Численное исследование волн скольжения в нелинейных средах с нелокальностью Медведева Элина Валерьевна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Некоторые свойства нелинейного уравнения Клейна-Гордона с нелокальностью типа Каца-Бейкера. Численный метод нахождения решений типа кинков 16

1.1. Уравнение для бегущих волн и его сведение к системе ОДУ 16

1.2. Численный метод для нахождения кинков/антикинков 20

1.3. Моделирование эволюции 25

Глава 2. Дискретизация скоростей кинков в модели слоистой джо зефсоновской структуры 27

2.1. Постановка задачи 27

2.2. Предварительные замечания 31

2.3. Решения типа кинка: результаты 35

2.4. Движение флюксонов: численные эксперименты 41

2.5. Обзор результатов главы 2 47

Глава 3. Нелокальные уравнения Клейна-Гордона с полиномиальными нелинейностями 50

3.1. Кинки и уединенные волны в нелокальной модели фА 52

3.2. Кинки в модели фА-ф6 58

3.3. Обзор результатов главы 3 62

Глава 4. Общий случай: асимптотическая формула для значений параметра, при которых существуют волны скольжения 65

4.1. Гипотеза 1 (кинки) 67

4.2. Обоснование Гипотезы 1 68

4.3. Гипотеза 2 (уединенные волны) 72

4.4. Обоснование Гипотезы 2 73

4.5. Примеры 74

4.6. Обзор результатов главы 4 91

Заключение 93

Приложение А. Доказательства предложений 1.1-1.5 96

Приложение Б. Джозефсоновская слоистая структура с тонкими слоями: вывод нелокального двойного уравнения синус-Гордона 100

Литература

• Численный метод для нахождения кинков/антикинков
• Решения типа кинка: результаты
• Кинки в модели фА-ф6
• Гипотеза 2 (уединенные волны)

Введение к работе

Актуальность работы.

Диссертация посвящена численному и аналитическому исследованию нелинейных нелокальных сред, динамика которых описывается следующим уравнением

u_tt -Си + F{u) = 0. (1)

Здесь С - оператор умножения Фурье, Си(ш) = 1(ш)и(ш), 1(ш) - символ оператора , F(u) - нелинейность. Уравнение (1) является нелокальным обобщением нелинейного уравнения Клейна-Гордона, соответствующего случаю С = д² /дх². Предполагается, что F{u) обладает свойством бистабильности. то есть имеются два состояния равновесия % и м_, такие, что F(u±) = 0. Основным объектом исследования в работе являются бегущие волны перехода между этими состояниями равновесия. Эти решения уравнения (1) называются кинками (или топологическими солитонами) и удовлетворяют граничным условиям

lim u(t,x) = U-, lim u(t,x) = u₊. (2)

x—>—oo x—?>oo

Вообще говоря, движение кинков в средах такого типа сопровождается излучением (см. рис. 1, А). В результате этого излучения движение кинка замедляется, а его форма существенно изменяется. Вместе с тем, одним из важных свойств задач такого типа является возможность существования так называемых «волн скольжения» при распространении которых излучения не возникает. Такие волны соответствуют определенным типам фронта кинка и определенным значениям скоростей, называемых «скоростями скольжения» («sliding velocities») ¹'² (см. рис. 1, Б). Явление «волн скольжения» пред-

¹ Oxtoby O.F., Pelinovsky D.E., Barashenkov I.V. Travelling kinks in discrete ф⁴ models//Nonlinearity.

2006.-v.19, pp.217-235.

² Oxtoby O.F., Barashenkov I.V. Moving solitons in the discrete nonlinear Schrodinger

equation//Phys.Rev.E, 2007. - v.76, p.036603.

ставляется важным, как с точки зрения фундаментальных представлений о моделируемых системах, так и с практической точки зрения. При этом скорости скольжения являются важными характеристиками рассматриваемой нелокальной среды.

Рис. 1. В нелокальной среде А: кинк движется с излучением и тормозит; Б: кинк движется стационарно со скоростью скольжения.

В работе предполагается, что оператор С имеет вид

ос

Lu = — dx

G(x — x')u_xi(x')dx'.

(3)

при этом он непрерывно зависит от некоторого параметра А, С = С\. Параметр Л в дальнейшем будет называться параметром нелокальности. Таким образом, основным уравнением, рассмотренным в диссертации является

+ОС

uu + F(u)

(4)

G(x — x')u_xi{x')dx

-ОС

Для бегущих волн уравнение (4) записывается в виде

v²u_zz + F(u)

d_

-oc

G(z - z')u_z>(z')dz'

(5)

где z = x—vt - бегущая координата и v - скорость. Таким образом, с матема-тической точки зрения задача состоит в исследовании решений вида (2)

уравнения (4) при некоторых физически значимых типах нелинейности F{u) и ядра G{z).

Важнейшей областью приложений уравнения (5) является джозефсонов-ская электродинамика?^. Эффект Джозефсона — явление протекания сверхпроводящего тока через тонкий слой диэлектрика, разделяющий два сверхпроводника. Такой ток обусловлен квантовой природой явления сверхпроводимости. Это явление называют джозефсоновским током, а такое соединение сверхпроводников - - джозефсоновским контактом. Эффект Джозефсона в наше время используется, например, для создания точных измерительных приборов. В контексте джозефсоновской элетродинамики и = и(х, t) -разность фаз параметров порядка в сверхпроводящих электродах, а традиционной нелинейностью F{u) является синусная. Уравнение (5) с синусной нелинейностью называется нелокальным уравнением синус-Гордона. При тун-нелировании куперовских пар через диэлектрик возникает циркулирующий ток, который создает вихрь. Простейший джозефсоновский вихрь (называемый также 2тг-кинком или флюксоном) соответствует значениям и_ = 0 и и₊ = 2тт.

