Электронная библиотека диссертаций и авторефератов России
dslib.net
Библиотека диссертаций
Навигация
Каталог диссертаций России
Англоязычные диссертации
Диссертации бесплатно
Предстоящие защиты
Рецензии на автореферат
Отчисления авторам
Мой кабинет
Заказы: забрать, оплатить
Мой личный счет
Мой профиль
Мой авторский профиль
Подписки на рассылки



расширенный поиск

Численное моделирование динамики диффузии нейтронов в ядерном реакторе Васильев Александр Олегович

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Васильев Александр Олегович. Численное моделирование динамики диффузии нейтронов в ядерном реакторе: диссертация ... кандидата Физико-математических наук: 05.13.18 / Васильев Александр Олегович;[Место защиты: ФГАОУВО Северо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова], 2017.- 144 с.

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Точечные модели динамики охраняемой популяции на билокальном ареале 17

1.1 Введение 17

1.2 Постановка задачи 17

1.3 Исследование модели при отсутствии конкуренции на неохраняемой части ареала 19

1.4 Исследование модели при отсутствии конкуренции на охраняемой части ареала 33

1.5 Модель динамики охраняемой популяции с конкуренцией на билокальном ареале 42

1.6 Модель непрерывного пополнения неохраняемой части популяции 54

1.7 Эколого-экономическая модель добычи популяции при наличии охраняемой территории 59

1.8 Выводы 65

Глава 2. Распределенная модель динамики охраняемой популяции на билокальном ареале с учетом перекрестной диффузии 66

2.1 Введение 66

2.2 Постановка задачи 67

2.3 Численное решение 69

2.4 Анализ результатов численного решения задачи 71

2.5 Выводы 87

Глава 3. Двумерная модель динамики охраняемой популяции на билокальном ареале с учетом обобщенного ресурса 89

3.1 Введение 89

3.2 Постановка задачи 90

3.3 Численное решение 91

3.4 Анализ результатов численного решения задачи в двумерной постановке 93

3.5 Выводы 125

Заключение 127

Литература

Введение к работе

Актуальность работы. Стремительное развитие атомной энергетики во второй половине прошлого века стимулировало разработку эффективных методов математического моделирования переноса нейтронов. Математические модели играют важную роль в разработке эффективных ядерных реакторов, обеспечивают их безотказную работу и оценивают риск различных неисправностей и аварий. Ряд крупных аварий на атомных электростанциях в мире серьёзно отразились на перспективах ядерной энергетики в целом. Новые стандарты безопасности поставили перед инженерами и учеными важные цели о повышении качества моделирования физических процессов в ядерном реакторе. В связи с этим, разработка новых методов и алгоритмов расчета реакторов получила дополнительное ускорение.

Физические процессы, происходящие в ядерном реакторе, зависят от распределения нейтронного потока, математическое описание которого основывается на уравнении переноса нейтронов. В общем виде это уравнение имеет интегро-дифференциальную форму, а искомое распределение потока нейтронов зависит от времени, энергии, пространственных и угловых переменных. Сложные уравнения, составляющие теорию переноса нейтронов, можно упростить до хорошо изученных диффузионных уравнений, которые обеспечивают достаточную для практического использования точность. Наибольшее распространение для анализа реакторов получило многогрупповое диффузионное приближение, которое используется в большинстве инженерных расчетных программ.

Изучение спектральных задач представляет большой интерес для безопасности реакторов и исследования динамических процессов. Для анализа стационарного распределения нейтронного потока внутри активной зоны реактора и критического состояния, который характеризуется локальным выравниванием интенсивности поглощения и рождения нейтронов, необходимо получить доминирующие собственные значения и соответствующие им собственные функции.

Для повышения точности расчета нейтронного потока широкое примене-

ние нашли нодальные методы, которые позволяют проводить расчеты на достаточно грубой сетке. Нодальные методы в ряде случаев можно связать со специальными вариантами конечно-элементной аппроксимации. Следует отметить, что более уместно использование стандартных процедур повышения точности конечно-элементного приближения при численном решении краевых задач, связанное со сгущением расчетной сетки и использованием конечных элементов более высокой степени.

