Содержание к диссертации
Введение
1 Задача о бесконечно длинной мягкой оболочке . 26
1.1 Краевая и вариационная задачи 27
1.2 Обобщенная задача 35
1.3 Свойства операторов 39
1.4 Существование решения 47
1.5 Построение точных решений для некоторых модельных задач 53
2 Задача об осесимметричной мягкой оболочке . 61
2.1 Формулировка задачи 61
2.2 Обобщенная постановка задачи 64
2.3 Свойства операторов 67
2.4 Существование решения 71
3 Итерационные методы . 74
3.1 Задача о бесконечно длинной мягкой оболочке 74
3.2 Задача об осесимметричной мягкой оболочке 84
3.3 Сеточные аппроксимации задачи 95
4 Численная реализация итерационных методов . 99
4.1 Численные эксперименты для бесконечно длинной мягкой оболочки 100
4.2 Численные эксперименты для осесимметричной мягкой оболочки 113
Литература 117
- Обобщенная задача
- Обобщенная постановка задачи
- Задача об осесимметричной мягкой оболочке
- Численные эксперименты для осесимметричной мягкой оболочки
Введение к работе
Математическое моделирование является одним из наиболее эффективных способов решения широких классов задач в различных практических областях - механике, физике, экономике, биологии, медицине и т.д. Многие из этих задач описываются уравнениями и неравенствами с частными производными. В связи с этим особое внимание уделяется методам их решения. Поскольку возникающие здесь задачи сложны и, как правило, нелинейны, то для их решения необходимо использовать численные методы. Эти методы развиты к настоящему времени достаточно полно для линейных уравнений и вариационных неравенств, различные аспекты их освещены, например в [45], [58], [64], [68], [76] - [81].
Нелинейные уравнения и вариационные неравенства также давно являются объектами изучения. Эти уравнения и неравенства возникают во многих прикладных областях, одной из которых, является теория мягких оболочек. Решаемые здесь задачи весьма часто возникают в механике, медицине, при проектировании различного рода конструкций, изготовленных из тканевых или пленочных материалов (см., например, [1], [44], [48], [53], [57], [62], [63], [65], [67], [70], [73]-[75], [84], [98]).
До недавнего времени изучались, в основном, вариационные неравенства с сильно монотонными и максимально монотонными операторами в конечномерных гильбертовых пространствах. Методы же решения вариационных и квазивариационных неравенств с псевдомонотонными операторами в банаховых пространствах мало разработаны. Тем не менее, при математическом моделировании широких классов нелинейных задач механики сплошной среды, в частности, задач теории мягких оболочек, возникает потребность в решении именно таких вариационных неравенств.
Настоящая диссертация посвящена исследованию математических моделей стационарных задач теории мягких сетчатых оболочек при наличии препятствий, в том числе и невыпуклых, а также методов их численной реализации. Изучается два класса задач теории мягких сетчатых оболочек: одномерных задач, возникающих при моделировании бесконечно длинных оболочек и осесимметричных задач, возникающих при моделировании оболочек вращения.
Задачи данных классов описываются математически с помощью вариационных и квазивариационных неравенств с псевдомонотонными операторами в банаховых пространствах. При изучении рассматриваемых в работе задач широко используются методы теории псевдомонотонных операторов, нелинейного функционального анализа, выпуклого анализа, математического моделирования.
Остановимся вкратце на работах, близких к тематике диссертации.
Описанию задач теории мягких оболочек, построению приближенных методов их решения, анализу результатов численного моделирования посвящена многочисленная литература (см., например, [3] - [5], [44], [48], [73] - [75]) . В работе [49] предлагается математическая модель и доказывается теорема существования для одной одномерной нелинейной нестационарной задачи теории мягких оболочек. В [88] для одномерной задачи теории мягких оболочек без препятствия и при других условиях, чем в настоящей работе, на функцию, определяющую физические соотношения, получены теоремы существования.
Построению и исследованию математических моделей стационарных задач теории мягких сетчатых оболочек, соответствующих конечномерных аппроксимаций и итерационных методов их решения посвящены ра-боты [2], [6], І16Ц23], [34], [35], [54], [55].
Являясь продолжением исследований, проведенных в этих работах, настоящая диссертация посвящена построению и исследованию математических моделей стационарных задач теории мягких сетчатых оболочек при наличии препятствия, в том числе и невыпуклых, в виде вариационных и квазивариационных неравенств с псевдомонотонными операторами в банаховых пространствах, построению и исследованию приближенных методов решения, их численной реализации.
