изучения слоистных сред. Алгоритм обработки данных MP-томографа может быть использован для изучения церебральной гемодинамики малых лабораторных животных.

Достоверность результатов. Правомерность основных подходов подтверждена корректностью постановок задач и использованием общепринятых фундаментальных результатов. Достоверность результатов подтверждена методами математического моделирования, численными экспериментами на тестовых полях, экспериментами на реальных данных с последующим сравнением полученных результатов с результатами других методов.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации докладывались и обсуждались на конференциях: XLVIII и 50-я юбилейная международных научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2010, 2012), Российской конференции, посвященной 80-летию со дня рождения Ю.С. Завьялова (Новосибирск, 2011), Третьей, четвертой, пятой международ-

ных молодежных школах-конференциях "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск, 2011, 2012, 2013), Международной научной конференции "Методы создания, исследования и идентификации математических моделей", посвященная 85-летию со дня рождения академика Анатолия Семеновича Алексеева (Новосибирск, 2013), Международной конференции "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посвященная 105-летию со дня рождения С. Л. Соболева (Новосибирск, 2013), 11th International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics (Rhodes, Greece, 2013), Международной конференции "Mathematical Modeling and High Performance Computing in Bioinformatics, Biomedicine and Biotechnology" (Новосибирск, 2014), 6th International Young Scientists School "Systems Biology and Bioinformatics" (Новосибирск, 2014).

Публикации. По теме диссертационной работы автором опубликовано 17 работ, из них 5 входят в перечень ВАК.

Личный вклад автора. Основные результаты диссертационной работы получены автором лично. В большинстве совместных статей диссертанту принадлежит ведущая роль в получении результатов исследований. Из остальных опубликованных в соавторстве работ в диссертацию вошли только те результаты, в получении которых автор принимал непосредственное творческое участие.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 79 наименований. Содержание основного текста работы изложено на 139 страницах, содержит 43 иллюстрации, 5 таблиц.

Свойства лучевых преобразований векторных полей

Под задачей рефракционной томографии для скалярного поля понимаем следующую постановку [55]. Пусть ограниченная область плоскости заполнена рефрагирующей средой, в которой задана неотрицательная функция, связанная с плотностью среды. Требуется найти эту функцию по значению сигнала, прошедшего через область. Рефракция в среде моделируется римановой метрикой. Лучи, вдоль которых распространяется сигнал, описываются геодезическими этой метрики. Величина сигнала, прошедшего через область, моделируется лучевым преобразованием вдоль геодезических.

В наиболее общей постановке задачи рефракционной томографии неизвестными в задаче являются как риманова метрика, так и искомая функция. Это связано с тем, что наличие неоднородностей создает искривление лучей, возникает рефракция. В данной главе рассматривается наиболее распространенная постановка задачи рефракционной томографии, в которой риманова метрика считается известной и требуется найти функцию, связанную с плотностью.

Под задачей рефракционной томографии для векторного поля понимаем следующую постановку [49]. Пусть ограниченная область плоскости заполнена рефрагирующей средой, в которой задано векторное поле. Задача состоит в восстановлении векторного поля и/или его части по продольному и/или поперечному лучевым преобразованиям, вычисленным вдоль геодезических римановой метрики. Как в задаче рефракционной томографии для скалярного поля, рефракция моделируется римановой метрикой. Рассматриваем наиболее распространенную постановку, в которой метрика известна.

Предлагается новый конструктивный метод восстановления скалярных и векторных полей, основанный на модификации формул обращения с использованием операторов обратной проекции. Предлагаемый метод реализован алгоритмически и программно. На тестовом материале проведено исследование алгоритмов с целью определения пределов их применимости. Изучено влияние на точность восстановления таких параметров задачи, как дискретизация входных данных, размер области вычисления значения оператора обратной проекции, кривизна метрики, гладкость восстанавливаемого поля, наличие шума в данных.

Пусть на плоскости М2 задана декартова прямоугольная система координат. Точки плоскости обозначаем через х,у,..., их координаты через (х\х2), (у\у2)}... Пусть в единичном круге Б = {хЕ R2\ (х1)2+(х2)2 1} с границей дВ = {х Є R2\ {xlf + (ж2)2 = 1} задана риманова метрика ds2 = gijdxldx J с достаточно гладкими компонентами метрического тензора gij. Здесь и всюду в дальнейшем пользуемся правилом Эйнштейна, заключающемся в суммировании от 1 до 2 по повторяющимся в одном мономе индексам вверху и внизу. Касательное расслоение круга В обозначаем через ТВ = {(ж, 01 ж Є В є Ш2}, его подмножество, состоящее из единичных в метрике gij векторов обозначаем через ПВ = {(ж,) Є ТВ\ Ю2 = дц?& = !} Граница дПВ состоит из двух частей: д±ПВ = {(х,С)єПВ\хєдВ, ±(f, v{x)) 0}, где v{x) - единичный вектор внешней нормали к дВ в точке х.