Для одинарного джозефсоновского перехода это уравнение возникает с разными ядрами G() ⁵' ⁶' ⁷, в зависимости от характеристик перехода. Также уравнение (5) используют для описания систем точечных джозефсонов-

³ Алиев Ю.М., Силин В.П., Урюпин С.А. К теории нелинейных диспергирующих волн в джозефсо-

новских контактах// СФХТ. 1992. - Т.5, N2, стр.228-235.

⁴ Gaididei Yu., Lazarides N., Flytzanis N. Fluxons in a superlattice of Josephson junctions: dynamics

and radiation//J.Phys.A: Math. Gen, 2003. - v. 36, pp.2423-2441.

⁵ Rauh H., Genenko Y.A. Bistable current-voltage characteristic of a weak-link between superconducting

grains//Physica C, 2004. - v.401, pp.286-290.

⁶ Алиев Ю.М., Силин В.П. О нелокальной джозефсоновской электродинамике//ЖЭТФ, 1993 -

т.104, вып 1, стр.2526-2537.

⁷ Алиев Ю.М., Силин В.П., Урюпин С.А. К теории нелинейных диспергирующих волн в джозефсо-

новских контактах// СФХТ. 1992. - Т.5, N2, стр.228-235.

_о

Рис. 2. Слоистая структура: S — сверхпроводящие слои, I — туннелвнвіе слои. Вихревая структура движется слева направо.

ских контактов ⁸ или слоистых джозефсоновских структур ⁹ (см. рис. 2). Таким структурам в последнее время уделяется большое внимание, в связи с возможностью создания источников, детекторов и фильтров терагерцового излучения на их основе ¹⁰. В частности, в работе ^п для описания слоистых структур предлагалось использовать нелокальное уравнение синус-Гордона с экспоненциальным ядром

G\(0 = ^д^ехР

(6)

которое соответствует нелокальным взаимодействиям Каца-Бейкера и естественным образом возникает в приложениях различной физической природы. Ядро (6) в дальнейшем будет называться ядром Каца-Бейкера.

⁸ Alfimov G.L., Eleonsky V.M., Kulagin N.E., Mitskevich N.V. Dynamics of topological solitons in models
with nonlocal interactions// Chaos, 1993.- v.3(3), p.405-415.

⁹ Gaididei Yu., Lazarides N., Flytzanis N. Fluxons in a superlattice of Josephson junctions: dynamics
and radiation//J.Phys.A: Math. Gen, 2003. - v. 36, pp.2423-2441.

¹⁰ Savel'ev S., Yampol'skii V., Rakhmanov A., Nori F. Terahertz Josephson plasma waves in layered

superconductors: spectrum, generation, nonlinear and quantum phenomena//Rep. Prog. Phys. 2010.- v.73,

¹¹ Алиев Ю.М., Овчинников K.H. Силин В.П., Урюпин С.А. Нелокальная джозефсоновская элек
тродинамика слоистых структур// ЖЭТФ, 1995. - т.107, вып.З, стр 972-988.

Исследование скоростей скольжения для нелокального уравнения синус-Гордона и связанных с ним уравнений является довольно сложной задачей с численной точки зрения, так как скорость и форма вихря должны быть найдены одновременно. Таким образом методы, которые можно применить в локальном случае (см. например ¹²), не могут быть использованы для исследования нелокальных задач без существенной модификации. Поэтому разработка специальных подходов для исследования именно нелокальных задач, представляет значительный интерес.

Помимо синусной нелинейности, в современных приложениях встречаются более сложные, несинусоидальные нелинейности. Модели такого типа возникают при описании SIS или SNINS и SFIFS переходов ¹³. Актуальность данной тематики обусловлена перспективой практического применения джо-зефсоновских структур в наноэлектронике, квантовом компьютинге и других отраслях современных технологий.

Приложения уравнения (1) не ограничиваются проблематикой джозеф-соновской электродинамики. Также оно используется для описания решеточных моделей, возникающих, например, в теории дислокаций, теории поверхностного слоя, при исследовании динамики ДНК. При этом для решеточных моделей уравнение (1) часто используются с нелинейностями F(u) = —м+м³, известной в физических приложениях как модель ф^{А 14}, и с нелинейностью F(u) = — и{1— M²)(l+7^²), где 7 - параметр, соответствующей модели ф^А — ф⁶. Также уравнение (1) используется для описания моделей теории магнетиков.

¹² П.Х.Атанасова, Т.Л.Бояджиев, Е.В.Земляная, Ю.М.Шукринов. Численное моделирование длин
ных джозефсоновских контактов, описываемых уравнением двойного синус-Гордона. Математическое Мо
делирование, Т.22, No.И, 2010, сс.40-64

¹³ Golubov A.A., Kupriyanov M.Yu., Il'ichev Е. The current-phase relation in Josephson junctions //

Rev. Mod. Phys., 2004. - v. 76(2), pp. 411-469.

¹⁴ Boyd J. P. A numerical calculation of a weakly non-local solitary wave: the phi 4 breather

//Nonlinearity. - 1990. - T. 3. - Ж 1. - С 177.

Краткий обзор известных результатов.

Тот факт, что рассматриваемое уравнение является одновременно и нелокальным и нелинейным, существенно затрудняет его исследование. Автору неизвестны общие результаты о существовании и единственности решения задачи Коши для этого уравнения. Вместе с тем, если оператор дисперсии является неотрицательно определенным, то, по всей видимости, утверждения о локальном существовании решения задачи Коши в классических формулировках для гиперболических квазилинейных уравнений остаются справедливы ¹⁵. Вместе с тем, известно, что глобальной устойчивости решений может не быть ¹⁶, так как возможен коллапс решений. Утверждения о существовании решений типа бегущих волн для уравнений такого типа при этом ранее делались, например в работе ¹⁷.

