Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическое моделирование. Численные и численно-аналитические методы решения прикладных инженерных задач 11
1.1. Концепция математического моделирования .11
1.2. Метод конечных разностей 16
1.3. Метод конечных элементов 20
1.4. Метод граничных элементов 25
1.5. Численно-аналитические методы 27
Глава 2. Нестационарная задача теплопроводности
2.1. История исследования тепла 32
2.2. Теория теплопроводности 32
2.3. Формулировка краевых задач теплопроводности 41
2.4. Постановка практических теплофизических задач в строительстве 42
Глава 3. Разработка численно-аналитического метода решения нестационарной задачи теплопроводности 44
3.1. Общее описание методики численно-аналитического решения .44
3.2. Аппроксимация 45
3.3. Нормальная система дифференциальных уравнений 56
3.4. Функции от матриц. Вычисление матричной экспоненты 61
Глава 4. Алгоритм численно-аналитического решения нестационарной задачи теплопроводности 66
4.1. Задание исходных данных 66
4.2. Формирование матрицы коэффициентов при неизвестных А при разбиении области ортогональной сеткой 69
4.3. Формирование вектора свободных коэффициентов Н при разбиении области ортогональной сеткой 70
4.4. Вычисление собственных значений и векторов матрицы А 82
4.5. Вычисление матричной экспоненты 83
4.6. Нахождение итогового решения задачи 83
4.7. Случай с разбиением области неортогональной («мятой») сеткой 84
4.8. Формирование матрицы коэффициентов при неизвестных А при разбиении области неортогональной («мятой») сеткой 90
4.9. Формирование вектора свободных коэффициентов Н при разбиении области неортогональной («мятой») сеткой 93
4.10. Апробация разработанного численно-аналитического метода 94
Глава 5. Программный комплекс для численно-аналитического решения нестационарной задачи теплопроводности .118
5.1. Описание разработки программного комплекса .118
5.2. Блок-схема работы главного модуля 124
5.3. Блок-схема работы расчетного модуля при аппроксимации ортогональной сеткой 125
5.4. Блок-схема работы расчетного модуля при аппроксимации неортогональной («мятой») сеткой 126
5.5. Общий алгоритм работы главного модуля программы FoxPro 127
5.6. Общий алгоритм работы расчетного модуля программы Fortran для области, аппроксимированной ортогональной сеткой 132
5.7. Общий алгоритм работы расчетного модуля программы Fortran для области, аппроксимированной ортогональной сеткой (с постоянными граничными условиями) .135
5.8. Общий алгоритм работы расчетного модуля программы Fortran для области, аппроксимированной неортогональной («мятой») сеткой 136
5.9. Общий алгоритм работы расчетного модуля программы Fortran для области, аппроксимированной неортогональной («мятой») сеткой (с постоянными граничными условиями) .140 5.10. Общий алгоритм работы расчетных модулей программы Fortran с двойной точностью .142
Глава 6. Решение практических задач 143
6.1. Постановка теплофизических задач 143
6.2. Моделирование узлов 149
6.3. Постановка задачи на соответствие требованиям СП «Тепловая защита зданий» 151
6.4. Расчеты узлов конструкций .152
Заключение .160
Библиографический список
- Метод конечных элементов
- Формулировка краевых задач теплопроводности
- Нормальная система дифференциальных уравнений
- Формирование вектора свободных коэффициентов Н при разбиении области ортогональной сеткой
Введение к работе
Актуальность темы исследования
Одной из актуальных проблем в строительстве является рациональное проектирование конструкций зданий и сооружений, работающих в условиях непостоянных температурных воздействий. Такое проектирование подразумевает необходимость учета как общих практических подходов, так и обязательность строгого соблюдения Строительных Правил (СП) РФ, регламентирующих теплотехнические характеристики строительных конструкций, а также температурно-влажностные режимы в зданиях и сооружениях. Максимально точное прогнозирование изменений теплового поля в конструкциях во времени, учитывающее временные, сезонные изменения температурных воздействий, причем как внешних, так и внутренних, является теоретической основой решения этой проблемы. Постановки задач подобного прогнозирования приводят к необходимости решения сложных нестационарных, неоднородных, ортотропных задач теплопроводности.
