Содержание к диссертации
Введение
1 Численные и геометрические методы исследования динамики тела, поддерживаемого пружиной с нелинейной жесткостью, при периодическом внешнем воздействии 19
1.1 Предварительные сведения 20
1.2 Геометрический метод нахождения устойчивых периодических колебаний малой амплитуды в случае гладкой восстанавливающей силы 35
1.3 Построение аттракторов и геометрический метод нахождения периодических колебаний произвольной амплитуды в случае негладкой восстанавливающей силы 42
2 Динамика математической модели мелкой лагуны 54
2.1 Описание метода 54
2.2 Геометрическое исследование модели без учета влияния климата 61
2.3 Геометрический метод исследования колебаний математической модели лагуны при периодическом изменении климата 63
3 Методы локализации начального условия периодических колебаний неавтономных моделей 74
3.1 Построение сектора, содержащего искомое начальное условие 76
3.2 Численный метод нахождения инвариантной кривой отображения Пуанкаре 86
Список литературы 97
- Геометрический метод нахождения устойчивых периодических колебаний малой амплитуды в случае гладкой восстанавливающей силы
- Построение аттракторов и геометрический метод нахождения периодических колебаний произвольной амплитуды в случае негладкой восстанавливающей силы
- Геометрическое исследование модели без учета влияния климата
- Численный метод нахождения инвариантной кривой отображения Пуанкаре
Введение к работе
Существующие качественные и приближенные методы исследования периодических колебаний в механических, электрических, экологических и других моделях с малым параметром можно разделить на локальные и нелокальные, изучающие изменение или возникновение колебаний в окрестности какой-то заданной фазовой точки или в целой области таких точек соответственно. Данные модели имеют черезвычайную важность на предварительном этапе математического моделирования, поскольку позволяют оценивать расположение начальных условий периодических колебаний и узнавать их свойства устойчивости.
Локальные методы восходят к принципу линеаризации А. Пуанкаре, утверждающему, что если рассматриваемая Т-периодическая математическая модель с малым параметром описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений и является гладкой, а порождающая система, линеаризованная на некотором своём Т-периодическом решении xq, имеет нуль асимптотически устойчивым решением, то полная система, независимо от конкретного вида возмущения, всегда имеет вблизи xq асимптотически устойчивое Т-периодическое решение. Другими словами, принцип линеаризации Пуанкаре позволяет установить, что асимптотически устойчивый колебательный процесс в порождающей системе не будет разрушен при малом возмущении, а всего лишь немного изменится. В силу этого, принцип линеаризации Пуанкаре называется нерезонансным. Возникновение резонансов (значительное из-
менение амплитуды колебаний) при введение периодического возмущения наблюдалось и нестрого объяснено Ван дер Полем [76] на примере электрической цепи. Данное явление связано с существованием в порождающей системе заполняющего все пространство семейства периодических решений, в результате чего принцип линеаризации Пуанкаре не может быть применен и заданный колебательный процесс xq может быть, вообще говоря, разрушен при увеличении значения параметра, вызвав резонансные колебания, амплитуда которых значительно отличается от амплитуды х0. Со времен работ Ван дер Поля разработаны мощные (резонансные) методы, позволяющие во многих случаях оценивать амплитуду резонансных колебаний. Первые строгие классические результаты на эту тему принадлежат П. Фату [54], Л.И. Манделыптаму-Н.Д. Папалекси [30], Н.М. Крылову-Н.Н. Боголюбову [6], которые являются следствием классической второй теоремы Н.Н. Боголюбова [40]. Из этой теоремы следует, что начальным условиям асимптотически устойчивых Т-периодических решений гладкой системы
х — Ах -\- єд(і,х,є), (0.1)
соответствуют те нули так называемого оператора усреднения (см. Н.Н. Боголюбов-Ю.А. Митропольский [7], с. 303)
50 W = ^ У (ОД*)"19 (т, Q(r)v, 0) dr, (0.2)
при которых вещественные части собственных значений матрицы (go)'(v) отрицательны. Здесь t t—> Q(i)v обозначает решение порождающей системы х — Ах с начальным условием х(0) — v, которое предполагается Г-периодическим при любом v. Классические приложения второй теоремы Боголюбова в радиотехнике, например, вычисление амплитуды резонансных колебаний в регенеративном приемнике, включены также во многие учебники по нелинейным колебаниям (см. И.Г.
у COS ооґ
Рис. 1: Периодически возмущенный механический осциллятор с нелинейной восстанавливающей силой и вязким трением.
Малкин [29], А.А. Андронов-А.А. Витт-С.Э. Хайкин [1]). Однако, в последнее время значительный интерес приобретают приложения второй теоремы Боголюбова в механике, в том числе негладкой. В наиболее общей постановке расчетная схема таких задач построена на рисунке 1. Здесь тело массы т поддерживается нелинейными пружинами, зависимость жесткости к(и) которой от растяжения и описывается законом и і—» /c(w), коэффициент вязкого трения обозначен через с>0и7>0-это амплитуда внешнего гармонического воздействия, являющаяся причиной резонансов. Обозначая через и отклонение тела от состояния покоя, получаем следующее дифференциальное уравнение:
тй + ей + к(и) — 7 cos ut. (0.3)
Если к(и) = кои, где / > 0, то данная модель представляет собой возмущенный гармонический осциллятор и широко исследована в литературе (см., например, И.Г. Малкина [29]). Значительно больший практический интерес представляет случай, когда функция и н-> к (и) - нелинейна, тем более технологии производства таких пружин недавно начали разработываться (см., например, патент Wieslaw Julian Oledzki [69]).
