Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Методы определения циклов фазовых систем 11
1.1 Математическая модель системы фазовой автоподстройки частоты .11
1.2 Методы исследования системы ФАПЧ 20
1.3 Вращательные циклы системы ФАПЧ с дробно-рациональным фильтром нижних частот 25
1.4 Решение матричного уравнения Ляпунова при наличии линейной связи .43
1.5 Использование линейных форм при построении областей существования вращательных циклов 53
Глава II. Аналитические методы поиска автомодуляционных режимов системы ФАПЧ .63
2.1 Определение областей модуляционных колебаний системы ФАПЧ на основе решений матричных уравнений 63
2.2 Вращательные циклы системы ФАПЧ с ограниченным затуханием фильтра нижних частот второго порядка .75
2.3 Построение решения системы матричных уравнений в особенном случае..88
2.4 Система ФАПЧ с неограниченным затуханием фильтра нижних частот второго порядка 100
Глава III. Численные методы изучения вращательных циклов математической модели системы ФАПЧ .113
3.1 Расширение класса инвариантных множеств, содержащих вращательные циклы 113
3.2 Численный подход построения области начальных условий вращательных циклов .126
3.3 Использование вращения векторного поля при численном анализе автомодуляционных режимов системы ФАПЧ 138
Заключение 152
Литература 153
- Методы исследования системы ФАПЧ
- Использование линейных форм при построении областей существования вращательных циклов
- Вращательные циклы системы ФАПЧ с ограниченным затуханием фильтра нижних частот второго порядка
- Численный подход построения области начальных условий вращательных циклов
Введение к работе
Актуальность темы. В современном мире большое значение имеют устройства способные автоматически регулировать скорость квазипериодических процессов с целью достижения определенных фазовых соотношений между ними. Примерами таких устройств являются синхронизируемые часы, ускоритель элементарных частиц, синхронные электрические генераторы и двигатели, устройства управляющие ритмом сердечной деятельности, системы глобального позиционирования (GPS). В компьютерных архитектурах системы фазовой синхронизации (СФС) используются для восстановления тактового сигнала, синхронизации данных и синтеза частоты. Принципы СФС также используются в оптических, нейронных сетях и во многом другом.
Техническое решение указанных задач можно реализовать с помощью систем фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ). Эти системы представляют собой одну из разновидностей систем синхронизации. В работах В.В. Шах-гильдяна, А.А. Ляховкина, М.В. Капранова, В.Н. Кулешова, Г.М. Уткина, Б.И. Шахтарина, Н.С. Жилина, L. Amerio, Н. Borner, F.M. Gardner, S.C. Gupta, W.C. Lindsey, G. Nash, F. Tricomi показано, что динамика системы ФАПЧ описывается операторным уравнением.
Система ФАПЧ имеет многофункциональные возможности и используется в современных компьютерах, системах обработки и передачи информации, для частотной модуляции, демодуляции и фильтрации, умножения и преобразования частоты, выделения опорного колебания для когерентного детектирования и многого другого. Система ФАПЧ может находиться в различных состояниях. Рабочим для системы ФАПЧ является режим синхронизации, при котором разность фаз эталонного и подстраиваемого генераторов стремится к постоянному значению, а частота управляемого генератора равна частоте эталонного сигнала.
В настоящее время возрос интерес к асинхронным режимам системы ФАПЧ. Это связано с использованием системы ФАПЧ как генератора модулированных колебаний, устройства передачи информации с применением хаоса, модели нейроноподобного элемента. Асинхронному режиму соответствуют вращательные движения, являющиеся разновидностью моделированных колебаний системы ФАПЧ, для которых разность фаз <т(ґ) эталонного и подстраиваемого генераторов, удовлетворяет соотношению a{t + T) = = a{t) + А .
Вопросам динамики систем фазовой автоподстройки частоты посвящено значительное число исследований. Наиболее известными в этой области являются работы: Н.Н. Баутина, Е.А. Барбашина, Л.Н. Белюстиной, В.Н. Белых, И.М. Буркина, Э.Д. Витерби, Н.А. Губарь, Н.В. Кузнецова, Г.А. Леонова,
А.А. Ляховкина, С.С. Мамонова, В.В. Матросова, В.И. Некоркина, В.А. Та-буевой, В.Д. Шалфеева, В.В. Шахгильдяна, Б.И. Шахтарина, I.I. Blekhman, D.E. Fagiuoli, E.J. Kurths, J.K. Hale, S. Lefschetz, H.O.P. Nijmeijer, E. Noldus, M. G. Rosenblum, G.P. Szeg и других авторов.