При моделировании динамики нейтронно-физических процессов используются стандартные методы приближенного решения нестационарных задач. Отметим специальный класс методов для моделирования нестационарного переноса нейтронов в диффузионном групповом приближении — пространственно-временная факторизация и квазистатический метод.

Для безусловно устойчивых схем выбор шага по времени обусловлен только точностью приближенного решения. Проблема контроля шага по времени относительно хорошо проработана при приближенном решении задачи Коши для систем дифференциальных уравнений.

В силу сложности математической модели, применения больших расчетных сеток необходимо использовать современные многопроцессорные вычислительные системы. Успех достигается применением технологии расщепления при рассмотрении нестационарных процессов, итерационных методов решения систем алгебраических уравнений. Применительно к спектральным задачам для задач диффузии нейтронов широко используются методы декомпозиции области.

Существующие инженерные программы разработаны, как правило, под один конкретный тип реакторной установки. Тенденция разработки программ применительно к конкретному типу реакторных установок сохраняется до настоящего времени. Используемые в этих программах подходы и приближения применимы для определенного типа установок и, как правило, заложены в саму структуру алгоритмов. Поэтому необходимо разрабатывать универсальные программы для расчетов реакторных установок различных типов без изменения структуры программы.

Целью диссертационной работы является разработка новых вычислительных алгоритмов и современного программного обеспечения для численного решения краевых задач для системы уравнений переноса нейтронов в многогрупповом диффузионном приближении в ядерном реакторе. Для достижения поставленной цели сформулированы следующие задачи исследования:

Разработка вычислительных алгоритмов решения динамических задач

диффузии нейтронов; Создание современного, универсального программного обеспечения с

поддержкой параллельных вычислений; Широкомасштабное тестирование вычислительных алгоритмов и программного обеспечения. Научная новизна и практическая значимость. В диссертационной работе получены следующие научные результаты:

Сформулирована новая спектральная задача (-спектральная задача), которая связывается с самосопряженной частью оператора поглощения-производства нейтронов, выделена -спектральная задача, которая характеризует динамическое нейтронное поле ядерного реактора на асимптотической стадии при больших временах — регулярный режим ядерного реактора, дано численное решение двумерных и трехмерных спектральных задач диффузии нейтронов в ядерном реакторе; Проведено сравнительное исследование классических схем первого и второго порядка аппроксимации по времени и явно-неявной разностной схемы для моделирования динамических процессов диффузии нейтронов в ядерном реакторе; Разработан алгоритм автоматического выбора шага по времени при приближенном решении краевых задач для параболических уравнений, продемонстрирована его работоспособность при решении нестационарных задач диффузии нейтронов. Результаты, изложенные в диссертации, имеют практическое значение для построения и использования эффективных вычислительных алгоритмов

и прикладного программного обеспечения для приближенного решения задач диффузии нейтронов в многогрупповом диффузионном приближении для ядерных реакторов различных конструкций.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

IV Всероссийская научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития северных территорий Российской Федерации», Якутск, 2015; 10th International Conference on Large-Scale Scientifc Computations,

Sozopol, Bulgaria, 2015; III Международная конференция «Суперкомпьютерные технологии математического моделирования», Москва, 2016; Sixth Conference on Numerical Analysis and Applications, Lozenetz,

Bulgaria, 2016; Eighth Conference of the Euro-American Consortium for Promoting the Application of Mathematics in Technical and Natural Sciences, Albena, Bulgaria, 2016; VI Международная конференция «Проблемы математической физики

и математическое моделирование», Москва, 2017; 11th International Conference on Large-Scale Scientifc Computations,

Sozopol, Bulgaria, 2017. Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 7 печатных работах, из них 7 статьей в рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК.