Если
к(и) = к0и + кги3 (0.4)
(целый ряд соответствующих механических моделей рассмотрен в книге А.Н. Nayfeh, D.T. Mook [68]) получаем уравнение типа Ван дер Поля-Дуффинга, которое может быть преобразовано к системе (0.1), если малый параметр є > 0 введен как
с = єс, ко = є2а, к]_ = е2Ь, 7 = ^1- (0-5)
При а^О соответствующий оператор усреднения имеет простые нули и возникновение и амплитуду резонансных колебаний позволяет изучить вторая теорема Боголюбова (см. И.Г. Малкина [29]), в то время как только вырожденные нули имеют место при а = 0. Случай, когда функция усреднения имеет вырожденные нули был рассмотрен А.П. Проскуряковым [45], [46], получившим первые результаты об асимптотической устойчивости периодических колебаний, которые, однако, требуют вычисления неявно определенных функций и являются трудно проверяемыми практически.
Важным для математического моделирования является случай
к{и) = кои+(и—Ь)++(гі+6)~, и+ = max-fii, 0}, и~ = max{—и, 0}, (0.6)
поскольку соответствующая механическая модель хорошо описывает колебания резонансного грохота (см. Б.И. Крюков [22]), некоторых элементов коробки передач автомобилей (см. A. Kahraman [58]), подвесных мостов (см. J. Glover-А.С. Lazer-P.J. McKenna [56]), ударно-вибрационной дробилки (СВ. Казаков [12]) и целого ряда других механических систем с упругими ограничителями (см. недавний обзор LA-14353 лаборатории Los Alamos [48]). Вводя малый параметр є > 0 аналогичным образом, получаем оператор усреднения, нули которого образуют целый отрезок и, тем более, являются вырожденными. Указанное
обстоятельство делает применение классического принципа усреднения для анализа резонансных колебаний в таких системах невозможным, что затрудняет предварительный этап математического моделирования соответствующего осциллятора рис. 1.
Геометрические аналоги принципа усреднения, не требующие невырожденности нулей бифуркационной функции и основанные на теории топологической степени, предложены в работах Ж. Мавена [65] и М.И. Каменского [13]. Однако, применение этих аналогов при моделировании динамики осциллятора рис. 1 в рассматриваемом вырожденном случае в литературе не проводилось.
В отличие от рассмотренных локальных методов, когда порождающее решение или семейство решений известно или может быть найдено, методы исследования периодических колебаний в математических моделях с малым параметром дают меньшую информацию о колебаниях в случае, когда всего лишь известно поведение системы на границе некоторого множества U. Для автономных систем х = f(x) в R2 основной результат восходит к А. Пуанкаре, установившему, что если индекс Пуанкаре границы множества U по отношению к полю v f—> f(v) отличен от 0, то внутри U имеется по крайней мере одно состояние равновесия рассматриваемой системы. Аналог результата Пуанкаре для неавтономных Т-периодических систем
x = f(t,x) (0.7)
иногда называют принципом невозвращаемости М.А. Красносельского - А.И. Перова [18]: если в течение (0,Т] решения системы (0.7) с начальным условием из границы dU мноэюеста U больше на дії не попадают (условие невозвращаемости траекторий на dU) и индекс Пуанкаре границы dU по отношению к полю v н-> /(0,г>) отличен от 0, то внутри U имеется по крайней мере одна Т-периодическая
траектория системы (0.7). То, что полученное Т-периодическое решение устойчиво, требует дальнейших доказательств, основанных на геометрических критериях устойчивости и проведено в настоящий момент лишь в специальных случаях (Ю.А. Колесов [15], Р. Ортега [70]). Если условие невозвращаемости выполнено для каждой из автономных систем х — ft(x), t Є [0,Т], где ft{x) = /(, х). то оно выполнено и для неавтономной системы (0.7), что является основным критерием невозвращаемости. Недавние исследования в центре сложных систем (Университет г. Сиена, Италия) привели к соревновательным моделям, в которых данный критерий для характерных соревновательным моделям прямоугольных областей U С Ш2 не работает, но имеет место после подходящего возмущения системы. Соответствующая модель описывает динамику взаимодействия фитопланктона х\ и зоопланктона х2 в мелкой лагуне Рагсо Nazionale del Circeo (Италия). После ряда упрощений (см. A. Garulli-C. Moccnni, A. Vicino, A. Tesi [55]) это взаимодействие может быть описано системой обыкновенных дифференциальных уравнений вида:
±i = Aie(i)a;i - \2х\ - Х3х2 (^) ,
( X \ ^ '
Х2 = МХ2 [k^J - Л5^2,
где дополнительное внешнее воздействие имеет вид: '
s(t) = M + N sin (Цг + 1 J . (0.9)
Возвращаясь к упомянутому выше наблюдению, замена члена \Х2 на Х^Х2х\ во втором уравнении приводит к системе, к которой применим описанный основной критерий невозвращаемости. Возник актуальный вопрос о возможности перенесения результатов о колебаниях, полученных для возмущенной системы, на первоначальную.
Целью работы является 1) разработка аналога принципа усреднения в случае, когда функция усреднения имеет вырожденные нули или це-
лые их отрезки, и его применение к изучению колебаний механического осциллятора с трением и неклассичсскими восстанавливающими силами; 2) разработка методики применения принципа невозвращаемости Красносельского-Перова в случае, когда условие невозвращаемости выполнено лишь при подходящем возмущении модели, и его применение к изучению колебаний в математической модели лагуны.
