Анализ стационарности стохастических моделей телекоммуникационных систем методами теории восстановления Потахина Любовь Викторовна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Основные результаты теории восстановления 9

1.1. Предварительные результаты 9

1.2. Процессы восстановления 12

1.3. Прошедшее и незавершенное время восстановления 14

1.4. Регенерирующие процессы 18

Глава 2. Анализ моделей телекоммуникационных систем 25

2.1. Модель системы с оптическим буфером 25

2.2. Приоритетная система передачи данных по каналу, управляемому цепью Маркова 34

2.3. Системы с параметрами, зависящими от текущего состояния 49

2.4. Асимптотический анализ системы с конечным буфером и заявками случайного объема 57

Глава 3. Другие методы анализа стационарности стохастических моделей 65

3.1. Регенерация цепей Маркова, возвратных по Харрису 65

3.2. Жидкостной метод 68

3.3. Метод функций Ляпунова 72

Глава 4. Имитационное моделирование 75

4.1. Система с оптическим буфером 76

4.2. Приоритетная система передачи данных по каналу, управляемому цепью Маркова 78

4.3. Системы с параметрами, зависящими от текущего состояния 84

Заключение 91

Перечень сокращений и условных обозначений 92

Литература

• Прошедшее и незавершенное время восстановления
• Приоритетная система передачи данных по каналу, управляемому цепью Маркова
• Жидкостной метод
• Приоритетная система передачи данных по каналу, управляемому цепью Маркова

Введение к работе

Актуальность работы. Возрастание роли телекоммуникационных систем для передачи и обработки информации и их усложнение требует разработки и анализа все более сложных стохастических моделей, для которых получение условий стационарности является одной из важнейших задач. Данные условия играют исключительно важную роль как при анализе существующих, так и при проектировании систем, поскольку нарушение стационарности ведет к большим затратам: потерям заявок, неограниченному росту времени ожидания обслуживания и так далее. Под стационарностью в данной работе понимается существование режима функционирования системы, который устанавливается с течением времени и в дальнейшем его числовые характеристики остаются неизменными.

Если модель системы может быть описана процессом восстановления, то для получения асимптотических оценок ее характеристик могут быть использованы результаты теории восстановления. Если базовый процесс, описывающий динамику системы, является регенерирующим, то возможно использовать регенеративный метод анализа стационарности, который является одним из наиболее мощных методов исследования, поскольку охватывает широкий класс случайных процессов. В частности, результатом применения этого метода в данной работе является получение достаточных условий стационарности моделей систем обслуживания.

Степень разработанности. Методы теории восстановления и ее асимптотические результаты в полной мере изложены в работах С. Асмуссена [], В. Феллера [] и У. Смита []. Также стоит отметить работы В. В. Рыкова [, ] и Е. В. Морозова [17, ], касающиеся анализа регенеративных систем и применимости регенеративного метода анализа стационарности.

Цель диссертационной работы состоит в нахождении условий стаци-

онарности стохастических моделей телекоммуникационных систем, для которых процесс загрузки имеет отрицательный снос на больших уровнях.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Адаптация регенеративного метода для получения условий стационар
ности в моделях

системы с оптическим буфером,

приоритетной системы, в которой канал передачи данных управляется цепью Маркова,

систем, в которых параметры зависят от текущего состояния.

1. Асимптотический анализ характеристик модели с ограничением на суммарный объем заявок методами теории восстановления.

2. Имитационное моделирование динамики систем для демонстрации точности определения области стационарности на основе полученных достаточных условий.

Методы исследований. В диссертационной работе применяются методы теории восстановления, теории регенерации, теории цепей Маркова, метод каплинга, а также методы статистического моделирования.

Научная новизна. Для моделей системы с оптическим буфером и системы с параметрами, зависящими от текущего состояния получены достаточные условия стационарности на основе регенеративного метода. Для модели приоритетной системы с каналом передачи данных, управляемым цепью Маркова получен критерий стационарности. Результатом анализа модели системы с ограничением на суммарный объем ожидающих заявок является соотношение, связывающее предельную долю потерянного объема и стационарную вероятность простоя в случае, когда время обслуживания и объем заявки

пропорциональны, а также асимптотическое соотношение, связывающее стационарную вероятность потери с предельной долей потерянного объема.

