Апостериорные оценки точности приближенных решений некоторых задач механики и математической физики Музалевский Алексей Витальевич

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Музалевский Алексей Витальевич. Апостериорные оценки точности приближенных решений некоторых задач механики и математической физики: диссертация ... кандидата Физико-математических наук: 05.13.18 / Музалевский Алексей Витальевич;[Место защиты: ФГАОУВО Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого], 2017

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Об оценках погрешности приближенных решений в задачах термоупругости 10

1.1. Оценки в энергетической норме для задачи стационарной диффузии 10

1.2. Оценки в энергетической норме для задачи линейной теории упругости 13

1.3. Вариационная постановка линейной задачи термоупругости 16

1.4. Оценки отклонения от точного решения в энергетической норме для задачи термоупругости 20

1.5. Оценки для изотропной модели 23

1.6. Численные эксперименты для задачи (1.1) (1.3) 25

1.7. Численные эксперименты для задачи линейной теории упругости 32

1.8. Численные эксперименты для задачи термоупругости 56

Глава 2. Апостериорные оценки ошибок для задач, связанных с уравнениями Максвелла 63

2.1. Постановка задачи 63

2.2. Получение двусторонних оценок отклонения от точного решения 66

2.3. Другая форма оценки сверху 69

2.4. Численные эксперименты 71

Глава 3. Об апостериорных оценках для эллиптических задач во внешних областях 86

3.1. Постановка задачи 86

3.2. Оценки ошибки 87

3.3. Решение внешней задачи и применение апостериорных оценок з

3.4. Численные эксперименты 93

Заключение 98

Список сокращений и условных обозначений 99

Список литературы

Оценки в энергетической норме для задачи линейной теории упругости
Оценки для изотропной модели
Получение двусторонних оценок отклонения от точного решения
Решение внешней задачи и применение апостериорных оценок

Введение к работе

Актуальность темы исследования. В настоящее время методы построения оценок погрешности приближенных решений являются одним из важнейших направлений вычислительной математики. Необходимость таких методов, которые обеспечивают контроль интегральной и локальной погрешности, диктуется потребностями современных адаптивных алгоритмов. Можно утверждать, что в последнее время сформировалось новое направление численного анализа, которое посвящено методам надежных вычислений. Первые результаты в этом направлении были получены еще в середине XX века. Большинство современных вычислительных алгоритмов используют последовательную адаптацию сеток. Другими словами, адаптивные численные методы основаны на концепции, при которой эффективные приближения должны быть построены с помощью последовательности конечномерных пространств {4}, = 1,2,... таких, что di4₊i > dim4. Как правило, структура этих пространств априори неизвестна. В рамках концепции адаптивного моделирования генерация k+i основана на информации, полученной в приближении Є &. По этой причине необходимо иметь вычислимые величины, предоставляющие информацию об ошибке, например с точки зрения энергетической нормы. Такие величины называются индикаторы ошибок. То есть новая дискретизация строится на основе информации, полученной из решения на предыдущей сетке. По этой информации строится индикатор тех элементов сетки, как правило, конечноэлементной, которые необходимо улучшить. Важным шагом является построение гарантированной оценки погрешности, по которой строится требуемый индикатор. Необходимость построения такого индикатора для различных задач математической физики стимулировало развитие апостериорных методов оценивания.

Математическое и компьютерное моделирование позволяет выполнять виртуальные эксперименты без дорогостоящего оборудования, строить прогнозы, основанные на предположениях, исследовать прототипы промышленных объектов и т. д. Тем не менее, без должного понимания и оценки ошибок, генерируемых в процессе моделирования, существует риск неправильных выводов на основе ненадежных численных результатов. Процесс моделирования состоит из нескольких этапов. Во-первых, физическая (или биологическая, финансовая и

т. д.) задача описывается с помощью математических соотношений, которые генерируют соответствующую математическую модель. Математическая модель всегда представляет "сокращенный" вариант физического объекта, так что погрешность математической модели всегда больше нуля. Во-вторых, непрерывные (дифференциальные) модели заменяются конечномерными (дискретными) задачами. При такой замене возникают ошибки аппроксимации. В-третьих, при нахождении решения полученных конечномерных задач, как правило, используется численное интегрирование, итерационные процедуры и операции, выполняемые с ограничениями на разрядность чисел, откуда появляются численные ошибки.