Полученные результаты основаны на идеях и методах современного нелинейного анализа (в том числе геометрических схемах обоснования теорем об усреднении, предложенных Ж. Мавеном и М. И. Каменским, топологических критериях устойчивости, принципе невозвращаемости М.А. Красносельского-А.И. Перова) и теории обыкновенных дифференциальных уравнений (в частности, теоремах о дифференциальных неравенствах и об изолированности периодических решений аналитических систем).
Диссертация состоит из трех глав. В первой главе разрабатываются локальные резонансные методы изучения колебаний в модели рис. 1 для описанных выше двух типов нелинейной пружины. В пункте 1 главы 1 вводятся необходимые обозначения, определения и свойства, использующиеся на протяжении всей диссертации. В пункте 2 доказывается один из основных результатов главы 1 (теорема 1.1), дающий общий метод исследования существования асимптотически устойчивых резонансных колебаний в модели рисунка 1 в случае пружины (0.4) малого параметра, введенного в соответствии с (0.5). Соответствующее дифференциальное уравнение (0.3) принимает вид
й + ecu + є2аи + 2bu3 — 27 cos wt (0.10)
и, как говорилось выше, не удовлетворяет при а = 0 условиям второй теоремы Н.Н. Боголюбова, так как единственный нуль vq Є R2 соответствующей функции go не является простым, то есть таков, что
detlK^o)'!^)!! = О. В первой главе диссертации разрабатывается аналог второй теоремы Н.Н. Боголюбова, позволяющий преодолеть данную проблему. Более точно, в диссертации впервые показывается, что если vq - некоторый изолированный нуль функции усреднения до, то условие отрицательности вещественных частей матрицы (до)'(щ) может быть заменено следующими тремя условиями:
все решения решения системы (0.1) остаются при t —* со внутри некоторого независящего от конкретного решения шара,
сумма частных производных подинтегральной функции в (0.2) по vi и г>2 отрицательна при всех г Є R и v Є R2,
топологическая степень d(—go, V) отображения — до на границе V некоторой окрестности точки vq положительна.
В диссертации показывается (теорема 1.1), что если условия 1)-3) выполнены, то при всех достаточно малых є > 0 система дифференциальных уравнений (0.1) имеет по крайней мере одно асимптотически устойчивое Т-периодическое решение х, сходящееся при є->0к решению 11—> fl(t)vo соответствующей порождающей системы.
В пункте 2 главы 1 также показывается, что условия 1)-3) выполнены для уравнения (0.10) и разработанный метод применяется (предложение 1.1) для изучения существования асимптотически устойчивых резонансных колебаний в соответствующей механической модели рис. 1.
В пункте 3 главы 1 разрабатывается общий метод (теорема 1.2) исследования существования резонансных колебаний в модели рис. 1 в случае пружины (0.6) и параметров, заданных формулой (0.5). Соответствующее дифференциальное уравнение (0.3) принимает вид
тй + ей + ко(и) + (и — Ь)+ + (и + Ъ)~ = 7cos cut. (0-11)
и соответствующая функции д0 допускает при а = 0 целый отрезок Vo С I2 нулей. По теореме Мавена [65], достаточным условием существования, при малых є > 0, в системе (0.1) периодических колебаний вблизи множества решений t \—> ft(t)VQ порождающей системы является отличие от нуля топологической степени d(—go, У), где V достаточно малая окрестность множества Vo- Теорема 1.2 настоящей диссертации дает аналогичное утверждение, но вместо малости є > 0 речь идет о є > 0, лежащих в явно заданном промежутке (0, 0]> чт0 особенно важно для приложений.
Хаотический характер аттракторов уравнения (0.10) хорошо изучен в литературе (см. Уеда [75]), однако только отдельные бифуркационные диаграммы известны для уравнения (0.11). Поэтому, отдельное внимание в пункте 3 главы 1 уделяется численному моделированию аттракторов этого уравнения (см. пункт 1.3.1). На основании этого моделирования удается сделать вывод, что динамика соответствующей механической модели может иметь странное хаотическое поведение.
и \* і
Рис. 2: Схема взаимодействия фитопланктона, зоопланктона, растворенного кислорода и питательных веществ в моделе мелкой лагуны. (Италия)
Во второй главе разрабатываются нелокальные методы изучения колебаний концентрации фитопланктона и зоопланктона в модели мелкой лагуны (0.8). Пункт 1 главы 2 посвящен построению данной упрощенной модели на основе более общей модели взаимодействия фитопланк-
тона, зоопланктона, растворенного кислорода и питательных веществ (рис. 2). Основное предположение, позволяющее сделать такое упрощение, состоит в пренебрежении влияния концентрации зоопланктона на концентрацию растворенного кислорода. Данное пренебрежение, как объясняется в работе A. Garulli-C. Mocenni, A. Vicino, A. Tesi [55], не вносит качественного изменения в динамику модели и позволяет записать влияние питательных веществ и растворенного кислорода на взаимодействии (0.8) между х\ и Х2 как внешнее периодическое воздействие s(t).
Пункт 2 главы 2 изучает случай, когда данное внешнее воздействие не зависит от времени, то есть N = 0 в (0.9). Известные методы доказательства существования предельных циклов в автономных системах на плоскости адаптируются для модели (0.8) и предложение 2 этого пункта утверждает, что если
Л1Л4 — Л5 то система (0.8) имеет в первой координатной четверти по крайней мере
один устойчивый предельный цикл, соответствующий автоколебательному режиму взаимодействия фитопланктона и зоопланктона.