Личный вклад автора. Отбор математических моделей для вычислительных экспериментов, разработка вычислительных алгоритмов и их программная реализация, постановка тестовых задач, оценка достоверности полученных результатов, а также формулировка результатов, выносимых на защиту, проведены автором лично. Основные публикации по теме диссертации подготовлены автором совместно с научным руководителем, другие соавторы (В.Ф. Стрижов — ИБРАЭ РАН, А.В. Аввакумов — НИЦ "Курчатовский

институт") привлекались для выбора практически значимых задач и для содержательной интерпретации результатов расчетов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Диссертационная работа содержит 74 рисунка и 19 таблиц. Общий объем диссертационной работы составляет 146 страниц.

Исследование модели при отсутствии конкуренции на неохраняемой части ареала

Здесь при увеличении Ъ две особые точки - седло и устойчивый узел стягиваются в одну - седло-узел, а затем она исчезает (бифуркация типа «складка» [9,70]) (рис. 1.8-1.13). Бифуркация возникает только при отрицательном обобщенном коэффициенте прироста ті — di — h (с учетом обмена между различными частями ареала и плановой добычи) популяции на неохраняемой части ареала. Это возможно, если а) коэффициент прироста ті 0; б) завышен уровень плановой охоты; в) велик обмен особями между охраняемой и неохраняемой частями ареала из-за того, что доля охраняемой территории в ареале недостаточна. Бифуркационным параметром является величина нелимитированной охоты на неохраняемой части ареала. Кроме того, из геометрических представлений возникновения Рис. 1.8. Случай m1 - d1 - h 0,m2 - d2 0, m1 = 0.2, m2 = 0.4, d1 = 0.3, d2 = 0.2, c1 = 0,c2 = 0.2, h = 0.05, b = 0.3, (0, 1) – седло, (2,2) – устойчивый узел. нет особых точек. особых точек в первой четверти можно сделать вывод, что нелимитиро-ванная охота на охраняемой территории имеет такое же влияние, как и на неохраняемой и не приводит к качественным изменениям в фазовых портретах системы.

Пусть m1-d1-h 0,m2-d2 0. Здесь, как и в предыдущем случае, имеет место бифуркация, только нет передвижения второй особой точки -– седла из второй четверти в первую. Тогда в первой четверти существуют седло и устойчивый узел, если [(m1 - d1 - h)(m2 - d2) - d1d2]2 b - , 4(m1 - d1 - h)d2c2 седло-узел, если [(m1 - d1 - h)(m2 - d2) - d1d2]2 b=- , 4(m1 - d1 - h)d2c2 и нет особых точек, если выполняется условие (1.12). 5. Случаи равенства нулю разностей m1 - d1 - h и m2 - d2. Если m1 - d1 - h = 0, то при db1 m2c-2 d2 в первой четверти есть особая точка с координатами Ь Vfl2 — d,2 x=d1d2 d1 - c2 ,y=d1 являющаяся седлом. При db1 m2c-2 d2 особых точек в первой четверти нет. Если m2 - d2 = 0, то при m1 - d1 - h 0 имеем одну особую точку седло. Если же m1 -d1 -h 0, то при b -4(m1-d21dd12-h)c2 в первой четверти 4(m1-d1-h)c2 d21d2 c2b b m2 -d2 b седло и устойчивый узел, при b = - d21d2 – седло-узел, а особых точек нет при b -4(m1-d1dd12-h)c2 . Наконец, при m1 - d1 - h = 0, m2 - d2 = 0 получаем седло в точке c2b2 b X = 2 ,y = 2 ,y= . d1d2 d1

Исследуем случаи 3 и 4, когда система дифференциальных уравнений описывает развитие популяции на ареале, разделенном на две части при отсутствии на охраняемой территории внутривидовой конкуренции.

