Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Построение математических моделей систем, включающие воздействие динамического излучателя на гетерогенное основание сложного строения 21
1.1 Моделирование некоторых проблем науки, техники, медицины, связанных с динамическим воздействием на протяженное основание 21
1.2 Выделение подсистем в математических моделях, включающих полуограниченное основание 28
1.3 Математические модели упругих слоистых и пористых многокомпонентных сред 31
1.4 Уравнения движения гетерогенной среды в рамках модели БиоФренкеля 36
1.5 Экспериментальное определение механических характеристик грунтовых сред в рамках модели Био-Френкеля 40
ГЛАВА 2. Аналитические решения модельных задач, включающих слоистые гетерогенные основания .44
2.1 Построение решения задачи об установившихся колебаниях пористо-упругого полупространства, слоя на недеформируемом основании.. 44
2.2 Построение решения задачи об установившихся колебаниях пористо-упругого полупространства с вязкоупругим покрытием 54
2.3 Построение решения задачи о действии осциллирующей нагрузки на гетерогенный слой с заглубленным жидким слоем 60
2.4 Построение решения задачи о колебаниях трехслойного гетерогенного полупространства .66
2.5 Построение решения контактной задачи о действии массивного объекта на составной гетерогенный слой 69
2.6 Асимптотическое представление волновых полей в слоистом гетерогенном основании 73
ГЛАВА 3. Численные алгоритмы и объектно ориентированные программы для исследования динамических характеристик математических моделей 76
3.1 Алгоритм применения символьных преобразований систем Maple при построении функций Грина задач о колебаниях составных пористо-упругих слоистых оснований .76
3.2 Алгоритмы численного анализа и особенности распространения волновых полей, генерируемых осциллирующими нагрузками, в многокомпонентных слоистых гетерогенных основаниях .85
3.3 Алгоритмы численного анализа и особенности напряженного состояния в контактных задачах о колебаниях массивных объектов на многослойных многокомпонентных основаниях 94
3.4 Практические приложения исследования задач о колебаниях массивных объектов на многослойных многокомпонентных основаниях 98
ГЛАВА 4. Алгоритмы обработки данных натурного эксперимента по регистрации волновых полей, генерируемых поездом в основании пути 105
4.1 Аппаратурное и методическое обеспечение натурного эксперимента по исследованию полей смещений в системе «верхнее строение железнодорожного пути – грунтовая среда» 105
4.2 Алгоритмы математической обработки и анализа результатов регистрации волновых полей с помощью статистического, спектрального и вейвлет анализа 109
4.3 Амплитудно-частотные характеристики, полученные экспериментально и их сравнение с теоретическими результатами. Некоторые практические приложения экспериментальных результатов исследования 114
Заключение 119
Список литературы
- Выделение подсистем в математических моделях, включающих полуограниченное основание
- Построение решения задачи об установившихся колебаниях пористо-упругого полупространства с вязкоупругим покрытием
- Алгоритмы численного анализа и особенности распространения волновых полей, генерируемых осциллирующими нагрузками, в многокомпонентных слоистых гетерогенных основаниях
- Алгоритмы математической обработки и анализа результатов регистрации волновых полей с помощью статистического, спектрального и вейвлет анализа
Введение к работе
Актуальность темы исследования
Моделирование сложных, в первую очередь, технических динамических
систем, содержащих сосредоточенные и непрерывно распределенные параметры и
характеристики, привлекает неизменный интерес исследователей ввиду многочисленных
приложений в геологии, сейсморазведке, строительстве, проектировании
железнодорожных и автомагистралей, совершенствовании биотехнологий,
конструировании новых материалов с заданными свойствами. Математическое
моделирование динамических систем позволяет избежать дорогостоящих, а часто и невыполнимых натурных экспериментов и решать сложные технические проблемы на стадии проектирования. В связи с возрастающими требованиями к проектированию, эксплуатации сложных технических объектов и технологических процессов, возникает необходимость построения новых математических моделей, описывающих взаимодействие генератора возмущений и протяженного основания, обладающего микроструктурой и неоднородностью.