Для круга В и метрики g предполагаем выполнение условий - пара (В,д) является компактным римановым многообразием с атласом, состоящим из одной карты (допускается задание одной системы координат), - метрика д является простой (любые две точки области В можно соединить единственной геодезической метрики д конечной длины), - область В строго выпукла по отношению к метрике д (любая геодезическая, соединяющая две произвольные точки границы ОВ, целиком принадлежит области В). Такое многообразие будем называть римановой областью. Соболевские пространства Hk(B),Hk(d+QB) функций, обладающих интегрируемыми с квадратом вВи d+QB производными порядка к7 определяются обычным образом.

Этапы дискретизации задачи

Отметим, что увеличение параметра Np при фиксированном Na не влияет на время вычислений. Это связано с тем, что Np влияет только на время решения "прямой задачи" (т.е. задачи получения исходных данных), а время вычисления ООП определяется параметром 7V7, который совпадает cNa.

Естественным соотношением между Na и Np представляется такое, при котором шаги по углам а и /3 равны. На основании приведенных расчетов в качестве оптимальной дискретизации входных данных по углам а и /3 выбираем 256 х 128. Дальнейшее увеличение дискретизации до 512 х 256 по а,(3 приводит к уменьшению ошибки всего лишь на 0.2%, но при этом время вычислений увеличивается в 2 раза. Тест 5. В тесте исследуется влияние кривизны заданной римановой метрики на относительную погрешность восстановления скалярных полей. Дискретизация входных данных 256 х 128 по углам а, /3, квадрат для вычисления значения ООП - [-8,8]2.

Множества DQ}DI}D2 определены в Тесте 4. В качестве тестовых выбраны функции h{x,y) (Тест 3) и f2{x,y)-h{x,y)\ функции f2{x,y)-fo{x,y) имеют один и тот же носитель и различаются гладкостью. На рис. 1.6 изображена зависимость относительной погрешности восстановления для ССР-метрики (слева) и CCN-метрики (справа). На графиках ось абсцисс соответствует значению параметра кривизны а2, ось ординат — относительной погрешности восстановления в процентах, поведение погрешности для разных функций показано кривыми разных цветов.

В случае ССР-метрики зависимость относительной ошибки ота2 близка к линейной, так что при больших значениях параметра а можно "спрогнозировать" значение ошибки. В случае CCN-метрики зависимость похожа на линейную только для бесконечно гладкой функции f\(x y). Проведенные вычисления позволяют сделать следующие выводы. При малых значениях кривизны предложенный алгоритм на всех функциях, не являющихся разрывными, дает примерно одну и ту же ошибку. При Рис. 1.6. Зависимость относительной погрешности восстановления от кривизны ССР-метрики (слева) и CCN-метрики (справа) больших значениях а2 при одной и той же кривизне функции большей гладкости восстанавливаются с меньшей ошибкой. При этом поведение относительной погрешности для функций /2, /з? І4, Л близки по сравнению с поведением ошибки для функций f\ (гладкая) и Л (разрывная).

На рисунке 1.7 показано исходное поле f\(x,y) (а) и его реконструкции в областях с евклидовой метрикой (б) (погрешность —0.56%), с ССР-метрикой с а = 1.5 (в) (погрешность - 9.24%) и CCN-метрикой с а = 1.2 (г) (погрешность -6.16%).

Тест 6. В тесте сравнивались результаты применения ООП (для рима-новой метрики) к лучевому преобразованию для среды с римановой метрикой с результатами применения ООП (для евклидовой метрики) к лучевому преобразованию для среды с евклидовой метрикой. На рис. 1.8 показаны графики зависимости относительного отличия (в процентах) результата применения ООП, вычисленного для ССР-метрики (слева) и CCN-метрики (справа) от результата применения ООП, вычисленного для евклидовой метрики.

Тест показал, что чем выше гладкость тестовой функции, тем больше отличается результат применения ООП, вычисленного для римановой метрики, от результата применения ООП, вычисленного для евклидовой метрики. При этом графики соответствующие функциям fa, hi hi hi h ведут себя примерно одинаково.