Система (1.1) принимает вид: dd xt = m1x + d1(y - x) - c1x2 - hx - b, (1.14) dd yt = m2y + d2(x - y). Особые точки данной системы находятся как точки пересечения параболы и прямой: 1 2 d2x y= [c1x -(m1 -d1 - h)x-b],y=- , (1.15) d1 m2 -d2 [(mi — d\ — К){ТГІ2 — d i) — d\do\ жі,2 = о— r 2ci(m2 - d2) [ЫЫ — d\ — h)(m2 — d2) — б?1бЫ2 — 4ci6(m2 — d2)2 ± , (1.16) 2СЦШ2 — «2) 1,2 2/1,2 = V [ и определяются как решения уравнения относительно x: m2 -d2 В случае 3 (b = 0) имеем особые точки x1 =0; y1 = 0; [(m1-d1-h)(m2-d2)-d1d2] d2[(m1-d1-h)(m2-d2)-d1d2] x2 = ;y2 =- . c1(m2 -d2) c1(m2 -d2)2 Поскольку из смысла задачи особые точки должны находиться в первой четверти фазовой плоскости, то вторая особая точка существует при следующих ограничениях на коэффициенты системы: (m1 - d1 - h)(m2 -d2) - d1d2 0,m2 - d2 0, причем она совпадает с началом координат при (m1 - d1 - h)(m2 - d2) - d1d2 = 0. Типы особых точек системы определяются по виду корней характеристического уравнения линеаризованной системы для (1.14) при 6 = 0. Тогда: - одна особая точка (0, 0) существует при выполнении одного из набора условий: (т\ — d\ — h)(rri2 — d i) — d\d2 0,Ш2 — d i 0 (устойчивый узел); (ті — di — h)(rri2 — d ) — did2 0,Ш2 — d i 0 или ni2 — d2 = 0 (седло); (mi — di — h)(rri2 — d2) — did2 0,ni2 — 2 0 (неустойчивый узел); (ті — di — h)(rri2 — d2) — did2 = 0 (седло-узел); - две особые точки существуют при следующих условиях: (mi — di — h)(rri2 — d2) — did2 0, vii2 — G?2 0 (седло в точке (0,0) и устойчивый узел в точке (Х2, 2/2)).

Действительно, характеристическое уравнение в точке (#2? 2/2) для системы (1.14) при 6 = 0 имеет вид: 2 2did2 л — ((—mi + ai + h) -\ + 7ТІ2 — сыА-Ь 7ТІ2 — «2 +(—mi + di + h)(rri2 — d2) — did2 = 0. Исследуя знаки корней уравнения: (-mi + d\ + h) + mo — rfo H Lr Al,2 = ± Z . / 2 A/ ((-mi + rfi + /i) + mo — G?2 H H" ) — 4[(mi —d\ — /i)(mo-rfo) — rfirfol ±— , 2 определяем вид второй особой точки. Выражение 2did2 (—ті + di + h) + Ш2 — G?2 + m2 -d2 меньше нуля, поскольку приводится к дроби -[(m1 - d1 - h)(m2 - d2) - d1d2] + (m2 - d2)2 + d1d2 m2 -d2 у которой, в силу условий (m1 -d1 -h)(m2 -d2)-d1d2 0,m2 -d2 0, числитель больше нуля, а знаменатель – меньше. Корень же из дискриминанта меньше рассмотренного выражения, поэтому оба корня характеристического уравнения действительны и отрицательны. Следовательно, вторая особая точка представляет собой устойчивый узел.

Характерные фазовые портреты расположения траекторий системы (1.14) в случае 3 приведены на рис. 1.14-1.18. На рисунках видно, что при наличии устойчивого узла в начале координат обе части популяции вымирают, в случаях седла, седла-узла и неустойчивого узла имеет место неограниченный рост плотностей субпопуляций, причем плотность охраняемой части популяции может вначале несколько уменьшаться. При существовании одновременно седла и устойчивого узла происходит стабилизация плотностей обеих субпопуляций за счет уменьшения плотности неохраняемой части популяции и роста плотности охраняемой части. Таким образом, во избежание вымирания всей популяции при ведении плановой ее добычи, необходимо добиться, чтобы коэффициент прироста плотности в охраняемой части популяции, даже с учетом обмена с неохраняемой территорией, был положительным. Стабилизация плотностей субпопуляций будет происходить на тем более высоком уровне, чем будет меньше плановая добыча неохраняемой части популяции.