Математической моделью ФАПЧ является система дифференциальных уравнений с цилиндрическим фазовым пространством, для изучения которой используются методы качественного анализа, описываемые в работах: Н.В. Бутенина, Н.В. Бутенина, Ю.И. Неймарка, Н.А. Фуфаева, В.Г. Веретен-никова, Б.П. Демидовича, В.И. Зубова, М.А. Красносельского, Д.А. Куликова, А.Г. Кушнера, Н.А. Магницкого, С.В. Сидорова, И.Г. Малкина, В.В. Не-мыцкого, В.В. Степанова, В.А. Плисса, А. Пуанкаре, F. Tricomi и других авторов.
Открытыми остаются вопросы нахождения условий существования вращательных циклов, определение областей начальных условий циклов, обнаружение неустойчивых циклов, нахождение условий бифуркаций циклов, изучение сценариев возникновения хаотических колебаний.
Актуальность задач нелинейной динамики систем синхронизации связана с широким распространением в современной радиотехнике и использованием в качестве математических моделей в механике, энергетике, биофизике, экономике.
Цель и задачи работы. Целью диссертации является разработка аналитических и численных методов исследования вращательных циклов для математической модели системы фазовой автоподстройки частоты, которые могут быть использованы при моделировании колебательных процессов.
Для достижения указанной цели необходимо решить следующие задачи:
1. Разработать новые аналитические методы обнаружения вращательных
циклов для математической модели системы ФАПЧ.
-
Разработать численно-аналитические методы нахождения областей существования неустойчивых модуляционных режимов для системы ФАПЧ, а также численно-аналитические методы поиска неустойчивых циклов.
-
С помощью современных компьютерных технологий определить механизмы бифуркации вращательных циклов математической модели системы ФАПЧ с фильтрами второго порядка.
-
Создать комплекс программ, позволяющий реализовать численные методы и алгоритмы поиска модуляционных колебаний системы ФАПЧ.
Методы исследования. В работе использовались методы теории матриц, матричных уравнений, теории устойчивости, второй метод Ляпунова, метод нелокального сведения, методы функционального анализа; при разработке вычислительных алгоритмов использовалась система компьютерной математики Maple.
Научная новизна и результаты, выносимые на защиту. В диссертационной работе получены новые аналитические и численные методы поиска
вращательных циклов для математической модели системы фазовой автоподстройки частоты. Научную новизну составляют следующие результаты, выносимые на защиту:
предложен новый аналитический метод нахождения вращательных циклов для математической модели системы фазовой автоподстройки частоты, позволяющий определить области содержащие циклы.
на базе системы компьютерной математики Maple разработан комплекс программ для поиска модуляционных колебаний математической модели системы ФАПЧ.
с помощью разработанных методов и комплекса программ найдены условия существования вращательных режимов системы ФАПЧ.
на базе системы компьютерной математики Maple разработан комплекс программ для эффективного поиска неустойчивых вращательных циклов системы ФАПЧ с фильтром второго порядка.
разработан эффективный вычислительный метод с применением компьютерных технологий для анализа сценария бифуркации вращательного цикла математической модели для системы ФАПЧ с фильтрами второго порядка. Определена математическая модель системы ФАПЧ обладающая модулированными колебаниями с широкополосным спектром.
Достоверность полученных результатов. Все положения, выносимые на защиту, математически строго доказаны и подтверждаются численными экспериментами.
Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость работы заключается в развитии методов исследования модуляционных колебаний систем ФАПЧ. Результаты диссертационной работы могут быть использованы специалистами в области теории нелинейных колебаний при анализе многомерных моделей динамических систем, а также при анализе и синтезе систем ФАПЧ.
Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Россия, Тула, 2013, 2014); международной конференции «Колмогоровские чтения –VI. Общие проблемы управления и их приложения» (Россия, Тамбов, 2013); XIX, XX Всероссийских научно-технических конференциях студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании "НИТ 2014 - 2015"» (Россия, Рязань, 2014, 2015); XIX научной конференции по радиофизике, посвященной 70-летию радиофизического факультета (Россия, Нижний Новгород, 2015), Двадцать третей международной конференции « Математика, компьютер, образование» (Россия, Дубна, 2016); международной конференции, посвященной 110-летию Иринарха Петровича Макарова «Геометрические методы в теории управления и математической физике: дифференциальные уравнения, интегрируемость, качественная тео-
6 рия». (Россия, Рязань, 2016); международной научно-практической конференция «Математика: фундаментальные и прикладные исследования и вопросы образования» (Россия, Рязань, 2016).