Учет не только податливости, упругих и волноводных свойств оснований, но и неоднородности по глубине, пористости, флюидонасыщенности, вязкости, наличия заглубленных жидких слоев, позволяет создавать уточненные математические модели. Они описываются системами обычных дифференциальных уравнений и системами дифференциальных уравнений в частных производных. Значительное усложнение моделей оправдывается тем, что позволяет решать широкий круг научных и технических проблем. На их основе можно прогнозировать эффективность работы системы, определять характеристики оптимальных технологий и режимов работы, совершенствовать конструкции и методы неразрушающей дефектоскопии, неинвазивной медицинской диагностики. Это доказывает актуальность рассматриваемой тематики. Для решения этих проблем и исследования моделей целесообразно использование математических методов теории сплошных сред, теории дифференциальных и интегральных уравнений, обработки временных рядов, применение эффективных вычислительных методов на основе современных компьютерных технологий.
Построению и анализу таких математических моделей посвящено настоящее исследование.
Объектами научного исследования являются численные, аналитические и
экспериментальные методы изучения новых математических моделей систем, включающих
в себя генератор колебаний и многофазное неоднородное по глубине основание, созданные на основе этих методов алгоритмы и компьютерные программы.
Предмет исследования - математические модели колебательных процессов в многофазных неоднородных по глубине основаниях.
Цель диссертационной работы: изучение и разработка методов моделирования динамических процессов в системах, включающих многофазные неоднородные по глубине основания; создание алгоритмов и комплекса программ для расчета динамических характеристик таких оснований; сравнение результатов численных расчетов и натурных экспериментов применительно к задачам о генерации колебаний железнодорожным транспортом. На этой основе повышение эффективности работы технических систем путем оптимального выбора геометрических и физических параметров.
Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
В области математического моделирования:
Построены и изучены новые математические модели динамических систем, отличающихся от известных учетом слоистости основания, его пористости, насыщенности смесью жидкости и газа, наличием заглубленных жидких слоев.
Проведено и обосновано выделение подсистем моделей с помощью экспериментальных спектральных характеристик воздействия внешнего генератора возмущений, аналитического метода ортогональных многочленов;
Проведена проверка адекватности моделей сравнением амплитудно-временных и амплитудно-частотных характеристик, полученных теоретически и экспериментально.
В области численных методов:
Разработаны алгоритмы построения механических характеристик математических моделей, включающих основание в виде гетерогенного полупространства, слоя, гетерогенного слоя с вязкоупругим покрытием, гетерогенного слоя с заглубленным жидким слоем, трехслойной среды.
Разработаны алгоритмы построения напряжений при моделировании действия массивного объекта на такие слоистые основания.
Проведена математическая обработка и интерпретация данных натурного
эксперимента по регистрации волновых полей, генерируемых в основании магистрали
проходящим поездом.
В области разработки программных комплексов:
Разработан комплекс программ, реализующий аналитический вывод интегральных
представлений, описывающих механические характеристики моделей, расчет скоростей
поверхностных волн, перемещений, контактных напряжений в основаниях в виде гетерогенного полупространства, слоя, гетерогенного слоя с вязкоупругим покрытием, гетерогенного слоя с заглубленным жидким слоем, трехслойной среды.
Научная новизна работы заключается в следующем:
В области математического моделирования
Построены и изучены новые математические модели динамических систем, отличающиеся от известных тем, что они включают основания в виде гетерогенного слоя с вязкоупругим покрытием, гетерогенного слоя с заглубленным жидким слоем, пористоупругой трехслойной среды. Применительно к рассматриваемому классу задач такая комбинация многофазных сред ранее не применялась. При этом в разработанной математической модели появляется векторный дифференциальный оператор в частных производных.
Проведено и обосновано выделение подсистем моделей воздействия внешнего генератора возмущений и неоднородного основания, отличающееся использованием спектральных характеристик натурных экспериментов, метода ортогональных многочленов.
Доказана адекватность новой модели путем совпадения амплитудно-частотных характеристик, полученных теоретически и экспериментально, на основе натурного эксперимента регистрации волновых полей, возбуждаемых в основании железнодорожного пути проходящим поездом.
В области численных методов
Разработаны и реализованы алгоритмы построения полей перемещений и напряжений, возникающих в моделях, впервые включающих основание типа гетерогенного слоя, гетерогенного слоя с вязкоупругим покрытием, гетерогенного слоя с заглубленным жидким слоем.
Разработан и реализован алгоритм численного решения возникающих интегральных уравнений.
В области разработки программных комплексов
Впервые разработан алгоритм и программа для системы Maple, реализующая
аналитический вывод интегральных выражений, описывающих перемещения в
многослойных составных гетерогенных средах.