Рассмотрим теперь случай 4. Здесь в охраняемой субпопуляции по-прежнему нет конкуренции за ресурсы и территорию, а в неохраняемой части популяции, кроме планового промысла, ведется и нелимитированный. Особые точки системы являются точками пересечения параболы и прямой (1.15). Определим точки касания параболы и прямой, приравнивая производные от функций, задающих параболу и прямую:

Модель непрерывного пополнения неохраняемой части популяции

Естественной средой обитания популяций являются ограниченные территории с различными характеристиками в разных их частях. Возникает необходимость учета перемещения и пространственного распределения особей между разными частями ареала. Для описания эволюции биологических видов при неравномерном распределении популяции на ареале применяется аппарат дифференциальных уравнений в частных производных [51, 57, 74,94, 156]. В этом случае параболический дифференциальный оператор отражает наличие в системе процессов диффузионного переноса, а правые части точечных моделей являются возмущающими функциями [13, 89].

Модели динамики популяции с одной пространственной переменной строятся, когда размерности ареала по ширине и длине сильно отличаются. В природе примерами протяженных в одном направлении ареалов могут служить реки, их прибрежные зоны, хребты, ущелья и т.п. Возрастание антропогенного воздействия на природную среду может привести к разделению ареала обитания популяции на части экологическими барьерами -трубопроводами, линиями электропередач, дорогами, границами охраняемых территорий.

Модели взаимодействия частей охраняемой популяции на билокаль-ном ареале, описываемые уравнением диффузии, ранее не исследовались.

Пусть линейный ареал популяции разбивается под влиянием некоторых условий на две части. В математической модели такой ареал можно представить в виде отрезка прямой. В этом случае модель с одной пространственной переменной х Є Vt = [0,/] имеет вид: т = іг (si (u,v)- r-) — Рмг (и г) + f\ (u,v), (2.1) at от "- ох Гіот ох ox A\ 7 / OX r fll ox y / at от I ox r L ox ox L

Здесь u(x,t) и v(x,t) - плотности популяции, разделенной на две части -неохраняемую и охраняемую, соответственно. Миграционные потоки описываются слагаемыми Єі(и, г ), 2( 5v) и Pi, Vi. Диффузионные коэффициенты i(u,v) и S2{u,v) являются положительными коэффициентами, зависящими от плотностей популяции [13]: i(u,v) = ац + ai2q(u,v), і = 1, 2. (2.2) Здесь скп, скі2, CK2i, СК22 даются матрицами второго порядка с неотрицательными элементами, случай линейной диффузии получается при нулевых «12, СЇ22. Функция q(u,v) описывает конкурентное взаимодействие разных частей популяции за ресурс. В качестве q(u,v) для близкородственных популяций берется функция q = uv [19]. Конкуренция за ресурс увеличивает рассеивание особей по ареалу [19]. Это также связано с эффектом Олли, согласно которому, скопление особей усиливает конкуренцию между ними за ресурсы и жизненное пространство, хотя и приводит к повышению способности группы в целом к выживанию.

Отсюда вытекает, что для развития популяции лимитирующими факторами являются как «перенаселение», так и «недоселенность» [13].

Учет миграции одной части популяции, вызванной неравномерностью распределения другой части, описывается слагаемыми с параметрами р\ и Р2. В системе (2.1) параметры, определяющие диффузию и направленную миграцию, являются скалярными величинами.

Естественный прирост плотности популяций определяется функциями /і и /2, введенными в первой главе: /і (и, v) = rri\u + d\{v — и) — с\и — h\u — Ъ\, (2.3) j i{u v) = ni iv + &i{u — v) — OiV . Здесь гп\ и vii2 - коэффициенты прироста популяции вне охраняемой территории и внутри ее; Сі, С2 - коэффициенты конкуренции внутри популяции на охраняемой территории и вне ее; d\ и d i - коэффициенты обмена особями между охраняемой территорией и остальной частью ареала популяции.