Явление волн скольжения в задачах с нелокальностью было обнаружено в джозефсоновской электродинамике в 90-х годах XX века. Исследование проводилось главным образом аналитически, на основе упрощенных моделей путем использования различных приближений. В частности, рассматривались различные кусочно-линейные приближения синусной нелинейности. В этом случае решения типа кинков можно находить путем "сшивки" точных решений в разных областях. В работах ФИАНовской группы под руководством В.П.Силина использовались, в основном, два приближения: приближение Обри-Волкова ¹⁸ и приближение Сакаи-Татено-Педерсона¹⁹. В частности,

¹⁵ Т.Тао, Nonlinear dispersive equations: Local and global analysis - AMS, 2006 - 373 p.

¹⁶ Levine H. A. Instability and nonexistence of global solutions to nonlinear wave equations of the form

Putt = —Au + Т(и) //Transactions of the American mathematical society. - 1974. - T. 192. - C. 1-21.

¹⁷ Peter W. Bates, Chunlei Zhang, Traveling pulses for the Klein-Gordon equation on a lattice or

continuum long-range interaction. Discrete and continuous dynamical system, volume 16, number 1, 2006,

p.235-252

¹⁸ Малишевский А.С, Силин В.П., Урюпин С.А. Черенковский захват волн и дискретность движе
ния б7г-кинков в длинном джозефсоновском переходе//Письма в ЖЭТФ, 1999. - t.69,N4. стр. 318-322

¹⁹ Силин В.П., Студенов А.В. О квантованности движения и черенковской структуре джозефсонов-

ского вихря// ЖЭТФ, 2000. - т.117, вып. 6, стр 1230-1241.

в последнем случае исследования предсказывают существования бесконечного набора скоростей скольжения 2-7г-кинков. Необходимо отметить также работы группы В.М.Елеонского, ²⁰'²¹₅ где задача о скоростях скольжения исследовалась методами теории динамических систем. В этих работах, однако, скорости скольжения находились для кинков с высоким топологическим зарядом, НО НЄ ДЛЯ 27Г-КИНКОВ.

Уравнение (1) детально рассматривалось в докторской диссертации Г.Л. Алфимова ²². В этой работе был предложен метод, позволяющий аппроксимировать исходное нелокальное уравнение системой дифференциальных уравнений и доказаны некоторые утверждения, касающиеся дискретизации скоростей кинков в нелокальной модели. Однако, основными нелинейностями, рассмотренными в работе ²², были кубическая и синусная нелинейности.

Цель диссертационной работы состоит в разработке метода и комплексов программ для моделирования волн скольжения в нелокальных моделях для широкого класса нелинеиностеи, а также проведение численного исследования этих моделей. Здесь можно выделить следующие задачи:

1. Разработка численного метода нахождения скоростей скольжения и моделирование режимов скольжения для уравнения (5) с ядром Каца-Бейке-ра (6) и его реализация в комплексах программ в среде Matlab.

2. Исследования, численное и аналитическое, нелокального уравнения (1) с периодическими нелинейностями в контексте описания динамики электромагнитных полей в джозефсоновских слоистых структурах. Главным вопросом здесь является изучение спектра скоростей скольжения кинков с наи-

²⁰ Alfimov G.L., Eleonsky V.M., Lerman L.M. Solitary wave solutions of nonlocal sine-Gordon equations

II Chaos, 1998. - v. 8, N1, pp. 257-271.

²¹ Alfimov G.L., Eleonsky V.M., Kulagin N.E., Mitskevich N.V. Dynamics of topological solitons in

models with nonlocal interactions// Chaos, 1993.- v.3(3), p.405-415.

²² Алфимов Г.Л. Некоторые классы решений нелинейных уравнений волнового типа с простран
ственной нелокальностью. -М.: Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математиче
ских наук, 2014 г.

меньшим топологическим зарядом (2-7г-кинков), если таковые имеются.

3. Исследования, численное и аналитическое, нелокального уравнения (1) с полиномиальными нелинейностями в контексте описания волн переноса в решеточных моделях с нелокальными взаимодействиями.

Научная новизна. Все результаты, полученные в работе, являются новыми. Основным результатом работы является численный алгоритм, реализованный в виде программы в среде MatLab, позволяющий находить формы фронтов кинков и значения скоростей скольжения для различных типов нелинейности. В данной работе впервые показано, что в нелокальной модели джозефсоновской слоистой структуры, описываемой нелокальным уравнением двойного синус-Гордона, существует семейство решений типа 2-7г-кинков, причем каждое из этих решений может соответствовать только единственной скорости скольжения. Наличие такого семейства отличает нелокальную модель двойного синус-Гордона от аналогичной модели с синусной нелинейностью. При помощи численного моделирования показано, что такой режим движения является, в некотором смысле, асимптотическим. Во-вторых, показано, что подобное явление имеет место и для нелокального уравнения с нелинейностью ф^А — ф⁶. Наконец, в-третьих, в представленной работе впервые сформулированы, обоснованы, подтверждены расчетами и проиллюстрированы многочисленными примерами условия существования дискретного набора скоростей движения кинков, причем для этих скоростей приведены асимптотические формулы.

Практическая значимость. Гезультаты работы, изложенные в диссертации, могут быть использованы при подготовке экспериментов с джозефсо-новскими слоистыми структурами, а также при разработке учебных курсов по теории нелинейных волн в высших учебных заведениях.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Газработан метод расчета волн скольжения и скоростей скольжения

для исследования задач нелокальной джозефсоновской электродинамики с нелинейностью достаточно общего вида. Он реализован в виде комплекса программ для моделирования волн скольжения в нелокальных моделях. Для представленного метода предложены методы контроля точности счета.