Тест 7. Тест направлен на изучение влияния шума в данных на относительную погрешность восстановления функций (разной гладкости). В качестве тестовых взяты функции h(x,y)-h(x,y). В лучевые преобразования функций внесен аддитивный шум с равномерным распределением. Функции восстанавливаются по данным с шумом с помощью предлагаемого алгоритма. В качестве тестовых римановых метрик взяты ССР- и CCN-метрика с а = 1.2. Дискретизация входных данных 256 х 128 по углам а, /3, область вычисления ООП [-8,8]2.

На рис. 1.9 показаны зависимости относительной погрешности восстановления тестовых функций от уровня шума (в процентах), внесенного в лучевые преобразования, вычисленные в области с ССР-метрикой (а) и CCN-метрикой (б). Разными цветами линий показаны зависимости относительной погрешности восстановления для функций разной гладкости. На графиках горизонтальная ось, соответствующая уровню внесенного шума, проходит не через начало координат, что обеспечивает лучшую иллюстрацию поведения графика функций.

Добавление шума в исходные данные приводит к увеличению погрешности восстановления, уровень которой сравним с уровнем внесенного шума. Графики функции относительной погрешности в зависимости от уровня шума являются выпуклыми вверх. Также установлено, что для относительной погрешности восстановления в области с ССР-метрикой характерным поведением является убывание при уровне шума от 0% примерно до 1.5% и последующее возрастание.

Отметим также, что внесение аддитивного шума с нормальным распределением приводит к более значительному возрастанию относительной погрешности восстановления. На рис. 1.10 показана функция f2(x,y) (а) и ее реконструкции: в области с ССР-метрикой без шума (погрешность — 12.92%) (б), в области с CCN-метрикой без шума (погрешность — 15.4%) (в); в области с ССР-метрикой и при равномерно (погрешность — 12.83%) (г) и нормально (погрешность — 26.86%) (д) распределенном шуме в данных уровня 1%; в области с CCN-метрикой и при равномерно (погрешность — 15.66%) (е) и нормально (погрешность — 31.14%) (ж) распределенном шуме в данных уровня 1%.

Линейная зависимость от глубины

Численные эксперименты проводятся на известных полях и состоят из трех этапов: 1) вычисление лучевого преобразования тестового поля; 2) применение оператора обратной проекции, двойственного лучевому преобразованию, к образу лучевого преобразования; 3) применение оператора индикатора разрыва к значению ООП.

Во всех численных экспериментах дискретизация лучевых преобразований по углам а, /3 выбрана 256 х 128, шаг дискретизации образа ООП на квадрате [—1,1]2 составляет 1/32 по каждой оси, количество лучей для вычисления ООП 7V7 = 256. Графики всех тестовых полей и результатов визуализации сингулярных носителей приводятся в области [—1,1]2. Графики компонент векторных и тензорных полей приведены для евклидовой метрики. Во всех тестах шаг интегрирования 0.01.

Тест 1. Цель теста — показать необходимость учета рефракции (на этапе применения ООП к образу лучевого преобразования) для визуализации множества точек разрыва. В качестве тестовой выбрана кусочно-постоянная функция изображенная на рис. 2.2 (а). Значение лучевого преобразования (1.2) вычисляется с учетом рефракции, а на этапе применения ООП к?/ предполагается, что метрика евклидова. Гезультаты применения оператора d к образу лучевого преобразования, полученному действием ООП без учета рефракции, для области с CCF-, CCN- и FL-метрикой, показаны на рис. 2.2 (б, в, г) соответственно. Так же для сравнения приведены результаты применения оператора d в случае евклидовой метрики (д) и в случае применения ООП с учетом рефракции в области с CCF- (е), CCN- (ж) и FL-метрикой (з).

Пренебрежение рефракцией на этапе вычисления значения ООП приводит к деформации носителя. Причем, характер деформации может быть различным. Часть носителя тестовой функции, расположенная в центре единичного круга и представляющая собой квадрат, растягивается в случае CCF-метрики, сжимается в случае CCN-метрики и становится близкой к кругу в случае FL-метрики. Учет рефракции при вычислении значения ООП позволяет избежать деформации носителя и получить реальное расположение точек разрыва функции.

Тест 2, Цель теста — сравнить действие различных дифференциальных операторов, реализующих индикатор разрыва, при восстановлении множества точек разрыва первых производных. В качестве тестового взято скалярное поле /б(ж, г/) (см. Главу 1, Тест 4), изображенное на рис. 2.3. В качестве тестовых взяты ССР- и CCN-метоика с а = 1.2.