Степень разработанности проблемы
Для решения большинства строительных задач, описываемых задачами с краевыми и начальными условиями для дифференциальных уравнений в частных производных, используются преимущественно численные методы. Однако, с одной стороны, для более точного анализа состояний строительных конструкций, при моделировании более сложных условий, например, при быстроизменяющихся процессах или в зонах краевого эффекта возникает потребность находить точные аналитические решения. С другой стороны, современные возможности ЭВМ, а также имеющийся математический аппарат аналитических подходов позволяют расширить участие аналитических методов при решении практических задач. Таким образом, существует потребность и актуальность исследовать и разрабатывать методы, содержащие в себе аналитические составляющие. Для большинства практических задач найти замкнутые аналитические решения не представляется возможным, но существует класс методов, где численные решения дополняются или частично заменяются аналитической составляющей. Такими методами являются дискретно-аналитические методы. Данную диссертацию следует рассматривать с позиций развития дискретно-аналитических методов в том, что касается разработки подходов к расчетам нестационарных задач теплопроводности строительных конструкций и построения соответствующего реализующего программно-алгоритмического обеспечения.
Цели и задачи работы
Целью настоящей работы является разработка численно-
аналитической методики математического моделирования
нестационарного теплового поля для решения прикладных строительных задач.
Для достижения поставленной цели в работе решены следующие задачи:
построение дискретно-континуальной математической модели нестационарного, неоднородного теплового поля;
разработка методики и алгоритма численно-аналитического решения прикладных задач теплофизики в строительстве на основе модифицированного метода конечных разностей, теории обобщенных функций и теории функций от матриц;
разработка алгоритма и программного комплекса для решения практических задач расчета и анализа нестационарных тепловых полей в строительных конструкциях на основе численно-аналитического решения уравнения теплопроводности.
Научная новизна работы
Построена дискретно-континуальная математическая модель нестационарного, неоднородного теплового поля на основе теории обобщенных и характеристических функций.
Разработаны методика и алгоритм численно-аналитического решения нестационарной задачи теплопроводности с аппроксимацией по пространственным аргументам методом конечных разностей, в том числе, на не ортогональной дискретной сетке, на основе положений теории матричных функций с использованием свойств взаимно-однозначного соответствия линейных конечномерных операторов и матриц.
Осуществлена программная реализация алгоритма численно-аналитического решения нестационарной, неоднородной задачи теплопроводности с использованием функций от матриц.
Разработан программный комплекс для решения практических инженерных теплофизических задач в строительстве, позволяющий задавать переменные тепловые воздействия, в том числе, непосредственно аналитическими функциями, а также с возможностью автоматического определения значений точки росы при расчетах по СП РФ.
Теоретическая и практическая значимость работы
Теоретическая значимость диссертационной работы заключена в разработке дискретно-континуального решения неоднородной, нестационарной задачи теплопроводности; в применении аппарата обобщенных и характеристических функций при формулировке задачи; в сведении численно-аналитического решения задачи к решению системы дифференциальных уравнений 1-го порядка; в использовании при решении задачи положений теории функций от матриц; в построении алгоритма формирования разрешающей матрицы коэффициентов с применением метода базисных вариаций.
Практическая значимость диссертационной работы обусловлена разработанными алгоритмами и вычислительным программным комплексом для решения нестационарных, неоднородных задач теплопроводности, с аналитическим решением по временному параметру. На разработанный программный комплекс получено Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ. Разработанный программный комплекс использовался при выполнении расчетов реальных узлов конструкций жилых зданий. Результаты данных расчетов были использованы при проектировании жилых домов серий П-44Т, П3МК в ОАО «Московский научно-исследовательский и проектный институт типологии, экспериментального проектирования» (ОАО МНИИТЭП).
