Введение к работе
Актуальность темы. К необходимости многомодового бифуркационного анализа нелинейных колебаний приводит ряд задач классической динамики, теории фазовых переходов в кристаллах и теории нелинейных волн. Проблема многих мод возникает при моделировании автоколебаний в RC-генераторах, в моделях экономики, популяционной динамики, химической кинетики и др. разделах современного естествознания 1,2, 3, , , 6. Соответствующие моделирующие уравнения не допускают общих формул для их решений и при этом крайне мало разработано алгоритмов приближенного построения и качественного анализа периодических колебаний, бифурцирующих из сложного фокуса динамической системы. Эти обстоятельства стали одной из причин задержки в развитии исследований по данному вопросу.
В связи с созданием к настоящему времени мощных компьютеров и эффективных программно-вычислительных комплексов появились новые возможности в анализе ветвлений нелинейных периодических колебаний.
В данной диссертационной работе изложена процедура приближенного вычисления и анализа периодических колебаний физических систем, моделируемых решениями нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого и шестого порядков
dAu d3u d2u du ( du d2u d:iu\ ,..
l + a3l + a2l + aiM+aoU + u{u'^'W'^)=0' (1)
d6u d5u dAu d:iu d2u du
+ а5-гтг + а^-гт + а^-гтт + a2-rw + 0>1~Г + CLQU+
dtQ ' dt5 4 dt* * dt* L dt2 ' ' dt
du d5u\ , .
-...,^=0, (2)
Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. - М.: Наука. 1984. 432 с.
2Задорожний В.Г., Попов А.В. "Усредненная система дифференциальных уравнений для автогенератора на трех связанных контурах Ван-дер-Поля" (Дифференциальные уравнения. 1999, №11.)
3Изюмов Ю.А., Сыромятников В.И. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. - Москва, Наука. 1984. - 247 с.
4Даринский Б.М., Колесникова И.В., Сапронов Ю.И. Ветвление фаз кристалла,определяемых термодинамическим потенциалом шестого порядка// Системы управления и информационные технологии. 2009. № 1(35). - С. 72-76.
53аславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса. - М.: Наука. 1988. - 368 с.
6Инфельд Э., Роуландс Дж. Нелинейные волны, солитоны и хаос. - пер с англ. М.: ФизМатЛит, 2006. - 480 с.
бифурцирующими из точки покоя при наличии двойных сильных резо-нансов. Такие уравнения появляются при математическом моделировании колебательных режимов в электрических цепях с дополнительными контурами (в диссертации дан вывод таких уравнений для автоколебаний в RC—генераторах). В (1), (2) имеем
du ~dt
dmu dtm
+ +
и = и{2)+ и{3)+ о (м3 +
т = 3 или 5 (для уравнения 4-го или, соответственно, 6-го порядка), U^2> (и, щ,. .. , ит), U^ (и, щ,... , ит) — квадратичный и кубический однородные ПОЛИНОМЫ ОТ М, Ml, ... , ит.
Под двойным резонансом (типа Р\ '. р2 '. Рз) подразумевается случай одновременного существования (для соответствующего линеаризованного ОДУ) трех периодических решений ехр(^г^ t)} Т > 0, рк Є Z, к = 1,2,3, 1 < р\ < р2 < рз, HOD(pi,p2,p3) = 1. Резонанс р\ : р2 : рз называется сильным, если существует такой ненулевой набор целых чисел ni,n2,n3, что riipi + ri'iP'i + ПзРз = 0 и |щ| + \п2\ + |пз| < 4. Число \ri\\ + \п2\ + |пз| называется порядком резонансного соотношения ri\p\ + п2р2 + щръ = 0. Число, наименьшее из порядков резонансных соотношений, называется порядком данного резонанса. Ниже предполагается, что 1 < р\ < р2 < рз (резонансы типа 1 : 1 отсутствуют). Резонансные соотношения порядка < 4 называются сильными, а остальные — слабыми. Резонанс, для которого существует сильное соотношение, называется сильным (и слабым в противном случае).
Цель работы и основные задачи. Центральная конструктивная идея диссертации, вокруг которой сгруппировано ее содержание, — сведение (редукция) задачи об изучении бифурцирующих периодических колебаний к задаче о бифуркации решений гладкого конечномерного уравнения с круговой симметрией. Основная задача — разработка и апробация метода вычисления и изучения бифурцирующих периодических колебаний при наличии двойных сильных резонансов 1:2:3, 1:2: 4, 1 : 2 : б, 1 : 3 : б, 1 : 3 : 9, 1 : 3 : 4 и др., создание эффективного комплекса программ для вычисления амплитудно-фазовых показателей бифурцирующих колебаний.
Методы исследования. В математических конструкциях диссерта-
ции использованы методы нелинейного функционального анализа, теории бифуркаций решений краевых задач, теории инвариантов, теории приближенных вычислений и символьного программирования.
Теоретическим окружением предложенной в диссертации численно-аналитической процедуры является теория гладких 5*0(2) — эквивариант-ных фредгольмовых уравнений в банаховых пространствах. Использован операторный подход: уравнение колебаний трактуется как операторное уравнение в тройке последовательно вложенных функциональных пространств. Тройка пространств позволяет одновременно рассматривать круговую симметрию и спектральное строение линейной части уравнения (при выделении мод бифуркации).
Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.
1. Разработан и апробирован алгоритм вычисления главной части
ключевого уравнения для обыкновенного дифференциального уравнения
6-го порядка, определяющего бифурцирующие периодические колебания
в случаях двойного сильного резонанса.
Дано описание алгебраического строения главной части ключевого уравнения для обыкновенного дифференциального уравнения 6-го порядка (в случаях двойного сильного резонанса).
Разработан и обоснован алгоритм вычисления асимптотических приближений к периодическим решениям ОДУ 6-го порядка, бифурцирую-щим из точек покоя при наличии двойного сильного резонанса; разработана и апробирована процедура вычисления формул для асимптотических приближений к бифурцирующим колебаниям; создан эффективный комплекс программ для вычисления асимптотических приближений к амплитудно-фазовых показателям бифурцирующих колебаний.
Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации дают обоснование методу фредгольмовых уравнений в бифуркационном анализе нелинейных колебаний. Результаты исследований, представленные в диссертации, могут найти применение в исследованиях разнообразных моделей нелинейных колебательных и волновых процессов.
Апробация работы. Материал диссертации докладывался на меж-
дународной конференции Proceeding of 16-th International Czech-Slovak Scientific Conference "Radioelektronika 2006". April 25-26, Bratislava, 2006., на Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна - 2008, на семинаре по нелинейному анализу в НИИ математики ВГУ (рук — проф. Б.М. Даринский и Ю.И. Сапронов) и на семинаре по математическому моделированию (ВГУ, рук — проф. В.А. Костин).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 6 работах. Из совместных работ [1]—[3],[5], написанных с соавторами, в диссертацию включены результаты, полученные лично диссертантом. Списку ВАК соответствует работа [1].
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 71 наименований. Общий объем диссертации — 138 стр.