В работах [16] -[25] рассматривались вариационные неравенства второго рода с оператором, представимым в виде суммы монотонного и вполне непрерывного оператора (являющегося, конечно же, псевдомонотонным). В отличие от этих работ настоящей диссертации рассмотрены вариационные и квазивариационные неравенства второго рода с произвольным псевдомонотонным оператором.
Кроме того, допускается наличие препятствия, в том числе, невыпуклого, для ряда модельных задач об определении положения равновесия мягких оболочек удалось построить точное решение. Эти решения позволяют исследовать эффективность различных методов решения задач данного класса.
Диссертация состоит из введения и четырех глав.
В первой главе приводится постановка рассматриваемой задачи об определении положения равновесия бесконечно длинной мягкой оболочки, закрепленной по краям, находящейся под воздействием внешних сил и ограниченной в перемещениях препятствием. Математически задача сформулирована в виде квазивариационного неравенства в банаховом пространстве. Доказана теорема существования.
В § 1 формулируется поточечная постановка задачи и описывается переход от поточечной постановки к вариационной.
Рассматривается задача об определении положения равновесия растяжимой бесконечно длинной цилиндрической оболочки, закрепленной по краям, находящейся под воздействием поверхностных и массовых сил и ограниченной в перемещениях препятствием. Деформации и перемещения допускаются конечными. Рассматриваемый класс задач сводится к изучению деформаций в поперечном сечении оболочки.
В дальнейшем будем считать, что входящие в уравнение (0.3) функции обладают нужной гладкостью, а поверхностные нагрузки q и Ро действуют на оболочку с разных сторон.
Предположим, что в рассматриваемой декартовой системе координат поверхность препятствия задается в виде х% — P(#i), где F - непрерывно-дифференцируемая функция, определенная на всей вещественной оси, такая, что Р(0) 0, F(l) 0, т.е. оболочка находится над препятствием.
Указанные эксперименты подтвердили эффективность предложенного метода решения, задач теории мягких сетчатых оболочек
Выделим основные результаты работы.
1. Доказана разрешимость квазивариационных неравенств с псевдомонотонными операторами в банаховых пространствах, возникающих при описании задач об определении положения равновесия бесконечно длинных мягких сетчатых оболочек, ограниченных абсолютно жестким и абсолютно гладким препятствием. 2. Построены математические модели осесимметричных задач об определении положения равновесия мягких сетчатых оболочек вращения в виде вариационных неравенств с псевдомонотонными операторами в банаховых пространствах. Доказана разрешимость вариационных неравенств.
3. Предложены приближенные методы решения задач об определении положения равновесия бесконечно длинных мягких сетчатых оболочек и осесимметричных задач об определении положения равновесия мягких сетчатых оболочек вращения. Получены достаточные условия сходимости этих методов.
4. Построены точные решения для ряда модельных задач об определении положения равновесия бесконечно длинных мягких сетчатых оболочек. Разработан комплекс программ, реализующий рассмотренные методы. Проведены численные расчеты, подтвердившие эффективность предложенных алгоритмов.
Результаты диссертации докладывались на IX Всеросийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования"(п. Абрау-Дюрсо, 2001 г.), научной конференции "Актуальные проблемы математического моделирования и информатики"(г. Казань, 2002 г.), 4-м Всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (г. Казань, 2002 г.), весенней математической школе "Понтря-гинскис чтения - XIV" - "Современные методы теории краевых задач"(г. Воронеж, 2003 г.), 12-Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным системам (г. Владимир 2003 г.), Международной конференции "Ломоносов 2004"(Москва 2004г.), "Понт-рягинские чтения - XV" - "Современные методы теории краевых задач "(г. Воронеж, 2004 г.), международной конференции по вычислительной математике МКВМ -2004 (г. Новосибирск), 5-м Всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения"(г, Казань, 2004 г.), международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики"(г. Казань, 2004 г.), итоговой научной конференции Казанского государственного университета 2001-2005, научных семинарах кафедры вычислительной математики и опубликованы в работах [7] - [15], [27], [28], [37].
В этих работах результаты принадлежат авторам в равной степени.