Методология и методы исследования
Моделирование нестационарного температурного поля осуществляется на основе положений волновой теории теплопроводности посредством численно-аналитического решения уравнения теплового баланса. Аппроксимация уравнения в пространственной области выполняется модифицированным методом конечных разностей, переход к матричному аналогу уравнения проводится методом базисных вариаций. Аналитическое решение уравнения по временному параметру осуществляется на основе положений теории функций от матриц. Программный комплекс для решения задач теплопроводности разработан в среде Microsoft Visual FoxPro, а также на языке программирования Fortran.
Положения, выносимые на защиту
Дискретно-континуальная математическая модель нестационарного, неоднородного температурного поля.
Методика и алгоритм численно-аналитического решения нестационарной задачи теплопроводности.
Программный комплекс и результаты решения тестовых задач для его верификации, а также результаты решения реальных практических инженерных задач построения нестационарных тепловых полей в неоднородных средах.
Достоверность полученных результатов обеспечивается математической корректностью постановки задачи с начальными и граничными условиями на основе дифференциального уравнения теплового баланса. Кроме того, достоверность полученных результатов обусловлена сопоставлением результатов решения задачи теплопроводности на основе программного комплекса, разработанного в диссертации, с эталонными результатами аналитического решения, с результатами, полученными с использованием верифицированного программного комплекса, а также, исследованной сходимостью построенных алгоритмов.
Личный вклад автора диссертации.
Личный вклад автора диссертации заключается в исследовании дискретно-континуальных подходов к расчету строительных конструкций в условиях переменных тепловых воздействий на основе теории функций от матриц и метода базисных вариаций, а также в программно-алгоритмической реализации таких подходов, создании программного комплекса для решения подобных задач, его апробации и верификации.
Апробация работы
Результаты диссертации доложены и обсуждены на следующих российских и международных научных мероприятиях:
X Всероссийская научно-практическая и учебно-методическая конференция «Фундаментальные науки в современном строительстве», Москва, МГСУ, 2013 г.
XI Всероссийская научно-практическая и учебно-методическая конференция «Фундаментальные науки в современном строительстве», Москва, МГСУ, 2014 г.
XII Всероссийская научно-практическая и учебно-методическая конференция «Фундаментальные науки в современном строительстве», Москва, МГСУ, 2015 г.
V Международный симпозиум «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений», Иркутск, ИрГТУ, 2014 г.
III Международная научная конференция «Задачи и методы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» («Золотовские чтения»), Москва, МГСУ, 2014 г.
IV Международная научная конференция «Задачи и методы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» («Золотовские чтения»), Москва, РААСН, 2015 г.
XXIII Russian-Polish-Slovak seminar “Theoretical Foundation of Civil Engineering”, Польша, Вроцлав, Wrocaw University of Technology, 2014 г.
XXIV Польско-Словацко-Российский семинар «Теоретические основы строительства», Самара, СГАСУ, 2015 г.
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 6 работах, из них 3 опубликованы в изданиях, входящих в перечень ВАК, 2 – в реферируемых журналах базы Scopus, 1 – в прочих изданиях.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из оглавления, введения, шести глав, заключения, библиографического списка (99 наименований, в том числе 8 на иностранных языках), трех приложений. Общий объем работы – 195 страниц, 125 рисунков (в т.ч. 27 в Приложении 1) и 17 таблиц.
Метод конечных элементов
Можно выделить две причины развития науки «математика». Первую причину можно условно назвать внешней, и она связана с желанием и возможностью решения математическими средствами задач, поставленных другими науками – механикой, физикой, экономикой, социологией и т.д. и сферами человеческой деятельности: строительством, медициной, экономикой, машиностроением и др. Вторая причина, условно внутренняя, связана с желанием систематизировать найденные математические факты, выявлять их взаимосвязи, объединять их в теории, совершенствовать теории по собственным законам и т.д. Можно также сказать, что прикладная математика олицетворяет собой инструмент, а теоретическая – чистое творчество (искусство).