В первой главе слагаемое h\u интерпретируется как величина плановой добычи популяции, а слагаемое Ъ\ - как величина нелимитирован-ной добычи. Коэффициенты mi и 2 – произвольного знака или нули, все остальные коэффициенты неотрицательны. Начальные условия для одномерной задачи записываются следующим образом: и(х, 0) = и (ж), v(x, 0) = v (х). (2.4) Без ограничений общности выберем U (х) = (х — 1\){І2 — х), V (х) = (х — fa)(U — х)і где h,l2,h,h [О, I]. На границах ареала записываются условия Дирихле: u(0,t) = u(l, t) = 0, г (0, t)=v(l,t) = 0. (2.5) Основной задачей в данной главе является исследование динамики решений системы (2.1) при различных начальных распределениях частей популяции и различных значениях параметров системы. При численных расчетах значения параметров системы выбирались с учетом условия пара-боличности системы [62,63].

Численное решение нелинейных дифференциальных уравнений при заданных граничных условиях можно строить с использованием вариационных или сеточных методов. При этом используются различные методы аппроксимации непрерывной сеточной функции и дискретизация дифференциальных операторов с последующим сведением решения краевой задачи для дифференциальных уравнений к решению системы нелинейных уравнений [88,90,91].

Для приближенного решения задачи (2.1-2.5) проводится стандартная аппроксимация по времени и пространству [24]. На отрезке Q = [0,/] вводится равномерная сетка Г = {ХІ = ih/i = 0,..., nl, h = l/nl}. По времени t Є [0,T] вводится равномерная сетка сит = {tj = jr,j = 0, ...,п2,т = Т/п2} с шагом г = const. В узлах сетки (xi,tj) функции u(x,t) и v(x,t) аппроксимируем сеточными функциями: y(xi,tj) = yj, i = 0,...,nl, j = 0, ...,n2, (2.6) v(xi,tj) = vj, i = 0,...,nl, j = 0, ...,n2.

Анализ результатов численного решения задачи

Диффузионные модели широко используются для изучения эффектов расселения по ареалу в динамике популяции, но часто ареал считается однородным, то есть в моделях не отражается наличие благоприятных и неблагоприятных зон обитания. Если ареал является пространственно неоднородным, то популяция будет дополнительно реагировать на качество среды обитания.

Модели, учитывающие неоднородность ареала, строятся путем добавления слагаемого, описывающего ресурс, в диффузионные модели изменения плотности популяции в ограниченной области [19, 20, 113]. Ресурсный член принимается кратным градиенту скорости роста популяции и описывает направленное движение популяции относительно градиента качества среды обитания. Эффекты направленной миграции, вызванные неоднородностью ареала, во многом зависят от граничных условий [113].

Рассматривается взаимодействие частей популяции на билокальном ареале, особенностью которого является наличие обобщенного ресурса. Математическая модель представляет собой систему (2.1), учитывающую миграционные потоки, вызванные неравномерностью распределения частей популяции, дополненную функцией обобщенного ресурса: I -# = V(i(ii,t )Vii — p\u\7v — q\u\7r) + fi(u,v), (3.1) -зг = Vfeofw, v) Vf — pov\/u — qov Vr) + f fit, v). /і (u, v) = rri\u + d\{v — u) — c\u — h\u — b\, (3.2) /2( 5 v) = ni iv + &i{u — v) — OiV . Здесь u(x, y, t) и v(x, y, t) - плотности популяции, разделенной на две части - неохраняемую и охраняемую, соответственно. Миграционные потоки описываются диффузионными коэффициентами ei(u,v) и S2(u,v) и параметрами направленной миграции р\ и р2; г{х- у) – функция ресурса. Параметры в (3.2) аналогичны параметрам (2.3).