Автор искренне благодарен Ильдару Бурхановичу Бадриеву, Олегу Анатольевичу Задворнову, Анатолию Дмитриевичу Ляшко за внимание и большую помощь в работе, а также всем участникам научного семинара кафедры вычислительной математики Казанского университета за полезные обсуждения и сотрудникам лаборатории математического моделирования Института информатики КГУ.
Обобщенная задача
Нелинейные уравнения и вариационные неравенства также давно являются объектами изучения. Эти уравнения и неравенства возникают во многих прикладных областях, одной из которых, является теория мягких оболочек. Решаемые здесь задачи весьма часто возникают в механике, медицине, при проектировании различного рода конструкций, изготовленных из тканевых или пленочных материалов (см., например, [1], [44], [48], [53], [57], [62], [63], [65], [67], [70], [73]-[75], [84], [98]).
До недавнего времени изучались, в основном, вариационные неравенства с сильно монотонными и максимально монотонными операторами в конечномерных гильбертовых пространствах. Методы же решения вариационных и квазивариационных неравенств с псевдомонотонными операторами в банаховых пространствах мало разработаны. Тем не менее, при математическом моделировании широких классов нелинейных задач механики сплошной среды, в частности, задач теории мягких оболочек, возникает потребность в решении именно таких вариационных неравенств.
Настоящая диссертация посвящена исследованию математических моделей стационарных задач теории мягких сетчатых оболочек при наличии препятствий, в том числе и невыпуклых, а также методов их численной реализации. Изучается два класса задач теории мягких сетчатых оболочек: одномерных задач, возникающих при моделировании бесконечно длинных оболочек и осесимметричных задач, возникающих при моделировании оболочек вращения.
Задачи данных классов описываются математически с помощью вариационных и квазивариационных неравенств с псевдомонотонными операторами в банаховых пространствах. При изучении рассматриваемых в работе задач широко используются методы теории псевдомонотонных операторов, нелинейного функционального анализа, выпуклого анализа, математического моделирования.
Описанию задач теории мягких оболочек, построению приближенных методов их решения, анализу результатов численного моделирования посвящена многочисленная литература (см., например, [3] - [5], [44], [48], [73] - [75]) . В работе [49] предлагается математическая модель и доказывается теорема существования для одной одномерной нелинейной нестационарной задачи теории мягких оболочек. В [88] для одномерной задачи теории мягких оболочек без препятствия и при других условиях, чем в настоящей работе, на функцию, определяющую физические соотношения, получены теоремы существования.
Построению и исследованию математических моделей стационарных задач теории мягких сетчатых оболочек, соответствующих конечномерных аппроксимаций и итерационных методов их решения посвящены ра-боты [2], [6], І16Ц23], [34], [35], [54], [55].
Являясь продолжением исследований, проведенных в этих работах, настоящая диссертация посвящена построению и исследованию математических моделей стационарных задач теории мягких сетчатых оболочек при наличии препятствия, в том числе и невыпуклых, в виде вариационных и квазивариационных неравенств с псевдомонотонными операторами в банаховых пространствах, построению и исследованию приближенных методов решения, их численной реализации.
В работах [16] -[25] рассматривались вариационные неравенства второго рода с оператором, представимым в виде суммы монотонного и вполне непрерывного оператора (являющегося, конечно же, псевдомонотонным). В отличие от этих работ настоящей диссертации рассмотрены вариационные и квазивариационные неравенства второго рода с произвольным псевдомонотонным оператором.
Кроме того, допускается наличие препятствия, в том числе, невыпуклого, для ряда модельных задач об определении положения равновесия мягких оболочек удалось построить точное решение. Эти решения позволяют исследовать эффективность различных методов решения задач данного класса.
В первой главе приводится постановка рассматриваемой задачи об определении положения равновесия бесконечно длинной мягкой оболочки, закрепленной по краям, находящейся под воздействием внешних сил и ограниченной в перемещениях препятствием. Математически задача сформулирована в виде квазивариационного неравенства в банаховом пространстве. Доказана теорема существования.
Рассматривается задача об определении положения равновесия растяжимой бесконечно длинной цилиндрической оболочки, закрепленной по краям, находящейся под воздействием поверхностных и массовых сил и ограниченной в перемещениях препятствием. Деформации и перемещения допускаются конечными. Рассматриваемый класс задач сводится к изучению деформаций в поперечном сечении оболочки.
Обобщенная постановка задачи
Во - первых исследовалось поведение погрешности между точным и приближенным решением в зависимости от числа узлов сетки при конечномерной аппроксимации, от значений итерационного параметра и т.д.