В пункте 3 главы 2 разрабатывается геометрический метод изучения периодических колебаний в (0.8) в случае N ^ 0. Данный метод сочетает технику возмущений, дифференциальных неравенств и основан на построении таких областей, границы которых обладают свойством невозвращаемости траекторий. Основной результат данного пункта (теорема 2.1) утверждает, что если
^(M-N)> Х"к
Лг А4 — As
то система (0.8) допускает 12-периодические колебания в первой координатной четверти. Более того, в теореме 2.1 доказано, что существует
r\ > 0 такое, что соответствующее 12-периодическое решение х удовлетворяет следующей оценке:
< xi(t) < (Аі/Л2)(М + N) + ту,
< x2(t) < max |l, к (l + Лб ^ J е12А4(даЬт) 1+12As + 77.
В главе 3 разрабатываются теоретические основы численного нахождения начальных условий периодических колебаний в возмущенных автономных моделях, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида
х = f(x) + eg(t,x,e), жєМ2, (0.12)
где f : Ж2 —> R2 - непрерывно-дифференцируемая функция, д : К х Ш2 х [0,1] —> R2 - непрерывная Т-периодичсская по времени функция и є > 0 - малый параметр. Класс систем типа (0.12) включает, в частности, рассматриваемое в главе 1 уравнение (0.3) и изучаемую в главе 2 систему (0.8) в случае, когда параметр N > 0 является малым. Более точно, в главе 3 предполагается, что для уравнения (0.12) известно существование Т-периодических решений хе таких, что
xe(t) —» x0(t), при є —> 0,
и, в зависимости от свойств линеаризованной системы
у = f'(x0(t))y, (0.13)
предлагаются качественные результаты о расположении решения х относительно цикла Xq.
В пункте 1 главы 3 предполагается, что система (0.13) не имеет Т-периодических решений линейно независимых с xq, и даются следующие два результата. Во-первых, в лемме 4.3 пункта 1 доказывается существование числа М > 0 и семейства чисел А —> 0 при є —> 0 таких, что
\\x(t + Ає) — x(t)\\ < Мє для всех достаточно малых є > 0 и t Є [О, Т]. Во-вторых, в теореме 4.1 того же пункта доказывается, что если z -непериодическое решение сопряженной к (0.13) системы, то предел
lim- {z{t),xe{t + Лє) - x0{t)) = M^t)
находится по формуле
M±(t) = к [ (z(r),g(r, x0(r), 0)) dr, Jt-т
где к єШ- зависящая от 'z и z константа. Другимрі словами, в пункте
1 главы 3 предлагается формула для вычисления скорости сходимости
кривой х([0,Т]) к кривой жо([0,Т]) вдоль перпендикулярного к z(t)
направления. В классической работе И.Г. Малкин [28] соответствующий
результат получен при дополнительном предположении
(М) линеаризованная система (0.13) имеет такое решение у, что у(t + Т) = py(t) при подходящем р т^ 1 и всех teM,
которое никогда не выполнено для гамильтоновых порождающих систем. Результат данного пункта проиллюстрирован (предложение 4.1) на модели колебательного контура с нелинейной индуктивностью, описываемого уравнением Дуффинга
V + C\V + Сз1>3 = E'JCOSUt.
Пункт 2 главы 3 посвящен изучению инвариантной кривой оператора Пуанкаре Ve системы (0.12) в случае (М). Напомним, что V(v) определяется, как значение решения t н-> x{i) системы (0.12) с начальным условием ж(0) = v в момент времени t — Т. Н. Левинсон [61] доказал, что такая кривая всегда существует в окрестности xq при малых є > 0. Пусть 5 : [0,Т] і—> Ш - непрерывная замкнутая кривая. Откладывая величину 5(t) от хо(і) в направлении 2/()/||г/()|| и учитывая
условие (М), получим замкнутую кривую 7[0,Т] \—> R2 в окрестности цикла xo(t). Положим 7i(*) — T^eilif))- В достаточно малой окрестности цикла xq верно (лемма 4.4) и утверждение обратное предыдущему, то есть по замкнутой непрерывной кривой 7i [О ,Т] н-> R2 можно восстановить замкнутую непрерывную кривую Si : [О, Т] н-» R такую, что 7i(i) = %o(t) + Si(t)y(t)/\\y(t)\\. То есть, определен оператор Ф, действующий из пространства непрерывных Т-периодических скалярных функций Ct(R,R) в него же. Неподвижные точки этого оператора соответствуют инвариантным кривым оператора Пуанкаре Ve. Основной результат пункта 2 главы 3 (теорема 4.2) состоит в том, что если р < 1, то существует 0<д<1иЛ>0 такие, что
а)||Ф||<Ди||(Ф0'||<1,
б)||Ф&-Ф&||<д||і-2ІІ при всех,ь2 Є { Є CHR.R»-1) : || IK Л, II І' IK 1}- Другими словами, в данном пункте доказывается, что инвариантная кривая оператора VE может быть найдена методом последовательных приближений, примененным к оператору Ф. В качестве примера численно построены несколько итераций оператора Ф в модели электрического контура, описываемого уравнением Ван дер Поля.
Дф)
E=sin (Qt
Рис. 3: Схема контура, состоящая из катушки с нелинейной индуктивностью Ь(ф), конденсатора емкостью С, и источника ЭДС Е.