Для визуализации сингулярного носителя поля /б к образу /І лучевого преобразования Vfs, полученному под действием ООП, необходимо применять по крайней мере двукратное дифференцирование. Для визуализации сингулярного носителя к ц применяем следующие операторы: d2 , 8(d-) НУ"1.)!, результаты применения которых для CCPVCCN-мстрики показаны соответственно на рис. 2.4 (а, б, в)/(г, д, е).

Все три дифференциальных оператора, реализующих индикатор разрыва, визуализируют две окружности и эллипс, являющиеся сингулярным носителем тестовой функции.

Тест 3. В тесте восстанавливается [16] множество точек разрыва соле-ноидального векторного поля по его продольному лучевому преобразованию (1.8). Тестовое поле образовано применением оператора d к потенциалу

Применяя оператор обратной проекции V к образу Vv продольного лучевого преобразования поля v7 получаем соленоидальное векторное поле /І = (/ІІ,/І2). Для визуализации множества точек разрыва поля v к /І применяем операторы d и S-. На рис. 2.6 показан результат применения оператора d к образу ООП в случае ССР- (a), CCN- (б) и FL-метрики (в). На рис. 2.6 показан результат применения оператора , аннулирующего гладкую часть соленоидального поля, к образу ООП в случае ССР- (г), CCN- (д) и FL-метрики (е).

В случае всех трех метрик операторы d и 5 позволяют восстановить окружности, на которых компоненты поля терпят разрыв. Точка разрыва в начале координат видна не так ярко в сравнении с линиями разрыва. Также визуализируется граница единичного круга.

Тест 4. Влияние шума в данных на визуализацию сингулярного носителя. В качестве тестового взято потенциальное векторное поле с разрывными первыми производными. Введем вспомогательную функцию

В поперечное лучевое преобразование (1.9) внесен равномерный шум 10%. К поперечному лучевому преобразованию VLv поля v применяем оператор обратной проекции ("Р-1) , в результате получаем векторное поле 7] = (7/1, rfc). На рис. 2.8 показан результат применения оператора d2 к образу оператора обратной проекции rj, вычисленному по данным без шума/с шумом, для области с ССР- (а/г), CCN- (б/д) и FL-метрикой (в/е).

Этапы алгоритма восстановления сосудистой сети, основанного на методе варьирования наклона сканирующей плоскости

В данной главе рассматривается прикладная задача обработки данных магнитно-резонансного томографа с целью восстановления сети кровеносных сосудов. Поясним что понимаем под задачей восстановления сосудистой сети. Исследуемый объект, обладающий сетью кровеносных сосудов, помещается в рабочую зону MP-томографа и сканируется наборами параллельных плоскостей. По МРТ-данным, представляющим собой набор изображений сечений объекта, требуется построить пространственную геометрическую конфигурацию расположения сосудов.

Вообще говоря, для биологических исследований важно не просто иметь совокупность сосудов, а еще и их разделение на артерии и вены. В данной работе задача разделения сосудов на артерии и вены затронута лишь частично.

На основе методов сегментации создано программное обеспечение (ПО), предназначенное для сегментации, такое как ITK-Snap, VMTK, VMTKLab, Slicer. С точки зрения пользователя такое программное обеспечение делится на автоматическое и полуавтоматическое. Основным преимуществом автоматических ПО является отсутствие режима диалога, использование реализовано по схеме "входные данные — выходные данные". При этом может быть потеряна важная информация, что характерно для изучения клинических случаев с патологиями. Использование полуавтоматического ПО реализовано по схеме "входные данные — диалог — выходные данные". Такая схема предполагает, что пользователь задает значения параметров, необходимых для сегментации, что позволяет отслеживать случаи аномалий.

Задача восстановления сосудистой сети (в частности головного мозга) малых лабораторных животных представляет интерес как для создания атласа кровеносных сосудов, так и для изучения гемодинамики. Данная задача сопряжена с затруднением, связанным с недостаточной чувствительностью — даже сверхвысокопольных томографов — к кровотоку без использования контрастных агентов, выражающимся в фрагментированности (прерывании) сосудов при стандартных методах восстановления. Предлагается алгоритм, позволяющий по результатам сканирования восстанавливать разветвленные сосудистые сети без фрагментированности. Предлагаемый метод основан на сканировании исследуемого объекта несколькими наборами параллельных плоскостей. Такое сканирование является более информативным по сравнению со "стандартным" сканированием, реализуемым одним набором параллельных плоскостей, однако, требует больших временных затрат. Предложенный алгоритм протестирован на реальных МРТ-данных малых лабораторных животных и показал свою эффективность. Также приводятся результаты восстановления сосудистой сети головного мозга крысы, которая может быть использована для дальнейших гемодинамических исследований [74], [77], в частности при наличии нано-частиц. Полуавтоматическим ПО, используемым нами для сегментации, является ITK-Snap, созданный группой ученых из США, и математически обоснованный в [78].