Создан программный комплекс для расчета динамических процессов в многофазном
неоднородном основании под действием произвольных возмущений, в том числе, при
движении железнодорожного транспорта. При этом реализуются функции: ввод данных,
построение и численный анализ решения модельных задач при заданных частотах
колебаний, расчет механических характеристик динамической задачи. Впервые
учитываются усложненные свойства основания: неоднородность по глубине, слоистость, насыщенность жидкостью и газом, пористость, наличие заглубленного жидкого слоя.
Методы исследований основаны на использовании математического аппарата дифференциальных и интегральных уравнений, теории интегральных преобразований Фурье, современных технологий проведения вычислительного эксперимента, обработки данных натурного эксперимента. Алгоритмы и методы численного анализа, предложенные для исследования напряжений и деформаций системы, реализованы в интерактивной среде Maple, Matlab. Для подтверждения теоретических исследований проведен натурный эксперимент. Для этих целей использовался компьютеризированный вычислительный комплекс, снабженный акселерометрами. Для интерпретации и обработки результатов использован спектральный и вейвлет анализ.
Теоретическая значимость работы заключается в том, что созданные
математические модели, описывающие динамические свойства многофазных оснований,
реализованы в виде аналитических и численных алгоритмов. Алгоритм построения и
изучения описанных моделей применим при их усложнении, увеличении количества слоев,
изменения их физических и геометрических параметров, свойств поверхностного
осциллятора. Достоверность численных расчетов протестирована путем сравнения с натурными измерениями, полученными при движении железнодорожного состава.
Практическая значимость результатов исследования связана с их использованием
при решении актуальных проблем виброзондирования слоистых геологических пород,
нефтедобычи в нефтенасыщенных песках, проектировании железнодорожных магистралей и
подкрепляющих конструкций в виде вязких слоев, проектировании зданий и сооружений,
при создании новых композитных материалов, для развития методов неинвазивной
диагностики биотканей. На основе проведенного исследования можно создавать наиболее
эффективные методы мониторинга и прогнозирования эксплуатационно-технического
состояния динамических систем. Результаты диссертации по установлению закономерностей
распространения волновых полей нашли применение при разработке эффективных
звукопоглощающих акустических материалов на пористоупругой основе, при
проектировании и проведении ремонтных работ железнодорожных путей, в учебном
процессе ЮФУ, что подтверждено соответствующими документами. Способ определения
параметров движущегося железнодорожного состава защищен патентом Российской
Федерации. Кроме этого, на основе проведенных исследований рассчитывается скорость
поверхностных волн, которая является критической скоростью высокоскоростного движения поездов. Установлено, что наличие заглубленного жидкого слоя приводит к ее снижению.
Основные результаты, выносимые на защиту:
-
Уточненные математические модели динамических систем, включающие многофазные неоднородные по глубине основания и приближенно-аналитические методы их исследования;
-
Алгоритм аналитического решения краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих многофазную неоднородную среду, реализованный в интерактивной среде программирования Maple;
3. Алгоритм и программа численного расчета возникающих интегральных уравнений.
4. Программный комплекс и численные алгоритмы для построения перемещений и
напряжений, характеризующих составные гетерогенные основания.
Достоверность результатов основана на строгости и обоснованности применяемого математического аппарата; совпадении частных случаев численного анализа с опубликованными результатами других авторов, соответствии теоретических выводов и натурных экспериментальных исследований.
Публикации и апробация работы. Основные положения и результаты
диссертационной работы опубликованы в 14 печатных работах, в том числе 3 работы в
источниках, рекомендованных ВАК и 1 патенте РФ. Результаты работы докладывались на
ХII (2008 г.), ХIII (2009 г.), ХVI (2012 г.) международных конференция «Современные
проблемы механики сплошной среды», Ростов-на-Дону, на XXXV International Summer
School-Conference «Advanced Problem in Mechanics», S-Petersburg, Russia, 2010 г., на
Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной
механики, Н. Новгород, 2011 г., на международной научно-технической конференции
«Механика ударно-волновых процессов в технологических системах», Ростов-на-Дону, 2012
г., на международной научно-практической конференции «Транспорт - 2013» Ростов-на-
Дону, на международной научно-технической конференции. СКФ МТУСИ «ИНФОКОМ-
2015» , на International Conference on «Physics and Mechanics of New Materials and Their
Applications» (PHENMA 2015) Southern Federal University, Azov, Russia, 2015, на семинарах
кафедры теоретической и компьютерной гидроаэродинамики Южного федерального
университета, кафедры прикладной математики Южно-российского государственного политехнического университета.