Публикации. Основные результаты работы отражены в 17 публикациях, в том числе 8 статей в изданиях, рекомендованных ВАК при Минобрнау-ки РФ, 8 публикаций тезисов докладов на конференциях различного уровня, 1 статья в рецензируемом журнале.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, заключения, списка литературы, включающего 163 наименования, и приложения. Работа изложена на 152 страницах машинного текста и содержит 72 рисунка. Общий объем - 177 страниц.
Методы исследования системы ФАПЧ
По своей структуре она представляет собой следящую систему автоматического регулирования с одним «входом», одним «выходом» и однопетлевой обратной связью. Объектом регулирования является подстраиваемый генератор ПГ, причем сигнал управления воздействует только на частоту его автоколебаний. На входе системы действует сигнал эталонного генератора ЭГ в виде периодической или квазипериодической функции, а на выходе снимается сигнал подстраиваемого генератора. Датчиком рассогласования в системе является фазовый детектор далее ФД, выходной сигнал которого представля-11 ет нелинейную периодическую функцию разности мгновенных фаз сигналов эталонного и подстраиваемого генераторов. Фильтр нижних частот ФНЧ в цепи управления предназначен для коррекции передаточной функции замкнутой системы, управляющий элемент УЭ - для изменения под действием электрического сигнала управления реактивности, вносимой в контур подстраиваемого генератора, и его частоты. В стационарном режиме, когда частоты эталонного соэг и подстраиваемого сопг генераторов равны, в системе устанавливается постоянная разность фаз между сигналами соответствующих генераторов и выходное напряжение фазового детектора постоянно. Это напряжение подается на вход управляющего элемента, в противном случае статический режим невозможен. В связи с этим между фазовым детектором и управляющим элементом включают устройства, пропускающие постоянный ток, такие как фильтры нижних частот. Они устраняют из спектра сигнала управления нежелательные составляющие побочных частот, присутствующие на входе фазового детектора, которые могут вызывать паразитную частотно-фазовую модуляцию эталонного генератора.
Не смотря на большое разнообразие условий применения систем ФАПЧ и требований к ним, проанализировать работу и рассчитать их возможно на основе рассмотрения типовой системы. Составим основное уравнение системы ФАПЧ. Пусть в начальный момент времени напряжение на входе управляющего элемента рано нулю. Начальная расстройка подстраиваемого генератора относительно эталонного равна ан=соэг-соопг, (1.1.1) где сошг - угловая частота подстраиваемого генератора при разомкнутой цепи. В момент замыкания цепи мгновенная частота подстраиваемого генератора меняется в результате появления напряжения на входе управляющего элемента. Ее новое значение со, в зависимости от знака мгновенного напряжения на выходе ФНЧ, будет либо больше, либо меньше соопг. Не уменьшая общности, предположим, что со станет больше чем соопг. со = со0ПГ + а)уЭ. (1.1.2) Здесь соуэ - мгновенная расстройка, создаваемая управляющим элементом. Предполагая, что характеристика управляющего элемента - линейная функция, будем считать, что величина расстройки определяется выражением: =Sy3Uem, (1.1.3) где Sy3 - крутизна характеристики управляющего элемента, Uвых - мгновенное напряжение на выходе ФНЧ. Напряжение на выходе ФНЧ связано с выходным напряжением фазового детектора ифД соотношением ивых=К(р)ифД, (1.1.4) где К(р) - коэффициент передачи фильтра в операторной форме; символ p = dldt- оператор дифференцирования. Мгновенное выходное напряжение фазового детектора определяется его характеристикой. Полагаем, что она представляется в виде периодической функции разности фаз и имеет не более одного максимума и одного минимума за период. Обозначив наибольшее значение модуля напряжения на выходе фазового детектора через 11ФДш&, получим ифД = UmmaxF(a), (1.1.5) где т - мгновенная разность фаз подстраиваемого и эталонного генераторов, F( J) - нормированная характеристика фазового детектора, т.е. отношение мгновенного значения напряжения к наибольшему по модулю напряжению. Подставим (1.1.4), (1.1.5) в (1.1.3), получим Оуэ = Sy3UmMaKF(cr)K(p) . (1.1.6) Обозначим, Sy3UmMaKc =&у- полоса удержания, получим a)y3=QyF(cr)K(p). (1.1.7) Подставим (1.1.7) в (1.1.2), получим a) = a)0nr + QyF(cr)K(p). (1.1.8) Мгновенное значение разности фаз генераторов связано в общем случае с мгновенным значением разности частот соотношением t cr = crc+](a)-a)3r)lt, (1.1.9) где 7С -разность фаз при t = 0. Используя (1.1.9), получим соотношение в операторной форме рст = со-соэг. (1.1.10) С учетом (1.1.8), (1.1.10) получим дифференциальное уравнение pcr + QyK(p)F(cr) = QH, (1.1.11) которое соответствует системе ФАПЧ. Оно показывает, что в любой момент времени в замкнутой системе ФАПЧ алгебраическая сумма мгновенной разности частот рст и расстройки, вносимой управляющим элементом, равна постоянной величине - начальной расстройке.