Задается прямоугольный ареал Q = [0,/і] х [0,/2], на границах которого ставились условия: du(x,0,t) du(x,l2,t) dv(x,0,t) dv(x,l2,t) о =о = o о =о = o (3.3) oy oy oy oy w(0, y,t) = u(li, y,t) = 0, v(0,y,t) = v(li,y,t) = 0, (3.4) (1 случай); u(x, 0,t) = u(x, /2, t) = 0, v(x, 0, t) = v(x, /2, t) = 0, (3.5) it(0, y,t) = u(li, y,t) = 0, v(0 y t) = v(li,y,t) = 0, (3.6) (2 случай); du(x,0,t) du(x,l2,t) dv(x,0,t) dv(x,l2,t) о =о = o о =о = 0 (3.7) oy oy oy oy du(0,y,t) du{li,y,t) dv(0,y,t) dv(li,y,t) о = о = 0 о = о = 0 (3.8) (3 случай). Система (3.1)-(3.2) рассматривается при следующих начальных данных: и(х,у,0) = и (х,у), v(x,y,0) = v (х,у). (3.9) Без ограничения общности, начальные распределения плотностей популяции зададим в виде двумерного распределения Гаусса: и(х її) = о1е_20 ж_0 5)2+ / ?1_ "1)2- (3.10) ір(х и) = (79е_20 ж_1 5)2+ / ?2_ "2)2- Основной задачей в данной главе является исследование влияния значений параметров модели (3.1)-(3.2), граничных условий (3.3)-(3.8) и функции обобщенного ресурса на формирование распределения плотности охраняемой популяции на билокальном ареале.

Для численного решения задачи (3.1)-(3.9) в прямоугольной области Q = [0, /і] х [0,12\ вводятся равномерные сетки по переменным х и у: uh = {{ХІ-,УЗ) І х% = і hi, і = 0, Ni, hi = h/Ni] yj = jh2,j = 0, N2, /12 = 2/ 2} и равномерная сетка по времени t Є [0,Т] с шагом т 0: шт = {tk = кт, к = 0, А з, г = T/Ns}. На введенной сетке [uih х шт] определим сеточные функции: u(xi,yj,tk) = ЩА, i = 0,7Vi, j = 0, 2, к = 0,Щ, v(xi,yj,tk) = v , i = 0,7Vi, j = 0, 2, k = 0,N .

Для построения разностной схемы системы уравнений (3.1)-(3.2) используем безусловно устойчивые конечно-разностные схемы суммарной аппроксимации на основе метода расщепления по пространственным переменным [21,23,91,92], который состоит из двух шагов перехода с одного временного слоя на другой через промежуточный слой t = к + 1/2. Сначала по известной функции с нижнего временного слоя ик- находится вспомога «7 тельная сеточная функция и- (по направлению Ох), а затем находится искомая функция м-+ (по направлению Оу):

Аналогично представляем конечно-разностную схему суммарной аппроксимации для функции vfj = vk: = - = A\Vk+l 2 — P2(AiUk) — (І2{К\Гк) + /1/2, іТ fc 1/2 (3.12) — = h.2Vk+l — P2( 2Uk) — Я_2{ 2Гк) + //2. Каждая подсхема в системах (3.11) и (3.12) является безусловно устойчивой локально-одномерной схемой и реализуется с помощью метода прогонки [91] на каждом временном слое. Граничные условия (3.3)-(3.8) аппроксимируются следующими соотношениями: u(xo,yj,tk) = UQA = 0, u(xNi,Vj,tk) = uNij = О, v(xo,yj,tk) = VQA = 0, v(xNi,Vj,tk) = VN1A = 0, = , 1 = , h2 h2 (3.13) 1 = u, 1 = u. h2 h2 Начальные условия (3.9)-(3.10) примут вид: u(x,y, 0) = u = uO, v(x, y, 0) = v = vO, (3.14) где гЮ, vO - начальные функции распределения плотностей частей популяции.

В данном параграфе представлены результаты численного исследования двумерной модели охраняемой популяции при разных значениях параметров миграции и роста с учетом разных начальных плотностей популяций и граничных условий. Изучается влияние направленной миграции, обусловленной неравномерностью распределения популяции и наличием обобщенного ресурса. Расчеты проводились до выхода на устойчивые стационарные распределения.