Практическая значимость. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы для определения области стационарности широкого класса телекоммуникационных систем, в том числе мобильных сетей связи, соответствующих рассмотренным моделям. Кроме того, полученные асимптотические оценки могут быть использованы при анализе эффективности существующих и проектируемых телекоммуникационных систем с ограничениями.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Достаточное условие стационарности модели системы с оптическим буфером.

2. Критерий стационарности модели приоритетной системы с каналом передачи, управляемым цепью Маркова.

3. Достаточное условие стационарности модели системы, в которой параметры зависят от текущей величины очереди или незавершенной работы.

4. Асимптотические соотношения для доли потерянного объема в модели с ограничением на суммарный объем ожидающих заявок.

5. Комплекс программ имитационного моделирования процесса загрузки моделей, для которых получены условия стационарности.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены на следующих конференциях:

6. Международный семинар “4th Nordic Triangular Seminar in Applied Stochastic” (Хельсинки, 6–8 марта 2013 г.);

7. Международный семинар “Networking games and management” (Петрозаводск, 23–25 июня 2013 г.);

8. Международная конференция “Distributed computer and communication networks (DCCN-2013): control, computation, communications” (Москва, 7–10 октября 2013 г.);

9. Международная научная конференция “Computer Networks (CN2014)” (Brunow, Польша, 23–27 июня 2014 г., по итогам конференции доклад был отмечен сертификатом с отличием);

10. Международная конференция “6th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT 2014)” (Санкт-Петербург, 6–8 октября 2014 г.);

11. Всероссийская конференция с международным участием “Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем (ИТТММ 2015)” (Москва, 20–24 апреля 2015 г.);

12. Международная научная конференция “Computer Networks (CN2015)” (Brunow, Польша, 16–19 июня 2015 г.);

13. Международная конференция “International Conference on Man-Machine Interactions (ICMMI 2015)” (The Beskids, Польша, 6–9 октября 2015 г.).

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты 15-07-02341, 15-07-02354) и программы стратегического развития ПетрГУ на 2012-2016 годы.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 11 работах, из них 2 статьи в рецензируемых журналах (входящих в БД Web of Science и РИНЦ) [4, ], 4 статьи в сборниках трудов конференций (индексируемых в БД Scopus) [, , , 10] и 5 тезисов докладов [, , , , ]. Подана заявка на регистрацию программы для ЭВМ [.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, перечня сокращений и условных обозначений, библиографии и списка иллюстраций. Общий объем диссертации 105 страниц, включая 20 рисунков. Список литературы включает 95 наименований.

Прошедшее и незавершенное время восстановления

Данный раздел посвящен методу анализа стационарности систем обслуживания, обладающих свойством регенерации [17, 41, 59]. Это означает, что траектория случайного процесса, описывающего поведение системы, разбивается на н. о. р. ц. р. в м. р., которые образуют вложенный п. в. Здесь и далее термин система будет означать модель рассматриваемой системы обслуживания [40].

Как и в [58], рассмотрим систему GI/G/1, в которую заявки поступают в моменты {tn} через н. о. р. интервалы тп = tn+\—tn) п 0, причем Ет Є (0, оо). Пусть {Sn, п 0} - н. о. р. времена обслуживания, Е5 Є (0, оо). Определим процесс величины очереди v = {z/()}, где v{t) - число заявок в системе в момент t, а vn = v{t ), п 0 - число заявок в момент прихода заявки п. Считаем, что в системе задана некоторая дисциплина обслуживания заявок. Так же определим процесс загрузки системы W = {W(t)}, где W(t) - незавершенное время обслуживания всех заявок, находящихся в системе в момент t (при отсутствии поступления новых заявок), и пусть Wn = W(t ). Напомним рекурсию Линдли, определяющую последовательность времен ожидания обслуживания заявок в системе: Wn+i = (Wn + Sn — тп)+, n 0. (1.45) Поскольку {Wk = 0} = {vk = 0} (поступление заявки в пустую систему), то вложенные последовательности {Wn} и {vn} (в дискретном времени) регенерируют одновременно в моменты вп+і = min{; вп : Wk = 0}, п 0, во = 0, (1.46) причем min0 = оо. Моменты регенерации для процессов v и W в непрерывном времени определяются следующим образом: Zn+i = min{tk Zn : W{tk) = 0}, n 0, Zo = to- (1.47) Очевидно Z\ = TQ + + TQX-\. Тогда из тождества Вальда (1.4) следует ЕТ = ЕтЕ/3, (1.48) где /3 и Т есть типичные длины ц. р. в дискретном и непрерывном времени соответственно, то есть /3 =st 9п — Qn-\ и Т =st Zn — Zn_\ при п 1. Для процессов в дискретном времени рассмотрим незавершенное время регенерации в момент п (3(п) = min{#fc — п : $k — п 0}. В силу (1.25) ( при t = п и Bt = /3(п) ) верна следующая асимптотика величины (3(п): независимо от начального значения в\ (3(п) оо тогда и только тогда Е/3 = оо. Таким образом конечность средней длины цикла является важнейшим условием при анализе стационарности регенерирующего процесса. Основная идея регенеративного метода анализа стационарности стоит в том, что при любом $i (3(п) ф- оо влечет Е/3 оо. (1.49) Тогда из (1.48) следует ЕТ оо, и процесс W является положительно возвратным. Отметим, что запись (3(п) ф- оо эквивалентна тому, что существуют константы хо 0, є 0 и последовательность щ — оо такие, что Для доказательства существования стационарного распределения важен следующий результат [14].