Типичная схема использования методов апостериорного оценивания требует вычисления индикаторов для последовательности сеток. Для определения желаемой точности расчетов, с одной стороны, может быть использована апостериорная оценка ошибки численного решения как оценка энергетической нормы ошибки решения эллиптической задачи. Но с другой стороны, в практических вычислениях возникает ошибка из-за неточности задания данных задачи. Например, в практических задачах линейной теории упругости материальные константы всегда заданы с погрешностью. Существуют работы (см., например, [, 14]), оценивающие ошибки численных решений из-за неточности задания данных задачи. Очевидно, что достижимая точность расчетов на практике не может превосходить ошибки, возникающей из-за неточности задания данных задач.

Важность апостериорной оценки для какой-либо краевой задачи состоит в построении как индикатора для адаптации сетки, так и оценки энергетической нормы ошибки решения. Другими словами, для краевой задачи с некоторыми заданными условиями Ш) (коэффициентами, областью, граничными условиями) можно оценить разность между точным решением и и некоторой произвольной функцией v из соответствующего энергетического пространства V следующим образом:

М_е{у,Ш)<\\и-у\\_у<М_е{у,Ш), VveV.

Эта оценка является двусторонней апостериорной оценкой, которую можно использовать для определения желаемой точности расчетов произвольной конформной аппроксимации v решения данной краевой задачи. Кроме того, так

как \\и — v\\y, как правило, представляет собой некоторый интеграл, то разбиение области краевой задачи на подобласти некоторой сеткой и соответствующие величины апостериорной оценки ошибки на этих подобластях могут служить индикаторами для адаптации сетки.

В конце 1990-х годов СИ. Репиным , , ] были получены новые апостериорные оценки энергетической нормы отклонения от точного решения. Эти оценки получены из общих методов функционального анализа и теории двойственности для вариационного исчисления, поэтому их можно называть апостериорными оценками функционального типа.

Диссертационная работа посвящена исследованию некоторых функциональных апостериорных оценок погрешности.

Степень разработанности темы исследования. Теория апостериорного контроля ошибок активно развивается с конца 70-х годов XX века. С 80-х годов XX века начинают развиваться методы и адаптивные алгоритмы, основанные на индикаторах, построенных по апостериорным оценкам локального распределения погрешности. Среди первых работ можно выделить работы I. Babuska и W. С. Rheinboldt, О. С. Zienkiewicz и J. Z. Zhu, R. Verfurth и других [, , , ].

В конце 1990-х годов С. И. Репиным , , ] были получены новые апостериорные оценки энергетической нормы отклонения от точного решения. Диссертационная работа посвящена исследованию функциональных апостериорных оценок погрешности. В первой главе диссертационной работы разработаны и исследуются апостериорные оценки функционального типа для задач линейной теории термоупругости. Во второй главе исследуются апостериорные оценки функционального типа для задач, связанных с уравнением Максвелла. Эта глава продолжает исследования С. И. Репина, изложенные в ]. В третьей главе разработан новый метод решения с гарантированной точностью для эллиптических задач во внешних областях. Этот метод использует как основу апостериорную оценку функционального типа для эллиптических задач во внешних областях, изложенную в работе D. Pauly и С. И. Репина ].

Цели и задачи диссертационной работы. Целью данной диссертационной работы является разработка и исследование апостериорных оценок функционального типа для задач линейной теории термоупругости, задач, свя-

занных с уравнением Максвелла и эллиптических краевых задач во внешних областях. А также разработка новых эффективных алгоритмов и комплексов программ на основе этих апостериорных оценок.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

Получить апостериорные оценки функционального типа для задач линейной теории термоупругости и исследовать их применение.
Получить апостериорные оценки функционального типа для задач, связанных с уравнением Максвелла (eddy-current problem) и исследовать их возможности для эффективного контроля точности различных аппроксимаций.
Разработать метод позволяющий получать приближенные решения с гарантированной точностью для эллиптических задач во внешних областях.
Разработать программные комплексы для вычисления апостериорных оценок функционального типа для соответствующих задач.