Во - вторых, эмпирическим путем определялись оптимальные итерационные параметры. При этом варьировалось количество узлов сетки.
Проведя анализ экспериментов, мы выявили следующие закономерности: - как и ожидалось, погрешность между точным и приближенным решением уменьшается с увеличением количества узлов сетки. При этом погрешность зависит не только от количества узлов сетки, но и от расстояния между границей ко инцидентного множества и ближайшей точки сетки вне его; - оптимальное значение итерационных параметров следует выбирать близким к критическому значению (т.е значению при котором итерационный процесс перестает сходиться). В 2 главы 4 приведены вычислительные эксперименты для ряда модельных задач определения положения равновесия мягкой сетчатой оболочки вращения, аналогичные проведенным выше.
Указанные эксперименты подтвердили эффективность предложенного метода решения, задач теории мягких сетчатых оболочек
Выделим основные результаты работы. 1. Доказана разрешимость квазивариационных неравенств с псевдомонотонными операторами в банаховых пространствах, возникающих при описании задач об определении положения равновесия бесконечно длинных мягких сетчатых оболочек, ограниченных абсолютно жестким и абсолютно гладким препятствием. 2. Построены математические модели осесимметричных задач об определении положения равновесия мягких сетчатых оболочек вращения в виде вариационных неравенств с псевдомонотонными операторами в банаховых пространствах. Доказана разрешимость вариационных неравенств. 3. Предложены приближенные методы решения задач об определении положения равновесия бесконечно длинных мягких сетчатых оболочек и осесимметричных задач об определении положения равновесия мягких сетчатых оболочек вращения. Получены достаточные условия сходимости этих методов. 4. Построены точные решения для ряда модельных задач об определении положения равновесия бесконечно длинных мягких сетчатых оболочек. Разработан комплекс программ, реализующий рассмотренные методы. Проведены численные расчеты, подтвердившие эффективность предложенных алгоритмов.
Результаты диссертации докладывались на IX Всеросийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования"(п. Абрау-Дюрсо, 2001 г.), научной конференции "Актуальные проблемы математического моделирования и информатики"(г. Казань, 2002 г.), 4-м Всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (г. Казань, 2002 г.), весенней математической школе "Понтря-гинскис чтения - XIV" - "Современные методы теории краевых задач"(г. Воронеж, 2003 г.), 12-Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным системам (г. Владимир 2003 г.), Международной конференции "Ломоносов 2004"(Москва 2004г.), "Понт-рягинские чтения - XV" - "Современные методы теории краевых задач "(г. Воронеж, 2004 г.), международной конференции по вычислительной математике МКВМ -2004 (г. Новосибирск), 5-м Всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения"(г, Казань, 2004 г.), международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики"(г. Казань, 2004 г.), итоговой научной конференции Казанского государственного университета 2001-2005, научных семинарах кафедры вычислительной математики и опубликованы в работах [7] - [15], [27], [28], [37].
В этих работах результаты принадлежат авторам в равной степени. Автор искренне благодарен Ильдару Бурхановичу Бадриеву, Олегу Анатольевичу Задворнову, Анатолию Дмитриевичу Ляшко за внимание и большую помощь в работе, а также всем участникам научного семинара кафедры вычислительной математики Казанского университета за полезные обсуждения и сотрудникам лаборатории математического моделирования Института информатики КГУ.
Задача об осесимметричной мягкой оболочке
При проведении второй группы экспериментов было показано, что количество итераций уменьшается с ростом значения итерационного параметра из процесса (3.30) (рис. 4.5). Используя, что погрешность между точным и приближенным решением не изменяется (рис. 4.3), можно сделать вывод, что для минимизации объема вычислений, значение итерационного параметра т, следует выбирать близким к критическому (при котором итерационный процесс перестает сходиться).
В результате анализа численных экспериментов по исследованию зависимости количества итераций от числа узлов сетки видно, что количество итераций в методе (3.30), практически не изменяется (см. рис. 4.6) при изменении числа узлов сетки.
Мы провели также эксперименты, когда профиль препятствия представляет из себя окружность заданного радиуса с центром, находящимся на срединном перпендикуляре к отрезку [0,1].