Логично предположить, что сначала появилась первая причина, например, во времена древнего Египта, когда к математике прибегали с целью решить конкретные практические задачи, а вторая причина появилась уже после. В современном мире эти две причины изучения и развития математики уже довольно переплелись, но, тем не менее, их особенности легко просматриваются. Поэтому два направления развития математики, отвечающие этим двум причинам, естественно разделять и называть прикладным и теоретическим.
Рассмотрим подробнее направление прикладной математики. В отличие от теоретической, фундаментальной математики, в прикладной математике рассуждения уже не находятся на том же дедуктивном уровне. Согласно Блехману, Мышкису, Пановко [17] здесь принципиально недостижима доказательность того же уровня, что в теоретической математике, хотя бы потому, что математическая модель реального объекта может описывать лишь существенные в том или ином смысле черты этого объекта, но никогда не претендует (Л.И. Седов [72], А.Д. Мышкис [31]), а с точки зрения философии (Б.Г.Кузнецов [46]) не может и не должна претендовать на его полное описание. С другой стороны, к прикладной математике предъявляются требования, которые в теоретической математике считаются второстепенными: прикладная задача должна быть решена не только правильно, но и своевременно, экономно, решение должно быть доступно для имеющихся вычислительных средств, результаты должны быть пригодными для фактического использования и т.д. Если обобщить все эти требования под определением «оптимального решения», то можно сказать, что прикладная математика – это наука об оптимальных математических методах решения задач, возникающих вне математики. Или, цитируя Мышкиса [58], «теоретическая математика делает то, что можно, так, как нужно, а прикладная – то, что нужно, так, как можно».
Можно сказать, что прикладная математика – это наука о математических моделях объектов и явлений, а именно о построении, исследовании (испытании), интерпретации, оптимизации математических моделей.
Математические модели Определим, что же является математической моделью. Предположим, мы собираемся исследовать некоторые свойства реального объекта, или параметры, каким-либо образом с ним связанные. В большинстве встречающихся в жизни практических задач нас интересуют именно не все, а только некоторые свойства или параметры изучаемого объекта. Стадии создания математических моделей: 1. Реальный объект 2. Свойства реального объекта, существенные для данного его изучения 3. Содержательная модель 4. Гипотезы содержательной модели 5. Математическая модель 6. Интерпретация результатов Вначале необходимо построить содержательную модель объекта – то есть некую упрощенную модель реального объекта, в которой фигурируют интересующие нас свойства или величины. Это может быть механическая, физическая, экономическая, социальная и т.п. модель объекта. При построении содержательной модели мы пренебрегаем некоторыми «неидеальностями», неполнотой описания, переходим к упрощенному, схематическому описанию объекта. Далее для такой содержательной модели формулируются соответствующие гипотезы – то есть некие принимаемые законы поведения, зависимости величин, описания явлений и т.д. Причем для одного и того же явления могут быть приняты разные гипотезы. Например, при изучении распространения тепла в реальном теле можно взять в качестве содержательной модели его упрощенную геометрическую модель, отбросить некоторые внешние воздействия (например, считать его полностью теплоизолированным), а также пренебречь некоторыми внутренними процессами и характеристиками (например, пренебречь таким явлением, как изменение теплопроводных свойств материала тела в зависимости от его температуры). В качестве исследуемых величин можно взять значения температур точек тела, а также явление потока тепла от одних точек к другим. Тогда для данной содержательной модели можно выдвинуть несколько разных гипотез о зависимостях рассматриваемых величин. Например, одна из гипотез может быть основана на законе Фурье, согласно которому тепло распространяется в теле как в сплошной среде – континууме и передается от мест с большей температурой к местам с меньшей, а также имеет место зависимость интенсивности теплового потока от относительной разности температур. Однако, например, другая гипотеза в этой же содержательной модели может быть связана с законами термодинамики, то есть с предположением о передаче тепла от одной точки тела к другой посредством кинетической энергии движения молекул тела.