При сложном фильтре нижних частот и нелинейной характеристике фазового детектора, уравнение (1.1.11) превращается в нелинейное дифференциальное уравнение высокого порядка.
Это уравнение полностью характеризует изменение во времени разности фаз подстраиваемого и эталонного генераторов с момента их включения. Решение его позволяет определить важные показатели работы системы, такие как полоса захвата, время и характер установления режима, статическая ошибка. Точное аналитическое решение основного нелинейного дифференциального уравнения (1.1.11) системы ФАПЧ можно получить, если оно имеет первый порядок. В остальных случаях используют приближенные способы решения и анализа. При этом определение полосы захвата или времени установления становится проблемой даже для систем, описываемых уравнениями второго и третьего порядка.
Использование линейных форм при построении областей существования вращательных циклов
В параграфе модифицируется положительно инвариантное множество, построенное в теореме 1.3.1, за счет добавления новых границ, в виде линейных поверхностей, что позволяет улучшить результаты, полученные в параграфе 1.3. В теореме 2.1.1 к инвариантному множеству из теоремы 1.3.1 добавляется новая граница, определяемая линейной поверхностью, а в теореме 2.1.2 - две новые линейные поверхности. Усложнение вида инвариантного множества с одной стороны позволяет увеличить область параметров для вращательных циклов и уменьшить область начальных условий модуляционных колебаний системы ФАПЧ, с другой стороны приводит к усложнению проверки условий существования циклов. Результаты, полученные в параграфе 2.1 применимы для случая, когда матрица А системы (1.2.1) имеет комплексно сопряженные собственные значения, а фильтр системы ФАПЧ, изображенный на рис. 1.1.3б обладает ограниченным затуханием.
Теорема 2.1.1. Пусть для системы (1.2.1) выполнены условия 1), 2) теоремы 1.3.1, условие 1) теоремы 1.3.2, справедливы утверждения: 1) стЬ = -Г, cTA = lT, lTA = -a/-pic\ а1 0, 1 0, ra«gc,/ = 2, lTb = v 0; 2) существует значение тх О, для которого выполняется неравенство Нх + Т 1сст - тх (vc + Yl){vc + Г If О; 3) для Л = vT l +Л0, Лц 0 справедливо соотношение Г1=Щ-т1Г(Л0Г)2у1 0; 4) система уравнений (1.3.2) при /u = fil={Ylsl +a)Y 112 имеет вращатель ный цикл Fx{&) 0 для любого а є ( о;-юо); 5) существует значение т2 0, для которого выполняется неравенство Н2 - Т 1сст - т2 (vc + Yl){vc + Tlf О; 2 19"т ( -2 6) система уравнений (1.3.2) при ]и = /л2 = ДА 2 , Г2 = Л/Г2 ! + Г2Г(4)Г) имеет вращательный цикл F2(cr), 0 FX( J) F2( J) для любого а є (-оо;+оо); 7) значения qx, Тх удовлетворяют соотношению (ЦГ 2)-1 + qx -1 0; 8) при рх = (a2(qxYxYsx) l +1-д1 1)1/2справедливо неравенство pxFx( r) - F2 (а) 0 для любого а є (-оо; о); 9) выполняются соотношения - 8Х = Л(ах - Л) - Д 0, - 8Х S[TXFX (сг) + + (у- ЛТ)(р(а) О для любого а є ( о;-юо); 10) справедливо неравенство F2( r)-(qxl(TTxl -1) + 1)1/2 ( т) 0 для любого сгє(-оо;+оо); 11) для любого т є (-оо;+оо) выполняется соотношение F2{CJ)- YY2II2FX{CJ) Q). Тогда система (1.2.1) имеет вращательный цикл. Доказательство. Сохраним обозначения, использованные в теоремах 1.3.1, 1.3.2. Рассмотрим функцию W{z) = f х + Лст х, Л = УГ 1+Л0. Пусть Q3={z:W(z) 0}, Q = QinQ2nQ3- Граница множества Q имеет вид 5Q = дС1х U dQ2 U dQ3, где дПх = {z: Vx(z) = 0,стх 0,V2(z) 0,W(z) 0}, Xl2 = {z: V2(z) = 0, Vx(z) 0,стх 0,W(z) 0}, dQ3={z: W{z) = 0, cTx 0, Vx (z) 0, K2 (z) 0}. Из условий теоремы 2.1.1 и методов использованных при доказательстве теорем 1.3.1, 1.3.2, 1.4.1, 1.4.2, получим, что множество Q является положительно инвариантным, содержащим вращательный цикл [155]. На рис.2.1.1 изображено сечение множества Q плоскостью Р0 = {z: а = 0}. Рис.2.1.1 Рис.2.1.2
Теорема 2.1.2. Пусть для системы (1.2.1) выполнены условия 1), 2) теоремы 1.3.1, условие 1) теоремы 1.3.2, условия 1-6), 9) теоремы 2.1.1 и справедливы утверждения 1) существует значение г 0, для которого выполняется неравенство Нх + Т-1сст - т(ус + Yl){vc + Г if О; 2) существует значение т2 0, для которого выполняется неравенство Н2 - Y lccT - f2(vc + I7)(vc + Г If О; 3) выполняются соотношения л/Г (K-vT- + V3)17 уМ2 ml All ( 2 _ 2ГГ V Б1 Гі Iі J ,1/2 Г-Г — pi V 2l J М2 тх ( 2_ 2гг V/2 gl Х Х 1 V l ri Iі У гдеМ2=тах 2(сг), = minFx(сг), - = i "1(a1 -vT_1)-1 0. Тогда система (1.2.1) имеет вращательный цикл. Доказательство. Сохраним обозначения, использованные в теоремах 1.3.1, 1.3.2. Рассмотрим функции V1(z) = xTH1x + F12( j), V2(z) = xTH2x -F22(CT), W(z) = lTx + AcTx, Я = 10, W1(z) = lTx + vT-1cTx + d1, где z Ґ x VV функции F1(cr), F2(cr) удовлетворяют условиям 1)-6) теоремы 2.1.1, для значения d1 выполняются неравенства 2ly 2 M2 d1 m ((a.-vT-)2+S223)1/ f 2 _ 2Г1 Л V Sl Tl Iі У 1/2 (2.1.1) -2 - г3 1/2 M2 d1 m f 2 _ 2ГГ Л gl X X 1 V gi ri Iі J 1/2 (2.1.2) в силу условия 3) теоремы 2.1.2 такое значение d1 существует. Пусть Q1={z:K1(z) 0,cr;c 0}, Q2={z:K2(z) 0}, Q3 ={z:W(z) 0}, Q4={z: W1(z) 0}, Q = QinQ2nQ3nQ4. Граница множества Q имеет вид dQ = = ао1іш2іш3іш4, где dn1={z:v1(z) = 0,cTx 0,v2(z) 0,w(z) 0, (z) 0}, dQ2={z:V2(z) = 0, V1(z) 0,cTx 0, W(z) 0,W1(z) 0}, SQ3 = = {z:W(z) = 0,cTx 0,V1(z) 0,V2(z) 0},ЭО4 = {z: W1(z) = 0,cTx 0,V1(z) 0, K2(z) 0}. Из условий теоремы 2.1.2 и методов, использованных при доказательстве теорем 1.3.1, 1.3.2, 1.4.1, 1.4.2 получим, что множество Q является положительно инвариантным и содержит начальные условия вращательного цикла. На рис 2.1.2 изображено сечение множества Q плоскостью Р0 = {z: а = 0}.