Научная новизна. В работе впервые получены функциональные мажоранты погрешности для задач линейной термоупругости и с помощью численных экспериментов доказана их эффективность. Для задач, связанных с уравнением Максвелла (eddy-current problem), с помощью численных экспериментов впервые доказана эффективность функциональных апостериорных оценок ошибок. Предложен новый метод решения с гарантированной точностью для эллиптических задач во внешних областях, который построен на основе функциональной апостериорной оценки ошибки приближенного решения.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для контроля точности практически важных краевых задач. Полученные результаты могут быть использованы в научных исследованиях, а также для оценки результатов численных экспериментов в пакетах прикладных программ, использующих МКЭ.

Методология и методы исследования. Исследование апостериорных оценок ошибок приближенных решений основано на методах функционального анализа, математической физики и теории двойственности вариационного исчисления. При аппроксимации методом конечных элементов используются

хорошо изученные кусочно-линейные и кусочно-квадратичные аппроксимации. Расчетные процедуры реализованы с привлечением пакетов Matlab и Comsol. Эффективность новых методов контроля погрешности производимых вычислений и соответствующих программных комплексов оценивалась на широком классе задач, включая и те, где точные решения могут быть получены аналитическими методами.

Положения, выносимые на защиту:

Получение апостериорных оценок функционального типа для задач линейной теории термоупругости и исследование их применений.
Получение апостериорных оценок функционального типа для задач, связанных с уравнением Максвелла (eddy-current problem) и исследование их возможностей для эффективного контроля точности различных аппроксимаций.
Разработка метода, позволяющего получать приближенные решения с гарантированной точностью для эллиптических задач во внешних областях.
Реализация эффективных численных методов оценок погрешности приближенных решений (для всех вышеперечисленных задач) в виде комплексов проблемно-ориентированных программ и проведение соответствующих вычислительных экспериментов.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: Пятый всероссийской семинар "Сеточные методы для краевых задач и приложения", Казань, 2004; Шестой всероссийской семинар "Сеточные методы для краевых задач и приложения", Казань, 2005; "2nd Workshop on Advanced Computer Simulation Methods for Junior Scientists", Санкт-Петербург, 2009; "4th Workshop on Advanced Numerical Methods for Partial Differential Equation Analysis", Санкт-Петербург, 2011.

Представленные результаты получены при частичной поддержке грантов РФФИ № 08-01-00655-а, № 11-01-00531-а и № 14-01-00162-а.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных работах, из них 4 статьи в рецензируемых журналах -5] и 1 статья в сборниках

трудов конференций ].

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 112 страниц, из них 110 страниц текста, включая 61 рисунок. Библиография содержит 33 наименования на 3 страницах.

Оценки в энергетической норме для задачи линейной теории упругости

Здесь скп, (І22-, с зз коэффициенты температурного расширения по соответствующим координатным осям, То - отсчетная температура (температура, при которой отсутствуют температурные напряжения), а скалярная функция Т является решением задачи теплопроводности -AT = q} (1.21) с граничными условиями дТ Т = в0 на 93ft, — = Q на дАП. (1.22) ov Здесь q - функция, определяющая тепловые источники в области Q, d%Q и д/$1 - две непересекающиеся части границы 0Q, которые, вообще говоря, могут не совпадать с d\Q и с , во и Q - заданные функции, определяющие соответственно заданную температуру на границе d%Q и тепловой поток через д/$1.

Нетрудно видеть, что погрешности аппроксимации, возникающие в задаче (1.21),(1.22), вносят дополнительные погрешности в численное решение основной задачи (1.16-1.20). Наш подход основан на использовании апостериорных оценок функционального типа (см. [27]). Введем следующие обозначения: V0= {иє Н1 , ) и = 0 на ад} , Щ = (ие И1{П) и = 0 на д3п\ , є : т dx, Ml2 LT : т dx, (є,т) = V0 + u0 = {и Є И\П,Жп) \и = щяад1п\ , U0 + e0 = {иє И1{П) и = в0 на д3п\ , Е = {т Є H( ,div,M xn) rz/ Є L2( 92ft,Mn) } У = {у є H(fi,div) \y-ve І_2( 94 ) } . Задача линейной теории термоупругости может быть сформулирована в виде двух вариационных проблем, которые мы будем называть задачами V и Q. Задача V. Найти элемент и Є V0 + щ такой, что J (и) = inf J {у)

Пусть v Є V0 + Щ и в Є U0 + 90 ЯВЛЯЮТСЯ приближенными решениями задачи термоупругости. Нашей задачей является получение апостериорной оценки для и — V.