2. Показано, что в модели слоистой джозефсоновской структуры, описываемой нелокальным двойным уравнением синус-Гордона, с нелокальностью, представленной интегродифференциальным оператором с ядром Каца-Бей-кера, существует дискретный набор скоростей скольжения кинков. При этом 2-7Г-КИНК, соответствующий простейшему джозефсоновскому вихрю, движется без излучения. Показана важность скоростей скольжения при моделировании эволюции кинка: режим распространения типа волны скольжения является в некотором смысле асимптотическим.

3. Показано, что в нелокальной модели ф^А — ф⁶ с нелокальностью типа Каца-Бейкера существуют неизлучающие бегущие кинки. Набор скоростей этих кинков дискретен, причем эти скорости естественно проявляются при численном моделировании динамики кинков в этой модели.

4. На основании проведенных исследований сформулированы гипотезы о том, что существование бесконечного набора бегущих кинков (или уединенных волн) в слабонелокальных моделях с резонансами связано с расположением особых точек в комплексной плоскости аналитического продолжения невозмущенного решения. Представлена, обоснована и проиллюстрирована многочисленными примерами асимптотическая зависимость значений внешнего параметра задачи, при котором существуют решения типа кинков (уединенных волн).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и научных семинарах: на научной конференции "Перспективы развития фундаментальных наук", Москва, 1-11 июня 2011 г.; на семинаре исследовательской группы по нелинейному и комплексному ана-

лизу в Aston University, Бирмингем, Великобритания, 16 марта 2012 г.; на научной конференции "Микроэлектроника и информатика-2012", Зеленоград, 18-20 апреля 2012 г.; на научной сессии совета РАН по нелинейной динамике, декабрь 2012 г.; на научной конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ-2013", Уфа, 18-22 марта 2013 г.; на научной конференции "Nonlinear Waves: Theory and Applications", Пекин, Китай, июнь 2013 г.; на научной конференции "Нелинейная динамика, бифуркации и странные аттракторы", Нижний Новгород, 1-5 июля 2013 г.; на международном научном семинаре лаборатории "моделирование природных и техногенных катастроф", руководитель Е.Н. Пелиновский, НГТУ, Нижний Новгород, 7 августа 2013 г.; на семинаре исследовательской группы "Ecuaciones Diferenciales", руководитель П. Торрес, Университет Гранады, Испания, 11 сентября 2013 г.; на научной конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ-2014", Уфа, 17-21 марта 2014 г.; на семинаре по вычислительной физике лаборатории информационных технологий ОИЯИ, руководитель И.В. Пузынин, 13 ноября 2014 г; на научном семинаре по математическому моделированию, РУДИ, руководитель Л.А. Севастьянов, 1 апреля 2015 г.; на научном семинаре кафедры прикладной математики (кафедры 31) НИЯУ МИФИ, руководитель Н.А. Кудряшов, 23 апреля 2015 г.

Публикации. Результаты работы были отражены в 9 публикациях в отечественных и международных изданиях, в том числе 4 статьи в рецензируемых изданиях, из них 3 индексируются системой Web of Science.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Автором развит и обобщен метод численного и аналитического исследования нелинейных волн на новые классы уравнений, который ранее использовался только для нелокального уравнения с синусной и кубической нелинейностями. В работах [1-4] все компьютерные расчеты, весь

численный анализ, а также вся необходимая аналитическая работа были выполнены лично автором на основе разработанных методов и компьютерных программ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 110 страниц, работа содержит 20 рисунков, 9 таблиц. Список литературы содержит 78 наименований.

Численный метод для нахождения кинков/антикинков

Следует отметить, что аналогичный метод нахождения локализованных решений использовался ранее в работах [7] (для нелокального уравнения синус Гордона) и [26] (для сингулярно возмущенных уравнений маятника и Дюффинга). Применение этого метода для нахождения кинков в общем нелокальном уравнении Клейна-Гордона с ядром типа Каца-Бейкера представлено в работе Г.Л. Алфимова и автора [20] (см. также диссертацию Г.Л. Алфимова [19]). В настоящей работе описанный численный метод использовался для нахождения кинков всех нелокальных уравнений Клейна-Гордона, рассмотренных в главах 2, 3,

Подводя итог, метод может быть алгоритмизирован следующим образом. 1. Задать начальные условия S = (u(0;X,v),uz(0;X,v),q(0;X,v),qz(0;X,v)), используя линеаризацию (1.8) в окрестности точки 0_ (т.е. найти точку S с контролируемой точностью на траектории (О-) вблизи точки равновесия OS). 2. Численно решить задачу Коши с начальными условиями в точке S до момента, когда компонента и на траектории примет значение щ. Зафиксировать R(v, A) = qz(zo] A, v) в этой точке. 3. Меняя параметр -и, найти значения -и, при которых R(v, А) = 0. Компонента и на соответствующей траектории дает решение типа кинка. 1.2.1. Оценка погрешности При использовании данного алгоритма при вычислении значений v возникают два основных источника погрешности: (а) погрешность численного решения задачи Коши; (б) ошибка выбора исходных данных S.

Опишем методы контроля точности для пунктов (а) и (б) последовательно. а. Погрешность численного решения задачи Коши. Задача Коши решалась численно с помощью метода Рунге-Кутты 4 порядка. Оценка погрешности в этом случае может быть произведена стандартным образом, используя правило Ричардсона [27]. Построим последовательность равномерных сеток с шагами /г, /г/2, /г/4 и так далее. Узлы каждой сетки совпадают с четными узлами следующей сетки, то есть соответствуют одному и тому же значению бегущей координаты z. Обозначим решение на первой сетке U\{z) и на второй — щ(%)-, сетке с половинным шагом. Оценка погрешности в точке z определяется как A(z) = [u2(z)-Ul(z)]/(2P-1), где р = 4 теоретический порядок точности численного метода. Эта оценка погрешности относится к численному решению v,2{z): то есть к более подробной сетке. Рассмотрим норму погрешности АС= max Д0О, (1-14) здесь N полное число точек в той сетке, по которой вычисляется данная норма. При рассмотрении зависимости нормы погрешности метода Рунге-Кутты 4 порядка от числа узлов N І/h целесообразно использовать двойной логарифмический масштаб: log107V по оси абсцисс и log10A по оси ординат, так как асимптотика погрешности имеет степенной закон, С/г4. Теоретически, при увеличении N должен происходить выход на асимптотику и log10 А должен приближаться к прямой с наклоном tg(a) = —4. Однако, это будет происходить до тех пор, пока ошибки округления не станут сопоставимыми с погрешностью метода.