Пример 2.1.1. Рассмотрим систему (1.3.25) определенную в примере 1.3.1. Система (1.3.25) заменой переменных x=Sx приводится к системе а р Р -а (1.2.1), для которой A с а = а1/2, р2=рх-а2. Найдем I = Атс f а \ Ъ v(P-1) + aT Р-1 /?ЛД-т-Г(/?-1) (_ 2 _ п2 п\ С Р v а J 1ТА = = (-а(р-р1)-аР,Р(р-р1)-а2) = -а11т-р1ст, стЪ = cTSS1b = т =-Т, 1ТЪ = стАЪ = cTSS l ASS1b = cTAb = v. Таким образом, для системы (1.2.1) выполнены условие 1) теоремы 2.1.1. Рассмотрим систему (1.3.25) со значениями параметров 1 =5/4, v = 5/16, Г = 5/4, 7 = 0.8 [64,147].
Вращательные циклы системы ФАПЧ с ограниченным затуханием фильтра нижних частот второго порядка
В параграфе 3.2 с помощью численных методов определяются области начальных условий вращательных циклов. Один из подходов изучения циклов, как первого, так и второго рода, базируется на втором методе Ляпунова. С помощью функций Ляпунова строится положительно инвариантное множество Q. На сечении Q0 множества Q плоскостью оператор сдвига по траекториям системы дифференциальных уравнений определяет оператор U. Вывод о наличии циклов делается с применением теоремы Брауэра о неподвижных точках, одним из условий которой является то, что оператор U отображает множество Q0 в себя. В предположении непрерывной зависимости оператора U от параметров системы дифференциальных уравнений естественно ожидать, что при некотором изменении параметров системы, оператор U будет отображать множество Q0 в себя, но при этом может произойти потеря положительной инвариантности множества Q, которая не повлияет на выполнение условий теоремы Брауэра. В связи с этим появляется возможность улучшения имеющихся условии существования циклов основанных на использовании теоремы Брауэра. Возможен случай, когда при фиксированном множестве Q, изменение параметров системы дифференциальных уравнений приводит к тому, что оператор U не отображает множество Q0 в себя, не выполняются условия теоремы
Брауэра, но при этом множество Q0 П U(Q0) не является пустым и оператор U имеет неподвижные точки. Если в этом случае для оператора U определить векторное поле Q(x) = х —Щх) на границе 5Q0, то наличие неподвижных точек U связано с y(Q,dQ.0)- вращением векторного поля Q на границе dQ0 [53]. Взаимосвязь вращения векторного поля с неподвижными точками оператора определяется теоремой из работы М.А. Красносельского [53]: если y(Q, 9Q0) Ф 0, то оператор U имеет неподвижные точки. При использовании указанной теоремы возникают трудности определения вращения векторного поля. Проведенные рассуждения относятся к случаю, когда с помощью функ 126 ций Ляпунова построено фиксированное положительно инвариантное множество Q и проводится анализ оператора U в зависимости от параметров системы дифференциальных уравнений.
Для определения циклов в параграфе 3.3 предложен численно-аналитический подход: на базе положительно инвариантного множества О. построить новое множество Q1, которое не является положительно инвариантным, но y{Q, 5QJ,) 0, SQJ,- граница сечения множества Q1 плоскостью. В связи с этим возникает задача выбора оптимального множества Г21 и определение критерия оптимальности Q1.
Рассматривается система дифференциальных уравнений х = Ах + Ъ(р(ст\& = стх, (1.2.1) где x,b,cGRn, (р(а)-А- периодическая функция непрерывно дифференцируемая. В параграфе предложен подход последовательного расширения области параметров системы (1.2.1) для циклов второго рода. Анализ системы (1.2.1) производится с использованием вращения векторного поля и результатов параграфов 1.5, 2.4. Для определения вращения векторного поля возникает необходимость определения границы множества Q, что приводит к нахождению решения системы матричных уравнений. Показано, что применение матричных уравнений вместо матричных неравенств, приводит к использованию неотрицательных матриц, отбрасываемых в неравенствах при построении положительно инвариантных множеств, что позволяет улучшить известные условия существования циклов второго рода. Численный анализ системы (1.2.1) производится с использованием вращения векторного поля, результатов параграфа 2.4. и программ на базе пакета компьютерной алгебры Maple. у -Г ах Рх с Ъ Пример 3.2.1. Рассмотрим систему (1.2.1), где А = V1 0 (р(6) = ъшо-у, 1,1,у,І,єД+. Для системы (1.2.1) проверим \1) условие 1) теоремы 1.5.1 найдем стЬ = -Г 0, 1Т =стА = (0;1), ra«gc,/ = 127 rang о = 2, lTb = v 0, lTA = {-al--J3l) = -allT -Дсг. Пусть D = a{ - 4 Д О, тогда матрица А имеет комплексно сопряженные собственные значения.