Личный вклад автора. В совместно опубликованных работах Усошина Е.А. выполнила построение алгоритмов и программ численной реализации результатов, ряд аналитических преобразований и их программную реализацию, спектральную и
статистическую обработку экспериментальных данных. В работах [2-6], [8-9], [12-13] Суворовой Т.В. принадлежит постановка задач. В работах [11], [14] Сумбатяну М.А. принадлежит выбор модели пористой среды и алгоритма численной реализации. Суворову А.Б. в работах [5], [11], [13] принадлежит методика проведения натурного эксперимента.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, приложения и списка используемых источников из 111 наименований, приложения. Материалы работы изложены на 134 страницах.
Выделение подсистем в математических моделях, включающих полуограниченное основание
Достаточно хорошо описывая процесс статического и квазистатического нагружения конструкции, эти модели неприменимы для описания динамических процессов. Основной их недостаток - не учитывается сплошность среды, зависимость деформации тела не только от давления в этой точке, но и в соседних. Поэтому этот подход не дает возможность исследовать динамические явления, эффекты, связанные с вибрацией и импульсными нагрузками. Приближенные модели оснований Винклера, Филоненко Бородича не позволяют изучать вопросы о распространении поверхностных волн типа Релея, вызванных движением и вибрацией нагрузки, о наличии конечно-резонансных явлений и волноводных эффектов. В рамках этого подхода не могут быть изучены проблемы влияния волновых полей на объекты инфраструктуры - наземные и подземные строения и коммуникации, проблемы виброзагрязнения окружающей среды. Принятие гипотезы о постоянстве коэффициента реакции основания на прогиб может приводить к искажению не только количественных, но и качественных характеристик расчетов.
Корректное описание динамического поведения массивных объектов на протяженных основаниях невозможно без учета возбуждения и распространения волн перемещений и напряжений. Это физические процессы позволяет учесть модель упругого полупространства, которая учитывает деформацию основания за пределами области приложенной нагрузки. Известно, что решение задач с использованием в качестве модели основания Винклера дает сильно заниженные значения критической нагрузки по сравнению с решением, когда основание рассматривается с позиций теории упругости. Однако, расчет даже таких простейших конструкций, как балок, стержней, плит и других конструктивных элементов с использованием модели упругого полупространства [25], [74] достаточно сложен и поэтому мало распространен в инженерной практике. Неизменный интерес ввиду многих аспектов исследования задачи представляет модель слоистого упругого полупространства [3], [10], [19], [33], [34], [45], [61], [77], [85], [89] и др. Школа академика Бабешко В.А. внесла большой вклад в изучении и решении смешанных задач для слоистых упругих оснований. Соответствующим подбором упругих и геометрических характеристик слоев и граничных условий между ними по своим механическим свойствам может быть достаточно точно приближено к реальному грунтовому основанию [36]. Данная модель дает достаточно надежные результаты при расчете конструкций на лессовых грунтах [36], для которых характерно изменение модулей деформации слоев в десятки раз. Однако учет подъема уровня грунтовых вод в естественном основании, замачивание верхнего слоя грунта можно только на основании более общей подели гетерогенной среды, имеющей твердую, жидкую и газообразную составляющую и обладающую микроструктурой.
Динамические задачи для пористо-упругого полупространства, слоя рассматривались в работах [7], [18], [20], [24], [26], [30], [37], [38], [48], [55], [68], [75], [76], [79], [91], [105], [110], [111]. В настоящей работе рассмотрены более сложные основания в виде двухслойного пористо-упругого полупространства, слоя с вязкоупругим покрытием, пакета гетерогенного и жидкого слоев, пакета двух вязкоупругих слоев на пористоупругом полупространстве, рассмотренные в работах автора диссертации [57], [58], [59], [62], [64]. Значительные трудности при изучении этих задач оправдывают широкие возможности таких моделей для уточненного описания динамики изучаемых систем.
При изучении этих моделей использование прямых численных схем затруднено, ввиду неограниченности основания. Этот факт делает практически невозможным корректное использование прямых численных методов. В частности, использование метода конечного элемента приводит к чрезвычайно большому порядку систем уравнений, соответствующих сетке разбиения, что не гарантирует достоверность. Использование комплексов программ, таких как ADAMS, ANSYS, COSMOS, NASTRAN, АПМ, WinMachine и других [27], реализующих метод конечного элемента, неэффективно не только по этой причине, но и по ограниченному набору описания сплошных сред. Как правило, описываются только упругие среды. Построение конечно элементных моделей опирается исключительно на конечные представления полуограниченных оснований и применимо, как правило, к статическим задачам.