Теорема 1.4.2. Если с. в. (3 является непериодической и Е/3 оо; тогда существует стационарное распределение процесса {Wn}. Аналогичное утверждение верно и для процесса в непрерывном времени, если (3 - нерешетчатая.

Отметим, что процесс {И7 } является примером процесса накопления (подробнее см. [4]). Так как Ап = W(Zn+i) — W(Zn) = 0 и ЕА = 0, то в силу Опишем основные шаги применения регенеративного метода к анализу процесса {И7 }. Необходимо показать, что Заключительный шаг анализа заключается в доказательстве непериодичности длины цикла регенерации (для дискретного времени) или его нерешетчатости (для процесса в непрерывном времени).

Следующие определения необходимы для дальнейшего анализа. Будем называть систему стационарной тогда и только тогда, когда соответствующий процесс восстановления /3 является положительно возвратным. В случае, если Е/3 = оо, система может быть слабо или строго нестационарной. Система называется слабо нестационарной, если W(t) = оо и v{t) = оо. Будем называть систему строго нестационарной, если W(t) — оо и v{t) — оо с в. 1. (Терминологию см. в [55, 66].) Глава 2 Анализ моделей телекоммуникационных систем

В данной главе в разделах 2.1 - 2.3 приведены достаточные условия стационарности некоторых новых моделей телекоммуникационных систем, полученные на основе описанного выше регенеративного метода. Кроме того в разделе 2.4 описано применение результатов теории восстановления для асимптотического анализа характеристик системы с конечным буфером и заявками случайного объема.

Рассмотрим сеть с оптической коммутацией пакетов, в которой данные (заявки) перемещаются от источника к пункту назначения в форме света (то есть без преобразования в электрический сигнал в промежуточных пунктах). Для буферизации оптических сигналов используется счетное множество A = {Zo, Z\, Z21... }, каждый элемент которого соответствует длине некоторой оптоволоконной линии задержки (ОЛЗ) [22, 76]. Будем считать, что на обслуживающем устройстве (сервере) реализована дисциплина FIFO и каждая требующая буферизации заявка отправляется на ОЛЗ так, что к моменту завершения прохождения заявки по линии, сервер обработает накопленную до ее прихода загрузку и будет готов начать обслуживание данной заявки. В общем случае поступающая в сеть заявка будет ожидать обслуживания дольше, чем в случае классической системы с бесконечным буфером, поскольку времена ожидания выбираются из множества A (это подробнее поясняется ниже). В данном разделе рассматриваются системы с множеством ОЛЗ со случайными длинами, согласно работе [64]. (Системы, в которых А содержит ОЛЗ с детерминированными длинами, проанализированы в работах [61, 85, 86].)

Определим длину п-й линии как Zn := Ai+- -+An, ZQ := 0, где {An, п 1} есть неотрицательные н. о. р. с. в. Будем предполагать, что с. в. А нерешетчатая. (В общем случае можно предположить, что Zn = 2о + Ai + + Ап, где 2о = const - заданная минимальная задержка. Но дальнейшие рассуждения не зависят от этого предположения.) Будем говорить, что Zn содержит п элементарных звеньев с типичной длиной А. При такой интерпретации фактическая длина необходимой случайной линии априори не известна и зависит от реализаций с. в. {Ап}.