Суммируя изложенное, можно выделить следующие основные полученные в диссертации результаты:
Установлено существование асимптотически устойчивых 2-7Г - периодических колебаний малых амплитуд в слабо-нелинейном механическом осцилляторе пружина-груз (рис. 1) в резонансном случае, когда соответствующая усредненная система имеет изолированное вырожденное состояние равновесия (с = єс, к(и) = є2Ьг/,3, 7 = 27 и є > 0 мало). Для этого предъявлен класс двумерных систем, в котором требование отрицательности вещественных частей производной (go)'{vo) оператора усреднения в его нуле vq (состоянии равновесия усредненной системы) может быть заменено требованием положительности индекса Пуанкаре этого нуля относительно оператора д$. Аналогичный результат о существовании получен в случае, когда усредненная система допускает отрезок нулей (с = ее, к (и) заданно формулой (0.6), 7 = 27 и є > 0 мало). Найдены параметры, при которых данный механический осциллятор с кусочно-линейной жесткостью (0.6) демонстрирует странную хаотическую динамику.
Доказано существование и получена оценка области, на границе которой траектории математической модели (0.8) взаимодействия фитопланктона и зоопланктона в мелкой лагуне удовлетворяют условию невозращаемости и в которой данная модель допускает, соответственно, 12-периодические колебания.
Получена формула для изучения увеличения/уменьшения амплитуды колебаний в колебательном контуре с нелинейной индуктивностью (рис. 3) при изменении амплитуды периодического воздействия.
Результаты работы докладывались на следующих международных конференциях: "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" (Воронеж, 2009), "Дифференциальные уравнения, теория функций и их приложения" (Боголюбовские чтения 2008, Мелитополь), "Устойчивость и колебания нелинейных систем
управления" (ИПУ, Москва, 2008), NATO Advanced Study Institute on Photopolarimetry in Remote Sensing (Ялта, 2003), а также на Воронежских весенних и зимних математических школах (2004, 2008) и отчетной конференции Воронежской Государственной Технологической Академии (2007).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [31]-[38], [64]. Из совместной работы [31] в диссертацию вошли только принадлежащие Мартыновой И. С. результаты.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Каменскому Михаилу Игоревичу за постановку задачи, обсуждение результатов и организацию работы над диссертацией.
Геометрический метод нахождения устойчивых периодических колебаний малой амплитуды в случае гладкой восстанавливающей силы
В настоящем разделе изучается динамика модели рисунка 1.1 в случае, когда жесткость пружины описывается формулой (1.3), то есть уравнение (1.1) имеет вид Численными и экспериментальными методами Ю. Уеда [75] провел подробное изучение аттракторов уравнения (1.14), поэтому на данном вопросе мы не останавливаемся и переходим к аналитическому исследованию уравнения (1.14). Вопрос об отыскании устойчивых периодических решений является здесь наиболее важным и обычно проводится в предположении малости некоторых параметров. Существует два основных способа введения малого параметра в уравнении (1.14): В этом случае устойчивость периодических решений уравнения (1.14) исследуется методом усреднения Н.Н. Боголюбова (см. [10], 4.2) 2) с = єс+ о(є), 7 = 7 + (є) и &і не зависит от є 0. В этом случае для решения поставленной задачи используется субгармонический метод усреднения В. К. Мельникова (см. [10], 4.6, [78], [42]). В настоящем разделе мы расширим класс уравнений (1.14), к которым применим первый метод. Поскольку второй метод является (см. [74], Гл. 5) обобщением первого, наш подход может быть, вообще говоря, использован и для расширения класса уравнений (1.14), с которым работает метод В.К. Мельникова.
Пусть предложена система В работе [40] Н.Н. Боголюбов установил следующий результат (см. также [7] Теорема II, 29, Гл. VI). Вторая теорема Н.Н. Боголюбова в R2. Пусть / є С1 (Ж х R2 х [0,1],Ж2) Т-периодична по времени и усредненная функция имеет нуль VQ Є Ш2 такой, что все собственные значения матрицы f (vo) лежат в левой полуплоскости. Тогда при достаточно малом є 0 уравнение (1.16) имеет единственное Т-периодическое решение х в окрестности VQ. Более того, решение х ассимптотически устойчиво. Рассмотрим следующий частный случай уравнения (1.14) в котором малый параметр є 0 введен в соответствии с (1.15) и за новыми коэффициентами трения и амплитуды оставлены прежние обозначения с и 7- Функция t н- u(t) является решением уравнения (1.18) тогда и только тогда, когда функция (u(t), u(t)) является решением системы Соответствующая функция усреднения имеет вид Функция / имеет единственный нуль ( 0,1, 0,2) = 0, производная в котором выписывается как Собственные значения матрицы / (0) находятся по формуле Лі;2 = с 2о 4 и лежат строго в левой полуплоскости тогда и только тогда, когда а 0. Таким образом, при условии а = 0, которое является стандартным условием в ряде конкретных приложений (см. [75], [68]) рассматриваемой модели, классический принцип усреднения для нахождения устойчивых периодических решений в уравнении (1.18) не применим. Проскуряковым ([45], [46]) получено развитие второй теоремы Н.Н. Боголюбова на случай det [ / (0) = 0, но оно требует сложных вычислений нескольких новых членов, заданных неявно. В следующем разделе мы показываем, что этих вычислений можно избежать, и находим устойчивые периодические решения уравнения (1.18) при а = 0.
