Введение к работе
Актуальность работы. Теория линейных стационарных систем с самого момента своего создания использовалась для моделирования различных объектов, поскольку свойством линейности хотя бы в первом приближении обладает множество реальных систем различной природы.
В частности, теория линейных стационарных систем с дискретным или непрерывным временем применялась для моделирования технических систем самого разного рода и управления ими. Однако большая часть соответствующих работ была посвящена системам с непрерывным множеством состояний, изменяющимся во времени, так называемым временно-ориентированным системам. Или же, напротив, системам с возможно дискретным множеством состояний, но изменяющим свое состояние лишь с наступлением определенного события, то есть событийно-ориентированным системам. В данной работе впервые рассматриваются временно-ориентированные системы с дискретным множеством возможных состояний специального типа, а именно, таким, что его можно отождествить с состояниями вершин ориентированного графа. Это открывает новые возможности для применения теории линейных систем в ряде технических, экономических и биологических задач.
Целью диссертационной работы является разработка нового подхода к моделированию и исследованию булевых потоков на ориентированном графе - теории булевых линейных стационарных управляемых систем с дискретным временем, исследование свойств этой модели, а также создание программного обеспечения, позволяющего моделировать объекты данного типа.
Для достижения поставленной цели была развита теория булевых линейных стационарных систем с дискретным временем, доказана двойственность между булевыми системами и булевыми потоками на ориентированном графе, созданы алгоритмы и программы'моделирования булевых систем, проведены вычислительные эксперименты.
Основные задачи работы.
-
Развитие теории булевых линейных стационарных управляемых систем с дискретным временем. В частности, поиск критериев управляемости, наблюдаемости, достижимости систем.
-
Построение теории двойственности между булевыми системами и булевыми потоками на ориентированном графе.
-
Создание эффективного алгоритма решения задачи об эквивалентности булевых систем.
-
Создание программного обеспечения для моделирования булевых систем.
5. Проведение вычислительных экспериментов с целью изучения поведения различных классов булевых систем.
Методы исследования. В работе применены следующие основные методы:
-
математическое доказательство полученных результатов с использованием аппарата комбинаторики, общей теории систем, теории графов, теории булевых матриц;
-
имитационное моделирование различных классов булевых линейных стационарных систем, посредством разработанного автором для этих целей программного обеспечения.
Основными защищаемыми положениями являются:
-
Математическая модель булевых потоков на ориентированных графах - булевы линейные стационарные управляемые системы с дискретным временем.
-
Критерии полной управляемости, наблюдаемости, достижимости, идентифицируемости системы. Двойственность Калмана для булевых систем.
-
Ориентированный граф модулей как параметризация множества тотально наблюдаемых, тотально достижимых систем. Его источники как произведения тотально управляемых, тотально наблюдаемых систем с одним входом и одним выходом. Слабая связность графа модулей.
-
Алгоритм определения эквивалентности систем.
-
Результаты численного моделирования различных классов случайных систем. Совпадение результатов численного моделирования с теоретическими.
Научная новизна. Основные результаты, представленные в работе, являются новыми, получены лично соискателем и состоят в следующем:
1. Получена новая математическая модель булевых потоков на ориентированных графах - булевы линейные стационарные управляемые системы с дискретным временем. Получен результат о соответствии между динамикой булевых потоков и динамикой линейных стационарных систем.
-
Исследованы свойства булевых линейных стационарных систем с дискретным временем. Получены критерии полной управляемости, наблюдаемости, достижимости системы. Показано наличие двойственности Кал мана между управляемыми н наблюдаемыми системами. Изучено строение областей управляемости системы. Получен ряд результатов о реализации систем и свойствах областей достижимости.
-
Проведено исследование глобальной структуры множества линейных систем. Введен ориентированный граф модулей, параметризующий множества эквивалентных линейных систем. Описаны его источники и доказана его слабая связность в случае тотально наблюдаемых, тотально достижимых систем.
-
Построен алгоритм определения эквивалентности систем.
-
При помощи разработанного автором программного обеспечения проведено численное моделирование различных классов случайных систем и получены экспериментальные результаты об изменении доли систем, обладающих различными свойствами управляемости, с ростом вектора размерностей.
G. На основе разработанного аппарата предложена модель управления запасами на предприятии, описывающая возникновение и распространение дефицита на складах предприятия в результате срыва поставок или поломки в цехах.
Достоверность результатов исследования обеспечивается приведенными полными доказательствами полученных результатов, а также совпадением теоретически полученных результатов с вычислительным экспериментом.
Практическая значимость Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для дальнейших исследований в области булевых потоков на графах, в области теории линейных управляемых систем. Также полученные результаты и созданное программное обеспечение могут быть использованы для моделирования технических, экономических и биологических систем.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 61-й Межвузовской студенческой научной конференции «Нефть и газ 2007» (Москва, РГУ нефти и газа, 2007 г.), 3-й Международной конференции «Системный анализ и информационные технологии-2009», на семинарах Института высшей нервной деятельности и нейрофизиологии РАН, Центрального экономико-математического института РАН.
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных работах, нз них 6 статей в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК для защиты кандидатских и докторских диссертаций, одна статья в коллективном сборнике, 1 статья в сборниках трудов конференций и тезисы 1 доклада.
Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и библиографии. Работа изложена на 118 страницах основного текста и 21 странице приложения, включает в себя 10 рисунков и одну таблицу. Библиография включает 170 наименований.