Далее на основе уже выбранной содержательной модели и выбранных гипотез этой модели можно построить математическую модель (т.е. описать выбранную содержательную модель математическими средствами), с требуемой точностью описывающую данные гипотезы в данной содержательной модели. Здесь мы подбираем такие математические зависимости или законы, которые лучше всего, в пределах требуемой точности, описывают рассмотренные гипотезы. Это могут быть уравнения, неравенства, интегральные выражения, функции и т.д., то есть формулировка принятых гипотез на формальном математическом языке. Так как в большинстве практических задач нас интересует не просто исследование объекта, но именно решение поставленной задачи и нахождение некоторых ключевых зависимостей и величин, то обычно математической моделью является именно корректно сформулированная математическая задача: решить уравнение, найти функцию и т.д.
Затем следует изучение, исследование (испытание) самой математической модели, а проще говоря – решение сформулированной математической задачи. Здесь нужно выбрать или построить математический метод решения и реализовать его, в том числе, возможно, на ЭВМ. Хотя такое «изучение» и проводится в рамках только математики, однако все элементы математической модели являются как бы метками соответствующих реальных элементов, параметров объекта. Это позволяет в процессе решения математической задачи привлекать дополнительные сведения, которые смогут упростить процесс, либо выделят из нескольких решений то, которое нужно.
Формулировка краевых задач теплопроводности
Тепло как явление изучается давно. В разное время выдвигались различные теории о его сущности и разные модели его проявлений. В 18-м веке с точки зрения Р. Бойля тепло рассматривалось как флюид «теплород», присутствующий в каждом теле и передающийся от одного тела к другому при нагревании одного и остывании другого. В это же время Г. Шталем, Г. Кавендишом развивалась теория о «флогистоне», то есть о некой «огненной субстанции», наполняющей все горючие вещества и выделяющейся в виде газа при их горении. В своей альтернативной «корпускулярно-кинетической теории тепла» М.В. Ломоносов отмечал необъяснимость прежними теориями фактов расширения тел при нагреве, фокусировки солнечных лучей линзой и др. Он же рассматривал в качестве причины распространения теплоты движение внутренних частиц теплопроводящего тела, указывал, что скорость их движения влияет на скорость распространения тепла, что являлось предпосылками современной молекулярно-кинетической теории. В 19-м веке существенный вклад в изучение теплоты внесли Ж. Фурье и С. Карно. Однако, они изучали явление тепла с разных подходов, заложив будущее развитие двух направлений исследований в этой области. Работы Ж. Фурье стали фундаментом теории теплообмена, а исследования С.Карно – фундаментом термодинамики. С точки зрения Фурье [88] тепло передается равномерно от одной точки тела к другой и пропорционально распределяется от более нагретых к менее нагретым. В теории термодинамики передача тепла – это часть энергообмена, не связанная с теплопроводностью между телами и внутри тел. Оба направления по-своему развивались: теория теплообмена положила начало гидродинамике, появилось уравнение диффузии; в термодинамике появилось понятие энтропии и время стало рассматриваться как физический параметр. Многое было предпринято, чтобы объединить эти теории, Дж. Томпсоном, И. Яуманном, Л. Онсагером, Х. Казимиром, И.Р. Пригожиным при развитии псевдотермостатики, квазитермодинамики, феноменологической и статистической теории необратимых процессов. Однако до конца объединить эти две теории пока не удалось.
Теплопроводностью называют передачу тепла от одной части тела к другой. Согласно Г.Карслоу и Д.Егер [40], существует 3 механизма распространения тепла: 1. Теплопроводность, в результате которой тепло передается через само вещество; 2. Конвекция, в результате которой тепло передается за счет относительного движения частиц нагретого тела; Передача тепла излучением, при котором перенос тепла между разделенными в пространстве частями тела происходит за счет электромагнитного излучения. В жидкостях и газах конвекция и излучение играют первостепенную роль, тогда как в твердых телах конвекция вообще отсутствует, а излучение обычно пренебрежимо мало. В данной работе исследуется первый механизм – теплопроводность.