Методика получения апостериорных оценок в энергетических нормах для широкого класса эллиптических краевых задач предложена в [6, 7]. Для задач линейной упругости эти оценки изучались в [19], где было продемонстрировано их эффективное использование в практических вычислениях.

Если положить FT = 0 и /у = 0, то оценка для получившейся задачи теории упругости может быть записана в следующем виде: / лл(1), \e(v — и ( M)(v, /3, г) = (1 + /3) (ф) - L"V, Ьф) - г) + + І1 + Ї) 2 1 (l diVT + П 2 + F " ГИ (1 23) Здесь TGSH/3 0- произвольные параметры, a C1 - константа, определяемая неравенством I 112 , 11 2 гч2 ці / N HI +\\щ\с% C1 \\e{wJ VW Є V0. (1.24) В свою очередь оценка для задачи теплопроводности выглядит следующим образом: + (і + jj C2m ( divy + q\\2 + - Q 2 4 , (1.25) где уєУи/3 0- произвольные параметры, а С2\ - константа, определяемая аналогичным (1-24) неравенством HI2 + Hl24n VH2, weU0. (1.26) Заметим, что если д/$1 = 0, то константа С2\ является константой в неравенстве Фридрихса. В этом случае эту константу можно оценить аналитически как С2П где / - сторона квадрата, охватывающего область Q.

В [6] было показано, что, во-первых, последовательность этих оценок, полученная путем решения только конечномерных задач, будет сходиться к точной оценке с увеличением размерности соответствующих конечномерных пространств и, во-вторых, выбором свободных переменных(3 и г (или, соответственно, (3 и у) можно получить равенство оценки точной величине отклонения.

В следующем параграфе мы используем данные оценки для построения апостериорной оценки в термоупругой задаче.

Оценки отклонения от точного решения в энергетической норме для задачи термоупругости Применив оценку (1.23), мы приходим к неравенству \e(v — и (1 + А) (Ф) - L"V, Le(v) - т) + + І1 + Jl) 2п ldivr +; + /т 2 + IF + Гт TV2 (1 27) которое справедливо для любого г Є S и (3\ 0. Заметим, что в правую часть (1.27) входят неизвестные величины /т и FT, которые зависят от точного решения задачи теплопроводности. Слагаемые, включающие в себя неизвестные величины, можно оценить через неравенства divT + / + /т2 (l + /32)divr + / + M2+ 1 + J2 \JT — Ml IF + FT — TV\ д2П \FT Fe\\d2ib (1 +/33)\\F + Fe - Tv\\%n + (l + j верные для любых положительных ($2 и /Зз Теперь необходимо оценить величины /т — fe\\ и \\FT — Fe\\g Q, где

Заметим, что ошибки в силовых добавках удобно будет оценить через 11 V(# — Т) поскольку оценка этой ошибки уже известна как ошибка задачи теплопроводности (1.25). Рассмотрим неравенства /т-/ СзПУ(0-Т), \\FT-Fe\\m CAQ\\V(e)\\. Здесь Сзп - константа, зависящая от термоупругих свойств среды, которая может быть получена просто из выражения для /#.

Оценки для изотропной модели

Рассматривается задача о плоском напряженном состоянии упругого тела. Пусть UJ представляет собой область (—1,1) х ( — 1,1), в которой сделано шестиугольное отверстие. На рис. 1.27 представлена одна четвертая этой области, а также начальная сетка, для которой в дальнейших расчетах проводилась адаптация, использующая локальные оценки ошибок, полученных при помощи мажоранты.