Рассмотрим систему (1.2.1) со значениями параметров ах=\, v = 2, Г = 9, Г = 0,8 [65,147]. Для условий 2), 3) теоремы 1.5.1 возьмем = Г-1 + %, ffm=0.05, єх= 1. Пусть Д=Д2 =0.3446. тогда для системы (1.5.5) при -1/2 //2= 0.09073974073 1Г"1// имеет вращательный цикл F2(cr) 0 для любого сгє(-оо;+оо), maxF2(cr) = M2 =8.93093366131. Для условия 5) теоремы 1.5.1 возьмем б/2 2л/Тм2(а1-іГ"1)"1=5.916786077. Система (1.5.2) при = = 0.07407507407 2Г"1/2, t/2 = 5.916786077 +10"9имеет вращательный цикл Fl(a) 0, F2{CJ) F1{CJ) для любого сгє(-оо;+оо). Для системы (1.2.1) выполнены условия теоремы 1.5.1, следовательно, она имеет вращательный цикл. Численно (приложение А.2) определяются начальные условия цикла (0) = -7.321677411, х2(0) = 16.804528610, сг(0) = 0.
Численный подход построения области начальных условий вращательных циклов
Таким образом, в системе (1.2.1) при увеличении 1 от 0.8854 до 0.995 наблюдается сценарий бифуркации устойчивого цикла на три, среди которых один является неустойчивым с периодом 2л- по переменной а, а два являются устойчивыми с периодом 4л- по переменной а.
Дальнейшее увеличение 1 от 0.995 до 1.018 приводит к тому, что неустойчивый цикл z827r(t) трансформируется в неустойчивый цикл zf1 ,2„(t). От устойчивого цикла z1,4(t) отделяются два устойчивых цикла z1,87t(t), z2,8(t) с периодом 8л- по переменной о-, при этом цикл z+2,4(t) трансформируется в неустойчивый цикл z82 ,4(t). От устойчивого цикла z2,4(t) отделяются два устойчивых цикла z+,8(t), z4,8n(t) с периодом 8л- по переменной СУ. Цикл z2,4 (i) трансформируется в неустойчивый цикл z%,4(t). Система (1.2.1) имеет семь циклов второго рода, четыре из которых устойчивые, а три неустойчивые. На рис.3.3.7 показаны ок рестности 0 2ж, Q.f47l, Щ.4я- 1,8 2 8л- 3,8тг 4 8л- центры которых определяются начальными условиями циклов системы (1.2.1). Рис. 33.7 Численными методами (п.2-п.6 приложения В.2) для границы 182л. окрестности Щ2л находится линия Ц87І = и8л(182л), изображенная на рис.3.3.5. Окрестности начальных условий циклов системы (1.2.1) пересекаются с множеством Ц1 8л.. На рис.3.3.8а представлены проекции четырех циклов второго рода z1,8J[(t), 72,8я-(), 23,8(), z4,8 () системы (1.2.1) с начальными условиями в точках Д+8;г(-5.6412;6.3588), А2,8ж(5.5307;6.2979), 43,8(_46847;6.5161), 4+8;г(-4.5578;6.6116) соответственно, на плоскость (х1,х2), при этом проекции циклов совпадают. На рис.3.3.8b эти циклы показаны в пространстве (х1,х2,а).
На рис.3.3.8c представлена линия W18jr, описываемая вектором Q8n(x) при прохождении х окружности с1,8ж, т.е. y{Q8n, GJ\8n) = 1, следовательно, z1,87t(t) является устойчивым циклом второго рода с периодом 8л- по переменной (7. Аналогично можно показать, что циклы второго рода 87(), 8 (), 8 () являются устойчивыми.
На рис.3.3.9а изображены проекции трех циклов второго рода zf1 ,2(t), zf4jr(t), z2 ,47l(t) системы (1.2.1), с начальными условиями в точках Дг2;г(-5.09108;6.29895), Дг4;г(-5.59687;6.33045), v4f4;r(-4.61381;6.56869) соответственно, на плоскость (х1,х2), таких что y(Q8jr, 182л-) = _1 ї(08„, АЛ) = _1
Таким образом, в системе (1.2.1) при увеличении 1 от 0.995 до 1.018 наблюдается сценарий бифуркации двух циклов с периодом 4л- на четыре устойчивых цикла второго рода с периодом 8л- по переменной сг, трансформа 145 цией неустойчивого zf2jI(t) цикла с периодом 2n по переменной а и двух устойчивых циклов z1,4(t), z+2,4(t)в неустойчивые циклы zf1 ,4(t), z\,4(t) с периодом 4л- по переменной ст.