Аналитическая теория теплопроводности рассматривает вещество, из которого состоят тела, как абстрактный континуум, то есть сплошную среду, не принимая во внимание молекулярное строение вещества. На самом деле такое допущение не соответствует реальности, так как в действительности движение микрочастиц (молекул, электронов, атомов), энергия этого движения участвует в передаче тепла. Однако, рассматриваемое представление тел и моделирование теплопередачи в них допустимо, если размеры их единичных объемов достаточно велики по сравнению с размерами молекул и расстояниями между ними. И, возможно, нет необходимости вникать в глубины физической сути теплопереноса в телах сравнительно больших размеров, если предложенная математическая модель с достаточной точностью описывает реальный процесс при сравнении с результатами натурных экспериментов.
Всякое физическое явление, в том числе и процесс теплопередачи, происходит не только в пространстве, но и во времени. Поэтому аналитическая теория теплопроводности изучает пространственно-временное изменение физической величины - температуры, ключевой для данного явления, и в каждой поставленной задаче стремится найти зависимость температуры от положения рассматриваемой точки в пространстве и времени, выраженную функцией = (,,,), где x, у, z — пространственные координаты в декартовой системе, t — время. Совокупность мгновенных значений температуры во всех точках изучаемого пространства называется температурным полем. Так как температура есть величина скалярная, то и температурное поле является скалярным полем. Различают стационарное и нестационарное температурные поля. Нестационарным температурным полем называется такое поле, температура которого изменяется не только в пространстве, но и с течением времени.
Хотя данная теория и не рассматривает микрочастицы тела, но она рассматривает различные точки тела, множество их, а также передачу тепла между этими точками. Будем исходить из утверждения, и результаты экспериментов это показывают, что тепло обязательно распространяется от более нагретых частей тела к менее нагретым. Следуя рассуждениям Фурье, если на тело воздействует источник тепла, то точки тела, расположенные ближе всех к этому источнику, будут иметь наибольшую возможную для них температуру, а чем точка дальше от источника, тем меньшую температуру она будет иметь. Таким образом все точки тела будут иметь температуру, и общее ее распределение будет равномерно меняться от более нагретых участков к менее нагретым.
Рассмотрим точки тела, имеющие одинаковую температуру. Если их соединить, то получим поверхность равных температур, называемую изотермической поверхностью или изотермой.
Определение. Изотермической поверхностью называется совокупность точек, имеющих равную температуру. (А.В. Лыков [49])
Так как одна и та же точка не может иметь в одно и то же время разные температуры, то логично предположить, что изотермические поверхности не пересекаются. Они либо заканчиваются на границах тела, либо полностью располагаются внутри самого тела. Если через изотермические поверхности тела провести сечение плоскостью, то на этой плоскости получится семейство изотерм. Семейства изотерм обладают теми же свойствами, что и изотермические поверхности: не пересекаются, не обрываются внутри тела, оканчиваются на границах тела либо располагаются полностью внутри тела. Изменение температуры в теле происходит в направлении какого-либо пересечения изотермических поверхностей. Однако, наибольший перепад температуры на единицу длины происходит в направлении нормали к изотермической поверхности. Запишем это с помощью определения градиента температуры.
Градиент температуры - это вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный производной от температуры по этому направлению grad U = — = V(/, где п - нормаль к данной поверхности. С физической точки зрения температурный градиент описывает насколько изменилась температура при изменении расстояния.
Нормальная система дифференциальных уравнений
Разработанный алгоритм реализует численно-аналитическое решение нестационарной задачи теплопроводности в неоднородных двумерных средах. Исходные данные В качестве исходных данных задаются: - конфигурация и размеры рассчитываемого объекта, представимого двумерной областью - физические свойства материалов, задаваемые по ячейкам накладываемой на исследуемую область дискретной сетки; - начальное условие распределения тепла, заданное функцией от аргументов x,y; - граничные условия, возможно разных типов, заданные функциями от времени; - мощности источников тепла, заданные функциями от координат и от времени. В зависимости от конфигурации области, занимаемой исследуемым объектом, на неё накладывается дискретная сетка с прямоугольными или непрямоугольными ячейками. Случай с разбиением области сеткой с прямоугольными ячейками Разобьем область на прямоугольные ячейки сеткой узлов (Рисунок 4.1). Установим начало координат в левый направим вправо по горизонтали, а ось 0y вниз по вертикали. Узлы по горизонтали будут пронумерованы индексом j=1,2,…,n1, а по вертикали i=1,2,…,n2. Тогда общее количество узлов сетки разбиения будет nn=n1 n2. Шаги между узлами по обоим направлениям могут быть различны между разными столбцами или строками, но должны быть одинаковы для всех узлов данного столбца или строки.