Приоритетная система передачи данных по каналу, управляемому цепью Маркова

Доказательство. Пусть S\ (t) - оставшийся размер г-й BR-заявки класса к (прерванной или непрерванной), находящейся в очереди или на сервере в слоте t (S k (t) = 0, если такой заявки нет). Напомним, что X k (t) - число заявок класса к в системе в слоте t, к Є %. Тогда для каждого х 0 верно

Отметим, что такой выбор Хо возможен в силу (2.45). Нижняя граница является равномерной по Zj и j, откуда следует W(ZJ) ф- сю. Аналогичный вывод верен, если с. в. S ограничены с в. 1 конечной константой Со, то есть имеют конечный носитель. (Достаточно взять в (2.46) Хо такое, что Хо CQKD.) Так как последовательность {zi} не случайна, то из (2.43) следует, что W(t) ф- сю.

Тогда 7 есть вероятность не иметь поступлений в интервале [0,Т]. Если в слоте Zj BR-загрузка не больше, чем я?о, в течение интервала [0,Т] не было поступлений заявок и в течение интервала [г],Т] в непустой системе присутствует как минимум одна BR-заявка, то система окажется пустой в интервале [г],Т], то есть произойдет регенерация. Вероятность иметь в непустой системе как минимум одну BR-заявку в течение интервала [г],Т], при условии отсутствия поступлений заявок в [0,Т], может быть ограничена снизу величиной р(г])т п. Длина интервала [г],Т] равна Т — ц = \хо] слотов, и в нем BR-загрузка убывает со скоростью не меньшей, чем 1, так как все это время существует как минимум одна BR-заявка. Тогда

Заметим, что выше X(t) ф- оо доказано для любых распределений размеров заявок, а W(t) ф- оо и (3(t) ф оо доказано только для распределений, удовлетворяющих Предположению 1. 2.2.3. Необходимое условие стационарности

Покажем, что не существует дисциплины, при которой система стационарна, когда условие р М нарушено, то есть достаточное условие стационарности р М для BR-дисциплины является фактически необходимым.

Теорема 2.2.7. Пусть р = М и (2.30) выполнено. Тогда, для любой дисциплины верно Е/3 = оо и W{t) Более того, если выполнено также Предположение 1, то X{t) = оо и система является слабо нестационарной. Доказательство. Пусть = . Докажем результат методом от противного: пусть Е оо. Напомним, что рассматриваем процесс {()} с нулевой задержкой. Тогда оо с в. 1, то есть процесс регенерации {п} является положительно возвратным. Типичный ц. р. =st + , где - период занятости, - период простоя, когда система полностью пуста. Используя (2.30), легко увидеть, что к Обозначим через i{) число слотов, когда сервер был пустым в течение интервала [0, ), = 1,... , , и пусть {) - число слотов, когда система была полностью пуста в интервале [0, ). Отметим, что {) miiijj(), 0. Тогда — i{) есть число слотов в интервале [0, ), когда сервер был не пуст. Так как каждый сервер работает со скоростью меньшей или равной 1, верно

В условиях Теоремы 2.2.5 было доказано, что процесс {вп} является положительно возвратным, Е/3 оо. Таким образом в силу Теоремы 1.4.2 для существования стационарных распределений, остается показать непериодичность ц. р. /3.

Доказательство. Для произвольного фиксированного класса к выберем j так, что 5\ := (А к = j) 0, и пусть := Р(5 ) = Ъ) 0 для некоторого Ъ. Для некоторого целого t\ 0 определим вероятность того, что произойдет ровно j поступлений заявок класса к с BR-размерами Ъ для некоторого слота Т и что за период [Т + 1,Т + bj + t\\ поступлений не будет. Тогда, если ц. р. стартует со слота Т, система оказывается пустой в интервале \Г-\-bj,T-\-bj +t\\. Отметим, что 1 — П/єх7 является вероятностью того, что произойдет как минимум одно поступление в течение слота. Тогда с вероятностью T(ti)(l — П/єх7 ) 0 в начале ц. р. в системе находится j заявок класса к (каждая из которых имееет размер Ъ) и нет заявок класса /, / ф к, и этот ц. р. длится ровно bj + t\ + 1 слотов (где t\ + 1 - номер пустого слота). Рассмотрим событие

В данном разделе анализируются системы, параметры которых зависят от их текущего состояния (например, значения величины очереди или незавершенной работы) [56, 57, 74, 92]. Это позволяет гибко управлять интенсивностями обслуживания и входного потока в зависимости от текущего состояния основного процесса. В частности, такой механизм управления дает возможность оптимизировать использование системы. Важной современной областью применения таких моделей являются “зеленые” вычисления (green computing) [23, 45, 47]. Такие технологии позволяют переключаться между использованием полной мощности [37] и состояниями неполной мощности на уровне процессора [36] или самой машины и ее компонент [13, 33].