Одно из многочисленных приложений моделей слоистых пористо-упругих оснований связано с проблемами железнодорожного транспорта. При конструировании железнодорожного пути применяются разнообразные конструкции. Опыт многолетней эксплуатации железных дорог обобщен в принятых нормах проектирования, методы расчета железнодорожного пути и подстилающего основания [43], утвержденные в 1954 г., не соответствуют современным достижениям фундаментальных наук. Особенно остро эта проблема встала с появлением высокоскоростных поездов. Ряд стран уже учли это обстоятельство, утвердив новые национальные стандарты, например [42]. В процессе развития теории колебаний железнодорожного пути и подвижного состава, как правило, основное внимание уделялось изучению и оценке влияния вибрации на элементы подвижного состава, рельсы [14], [31], [72]. Практически без внимания оставались проблемы контакта верхнего строения железнодорожного пути, грунтового основания, влияние вибраций на придорожную инфраструктуру. Применение в качестве основания упругой среды позволило с помощью конечно-элементного пакета Cosmos построить для железнодорожного пути и изучить ряд моделей [27], но изучались модели для ограниченных тел.
Построение решения задачи об установившихся колебаниях пористо-упругого полупространства с вязкоупругим покрытием
Рассматривается гетерогенное флюидонасыщенное полупространство, заполняющее в декартовой системе координат 0xyz область -оо х оо, - оо _у оо, z 0. с покрытием в виде вязкоупругого слоя ( см. рис. 2.2), занимающего область -« - « , У 0 z h.
К лицевой поверхности двухслойного составного полупространства приложена распределенная по прямоугольной области нагрузка, осциллирующая по закону Р&у )У", Q: -a х a,-b y b . Рисунок 2.2 - Схема задачи Предполагается, что режим колебаний является установившимся, изложение будем вести для амплитудных значений соответствующих функций. Граничные условия для лицевой поверхности в случае установившегося закона колебаний имеет вид: (2.27) a(1)(x,y,z) \z=0=P(x,y), . а,/ &, a(1) (x,y,z) z=0=0, jc a,j/ &, Здесь вектор напряжений в вязкоупругом слое обозначен как 1) (x,y,z) = { (x,y,z), (x,y,z), (x,y,z)}.
Для описания поведения вязкоупругой среды определяющими являются уравнения Ламе (1.3). Задание вязкости среды приводит к возникновению малой комплексной части в параметрах Ламе , и вводится в соответствии с гипотезой Сорокина [45]. Вязкость среды не зависит от частоты колебаний.
Граничные условия в области контакта покрытия и гетерогенной среды для установившегося закона колебаний имеют вид: г/(1) (x,y,z) z=0 = u(2) (x,y,z) z=0 ; i42) (x,y,z) I =v3(2) (x,y,z)z=0 ; 5,(2) (1) cr \x,y,z,t) I =fifHa$(x,y,z,t) z= 5,(2) (1) cr%A\x,y,z,t) z=0 HIHcr%(x,y,z,t) z=0 (2.28) cr 2\x,y,zJ) + cT{/2\x,y,zJ) = JUIHCT{33) {x,y,z,t) z=0 Вектор напряжений в гетерогенном полупространстве обозначен как u \x,y,z),uV\x,y,z) - векторы смещения в вязкоупругом слое и в гетерогенном полупространстве. Для построения решения задачи используем решения вспомогательной задачи для упругого слоя, известное решение [30] запишем в виде, соответствующем граничным условиям: Аж2 u (x,y,z) = 1 { j\Bl(a,fi,z)Q0(a,fi) + Bl(a,fi,z)Ql(a,fi)]B Km+mdadfi; ( . ) 9 1 9 2 а Ъ Qo(a,fi)=l jP(x,yy + dadj3, -a-b a b Ш 0)= 1 {l\x,yfiy{ax+py)dadfi -a-b Здесь B0(a,/?,z) = Ae iab4(z) (a\{z) + p\{z) af5{bx{z)-b2{z)) -iab3(zf 1 aj3(b1(z)-b2(z)) a2b2(z) + j32b1(z) -ij3b3(z)[ b5(z) ifib z) bx (z) = cr2 (/f (z) - /2" (z)), b2 (z) = /+ (z), b3{z) = yf3{z) - crlCr2/4+(z), 64 (z) = cr / z) -yf2{z\ b5(Z) = Gxyf3(z) - GxU2f z). /1±(z) = g5e - (h-z) ± gie J±(z) = g7e--2 -) ±g3e z /3і(z) = g6e- (h-z) ± g2e- zjt(z) = g8e- (h-z) ± g4e z, -&2z і -a2(2h-z) A0=y2+u2(T1(T2, g1=e22A0-2e12r2, g2 = e22A0 - 2e12a1a2u2, g3 = e11A0 + 2e12a1a2u2, g4=e11A0+2e12y2, g5 = e22A0e h - 2e12y2e—\ g6 = e22A0e h - 2e12a1cj2 u2e—\ g7=e11A0e- h+2e12J7a1a2u2e- h, g8 =e11A0e h + 2e12y2e \ . 