Решение мы будем искать только для внутренних узлов, а в граничных узлах запишем значения искомой функции с помощью граничных условий. Тогда количество внутренних узлов по горизонтали будет nnl=nl-2, а по вертикали пп2=п2-2. Таким образом общее количество внутренних узлов будет nnn=nnl nn2.
Запишем исходные данные:
Матрица коэффициентов температуропроводности. Для каждой ячейки определяется коэффициент температуропроводности материала того фрагмента области, который она моделирует. Значение записывается с привязкой к индексам ее левого верхнего узла. Получается, что запись коэффициентов температуропроводности идет по узлам. Таким образом в матрице с именем и размерностью п1Хп2 записываются коэффициенты всех ячеек области. Не задействованными, то есть «не содержащими» описывающих материал ячейки значений, будут узлы на правой и на нижней границе, численно оставим их нулевыми. Общее количество элементов матрицы - пп.
Далее, на основе исходных данных о размерах области и параметров сетки разбиения формируются векторы, содержащие значения шагов для всех узлов дискретной сетки. Таких векторов два, для записи шагов по осям 0х и 0у. Сначала значения переменных шагов записываются по обоим направлениям для каждого столбца и для каждой строки Дх1, Дх2,…, Ахп1_1; Ду1, Ду2,…, АуП2-і. Соответственно количество переменных шагов по горизонтали будет n1, а по вертикали п2. Затем, для удобства алгоритмизации вычислений значения переменных шагов относятся к узлам аналогично матрицам физических характеристик материалов, то есть значение шага по оси 0х относится к его левому узлу, а значение шага по оси 0у - к его верхнему узлу. Таким образом, эти векторы содержат значения для всех узлов сетки, записанные по порядку в очередности «справа налево, сверху вниз».
Ниже представлен алгоритм формирования матрицы коэффициентов А. Рассмотрим произвольный узел (ij) и примыкающие к нему ячейки назначенной дискретной сетки.
Значения коэффициентов температуропроводности в узлах будем брать как их осреднения для примыкающих к этим узлам элементов по соответствующим направлениям вычисляемых производных от искомой функции температуры. Формулу определения произвольного элемента матрицы А мы получили с помощью метода базисных вариаций в разделе аппроксимации (Глава 3, параграф 3.2, формула (3.11)). Заметим, что размерность матрицы А уже будет равна количеству всех внутренних узлов.
Вектор Н представляет собой сумму значений мощностей возможных источников тепла, отнесенных к координатам узлов дискретной сетки (элементы вектора F), и компоненты слагаемых для граничных условий на четырех границах области (элементы вектора В). Н = F + В (4-12) Учет граничных условий 1 рода
В этом случае в выражениях аппроксимации дифференциального оператора, действующего в приграничных точках (например, при i=2,…,n2-1; j=2) будут фигурировать значения граничных условий, заданных законом теплообмена исследуемой области через ее границу с окружающей средой. Закон теплообмена формулируется выражением производной от температуры по нормали к границе с коэффициентом пропорциональности, температурой на границе и температурой окружающей среды как функций от времени.
Представим фигурирующие в выражении закона теплообмена производные конечными разностями в граничных точках, например, для левой границы (Рисунок 4.3). Коэффициент теплопроводности материала вычисляется для привязки к узлу как полусуммы коэффициентов для ячеек, примыкающих к этой разности:
Формирование вектора свободных коэффициентов Н при разбиении области ортогональной сеткой
При анализе результатов можно наблюдать, что, если в моменты времени 0.6 часов и 3 часа процесс распределения температуры еще шел, отдаляясь от начальных условий (можно сказать, что стена «прогревалась»), то к моменту времени 10 часов процесс уже установился и в более поздние моменты времени (10, 24, 28 часов) распределение температуры стало практически идентичным.