К системам, параметры которых зависят от состояния, также относятся системы с дисциплиной, асимптотически сохраняющей работу. Последнее означает, что сервер использует полностью свою мощность (максимальную скорость обслуживания), лишь когда система сильно загружена (загрузка выше некоторого заданного порога), в то время как используемая мощность ниже этого порога может быть меньше или даже равной нулю. Дисциплина такого типа может быть использована для оптимизации архитектуры телекоммуникационной или компьютерной системы, к примеру, для ее технического обслуживания при низкой загрузке, выключения сервера с целью сохранения сохранения энергии и так далее. В данном разделе изложение ведется согласно работам [62, 65].

Пусть базовым процессом, описывающим динамику системы, является процесс {()} (все рассуждения останутся верны, если в качестве базового процесса рассмотреть {()}). Введем для произвольного 0 процесс который описывает суммарное время, когда значение процесса {()} превышает порог в интервале [0, ]. Отметим, что для системы , (x()) = x() для всех 0. В отличие от классических систем, системы, зависящие от состояния, могут гибко менять интенсивность поступления заявок и их обслуживания в зависимости от состояния базового процесса. В этом случае предполагаем, что максимальная скорость обслуживания равна 1. Во многих случаях сервер работает на полной мощности, когда процесс находится выше некоторого (конечный) порога , однако в некоторых других системах максимальная

Жидкостной метод

Опишем реализованный способ выбора BR-заявки для обслуживания, если в системе присутствует больше, чем BR-заявок. Если существует несколько классов с BR-заявками, выбираем класс с наибольшей BR-скоростью, L(fc). Если одновременно присутствует несколько BR-заявок одного такого класса, то заявка на обслуживание выбирается среди них случайно. Если в системе нет ни одной BR-заявки, то выбирается заявка случайно среди всех. Кроме того, приоритета для прерванных (и еще ожидающих) заявок нет.

Из Рисунков 4.4 - 4.6 следует, что процесс загрузки ограничен, когда . Это верно даже для распределения Парето, которое не принадлежит классу NBU. Это подтверждает гипотезу, что требования Предположения 1 являются чисто техническими и продиктованы использованным методом доказательства. Кроме того, когда , растет неограниченно для всех распределений,

Ниже приведены результаты регенеративного оценивания среднего числа заявок Е( ) в системе с = 2и = 2, в зависимости от общей интенсивности трафика (см. определение (2.28)), приближающейся к максимальной мощности системы . Во всех случаях к ( ) и = 2, изменяются таким образом, что \ = 2, а (общая) интенсивность трафика меняется дискретно с шагом 0.2 в пределах [0.2, 1.8], Q выбраны как в (4.3). Время наблюдения - 100 ц. р., и, как обычно, регенерация происходит, когда заявка поступает в пустую систему

Были рассмотрены 2 сценария: (i) BR-скорость передачи для класса 1 больше, чем для класса 2 ( % ), (ii) BR-скорость передачи одинакова для обоих классов ( з = 3 ). В случае (i) скорости передачи г к для класса 1 равны (1,3,5) и для класса 2 равны (1,5,7) и, кроме того, рассмотрены различные распределения с. в. k . В случае (ii) скорости передачи г к для обоих классов равны (1,3,5) и с. в. k распределены экспоненциально.

Рисунки 4.7 - 4.9 иллюстрируют сценарий (i), когда 3 % . Как и 16 12 8 4 class 1, E[b i/Ri] = 1.8 class 2, E[b2/R2] = 1.13 Зависимость E( ) от : -1 (7,2), 2 (7,1.1). ожидалось, при = 2, среднее число заявок обоих классов возрастает. Кроме того, видно, что очередь класса 1 растет быстрее, чем очередь класса 2. Это может быть объяснено следующими причинами. Во первых, заявки класса 1 class 1, E[b i/Ri] = 1.38 class 2, E[b2/R2] = 1 -04 12 8 4 и

Во вторых, в силу описанного алгоритма выбора BR-заявок, заявки класса 2 имеют приоритет, так как их BR-скорость передачи больше. В результате обе очереди ведут себя как в системе с приоритетами, и можно ожидать, что очередь класса 2 будет ограниченной, когда 2 превзойдет 2, в то время как число заявок класса 1 будет неограниченно расти.