Если нелинейность является четной, зависимость значения ARs(v}X) = \Rs(v}X) — R(v,X)\ от 5 будет квадратичной, т.е. ARs(v,X) = 0{82). Если нелинейность является нечетной, то зависимость значения ARs(v, A) = \Rs(v, A) — R(v, Л) от 5 будет кубической, т.е. AR$(v, А) = 0(3). Чтобы проверить асимптотическую оценку численно, необходимо при фиксированных значениях v и X рассчитать значение Rs(v, А) для набора 6, 5/а, 6/а2 и т.д., где а 1 - некоторый параметр, с максимально возможной точностью метода Рунге-Кутта (см. пункт а). Затем необходимо отобразить зависимость значения от 6/ап в двойном логарифмическом масштабе. В случае четной нелинейности эта зависимость должна хорошо приближаться прямой линией с коэффициентом наклона р = 2, в случае нечетной нелинейности - прямой линией с коэффициентом наклона р = 3. Вследствие этого, для 5 — 0 имеем Rs(v, A) = R(v, Х)+С5р+о (5Р), что подразумевает оценку для погрешности в (г;, Л) ARi(v,X)

Для численных экспериментов по распространению кинков система уравнений (1.6-1.7) была переписана в следующем виде [7] Q = Qx, Щь + F(u) = Q, X2QXX + Q = uxx. Вычисления выполнялись с помощью явной численной схемы второго порядка точности [уп+1 (1.15) ZUm + Um ) + г \Um) — Ц/m А2 1 То, V0m+l Ут + Qm-l) Ут = l 2\Um+l Um + Um-l)i \ - J где г - шаг по времени, h - шаг по пространству, uvm и Qvm являются значениями функций и и Q в т-узле сетки вдоль х (т = 1,..., М) во временном n-слое. Проверка устойчивости схемы (1.15)-(1.16) при F{u) = 0 при помощи спектрального признака устойчивости показала, что схема устойчива при отсюда не следует сохранение устойчивости для нелинейной задачи. Граничные условия (2.12) L -длина интервала, аппроксимировались краевым условием Дирихле на концах фиксированного отрезка. Длина интервала L бралась достаточно большой для исключения отражения излучения, испускаемого кинком от концов этого интервала.

В середине 70-х выяснилось, что в некоторых ситуациях дисперсионный член в уравнении (2.1), представленный второй производной, нуждается в уточнении. В частности, коррекция необходима, если лондоновская глубина проникновения \L становится сравнимой с джозефсоновской длиной Xj. Тогда уравнение (2.1) должно быть заменено интегральным уравнением типа

Решения типа кинка: результаты

Численные расчеты 2-7г-кинков для уравнения (2.11) были выполнены с помощью метода, описанного в разделе 1.2, см. также [20]. Введем четырехмерное фазовое пространство для системы (2.19) — (2.20) с координатами u}uZ}q}qz. Тогда, как указывалось в главе 1, решения типа 2-7г-кинка системы (2.19) — (2.20) соответствуют гетероклиническим орбитам, соединяющим состояния равновесия Оо(0,0,0,0) и О2тг(27г,0,0,0). Для А —1/4 особые точки OQ И О ЯВЛЯЮТСЯ состояниями равновесия типа седло-центр. Это означает, что для OQ существует пара входящих траекторий, которые приближаются к OQ при z — — сю. Похожая ситуация имеет место для 02-к- Существование гетероклинической орбиты означает слияние траекторий: входящей в OQ И выходящей из 02тг- В четырехмерном фазовом пространстве гамильтоновой системы такое слияние не является случаем общего положения. Однако, при фиксированном А оно может иметь место при некоторых значениях v. В этом случае гетероклиническая орбита должна пройти через плоскость симметрии (и = 7T qz) (см. Предложение 1.4, глава 1).

Численный алгоритм для вычисления допустимых скоростей v приведен в разделе 1.2. Он состоит в поиске нулей функции R\(v), которая при заданных А и v определяется как При использовании алгоритма, описанного в 1.2, при вычислении значений v возникают два основных источника погрешности: погрешность численного решения задачи Коши и ошибка выбора исходных данных S (см. 1.2.1).

Погрешность численного решения задачи Коши. На рис. 2.3 А показана зависимость нормы погрешности метода Рунге-Кутты 4 порядка от числа узлов N І/h. Поскольку асимптотика погрешности имеет степенной закон, был использован двойной логарифмический масштаб: log10 V по оси абсцисс и log10 А по оси ординат. При увеличении N происходит выход на асимптотику и log10 11 А приближается к прямой с наклоном tg(a) = —4, однако, это происходит до тех пор, пока ошибки округления не становятся сопоставимыми с погрешностью метода. Согласно вычислениям, асимптотическая оценка погрешности, С/г4, справедлива для значений

Поведение погрешности в логарифмическом масштабе (все вычисления были выполнены с параметрами Л = 0.5, v = 0.5, А = 1/8, точки - численные расчеты, они соединены жирными линиями; тонкая линия - теоретический наклон): (А) зависимость нормы погрешности метода Рунге-Кутты 4 порядка от количества узлов N сетки (р = 4, 8 = 10_3, длина интервала интегрирования равна 13); (Б) зависимость значения 0 $ от 8 (а = 10, р = 3).