Здесь предлагается следующая теорема. Теорема 1.1 . Пусть f є C(HxR2x[0,1],R2)- аналитическая no пространственным переменным и Т-периодическая по времени функция. Предполооюим, что система (1.16) диссипативна (см. 1.1) и выполнено условие для всех t Є И, є Є [0,1] и v из некоторой окрестности простого нуля VQ Є Ш2 функции f. Предполооюим, что для некоторой открытой окрестности V точки vo- Тогда существует єо 0 такое, что при є Є (0, Єо] система (1.16) имеет по крайней мере одно асимптотически устойчивое Т-периодическое решение хЕ такое, что хє(0) Є Доказательство. По теореме Мавена (см. 1.1.3) где V - оператор Пуанкаре системы (1.16). Возьмем v Є V и рассмотрим собственные значения pi:E(v) и р2,еЫ) матрицы p (v). Имеем: В силу условия (1.21) мы можем уменьшить о 0 так) что ! {{ЇІ)Щ{Т Х{Т ) ) + (Ь) {Г,Х{Т,У,Є),Е))(ІТ 0 для любых І; Є V, єє(0,є0]-Значит
Построение аттракторов и геометрический метод нахождения периодических колебаний произвольной амплитуды в случае негладкой восстанавливающей силы
Существующие качественные и приближенные методы исследования периодических колебаний в механических, электрических, экологических и других моделях с малым параметром можно разделить на локальные и нелокальные, изучающие изменение или возникновение колебаний в окрестности какой-то заданной фазовой точки или в целой области таких точек соответственно. Данные модели имеют черезвычайную важность на предварительном этапе математического моделирования, поскольку позволяют оценивать расположение начальных условий периодических колебаний и узнавать их свойства устойчивости.
Локальные методы восходят к принципу линеаризации А. Пуанкаре, утверждающему, что если рассматриваемая Т-периодическая математическая модель с малым параметром описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений и является гладкой, а порождающая система, линеаризованная на некотором своём Т-периодическом решении XQ, имеет нуль асимптотически устойчивым решением, то полная система, независимо от конкретного вида возмущения, всегда имеет вблизи XQ асимптотически устойчивое Т-периодическое решение. Другими словами, принцип линеаризации Пуанкаре позволяет установить, что асимптотически устойчивый колебательный процесс в порождающей системе не будет разрушен при малом возмущении, а всего лишь немного изменится. В силу этого, принцип линеаризации Пуанкаре называется нерезонансным. Возникновение резонансов (значительное изменение амплитуды колебаний) при введение периодического возмущения наблюдалось и нестрого объяснено Ван дер Полем [76] на примере электрической цепи. Данное явление связано с существованием в порождающей системе заполняющего все пространство семейства периодических решений, в результате чего принцип линеаризации Пуанкаре не может быть применен и заданный колебательный процесс XQ может быть, вообще говоря, разрушен при увеличении значения параметра, вызвав резонансные колебания, амплитуда которых значительно отличается от амплитуды х0. Со времен работ Ван дер Поля разработаны мощные (резонансные) методы, позволяющие во многих случаях оценивать амплитуду резонансных колебаний. Первые строгие классические результаты на эту тему принадлежат П. Фату [54], Л.И. Манделыптаму-Н.Д. Папалекси [30], Н.М. Крылову-Н.Н. Боголюбову [6], которые являются следствием классической второй теоремы Н.Н. Боголюбова [40]. Из этой теоремы следует, что начальным условиям асимптотически устойчивых Т-периодических решений гладкой системы соответствуют те нули так называемого оператора усреднения (см. Н.Н. Боголюбов-Ю.А. Митропольский [7], с. 303) при которых вещественные части собственных значений матрицы (go) (v) отрицательны. Здесь t t— Q(i)v обозначает решение порождающей системы х — Ах с начальным условием х(0) — v, которое предполагается Г-периодическим при любом v. Классические приложения второй теоремы Боголюбова в радиотехнике, например, вычисление амплитуды резонансных колебаний в регенеративном приемнике, включены также во многие учебники по нелинейным колебаниям (см. И.Г. Малкин [29], А.А. Андронов-А.А. Витт-С.Э. Хайкин [1]). Однако, в последнее время значительный интерес приобретают приложения второй теоремы Боголюбова в механике, в том числе негладкой. В наиболее общей постановке расчетная схема таких задач построена на рисунке 1. Здесь тело массы т поддерживается нелинейными пружинами, зависимость жесткости к(и) которой от растяжения и описывается законом и і—» /c(w), коэффициент вязкого трения обозначен через с 0и7 0-это амплитуда внешнего гармонического воздействия, являющаяся причиной резонансов. Обозначая через и отклонение тела от состояния покоя, получаем следующее дифференциальное уравнение:
Если к(и) = кои, где / 0, то данная модель представляет собой возмущенный гармонический осциллятор и широко исследована в литературе (см., например, И.Г. Малкина [29]). Значительно больший практический интерес представляет случай, когда функция и н- к (и) - нелинейна, тем более технологии производства таких пружин недавно начали разработываться (см., например, патент Wieslaw Julian Oledzki [69]). Если (целый ряд соответствующих механических моделей рассмотрен в книге А.Н. Nayfeh, D.T. Mook [68]) получаем уравнение типа Ван дер Поля-Дуффинга, которое может быть преобразовано к системе (0.1), если малый параметр є 0 введен как
При а О соответствующий оператор усреднения имеет простые нули и возникновение и амплитуду резонансных колебаний позволяет изучить вторая теорема Боголюбова (см. И.Г. Малкина [29]), в то время как только вырожденные нули имеют место при а = 0. Случай, когда функция усреднения имеет вырожденные нули был рассмотрен А.П. Проскуряковым [45], [46], получившим первые результаты об асимптотической устойчивости периодических колебаний, которые, однако, требуют вычисления неявно определенных функций и являются трудно проверяемыми практически.