В этом разделе приведены результаты моделирования для систем, зависящих от величины загрузки или от размера очереди, рассмотренных в разделе 2.3. Результаты моделирования подтверждают, что выполнение условия отрицательного сноса g(M) ]gr(Af) (4.4) влечет стационарность системы.

1. Рассмотрим систему M/G/1-типа, в которой интенсивность входного потока т ехр(Х) зависит от величины базового процесса (i) загрузки W = {Wn}, или (ii) размера очереди v = \ь п\. Св. S =st S имеют экспоненциальное распределение или распределение Парето и не зависят от значения базового процесса. В системе существует 1 порог: х\ = 300. В каждом эксперименте общее число заявок равно 50000. Рисунки 4.11 - 4.14 отражают динамику системы (1), зависящей от текущего состояния. Для контраста на рисунках так же приведена динамика системы (2), не зависящей от состояния, с параметрами равными параметрам системы (1) ниже порога 1.

Рисунки 4.13, 4.14 иллюстрируют случай (ii), когда интенсивность входного потока зависит от величины процесса . В системе (1), зависящей от состояния, если размер очереди n 300, интенсивность = 0.515 (тогда = 1.03), в то время как при n 300, = 0.485 (тогда = 0.97) и условие (4.4) выполнено. Для системы (2) в случаях (i) и (ii) условие (4.4) нарушено при любом значении базового процесса, что влечет ее нестационарность.

2. Рассмотрим обобщение модели, рассмотренной в 2.2, в которой механизм обратной связи позволяет скорости передачи быть не только управляемой ЦМ, но также зависеть от значения процесса размера очереди .

Считаем, что в обобщенной системе существует порогов (как в разделе 2.3.3) и рассмотрим области А( ) := [ k-i, &), = 1,..., + 1. Далее управление в зависимости от значения процесса реализуется при помощи изменения векторов скоростей передачи: 1),..., таким образом, что если n Є А( ), то выбирается вектор скоростей передачи к = ( \ ,... , N ). Эта обратная связь позволяет варьировать скорости передачи для оптимизации использования мощности. Рассмотрим односерверную систему с одним классом заявок, в которой реализован алгоритм выбора BR-заявки, как в разделе 4.2. Пусть для каждой поступающей в систему заявки состояние канала равно 1,

Приоритетная система передачи данных по каналу, управляемому цепью Маркова

В этом разделе приведены результаты моделирования для систем, зависящих от величины загрузки или от размера очереди, рассмотренных в разделе 2.3. Результаты моделирования подтверждают, что выполнение условия отрицательного сноса влечет стационарность системы.

1. Рассмотрим систему M/G/1-типа, в которой интенсивность входного потока т ехр(Х) зависит от величины базового процесса (i) загрузки W = {Wn}, или (ii) размера очереди v = \ь п\. Св. S =st S имеют экспоненциальное распределение или распределение Парето и не зависят от значения базового процесса. В системе существует 1 порог: х\ = 300. В каждом эксперименте общее число заявок равно 50000. Рисунки 4.11 - 4.14 отражают динамику системы (1), зависящей от текущего состояния. Для контраста на рисунках так же приведена динамика системы (2), не зависящей от состояния, с параметрами равными параметрам системы (1) ниже порога 1.

Рисунки 4.13, 4.14 иллюстрируют случай (ii), когда интенсивность входного потока зависит от величины процесса . В системе (1), зависящей от состояния, если размер очереди n 300, интенсивность = 0.515 (тогда = 1.03), в то время как при n 300, = 0.485 (тогда = 0.97) и условие (4.4) выполнено. Для системы (2) в случаях (i) и (ii) условие (4.4) нарушено при любом значении базового процесса, что влечет ее нестационарность.

2. Рассмотрим обобщение модели, рассмотренной в 2.2, в которой механизм обратной связи позволяет скорости передачи быть не только управляемой ЦМ, но также зависеть от значения процесса размера очереди .