б. Погрешность начального условия. В связи с тем, что нелинейность является нечетной, зависимость значения ARs(v}\) = \Rs(v,\) — R(v,\)\ от 5 не квадратичная, а кубическая, т.е. ARs(v,X) = 0(3). Этот факт был проверен численно. При фиксированных значениях v и Л значение Rs(v,X) было рассчитано для набора 6, 6/а, 5/а2 и т.д. с максимально возможной точностью метода Рунге-Кутта (см. пункт а). Рис. 2.3 Б показывает зависимость значения от 6/ап в двойном логарифмическом масштабе, а = 10. Из рис. 2.3 Б следует, что эта зависимость хорошо приближается прямой линией с коэффициентом наклона р = 3. Вследствие этого, для 5 — 0 имеем Rs(v, A) = R(v, A) + C5:i + о (3), что подразумевает оценку для погрешности

Таким образом оказывается, что для большинства расчетов достаточно взять h = 0.0004 и 6 = 10 3, что обеспечивает точность 10 9. Результаты вычислений. Результаты вычислений можно сформулировать следующим образом. (a) Численное исследование не обнаруживает ни одного корня функции R\(v) при —1/4 А 0 для всех рассматриваемых Л 0. Следовательно, не существует 2-7Г-КИНКОВ с ненулевыми скоростями при —1/4 А 0. (b) Дискретный набор решений типа 2-7г-кинка уравнения (2.9) существует при А 0. Он был найден для всех рассматриваемых значений Л 0. Каждый из таких 2-7Г-КИНКОВ соответствует своей собственной скорости vn: п = 1, 2,.... Предполагается, что этот набор скоростей скольжения бесконечен и vn накапливаются к нулю при п — оо (см. главу 4). Кривые vn(X): соответствующие трем наивысшим скоростям г о, v\ и -из, показаны на Рис. 2.4 слева. Два профиля 2-7Г-кинков, соответствующих точкам А и В (Л = 0.2), показаны на Рис. 2.4 справа. Следует отметить, что центральные части профилей кинков для различных v очень схожи с профилем кинка (2.14), соответствующего локальному случаю Л = 0. Различие между ними становится существенным только в асимптотике их "хвостов". 0 12 3 4 5 6 Рис. 2.4. Решения типа кинка уравнения (2.11). Зависимость значений vn от Л показана для первых трех решений. Профили первого и третьего кинков при Л = 0.2 показаны на вставках. Оба профиля неотличимы от профиля кинка (2.14), соответствующего случаю Л = 0.

Все кривые vn(X) на Рис. 2.4 начинаются в точке Л = 0, v = 1. В окрестности этой точки зависимость vn(X) может быть описана уравнением (2.16).

Рассмотрим теперь временную динамику, описываемую нелокальным уравнением (2.9). Приведенные ниже результаты свидетельствуют о том, что в рамках данной модели возможно движение 2-7Г-КИНКОВ в безызлучательном режиме со скоростями vn(X) (см. раздел 2.3.3). Более того, эти результаты показывают, что этот режим распространения является асимптотическим для некоторого класса кинк-подобных возбуждений. Численное моделирование проводилось при значениях А = 0.3 и А = 1/8. В этом случае первая и вторая дискретные скорости скольжения принимают значения VQ 0.5831 и v\ 0.3213. Соответствующие им интегралы энергии принимают значения Wi 10.04 и W2 7.94. Профили 2-7Г-КИНКОВ, соответствующие первой и второй дискретным скоростям, были найдены численно из системы (2.19) — (2.20). Обозначим их щ(г) и v,2{z) соответственно.

Вычисления были выполнены с помощью явной численной схемы второго порядка точности. Граничные условия (2.12) аппроксимировались краевым условием Дирихле на концах фиксированного отрезка. Длина интервала бралась достаточно большой для исключения отражения излучения, испускаемого кинком от концов этого интервала.

В первом эксперименте взятый в качестве начального условия для урав нения (2.9) 2-7Г-КИНК U\{z) был снабжен в начальный момент первой скоростью скольжения v = VQ. ЕГО эволюция показана на Рис. 2.5 А. Из рисунка видно, что скорость кинка сохраняется и излучение отсутствует. Затем в качестве начального условия был взят тот же самый 2-7г-кинк щ(г): но ему была придана начальная скорость v = 0.9 VQ. Интеграл энергии в этом случае W 12.9662 W\. Рис. 2.5, В и С, показывает, что кинк замедляется до его скорости скольжения VQ. При этом излучается "лишняя" энергия. Подобное явление было описано для модели фА — ф6 (см. главу 3).

Кинки в модели фА-ф6

Простейший джозефсоновский вихрь (флюксон) соответствует решению типа 2-7г-кинка нелокального двойного уравнения синус-Гордона. Из-за нелокальности среды движение такого вихря обычно сопровождается излучением. В данной главе показано, что для фиксированных X и А существует дискретный набор скоростей скольжения, при которых 2-7Г-КИНК движется без излучения. Похожее явление было отмечено ранее в теории нелинейных решеток.