Важным для математического моделирования является случай поскольку соответствующая механическая модель хорошо описывает колебания резонансного грохота (см. Б.И. Крюков [22]), некоторых элементов коробки передач автомобилей (см. A. Kahraman [58]), подвесных мостов (см. J. Glover-А.С. Lazer-P.J. McKenna [56]), ударно-вибрационной дробилки (СВ. Казаков [12]) и целого ряда других механических систем с упругими ограничителями (см. недавний обзор LA-14353 лаборатории Los Alamos [48]). Вводя малый параметр є 0 аналогичным образом, получаем оператор усреднения, нули которого образуют целый отрезок и, тем более, являются вырожденными. Указанное
Геометрическое исследование модели без учета влияния климата
В отличие от рассмотренных локальных методов, когда порождающее решение или семейство решений известно или может быть найдено, методы исследования периодических колебаний в математических моделях с малым параметром дают меньшую информацию о колебаниях в случае, когда всего лишь известно поведение системы на границе некоторого множества U. Для автономных систем х = f(x) в R2 основной результат восходит к А. Пуанкаре, установившему, что если индекс Пуанкаре границы множества U по отношению к полю v f— f(v) отличен от 0, то внутри U имеется по крайней мере одно состояние равновесия рассматриваемой системы. Аналог результата Пуанкаре для неавтономных Т-периодических систем иногда называют принципом невозвращаемости М.А. Красносельского - А.И. Перова [18]: если в течение (0,Т] решения системы (0.7) с начальным условием из границы dU мноэюеста U больше на дії не попадают (условие невозвращаемости траекторий на dU) и индекс Пуанкаре границы dU по отношению к полю v н- /(0,г ) отличен от 0, то внутри U имеется по крайней мере одна Т-периодическая траектория системы (0.7). То, что полученное Т-периодическое решение устойчиво, требует дальнейших доказательств, основанных на геометрических критериях устойчивости и проведено в настоящий момент лишь в специальных случаях (Ю.А. Колесов [15], Р. Ортега [70]). Если условие невозвращаемости выполнено для каждой из автономных систем х — ft(x), t Є [0,Т], где ft{x) = /(, х). то оно выполнено и для неавтономной системы (0.7), что является основным критерием невозвращаемости. Недавние исследования в центре сложных систем (Университет г. Сиена, Италия) привели к соревновательным моделям, в которых данный критерий для характерных соревновательным моделям прямоугольных областей U С Ш2 не работает, но имеет место после подходящего возмущения системы. Соответствующая модель описывает динамику взаимодействия фитопланктона х\ и зоопланктона х2 в мелкой лагуне Рагсо Nazionale del Circeo (Италия). После ряда упрощений (см. A. Garulli-C. Moccnni, A. Vicino, A. Tesi [55]) это взаимодействие может быть описано системой обыкновенных дифференциальных уравнений вида: где дополнительное внешнее воздействие имеет вид: Возвращаясь к упомянутому выше наблюдению, замена члена \Х2 на Х Х2х\ во втором уравнении приводит к системе, к которой применим описанный основной критерий невозвращаемости. Возник актуальный вопрос о возможности перенесения результатов о колебаниях, полученных для возмущенной системы, на первоначальную.
Целью работы является 1) разработка аналога принципа усреднения в случае, когда функция усреднения имеет вырожденные нули или целые их отрезки, и его применение к изучению колебаний механического осциллятора с трением и неклассичсскими восстанавливающими силами; 2) разработка методики применения принципа невозвращаемости Красносельского-Перова в случае, когда условие невозвращаемости выполнено лишь при подходящем возмущении модели, и его применение к изучению колебаний в математической модели лагуны.
Полученные результаты основаны на идеях и методах современного нелинейного анализа (в том числе геометрических схемах обоснования теорем об усреднении, предложенных Ж. Мавеном и М. И. Каменским, топологических критериях устойчивости, принципе невозвращаемости М.А. Красносельского-А.И. Перова) и теории обыкновенных дифференциальных уравнений (в частности, теоремах о дифференциальных неравенствах и об изолированности периодических решений аналитических систем).
Диссертация состоит из трех глав. В первой главе разрабатываются локальные резонансные методы изучения колебаний в модели рис. 1 для описанных выше двух типов нелинейной пружины. В пункте 1 главы 1 вводятся необходимые обозначения, определения и свойства, использующиеся на протяжении всей диссертации. В пункте 2 доказывается один из основных результатов главы 1 (теорема 1.1), дающий общий метод исследования существования асимптотически устойчивых резонансных колебаний в модели рисунка 1 в случае пружины (0.4) малого параметра, введенного в соответствии с (0.5). Соответствующее дифференциальное уравнение (0.3) принимает вид и, как говорилось выше, не удовлетворяет при а = 0 условиям второй теоремы Н.Н. Боголюбова, так как единственный нуль VQ Є R2 соответствующей функции go не является простым, то есть таков, что detlK o) ! )!! = О. В первой главе диссертации разрабатывается аналог второй теоремы Н.Н. Боголюбова, позволяющий преодолеть данную проблему. Более точно, в диссертации впервые показывается, что если VQ - некоторый изолированный нуль функции усреднения до, то условие отрицательности вещественных частей матрицы (до) (щ) может быть заменено следующими тремя условиями:
Численный метод нахождения инвариантной кривой отображения Пуанкаре
В пункте 1 главы 1 вводятся необходимые обозначения, определения и свойства, использующиеся на протяжении всей диссертации. В пункте 2 доказывается один из основных результатов главы 1 (теорема 1.1), дающий общий метод исследования существования асимптотически устойчивых резонансных колебаний в модели рисунка 1 в случае пружины (0.4) малого параметра, введенного в соответствии с (0.5). Соответствующее дифференциальное уравнение (0.3) принимает вид и, как говорилось выше, не удовлетворяет при а = 0 условиям второй теоремы Н.Н.