Погрешность приближенного решения уменьшается с увеличением количества узлов сетки. При этом она зависит не только от числа узлов сетки, но и от расстояния между границей коинцидентного множества и ближайшей точкой сетки вне его. Поэтому при численном решении задач, вопросу аппроксимации границы контактной области необходимо уделять особое внимание.
Отдельно рассмотрен случай, когда функция, описывающая препятствие, вогнута (см. рис. 4.13). В этом случае множество допустимых конфигураций не выпукло и задача формулируется в виде квазивариационного неравенства (1.23).
В данном параграфе приводятся численные результаты, полученные приближенными методами, для рассматриваемых во второй главе задач, в случае гильбертова пространства (р = 2). Нахождение приближенного решения задачи осуществлялось на основе ее конечномерной аппроксимации методом конечных элементов с последующим применением предложенных в третьей главе итерационных методов. Построение и исследование сходимости конечномерных аппроксимаций для вариационных неравенств второго рода с псевдомонотонными операторами в банаховых пространствах, возникающих при математическом описании задач об определении положения равновесия мягких оболочек, описано в 3.3.
На рисунке представлен график образующей деформированной оболочки. На рисунке 4.19 представлена зависимость погрешности численного решения от количества узлов сетки, значения этого параметра варьировались от 10 до 1000 . Как и в предыдущем параграфе, нас заинтересовала зависимость погрешности численного решения и скорости сходимости итерационного процесса (3.30) от значения т. Данные зависимости представлены на рисунках 4.20, 4.21.
Таким образом, из проведенных экспериментов можно сделать вывод, что итерационный процесс, предложеный в 3-й главе, можно применить и для решения задач об определении положения равновесия мягкой сетчатой оболочки вращения при наличии давления. При этом погрешность численного решения уменьшается с увеличением числа узлов сетки. Оптимальное значение итерационного параметра г следует выбирать близким к критическому. Количество итераций внешнего итерационного процесса не увеличивается с увеличением числа узлов сетки.
Численные эксперименты для осесимметричной мягкой оболочки
В данной главе приведены результаты численных экспериментов для задач об определении положения равновесия мягких сетчатых оболочек, закрепленных по краям, находящихся под воздействием массовой и поверхностной нагрузки, постановки которых рассматривались в главах 1,2.
Изложенный в предыдущей главе алгоритм решения задач реализован в виде комплекса программ в среде MATLAB. Программа выполнена в соответствии с модульным принципом, что позволило осуществить раздельное программирование, отладку и тестирование составных частей пакета программ, а также простую модернизацию и настройку пакета на решение задач различного уровня сложности.
При решении задач в качестве начального приближения выбирались функции, соответствующие положениям недеформированной оболочки. Нелинейные краевые задачи решаются методом (3.30), (3.31). Внутренний и внешний итерационный процесс прерывался, соответственно, когда относительная погрешность значений на двух соседних итерациях не превышала заданного значения параметра критерия выхода из итерационного процесса (во внешнем процессе - Q, ВО внутреннем -Єї).
В первой главе для ряда модельных задач, как в случае выпуклого препятствия, так и в случае невыпуклого препятствия, при помощи полуобратного метода найдены точные решения, что позволило оценить эффективность приближенных методов решения задач.
В данном параграфе приводятся численные результаты, полученные приближенными методами для рассматриваемых в 1.4,1.5 главы 1 задач, в случае гильбертова пространства (р = 2).
Нахождение приближенного решения задачи осуществлялось на основе ее конечномерной аппроксимации, в соответствии с описанием в 3.3, с последующим применением предложенных в третьей главе итерационных методов.
Задача численно исследовалась при следующих значениях параметров1: I — 1, сетка - равномерная с шагом h, г — 1.5, єо = 0.0001, количество узлов сетки п = 119, qo = 0.08, высота, на котором находится препятствие Н — —0.1, При этом на первых шагах процесса (3.30) нам не требуется высокой точности при реализации процесса (3.31). Поэтому значение критерия выхода из внутреннего итерационного процесса полагалось равным Єї — Єо/к2, где к - номер итерации.
Анализируя первую группу экспериментов, из рисунка 4.2 мы видим, что погрешность численного решения уменьшается с увеличением количества узлов сетки. При этом погрешность зависит не только от количества узлов сетки, но и от расстояния между границей коинцидентного множества и ближайшей точкой сетки вне его, это расстояние обозначено на рисунке линией с кружками (для данного графика проведено масштабирование в отношении 1:100).