Отметим также, что магнитно-резонансная томография не является томографией в смысле математической томографии. Здесь нет лучей, вдоль которых распространяется сигнал, в отличие от МСКТ, использующей рентгеновское излучение. Поэтому при обработке собранной томографической информации не использованы методы обращения лучевых преобразований.

Одним из основных терминов, используемых для описания явления ядерного магнитного резонанса является спин (от английского spin — вращение). Спин — "собственный" момент импульса элементарной частицы, имеющий квантовую природы и не связанный с ее движением в пространстве. Спин является таким же основным понятием, как электрический заряд, масса и т. д. Величина спина любой частицы квантуется с шагом 1/2. Наличие спина у протона позволяет в некотором приближении рассматривать его как маленький магнит (с северным и южным полюсами) и является причиной возникновения эффекта ядерного магнитного резонанса.

Магнитно-резонансная томография (МРТ) является высокоэффективным неразрушающим методом исследования внутренней структуры живых объектов, в частности человека. В основе МРТ лежит явление ядерного магнитного резонанса (ЯМР) — переориентации (возбуждения) магнитных моментов ядер атомов с ненулевым спином во внешнем магнитном поле при наличии радиочастотного сигнала (см., например, [44]). Преимуществом МРТ по сравнению с МСКТ является отсутствие ионизирующего излучения, негативно влияющего на живые ткани.

Явление ЯМР заключается в том, что частица с ненулевым спином, помещенная в магнитное поле напряженности В может быть возбуждена только электромагнитной волной частоты и. Причем напряженность поля В и частота возбуждения (Ларморова частота) связаны зависимостью где 7 — гиромагнитное отношение, зависящее от природы частицы (для водорода 7 = 42.58 МГц/Тл). Возбужденная частица релаксирует, излучая электромагнитные волны с частотой возбуждения. MP-томографы основаны на зондировании объекта радиочастотным излучением с последующем определением амплитуды отклика на Ларморовых частотах.

Наиболее представительным элементом в химическом составе живого организма является водород, обладающий ядром с ненулевым спином и большим гиромагнитным отношением. Поэтому MP-томографы настроены регистрировать и отображать ЯМР-сигнал ядер атомов водорода. Находясь в сильном магнитном поле спины протонов ядер водорода изменяют свою ориентацию, располагаясь вдоль оси магнитного поля. Действие радиочастотного импульса переводит их в возбужденное состояние. После прекращения действия импульса, протоны релаксируют, испуская ЯМР-сигнал.

Для работы всей МРТ-системы требуется большое число аппаратных средств. Перечислим основные элементы MP-томографа. Прежде всего это сверхпроводящий магнит, создающий в тоннеле томографа постоянное равномерное магнитное поле высокой напряженности. Следующей важной составляющей являются градиентные катушки, позволяющие создавать заданную неоднородность магнитного поля. Пространственная неоднородность поля приводит к тому, что различные точки объекта имеют различные резонансные частоты. Это позволяет переводить частотную информацию в пространственную. Для передачи и приема радиочастотного (РЧ) сигнала используются РЧ-катушки, используемый частотный диапазон такой же, как для передачи радио волн (для томографа с напряженностью поля 1.5 Тл средняя частота равна 63.855 МГц). В клинической МРТ для разных частей тела человека применяют разные РЧ-катушки. Импульс, испускаемый катушкой, переводит атомы водорода в возбужденное состояние. После прекращения действия импульса происходит процесс релаксации, сопровождаемый излучением ЯМР-сигнала. Регистрируя этот сигнал и проводя специальную его обработку, томограф переводит частотную информацию в пространственную, таким образом создавая МРТ-изображения. Величина и время посылаемого импульса, временные интервалы для регистрации сигнала и другая информация для сканирования определяются импульсной последовательностью. При этом для разных целей МРТ-исследований применяются разные импульсные последовательности. Более подробное описание магнитно-резонансной томографии можно найти, например в [44], [45], [50].