2 e12=1 + e- + h, e11=1 + e-2 h, k=Ja e2 ;e2=— , = 1,2. e22 =1 + e 2 \ As=4a1cj2y2u2e22-A20e11e22; B1(a,/3,z) = (a2b1(h-z) + J32b2(h-z) aj3(b1(h-z)-b2(h- z)) mb3(h-z) — aB(h (h-z)- b (h - z)) a2b (h-z)+ B2h (h - z) і ВЫ (h-z)\ A-V I 2 2 1 H 3 e\ -mb4(h-z) -i/3b4(h-z) b5(h-z) Vk - скорости продольной и сдвиговой волны в слое покрытия. Имеет место равенство В1 (а, Д И) = В0 (а, Д,0). Контуры интегрирования 9l1,9l2 выбираются в соответствии с принципом излучения [6], обходя регулярные положительные особенности подынтегральной функции в нижней комплексной полуплоскости. Свойства функций - элементов матриц В0,1(а,ДЛ) хорошо изучены. Эти функции являются быстро осциллирующими, убывают на бесконечности степенным образом, имеют на вещественной оси счетное количество полюсов. Все элементы матриц B01(a,j3,h) имеют одни и те же полюса, зависящие от одной переменной и. Применим двумерное преобразование Фурье к граничным условиям (2.27-8), выражениям (2.29), а также к формулам, выражающим перемещения в гетерогенном полупространстве (2.20) с поверхностной нагрузкой, образ Фурье которой Q1(cc,P). После удовлетворения граничных условий задачи, приходим к равенствам, которые определяют перемещения через преобразование Фурье от поверхностной нагрузки. Для вязкоупругого слоя, которому соответствует в обозначениях нижний индекс (1), лежащего на пористоупругом полупространстве (нижний индекс (2) имеем: u(1)(x,y,z) = 1 Г \B(a,fi,z,V)Q0(a,fi)e-(ax+fty)dadfi; (2.30) 4;г2 щ щ Ве (а,Дz) = В0(а,р,z) + В1(а,р,Z)(B (а,Д,0) - В1(a,Д0))-1В0(а,Д0); и (2) (x,y,z) = 1j JBep(a,P,z,V)Q0(a,P)e-i(ax+Py)dadP; Вер (а, Д z) = Вр (а, Д z) (в (а, Д0) - В1 (а, Д,0))"1 В0 (а, Д,0); Вертикальные перемещения лицевой поверхности пористоупругого полупространства с вязкоупругим покрытием в случае нормально приложенной нагрузки имеют вид:
Алгоритмы численного анализа и особенности распространения волновых полей, генерируемых осциллирующими нагрузками, в многокомпонентных слоистых гетерогенных основаниях
В этом параграфе рассматриваются алгоритмы вычисления и численный анализ важнейших динамических характеристик, которые отличают различные способы моделирования деформируемых оснований. Для динамических процессов в полуограниченных основаниях весьма важной является возможность распространения поверхностных волн типа Рэлея по лицевой поверхности сплошной среды. Установлено, что в такой модели основания как упругое полупространство поверхностные волны Рэлея переносят около 40% закачиваемой на поверхности энергии. Кроме этого, известно [30], [94], что приближение скорости движения высокоскоростных поездов к скорости распространения поверхностных волн основания вызывает экстраординарную вибрацию железнодорожного состава и приводит к необходимости резко снижать скорость движения. Скорости распространений поверхностных волн определяются дисперсионными множествами, элементы которых gt являются
корнями дисперсионных уравнений, полученных в предыдущей главе для разного типа оснований. Скорости распространяющихся по поверхности волн равны Vr=co/gf.