Приведем отличия результатов, полученных обоими методами (Табл. 9). Запишем значения среднего отклонения температур для всех узлов, а также значения максимальных отклонений.
Сравнив отклонения температур для разных моментов времени можно увидеть, что максимальная разница определенных температур не превышает 1 С, а среднее отклонение не превышает 0.3 С. Причем чем больший момент времени рассматривается, тем эта разница меньше. Это показывает то, что в начальные моменты времени процесс распределения температуры существенно изменяется, стремится «установиться». А в более поздние моменты времени процесс уже установился и изменения распределения не так существенны и быстротечны.
На основе этих данных можно сделать вывод, что решение подобных задач дискретно-аналитическим методом дает удовлетворительные результаты, в сравнении с численным решением на верифицированном программном комплексе.
В начале процесса, при t = 0: = 0 C Внутренние источники тепла в данной задаче отсутствуют. Рассчитываемые конечные моменты времени: Тестовая задача №4 рассчитывалась для нескольких конечных моментов времени:
По результатам можно наблюдать, что, если в моменты времени 0.6 часов и 3 часа процесс распределения температуры еще шел, отдаляясь от начальных условий (можно сказать, что стена «прогревалась»), то к моменту времени 10 часов процесс уже установился и в более поздние моменты времени (10, 24, 28 часов) распределение температуры практически стало идентичным.
Приведем отличия результатов, полученных обоими методами (Табл.11). Запишем значения среднего отклонения температур для всех узлов, а также значения максимальных отклонений.
Сравнив отклонения температур для разных моментов времени можно увидеть, что максимальная разница определенных температур не превышает 1.2 С, а среднее отклонение не превышает 0.33 С. Причем чем больший момент времени рассматривается, тем эта разница меньше. Это показывает то, что в начальные моменты времени процесс распределения температуры существенно изменяется, стремится «установиться». А в более поздние моменты времени процесс уже установился и изменения распределения не так существенны и быстротечны.
На основе этих данных можно сделать вывод, что решение подобных задач дискретно-аналитическим методом дает удовлетворительные результаты, в сравнении с численным решением, полученным на верифицированном программном комплексе.
На основе результатов предыдущих тестовых задач была обнаружена закономерность, что при постоянных граничных условиях распределение температуры стабилизируется за достаточно большой промежуток времени. Можно сделать вывод, что при данных условиях наибольший интерес представляет картина стабилизировавшегося температурного поля. Поэтому следующие тестовые задачи были рассчитаны для достаточно больших конечных моментов времени.
По результатам можно наблюдать, что, при стабилизировавшемся процессе распространения тепла температура в неоднородных средах отражает следующие закономерности. В областях, состоящих из железобетона, у которого выше теплопроводящие свойства градиент температуры довольно низок и не превышает 1 С. В свою очередь в области утеплителя (ПСБ) наоборот происходит как раз основное распределение от сильно отрицательной до сильно положительной температуры, что вполне отражает реальность.
Приведем отличия результатов данных методов (Таблица 13). Запишем значения среднего отклонения температур для всех узлов, а также значения максимальных отклонений. Сравнив отклонение температур можно увидеть, что максимальная разница определенных температур не превышает 0.5 С, а среднее отклонение не превышает 0.2 С. На основе этих данных можно сделать вывод, что решение подобных задач дискретно-аналитическим методом дает удовлетворительные результаты, в сравнении с численным решением на верифицированном программном комплексе. Сравнив отклонение температур можно увидеть, что максимальная разница определенных температур не превышает 1.5 С, а среднее отклонение не превышает 0.5 С. На основе этих данных можно сделать вывод, что решение подобных задач дискретно-аналитическим методом дает удовлетворительные результаты, в сравнении с численным решением на верифицированном программном комплексе.