Результаты для примера 3. Используется адаптация сетки лученная в результате адаптации с помощью точной ошибки, построенной с помощью референсного решения, а на рис. 1.33 показана сетка, полученная в результате адаптации с помощью мажоранты.

Также как и в предыдущих примерах построим отсортированные распределения ошибок по элементам. На рис. 1.35 построено отсортированное распределение точной ошибки по элементам для предыдущего рисунка, распределение мажоранты по тем же элементам, что и в распределении для точной ошибки, а также распределение индикатора, встроенного в пакет Матлаб (т.е. с использованием метода невязок). Отметим хорошее воспроизведение индикации элементов мажорантой, то есть индикатор, построенный по мажоранте, отмечает практически ту же часть элементов с наибольшим вкладом в ошибку, что и идеальный индикатор. С другой стороны, индикатор, построенный по методу невязок имеет значительные погрешности в отметке основной части ошибки приближенного решения. 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0. Рис.

Заметим, что результаты, полученные для такого выбора правой части, представляют интерес для исследования процесса адаптации сеток. На рис. 1.36 представлена начальная конечноэлементная сетка, для которой в дальнейших расчетах проводилась адаптация, использующая локальные оценки ошибок, полученных при помощи мажоранты.

Эффективность двусторонних оценок проверялась на различных способах последовательного улучшения конечномерных пространств, использующихся для получения приближенных решений. В первом случае сетка измельчалась "равномерно". В таблице 1.9 приведены результаты, полученные на этих сетках. Здесь e[m обозначает число элементов в триангуляции, p - число узлов, е - значение мажоранты, полученной в результате численного эксперимента, е - значение миноранты, ejj - индекс эффективности. Значение точной ошибки было подсчитано с помощью референсного решения для 431104 элементов. тов с наибольшими вкладами в ошибку. Такой метод адаптации сеток используется, например, в пакете конечноэлементных расчетов Comsol. В таблице 1.10 приведены результаты, полученные на сетках, использующих этот метод адаптации. Отметки элементов сетки с помощью мажоранты и точной ошибки для различных сеток приведены на рис. 1.37-1.40. На рис. 1.41 показана сетка, полученная в результате адаптации с помощью точной ошибки, построенной с помощью референсного решения, а на рис. 1.42 показана сетка, полученная в результате адаптации с помощью мажоранты. Результаты шагов адаптации сетки для этих методов приведены в таблице 1.11. Заметим, что сетка, построенная по мажоранте, практически совпадает с эталонной сеткой (построенной по точной ошибке), с другой стороны - сетка, построенная с помощью метода невязок, значительно отклоняется от эталонной сетки. Также, рассматривая значения точной ошибки для этих методов, отмечаем, что решения на сетках, построенные по мажоранте, дают незначительные отличия от эталонных, а сетки, построенные с помощью метода невязок, дают отличия более 10%.