Численное моделирование показывает важность скоростей скольжения 2-7Г-КИНКОВ, г о и соответствующих им значений энергий, Wo W\ ..., как характеристик рассматриваемой нелокальной среды. Выше представлены результаты численных экспериментов, когда (а) кинкообразный импульс, имея в начальный момент времени энергию, большую, чем Wo, излучает и замедляется до скорости скольжения г о, и (б) энергия кинкообразного импульса в начальный момент времени лежит между Wo и Hi, при этом в процессе движения он замедляется до скорости V\. Также приведен пример переключения между режимами распространения, скоростями vo и г і, при помощи включения диссипации. Комментируя "грубость" режимов безызлучательного движения кинков, следует отметить работы, посвященные устойчивости вложенных солитонов, см., например, [51] для обобщенного уравнения Кортевега-де Вриза или обобщенного уравнения Шредингера в [52]. Там, как и в задаче, рассмотренной выше, условие, что возмущение не уменьшает энергию (момент) системы, оказывается ключевым для устойчивости вложенных солитонов (при этом в [51, 52] используется термин "semistability").

Важно подчеркнуть существование значительных отличий нелокального двойного уравнения синус-Гордона как от двойного уравнения синус-Гордона (локальный предел), так и нелокального уравнения синус-Гордона. А именно в случае двойного уравнения синус-Гордона Л = 0 2-7г-кинк может иметь произвольную скорость Vі 1. В случае нелокального двойного уравнения синус-Гордона спектр скоростей кинка является дискретным; в случае нелокального уравнения синус-Гордона 2-7г-кинк может иметь только нулевую скорость. При этом существует множество кинков с более высоким топологическим зарядом (т.е. 4-7Г-, б7г-кинки и т.д.) и каждый из них имеет свою собственную ненулевую скорость распространения. В отличие от нелокального уравнения синус-Гордона, для нелокального двойного уравнения синус-Гордона явление дискретизации скоростей имеет место также и для 2-7Г-КИНКОВ, причем, профили 2-7Г-КИНКОВ, соответствующих разным скоростям, очень близки и отличаются асимптотикой "хвостов". Заметим также, что в модели, описываемой двойным нелокальным уравнением синус-Гордона, кинки с высоким топологическим зарядом тоже имеются, но их описание выходит за рамки настоящей диссертации.

Основные результаты главы 2 были опубликованы в работе [21]. Глава З Нелокальные уравнения Клейна-Гордона с полиномиальными нелинейностями Помимо теории джозефсоновских переходов, нелинейные уравнения типа уравнения Клейна-Гордона возникают в задачах теории твердого тела. В этом контексте уравнение Клейна-Гордона является непрерывным пределом для дискретной модели, описывающей цепочку атомов в некотором внешнем потенциале. Геше-точные модели такого типа оказываются важны для различных областей физики кристаллической решетки, описывающих возникновение дефектов различного рода в регулярной решеточной структуре. В частности, такие задачи возникают в теории дислокаций в кристаллической решетке, при описании структуры монослоев на поверхности вещества и фазовых переходов в диэлектриках, см., например книгу [53].

Переход от нелинейного уравнения Клейна-Гордона к его нелокальной модификации (1) происходит при учете дальнодействия между частицами, образующими цепочку. Одной из первых работ, систематически учитывающих дальнодействие между частицами цепочки, является работа [54]. В этой работе рассматривалась одномерная цепочечная модель с гамильтонианом

Здесь параметр М - усредненная масса частиц, ип описывает смещение n-й частицы, йп - ее скорость, д{) - закон взаимодействия между частицами цепочки, У {и) - нелинейный потенциал, зависящий от физической постановки задачи. В частности, в [54] подчеркивается, что при описании ферроэлектрика, возможно использование как косинусного потенциала, так и двухямного потенциала типа фА. Уравнение (1) получается путем предельного перехода от дискретной модели (3.1) к непрерывной модели. В дальнейшем исследование нелокальных задач с потенциалом фА было продолжено в работах группы П. Воафо [55-57]. Однако, как было отмечено позже (см. [58]), дискретность модели вносит более существенное изменение ее свойств, чем это было предсказано в вышеупомянутой серии работ. Опущенные Воафо и соавторами слагаемые отвечают за излучение кинками линейных волн, что приводит к замедлению и остановке кинков.

Данная глава посвящена решениям типа кинков уравнения (1) с полиномиальными нелинейностями. Простейшей нелинейностью такого вида является нелинейность U (и) = -и + и3. Эта модель в дальнейшем будет называться нелокальной моделью фА. Более сложная нелинейность, рассмотренная в работе, имеет вид U (и) = -м(1-м2)(1+7И2), где 7 параметр, причем 7 0. Эта модель в дальнейшем в работе фигурирует как нелокальная модель фА — ф6. Результаты, полученные для этих двух моделей существенно отличаются. В частности, в разделе 3.1 будет показано, что нелокальная модель фА не описывает неизлучающие движущиеся кинки. Это утверждение было получено ранее в [19]. Вместе с тем, имеется семейство новых решений типа уединенных волн с непрерывным спектром скоростей. Эти решения, однако, являются неустойчивыми. Раздел 3.2 посвящен нелокальной модели фА-ф6. Показано, что модель фА-ф6 допускает существование неизлучающих движущихся кинков, соответствующих дискретному набору скоростей. Раздел 3.3 содержит выводы и обсуждение.

Гипотеза 2 (уединенные волны)

Профили первого (толстая сплошная линия) и второго (тонкая сплошная линия) решений типа кинка и предельного решения (4.67) (пунктирная линия) для уравнения (4.65) при 7 = 5иі) = 0.6.

Ближайшими к действительной оси особыми точками в верхней комплексной полуплоскости являются полюсы

Здесь Н = —e2d4:/dz4:. Отметим, что особые точки Нй в (4.72) являются полюсами порядка п = 5 = —к,. Разложение (4.18) выполняется с С+(є) = є2Со, где Со - чисто мнимая. Следовательно, сро = 0 в -к2 -1 = 0, и имеет один положительный корень ко(є): такой что ко(є) І/є при є — 0. Согласно Гипотезе 2, можно ожидать существование бесконечной последовательности значений {єп}, таких что уравнение (4.70) имеет решение типа уединенной волны при є = єП: удовлетворяющих асимптотической формуле при п — оо.