Боголюбова, так как единственный нуль VQ Є R2 соответствующей функции go не является простым, то есть таков, что detlK o) ! )!! = О. В первой главе диссертации разрабатывается аналог второй теоремы Н.Н. Боголюбова, позволяющий преодолеть данную проблему. Более точно, в диссертации впервые показывается, что если VQ - некоторый изолированный нуль функции усреднения до, то условие отрицательности вещественных частей матрицы (до) (щ) может быть заменено следующими тремя условиями: 1) все решения решения системы (0.1) остаются при t — со внутри некоторого независящего от конкретного решения шара, 2) сумма частных производных подинтегральной функции в (0.2) по vi и г 2 отрицательна при всех г Є R и v Є R2, 3) топологическая степень d(—go, V) отображения — до на границе V некоторой окрестности точки VQ положительна. В диссертации показывается (теорема 1.1), что если условия 1)-3) выполнены, то при всех достаточно малых є 0 система дифференциальных уравнений (0.1) имеет по крайней мере одно асимптотически устойчивое Т-периодическое решение х, сходящееся при є- 0к решению 11— fl(t)vo соответствующей порождающей системы. В пункте 2 главы 1 также показывается, что условия 1)-3) выполнены для уравнения (0.10) и разработанный метод применяется (предложение 1.1) для изучения существования асимптотически устойчивых резонансных колебаний в соответствующей механической модели рис. 1.
В пункте 3 главы 1 разрабатывается общий метод (теорема 1.2) исследования существования резонансных колебаний в модели рис. 1 в случае пружины (0.6) и параметров, заданных формулой (0.5). Соответствующее дифференциальное уравнение (0.3) принимает вид тй + ей + ко(и) + (и — Ь)+ + (и + Ъ) = 7cos cut. (0-11) и соответствующая функции д0 допускает при а = 0 целый отрезок Vo С I2 нулей. По теореме Мавена [65], достаточным условием существования, при малых є 0, в системе (0.1) периодических колебаний вблизи множества решений t \— ft(t)VQ порождающей системы является отличие от нуля топологической степени d(—go, У), где V достаточно малая окрестность множества Vo- Теорема 1.2 настоящей диссертации дает аналогичное утверждение, но вместо малости є 0 речь идет о є 0, лежащих в явно заданном промежутке (0, 0] чт0 особенно важно для приложений. Хаотический характер аттракторов уравнения (0.10) хорошо изучен в литературе (см. Уеда [75]), однако только отдельные бифуркационные диаграммы известны для уравнения (0.11). Поэтому, отдельное внимание в пункте 3 главы 1 уделяется численному моделированию аттракторов этого уравнения (см. пункт 1.3.1). На основании этого моделирования удается сделать вывод, что динамика соответствующей механической модели может иметь странное хаотическое поведение. Во второй главе разрабатываются нелокальные методы изучения колебаний концентрации фитопланктона и зоопланктона в модели мелкой лагуны (0.8). Пункт 1 главы 2 посвящен построению данной упрощенной модели на основе более общей модели взаимодействия фитопланк тона, зоопланктона, растворенного кислорода и питательных веществ (рис. 2). Основное предположение, позволяющее сделать такое упрощение, состоит в пренебрежении влияния концентрации зоопланктона на концентрацию растворенного кислорода. Данное пренебрежение, как объясняется в работе A. Garulli-C. Mocenni, A. Vicino, A. Tesi [55], не вносит качественного изменения в динамику модели и позволяет записать влияние питательных веществ и растворенного кислорода на взаимодействии (0.8) между х\ и Х2 как внешнее периодическое воздействие s(t).
Пункт 2 главы 2 изучает случай, когда данное внешнее воздействие не зависит от времени, то есть N = 0 в (0.9). Известные методы доказательства существования предельных циклов в автономных системах на плоскости адаптируются для модели (0.8) и предложение 2 этого пункта утверждает, что если один устойчивый предельный цикл, соответствующий автоколебательному режиму взаимодействия фитопланктона и зоопланктона. В пункте 3 главы 2 разрабатывается геометрический метод изучения периодических колебаний в (0.8) в случае N 0. Данный метод сочетает технику возмущений, дифференциальных неравенств и основан на построении таких областей, границы которых обладают свойством невозвращаемости траекторий. Основной результат данного пункта (теорема 2.1) утверждает, что если то система (0.8) допускает 12-периодические колебания в первой координатной четверти. Более того, в теореме 2.1 доказано, что существует r\ 0 такое, что соответствующее 12-периодическое решение х удовлетворяет следующей оценке: В главе 3 разрабатываются теоретические основы численного нахождения начальных условий периодических колебаний в возмущенных автономных моделях, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида где f : Ж2 — R2 - непрерывно-дифференцируемая функция, д : К х Ш2 х [0,1] — R2 - непрерывная Т-периодичсская по времени функция и є 0 - малый параметр. Класс систем типа (0.12) включает, в частности, рассматриваемое в главе 1 уравнение (0.3) и изучаемую в главе 2 систему (0.8) в случае, когда параметр N 0 является малым. Более точно, в главе 3 предполагается, что для уравнения (0.12) известно существование Т-периодических решений хе таких, что и, в зависимости от свойств линеаризованной системы