Получение двусторонних оценок отклонения от точного решения

Эта глава посвящена анализу эллиптической краевой задачи -div(AVw) = / в П, (3.1) и = щ на 0Q (3.2) в некомпактной области Q = К. \ ш, где ш - компактная область с границей дш, непрерывной по Липшицу. Предполагается, что Л - симметричная матрица, такая что ЭСА 0 СА\С\2 А(х)С С V el3 Уж є ft. (3.3) При работе с внешними областями необходимо ввести пространство Лебега с весом 12а(П):= { р\р8 рЄІ2(Щ, «Єї, где р:= (1+г2)1 иг- радиус из сферической системы координат, с началом внутри UJ. Кроме того, введем пространство Соболева с весом НІ П) := { р Є L (ft) І V p Є L2(ft) } о и пространство Hi ft), которое является замыканием С (Г2) по норме Hi ft). Норма Hi ft) записывается как . V2 U2 ,„ ,0 , МІЩ П) + Vd dx \П 1 + г2 Для функций во внешних областях существует следующее неравенство Пу-анкаре-Фридрихса (см., например, [16]) IMlLll(n) 2Vp, УрєНІіф). (3.4) Используя это неравенство, несложно показать существование и единственность о решения и Є НІ Л) + щ (см., например, [8]). Введем D(Q) := {ер є 12{П) I div Є L?(fi) } . о Слабое решением Є H1_1(Q)+UQ задачи (3.1)-(3.2) удовлетворяет интегральному тождеству AVu \7w dx fwdx, VweHijp). (3.5) Q Q Пусть v Є Hl fi) + щ некоторая аппроксимация и. Наша цель состоит в получении оценки и — v в терминах энергетической нормы \V(p\ AVtp V(/? dx. n Эта работа продолжит исследования, предложенные в статье [21]. 3.2. Оценки ошибки Для удобства приведем оценки для внешней области, полученные в статье [21]. Перепишем (3.5) в виде А\7(и — v) Vw dx fw dx AVv \7w dx. (3.6) Q Q Q Заметим, что для любого у Є D(Q) и \/w Є Hi fi) можно записать тождество (divy w + у Vw) dx = 0. (3.7) Q Тогда из (3.6) и (3.7) следует равенство AV(u — v) Vw dx (divy + f)w dx + (y - AVv) Vw dx. (3.8) Q Q Q Заметим, что, используя (3.4) и свойство матрицы А (3.3), приходим к оценке L2_l(fi) 2div2/ + /L2(fi) Vw; Q \w\ {divy + f)wdx \\divy + f\\L2m Vc. dy + f\\L2{Q) jVw\ A Вводя следующее обозначение (аналогично предыдущим главам) \У\\ А 1у у dx, Q можно записать оценку (у — AVv) Vw dx \\у — AVv\\ \\Vw\ Q

Таким образом, присваивая w = и — v, из (3.8) получаем следующую апостериорную оценку (3.9) V u-v) —=-\\divy + /Ufi) + Іу - AVv\ vCA

Эта оценка верна для любого у Є D(Q) и Vt Є НІ Л) + щ (первоначально она была выведена в [21]). Она имеет ту же структуру, что и другие апостериорные оценки функционального типа (см. [25]), и содержит два слагаемых, представляющих ошибки в основных соотношениях, образующих дифференциальное уравнение.

Рассмотрим специальный, но важный случай, для которого supp/ Є f2j, где Qi - компактная область. Тогда удобно разбить Q на две непересекающиеся подобласти Q = QiU Qe и применить оценку для такого разбиения.

Используя неравенство Фридрихса для компактной области Qi, получаем Q (divy + /) w dx П, (divy + /) w dx CVL A л/С div2/ + /fi. Vw; Откуда следует апостериорная оценка Ся V u-v) divy + /fi. + \\y - AVv\ A л/С (3.10) Также можно вывести оценку ошибки снизу. Рассмотрим неравенство \V(u-v)\\\2 -2 AV(u -v)-Vw dx + I VwІ2 0 n Откуда следует оценка \V(u-v)\\\2 AV(u — v) Vw dx — I VwI n AVu \7w dx AV(2v + w)-Vw dx Q Q fw dx AV(2v + w)-Vwdx Vt«EH (S]). n n Таким образом, получаем апостериорную оценку ошибки снизу \V(u-vW fw dx AV{2v + w)-Vwdx Уад є Н Щ. (3.1Ґ п п В случае, когда supp/ Є Qi, получаем следующую апостериорную оценку: \V(u-vW fw dx AV{2v + w)-Vwdx VweHl Q). (3.12)

Решение внешней задачи и применение апостериорных оценок

Рассмотрим некоторые исторически важные апостериорные оценки. В 1947 году Прагером и Сингом (W. Prager, J. L. Synge) [22] была предложена апостериорная оценка для линейной эллиптической задачи. Первоначально, доказательство этой оценки было проделано на основе ортогональной декомпозиции энергетического пространства и чисто геометрических аргументов.

Изложим эту оценку для обобщенного решения задачи Дм + / = 0 в П, (А.Ґ и = 0 на 0Q. (А.2) О Из разложения Гельмгольца для любого q Є L (Г2,МП) единственным образом о получается q = q0 + V , где ф Є Н1(Г2) и r)-Vwdx = 0, УъиеИг(П) Q до Є S(Q) = {Ї]Є H(fi,div) Предположим q Є Qf = її] Є H(fi,div) rj \7w dx fwdx, Vw Є H!(f]) n n Так как \7u — q Є Q$ = S(Q), можно записать соотношение ортогональности V(ii — v) (Vu — q) dx = 0, Q откуда следует тождество \V(u-v)\\2 + \\Vu-q\\2 = \\Vv -q\ (A.3) 104 Также получаем апостериорную оценку IV (it — v) inf Vu — q\ q&Qf (A.4) Из этой оценки и ее аналогов для более сложных задач в дальнейшем были получены апостериорные оценки, которые используют т.н. "равновесные"аппроксимации двойственной переменной q.