Дальнейшее увеличение 1 от 1.018 до 1.02 приводит к тому, что неустойчивые циклы zf27I(t), zf1 ,4(t), zg2 ,4(t) трансформируются соответственно в неустойчивые циклы z 1 ,2(t), zf1 ,4„(t), zl,4(t). От устойчивого цикла z1,8JT(t) отделяется два устойчивых цикла z1,16jl(t), z+2,167r(t) с периодом 16л- по переменной а, при этом цикл z1,8(t) трансформируется в неустойчивый цикл zf8jr(t). Аналогичная картина происходит с устойчивыми циклами z+2,8(t), z3,8(t), z4,8n(t), от них отделяются устойчивые циклы z3+16;r(), z+4,167T(t), z+5,167T(t), z+6167T(t), z7,16„(t), z8,167T(t) с периодом 16л- по переменной а, при этом циклы 87Г(), z+,8(t), z+,8(t) трансформируются в неустойчивый циклы z2 ,87r(7), z3 ,8;r(7), z4 ,87l(t). Система (1.2.1) имеет пятнадцать циклов второго рода, восемь из которых устойчивые, а семь неустойчивые. На рис.3.3.11а, Ь, с показаны окрестности Q а) 146 О4,16я- 516л- 616л- 716л- 8, 16л- центры которых определяются начальными условиями циклов системы (1.2.1). Численными методами для границы 1Ж окрестности 0 2ж находится линия Ь116ж= U16jT(wf2jT), изображенная на рис.З.З.Па. Окрестности начальных условий циклов системы (1.2.1) пересекаются с множеством Ц 16л.. На рис.3.3.12а изображены совпадающие проекции восьми циклов второго рода 16;г(), z+16;r(), 16,(), 16,(), 4,16,(), 16,(), W( ), 16.() си стемы (1.2.1) с начальными условиями в точках: 41,16 (-5.6904;6.3884), Л2,16;г (-5.6723; 6.3737), ,43+16;г (-5.5216; 6.2890), 4+16;г(-5.4803;6.2756), А5,16Ж(-4.7456;6.4738), Л+,16ж(-4.7032;6.5043)5 Л+,16 (-4.5276; 6.6374), А8,16ж (-4.5037; 6.6558) соответственно на плоскость (х1,х2), на рис.3.3.12Ь они показаны в пространстве (х1,х2,ст).
На рис.3.3.12с представлена линия W116j[, описываемая вектором Q16x(x) при прохождении х окружности с116я, т.е. у(016ж, ао {16ж) = 1, следовательно, 2116( ) является устойчивым циклом второго рода с периодом 16л- по переменной а. 147 а) b) с) Рис.3.3.12 На рис.3.3.13а изображены проекции трех циклов второго рода zxgl7I{t), zf47r(t), ЩАж(і) системы (1.2.1) с начальными условиями в точках: Аі 2л (-5.095304305;6.2973578760), А м(-5.620310707;6.3376797684), Af4„ (-4.593601633; 6.5863405437) х2,4я на плоскость (JC1SJC2), такие что r(Ql6!t, afljr) =-\, у(016„,Щ%) = -1, Г(Оібх,Ш2,4х) = -1. Проекции циклов zfM(t), z81M{t) на плоскость (JC1SJC2) совпадают. На рис.3.3.13b показаны проекции этих циклов на плоскость ( т,х2). На рис.3.3.13с представлены совпадающие проекции четырех циклов второго рода zf8;r(f), z%%7r{t), z%%7t{t), zf%7T{t) системы (1.2.1) с начальными условиями в точках: Af1 ,8 (-5.684364229; 6.3834139867 ), А$,8 (-5.496674209; 6.2804853881) A2 ,8 (-5.496674209; 6.28048538 81), Af3 ,8 (-4.7286303 29; 6.48596183 37), A ,8n (-4.5139888 49; 6.64786978 96) на плоскость (JC1,JC2), таких что y(Q16jT, со я) =-\, где / = 1,4. На рис.3.3.13d изображены проекции этих циклов в пространстве (х1 ,х2, т).