Результаты численного счета указывают на справедливость Гипотезы 2. рис. 4.5 показывает значения а/(7гєп): стремящиеся к целым при больших значениях п. Профили трех уединенных волн, соответствующих точкам А, В, и С показаны на вставках сплошной линией вместе с предельной уединенной волной (4.71) (пунктирная линия). Расхождение быстро уменьшается при больших значениях п.

Решения типа уединенных волн уравнения (4.70) с г = 2.3. Значения а/(тгєп) показаны звездочками. Профили первых трех уединенных волн показаны на вставках сплошной линией, пунктирная линия соответствует предельной уединенной волне (4.71).

В данной главе было показано на выше приведенных характерных примерах, что бесконечная последовательность бегущих уединенных волн и кинков в волновых системах с резонансами связана с особыми точками в комплексной плоскости асимптотического решения ведущего порядка. Это простое и универсальное наблюдение показывает, почему бегущие уединенные волны и кинки обладают повышенной мобильностью в некоторых нелинейных системах с резонансами, а в других не обладают.

Основные результаты главы 4 были опубликованы в работе [22]. Заключение

В настоящей работе было исследовано нелинейное нелокальное уравнение Клейна-Гордона на примере нелинейных обобщений классических моделей, таких как уравнение синус-Гордона, уравнение двойного синус-Гордона, модели фА и фА — ф6 и других. В зависимости от дисперсионного члена и нелинейности одни модели допускают наличие вложенных солитонов, а другие - нет. В главах 2 и 3 представлены модели физических задач и описаны свойства их волновых решений. В этих моделях была обнаружена и детально исследована дискретизация скоростей кинков. Здесь возник вопрос об универсальности принципа дискретизации скоростей в нелинейных системах с резонансами. В результате были получены достаточные условия существования последовательности вложенных солитонов и в дальнейшем подтверждены рядом примеров.

В заключение перечислим основные результаты диссертационной работы: 1. Была рассмотрена модель слоистых джозефсоновских структур, для которой (а) электродинамика джозефсоновской структуры является нелокальной и (б) ток-фазовая зависимость представлена двумя синусоидальными гармо никами. Основным уравнением этой модели является нелокальное двойное урав нение синус-Гордона (2.11). Нелокальность представлена интегродифференциаль ным оператором с ядром Каца-Бейкера. Были изучены свойства вихрей в этой модели. Было показано, что при определенных фиксированных параметрах А и А уравнения (2.11) существует дискретный набор скоростей скольжения, при которых 2-7Г-КИНК, соответствующий простейшему джозефсоновскому вихрю, движется без излучения. Были проведены численные эксперименты, включающие также эксперименты с диссипацией и накачкой. Численное моделирование показало важность скоростей скольжения 2-7Г-КИНКОВ, г і г 2 ..., и соответствующих им значений энергий, W\ W2 ..., как характеристик рассматриваемой нелокальной среды.

Отличительной особенностью этой модели по сравнению с нелокальным уравнением синус-Гордона и двойным уравнением синус-Гордона (локальный предел)

Далее были изучены нелокальные модели фА и фА-ф6. Не локальность здесь также представлена интегродифференциальным оператором с ядром Каца-Бейке-ра. Для этих моделей было изучено существование бегущих неизлучающих решений типа (—1 -о- 1)-кинка. Основные результаты для этих моделей заключаются в следующем: (а) Непрерывный спектр скоростей кинков, существующий в локальной мо дели, исчезает при переходе к нелокальной модели. Спектр скоростей кинков в нелокальной модели является дискретным. Так, например, для нелокальной мо дели фА-ф6 существуют дискретный набор скоростей скольжения, отличных от нуля, а для нелокальной модели фА спектр возможных скоростей кинков включает только нулевую скорость. Это означает, что при 0 v 1 в случае нелокальной модели фА-ф6 имеется последовательность вложенных солитонов, а в случае нело кальной модели фА такой последовательности нет. (б) Численное моделирование динамики, описываемой уравнением (3.10) по казывает, что в случае нелокальной модели фА — ф6 неизлучающие бегущие кинки действительно существуют.

Для объяснения явления дискретизации скоростей были представлены Гипотеза 1 (для кинков) и Гипотеза 2 (для уединенных волн) вместе с нестрогими их доказательствами. Были приведены характерные примеры, включающие уравнения из глав 2 и 3, подтверждающие Гипотезы 1 и 2 и универсальность этого явления. Было показано, что бесконечная последовательность бегущих уединенных волн и кинков в волновых системах с резонансами связана с особыми точками в комплексной плоскости асимптотического решения ведущего порядка. Это простое наблюдение имеет универсальную природу. Оно показывает, почему бегущие уединенные волны и кинки обладают повышенной мобильностью в некоторых нелинейных системах с резонансами, а в других не обладают.

Стоит также отметить некоторые вопросы математического характера, исследование которых могло бы быть полезно для дальнейшего развития теории.

В модели, описываемой двойным нелокальным уравнением синус-Гордона, также имеются кинки с высоким топологическим зарядом (4,6...), но их описание выходит за рамки настоящей диссертации. В дальнейшем можно заняться исследованием их свойств.

Представляется интересным в дальнейшем рассмотреть обобщение принципа дискретизации скоростей на ряд более реалистичных моделей, т.е. моделей с добавлением членов диссипации и накачки. Методы, использованные в данной работе, могут быть применимы к таким моделям.

Приведенные численные аргументы, в пользу Гипотез 1 и 2, на взгляд автора, не оставляют сомнений в их справедливости. Вместе с тем на сегодняшний день автору неизвестны строгие доказательства Гипотез 1 и 2 (в диссертации приводятся лишь соображения эвристического характера). Хотелось бы придать этим соображениям математическую строгость.