Строение и свойства основания изменяют, в первую очередь, дисперсионные множества. Учет флюидонасыщенности, слоистости, наличие заглубленных слоев жидкости изменяет скорости и количество распространяющихся поверхностных волн. Для построения дисперсионных множеств в пакете Maple использовался, графический анализ поведения комплекснозначных функций А(и), метод аргумента, процедура solve нахождения корней трансцендентного уравнения с опцией соmplex. Как тестовые проверки проверялись значения функций A(W)в найденных точках, отличия найденных от точек ветвления. Ввиду сложного поведения подынтегральных функций необходим промежуточный контроль. На рисунке 3.1 представлены графики, иллюстрирующие поведение действительной (сплошная линия) и мнимой (прерывистая линия) частей дисперсионной функции (2.42) задачи для составного гетерогенного слоя с заглубленным слоем жидкости. Рисунок 3.1 - Графики действительной (сплошная линия) и мнимой (прерывистая линия) частей дисперсионной функции (2.42) для составного слоя Рисунок 3.2. - Графики действительной (сплошная линия) и мнимой (прерывистая линия) первого и второго корней (левый и правый график) дисперсионной функции для составного слоя На рисунке 3.2 представлены кривые, иллюстрирующие изменение действительной и мнимой частей первых двух полюсов для этой же задачи при изменении частоты колебаний со. Вычисления производились для следующих исходных данных:
Действительная часть определяет осцилляцию распространяющейся поверхностной волны, мнимая часть - ее затухание. Для сравнения на рисунке 3.3 приведем дисперсионные поверхности для гетерогенного полупространства и гетерогенного слоя, построенные в пространственном случае для дисперсионных уравнений, зависящих от двух аргументов а, (5. Так как они входят в выражение равноправно, дисперсионная поверхность симметрична. Графики на рисунках 3.2, 3.4 представляет собой сечение такого типа поверхностей плоскостью /3 = 0.
Как показывает рисунок 3.3 по поверхности гетерогенного полупространства при данных (3.1), соответствующих супесчаному грунту, распространяется одна волна, по поверхности гетерогенного слоя распространяется две волны, что обусловлено отражением от нижней грани слоя. В слоистом гетерогенном полупространстве с вязкоупругим покрытием динамическая картина на поверхности совершенно иная, см. рисунок 3.4, на котором представлены дисперсионные поверхности, с ростом частоты количество распространяющихся волн по поверхности быстро возрастает.
Учет не только модулей жесткости, но и микроструктуры среды, ее насыщенности смесью жидкости и газа, пористости приводит к значительному изменению динамических характеристик среды. На рисунках 3.5, 3.6 приведены зависимости скоростей распространения поверхностных волн, пропорциональных волновым числам, от жесткости и плотности жидкости в порах основания.
Зависимость скоростей распространения поверхностных волн двухслойной среды от жесткости и плотности жидкости в порах подстилающего основания Представленные графики показывают, что модели слоистых пористо-упругих оснований позволяют строить уточненные алгоритмы расчета, так как динамичность среды при этом возрастает, что находит отражение в первую очередь, на дисперсионных множествах, волновых числах, скоростях распространения поверхностных волн. Для сравнения вычислялась известная скорость поверхностных волн для полупространства для гетерогенной среды Фэтта, соответствующей нефтенасыщенным пескам [45], она полностью совпала с ожидаемым результатом 326,2 м/с.- см. рисунок 3.7.
Другой важной динамической характеристикой являются перемещения на лицевой поверхности среды. На небольших расстояниях от области приложения нагрузки для нахождения перемещений используется численный алгоритм, в котором можно использовать встроенные в Maple алгоритмы численного интегрирования по конечному промежутку комплексной функции, но надо отметить их достаточно медленную работу. Интегрирование по бесконечному интервалу выполнялись по следующим конечным прямолинейным контурам, соединяющим точки:
Алгоритмы математической обработки и анализа результатов регистрации волновых полей с помощью статистического, спектрального и вейвлет анализа
Амплитудно-временная характеристика вертикальных ускорений, приведенная на рисунок 4.3, получена в процессе эксперимента, причем антенные устройства с пьезоакселерометрами, установленными в трёх взаимно-ортогональных плоскостях, устанавливались с обеих сторон железнодорожного пути. Этот прием повысил достоверность и точность определения и идентификации каждой единицы подвижного состава. На рисунке 4.5 приведена АВХ для локомотива и первых дух вагонов. По данным амплитудно-временных характеристик формируются последовательности времен, которые с высокой точностью определяют расстояния между осями колёсных пар вагонных тележек, скорость состава. По экспериментальным данным ускорений можно получить соответствующие данные для скоростей и перемещений с помощью встроенных процедур интегрирования.