Считаем, что в обобщенной системе существует порогов (как в разделе 2.3.3) и рассмотрим области А() := [k-i, &), = 1,..., + 1. Далее управление в зависимости от значения процесса реализуется при помощи изменения векторов скоростей передачи: 1),..., таким образом, что если n Є А(), то выбирается вектор скоростей передачи к = (\ ,... ,N ). Эта обратная связь позволяет варьировать скорости передачи для оптимизации использования мощности. Рассмотрим односерверную систему с одним классом заявок, в которой реализован алгоритм выбора BR-заявки, как в разделе 4.2. Пусть для каждой поступающей в систему заявки состояние канала равно 1,

Таким образом вектора к определяют скорости передачи, если процесс очереди находятся в областях Д(), = 1, 2,3. Если состояние канала для заявки равно , а n Є А (), то выбранная заявка начинает обслуживаться со скоро (к) стью - . Рисунки 4.15-4.18 иллюстрируют динамику процесса для обобщенной системы (обозначенной (2)) и исходной системы с вектором скоростей обслуживания (3) (обозначенной (1)).

Рисунки 4.15, 4.16 показывают динамику процесса для размеров заявок с распределением Вейбулла и для двух наборов векторов скоростей обслуживания: (i) (2, 3, 4), (6, 5, 7), (6, 8, 10) (Рис. 4.15), и (ii) (6, 5, 7), (2, 3, 4), (6, 8, 10) (Рис. 4.16). Интенсивность входного потока = 0.7, что влечет = 0.84. (Напомним, что интенсивность трафика вычисляется для наивысшей скорости з, когда значение процесса размера очереди находится выше порога 2 = 200.) В силу выбора значений скоростей передачи, в случае (i) базовый процесс растет быстрее в области (1) и медленнее в (2), в то время как обратная ситуация наблюдается в случае (ii). Однако, когда процесс находится выше порога 2, выполнение условия (4.4) предотвращает дальнейший рост в обоих сценариях и система оказывается стационарной.

Аналогичная динамика процесса размера очереди наблюдается для размеров заявок с распределением Парето. Интенсивность входного потока = 0.96 (что влечет = 0.97) и скорости обслуживания выбраны как (2,3,4), (5,4,6), (6, 8,10) (Рисунок 4.17), и (5, 4,6), (2,3,4), (6, 8,10) (Рисунок 4.18).

Во всех случаях, когда базовый процесс находится ниже порога 2 = 200, сервер использует только часть мощности, позволяя процессу быстро расти. Однако, если значение превышает порог 2, сервер начинает работать с максимальной мощностью, что позволяет стабилизировать систему. 300 250 200

Результаты данного раздела подтверждают, что для системы, зависящей от состояния, выполнение условия (4.4) влечет стационарность системы в области, когда значение базового процесса больше . Однако параметры системы могут не удовлетворять условию стационарности, когда процесс ниже этого порога, что позволяет экономить ресурсы на нижних уровнях. Данное свойство является отличительным при сравнении с системами, не зависящими от состояния. Заключение

В диссертации представлен обзор методов теории восстановления, регенеративного метода анализа стационарности, а так же других подходов к анализу стационарности систем, использующих методы регенерации по Харрису, жидкостную аппроксимацию и функции Ляпунова. Исследованы модели систем с оптическим буфером, приоритетной системы с каналом передачи данных, управляемым цепью Маркова, и системы с параметрами, зависящими от текущего состояния. Для перечисленных моделей получены достаточные условия стационарности на основе регенеративного метода. Проведено имитационное моделирование моделей данных систем для подтверждения точности полученных условий. Полученные результаты экспериментов хорошо согласуются с проведенным теоретическим анализом. Кроме того для модели системы с ограничением на суммарный объем ожидающих заявок доказано соотношение, связывающее предельную долю потерянного объема и стационарную вероятность простоя в случае, когда время обслуживания и объем заявки пропорциональны, а также асимптотическое соотношение, связывающее стационарную вероятность потери с предельной долей потерянного объема.

Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть использованы для анализа стационарности и оценке характеристик систем, в том числе мобильных сетей связи, соответствующих рассмотренным моделям. В качестве перспектив развития темы можно отметить возможность применения полученных результатов к различным обобщениям рассмотренных моделей телекоммуникационных систем, а также к выбору эффективных механизмов управления мощностью системы в зависимости от ее текущей загрузки.