В 1964 году С.Г.Михлиным [1] была предложен метод построения апостериорной оценки для линейной эллиптической задачи на основе вариационного подхода. Рассмотрим основную идею построения этой оценки на примере обобщенного решения задачи (А.1-А.2). Заметим, что

Заметим, что эта оценка получена только вариационными методами. С практической точки зрения оценки (А.4) и (А.6) имеют существенный недостаток: они обоснованы только для q Є Qj. Однако, множество Qj определено через дифференциальное соотношение, которое в общем случае трудно удовлетворить точно.

В 1960-80-х годах с разработкой метода конечных элементов возникли апостериорные оценки, которые используют информацию о построении приближенного решения. Первые варианты метода невязок были предложены в работе [12] и затем развивались многими другими авторами (см., в частности, [10, 13, 31]). С математической точки зрения этот метод сводится к вычислению нормы невязки соответствующего дифференциального уравнения в пространстве распределений. При этом результирующая оценка включает большое количество постоянных, которые возникают вследствие использования локальных операторов интерполирования действующих на соответствующем энергетическом функциональном пространстве (см., например, [15, 31]). Точные значения этих констант найти непросто, а оценки сверху могут оказаться весьма грубыми, что может приводить к большой переоценке величины ошибки (см.,например, [14]). Кроме того, данный метод пригоден только для галеркинских аппроксимаций, т.е. для точных решений соответствующих конечномерных задач.

Рассмотрим основную идею метода невязок на примере задачи (А. 1-А.2), обобщенное решение которой удовлетворяет интегральному тождеству будет линейным функционалом на V. Заметим, что этот функционал тождественен нулевому, если v = и. В остальных случаях этот функционал имеет положительную норму \\F„ Следовательно, естественно назвать этот функционал - функционалом ошибки. Действительно, V(u — Uh) VWH dx = 0, Vwh Є Vh, то есть ошибка V(it — щ) ортогональна Vw/j для любой Wh Є Vh- Получаем Fuh{w) V(u — Uh) Vw dx V(u — Uh) V(w — TThw) dx, Q Q где 7Th V — Vh, как правило, оператор интерполирования. Пусть Q разбивается на неперекрывающиеся подобласти Г2&, к = 1, 2,.. . , М, и Uh - гладкая функция где Ты - общая часть границ Q и ь ы единичная нормаль к этой границе, и [ ]rfc; обозначает скачок на границе Г&/. Используя интерполяционные неравенства, получим апостериорную оценку Здесь C\ki С ш константы, зависящие от соответствующих интерполяционных констант.

Метод осреднения градиента [32, 33] основывается на эффекте суперсходимости (этот эффект может возникать в задачах, решение которых обладает повышенной гладкостью), применяется только для галеркинских аппроксимаций и не дает гарантированной оценки погрешности, а служит лишь индикатором. Отметим, что одной из первых работ, в которых была обоснована суперсходимость приближенных решений была [4]. Рассмотрим этот метод на примере задачи (А. 1-А.2).

Пусть % Є У/, - некоторая конформная аппроксимация точного решения. Тогда Vit/j обычно будет принадлежать скорее широкому пространствуй. Например, если аппроксимации нашей задачи построены с помощью кусочно-аффинных непрерывных функций, то S/iih Є L (Q). Однако, во многих практических случаях априорные оценки точного решения гарантируют, что \7и Є U, где U С U. Другими словами, если / Є L (Г2), то из теорем о регулярности обобщенного решения следует, что Vw Є Н (Г2,МП) локально. Эти наблюдения предполагают идею об осреднении Vw/j и нахождении непрерывного преобразования G такого, что G(Vuh) Є U.