Амплитудно-временная характеристика отклика вертикальной составляющей виброускорений при проходе пассажирского поезда (локомотив - временной интервал 5; первые 2 вагона - временные интервалы 6, 7) Амплитудно-временные характеристики, полученные в ходе натурного эксперимента, подтверждают выводы теоретических исследований о законе убывания перемещений по мере удаления от области приложения нагрузки. При удалении от магистрали сигнал угасает и «размывается», степень убывания перемещений качественно соответствует закону, определенному формулой (2.54).
В ближней зоне балластной призмы, прилегающей грунтовой среды наиболее полно проявляются сигналы отклика, возбуждаемые проходящим поездом. Колебательный процесс системы «железнодорожный состав -верхнее строение пути - грунтовая среда» представляет собой наложение множества колебательных процессов разной интенсивности, обусловленных конструкцией рельсошпальной решетки, проходящих вагонов, а также свойствами балласта, грунта основания.
Для определения доминирующих частот, оценки энергетического вклада различных гармоник по данным АВХ строится амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) с помощью оконного преобразования Фурье. На рисунке 4.6 показана АЧХ, соответствующая амплитудно-временной характеристике, приведенной на рисунок 4.5.
Как показывает спектральный анализ, диапазон частот (20 Гц, 45 Гц) является наиболее опасным с точки разрушительного влияния внешних воздействий. Совпадение и подобие спектральных характеристик может служить основным критерием идентичности динамических процессов в системах. Оценкой достоверности и адекватности построенной модели служит сравнение теоретических и экспериментальных результатов. На рисунке 4.7 приведена схема комплекса программ по проведению аналитико вычислительного и натурного эксперимента для сравнения их результатов и адекватности модельных задач. Для этого сравниваются амплитудно-частотные характеристики на основе теории и натурных экспериментальных данных.
На рисунке 4.8 показаны две кривые: огибающая экспериментальной амплитудно-частотной характеристики перемещений, и теоретическая построенная АЧХ перемещений. Последняя кривая построена с помощью непрерывного преобразования Фурье, которое применялось к теоретически построенной АВХ (3.2). При этом использовались аппроксимации перемещений и напряжений, полученные при решении модельных задач. В основном диапазоне частот (30 Гц, 40 Гц) относительная погрешность не более 9%. Этот факт подтверждает адекватность построенной математической модели.
Анализ закономерностей распространений волновых полей, проведенный на основании теоретических и экспериментальных исследований, получение временных соотношений и спектров силовых воздействий определяют интегральные параметры проходящего по железнодорожному пути подвижного состава. Это момент времени прохождения контрольной точки железнодорожного пути подвижным составом; путь прохождения подвижного состава; тип подвижного состава (товарный, пассажирский, локомотив, дрезина и т.д.); тип локомотива, вагонов; скорость подвижного состава; количество вагонов. Полученные с высокой точностью временные соотношения определяют соотношения расстояний между осями колёсных пар локомотивных и вагонных тележек. Таким образом, производится однозначная идентификация конкретных типов вагонов и локомотивов, имеющих строго фиксированные межосевые линейные размеры. При этом производится вычисление скорости прохода контрольной точки каждой подвижной единицей состава. Дополнительно по величине амплитуд силовых воздействий амплитудно временной характеристики и амплитуд спектральных составляющих частотной характеристики соответствующих вырезок амплитудно-временных характеристик локомотива, каждого вагона могут быть идентифицированы конкретные номера локомотива, вагона, а также оценена загрузка каждого вагона. Способ защищен патентом на изобретение РФ [52].
Описанная методика и интерпретация экспериментальных данных могут быть применены для построения систем мониторинга, для контроля качества работы рельсошпальной решётки и земляного полотна, качества уплотнения грунтовых насыпей; загрязнённости балласта, при оценке эффективности различных методов усиления верхнего строения пути и основной площадки.