Рассмотрим систему (3.1) с постоянными коэффициентами диффузии при значениях параметров функций f\ и /2, удовлетворяющих существованию устойчивого стационарного состояния: vii\ = 0.95, UI2 = 1.2, d\ = 0.7, d2 = 0.5, (3.15) с\ = 0.25, С2 = 0.65, hi = 0.15, Ъ\ = 0.1. В этом случае возникает непрерывное семейство устойчивых стационарных распределений. В качестве ареала берется область Q = [0, /і] х [0, /2], h = 2, /2 = 2.

Начальные распределения выберем в виде функций (3.10), определяющих размещение частей популяции в локализованных зонах (рис. 3.1 и 3.2). На рис. 3.3 и 3.4 приведены два варианта распределения плотностей u(x,y,t) и v(x,y,t) для краевых условий смешанного типа, когда ставятся условия Неймана и Дирихле (3.3)-(3.4). С учетом постоянной диффузии («и = «21 = 0.03, «21 = СЇ22 = 0,pi = Р2 = 0) и отсутствия неоднородности ареала (qi = q2 = 0), при разных начальных плотностях различаются только промежуточные профили распределений частей популяции. Финальные распределения частей популяции выходят на одинаковый уровень стабилизации (рис. 3.3б и 3.4б). Расчеты показали, что при значениях параметров (3.15) уровень плотности распределения u(x,y,t) выше уровня плотности v(x,y,t), что согласуется с фазовым портретом точечной системы (рис. 2.1)

Анализ результатов численного решения задачи в двумерной постановке

Распределения плотностей популяции на рис. 3.17 определяются наличием в системе (3.1) перекрестных диффузионных коэффициентов с противоположными знаками. Показано влияние значений коэффициентов обмена на интенсивность переходов частей популяции при граничных условиях (3.5)-(3.6).

Значения коэффициентов перекрестной диффузии влияют на уровень финальных распределений плотностей частей популяции при различных краевых условиях. В случае нулевой плотности популяции на границах ареала (краевые условия Дирихле) отрицательные значения р\ 0 и р2 0 понижают уровень финальных распределений u(x,y,t) и v(x,y,t).

Далее представлены результаты расчета для системы (3.1)-(3.2), описывающей динамику охраняемой популяции на билокальном ареале с обобщенным ресурсом, при значениях параметров: «и = «21 = 0.03, «12 = СЇ22 = 0.01,pi = р2 = 0.02, qi = Q2 = 0, 05, ті = 0.95, vii2 = 1.2, di = 0.7, d i = 0.5, сі = 0.25, C2 = 0.65, (3.17) hi = 0.55, bi = 0.1.

В этом случае в области Q = [0,2] х [0,2] формируются распределения с ненулевыми плотностями и(х, у, t) и v(x, у, t). Рассматриваемый ареал может иметь несколько локализованных, богатых ресурсами, зон или одну протяженную узкую благоприятную зону, охватывающую обе части ареала.

На рис. 3.18 и 3.19 показаны начальные и финальные распределения плотностей и(х, у, t) и v(x, у, t) в случае локализации благоприятной зоны на охраняемой и неохраняемой территориях (рис. 3.18а и 3.19а). При различных начальных данных и(х,у) и v(x,y) (рис. 3.18б и 3.19б) и значениях параметров (3.17), расчеты показали, что профили финальных распределений повторяют профиль функции ресурса г(х,у) и имеют выраженные экстремумы в наиболее благоприятной зоне. Достижение высокиx стационарных распределений u(x,y,t) и v(x,y,t) в неохраняемой и охраняемой частях ареала иллюстрируют рис. 3.18в и 3.19в, соответственно.

Далее, при значениях параметров (3.17) и отсутствии потока на границах ареала (3.7)-(3.8), исследуется влияние функции ресурса г(х,у), задающей две благоприятные зоны в рассматриваемой области, на миграцию частей охраняемой популяции. На рис. 3.20 показаны наибольшие концентрации плотностей частей популяции в благоприятных зонах ареала.

На рис. 3.21 проиллюстрирован случай, когда функция ресурса задает узкую благоприятную зону, протянувшуюся по всему ареалу, и пересекающую экологический барьер - границу охраняемой территории. Здесь так же заполнение ареала происходит по гребню благоприятной зоны, заданной функцией ресурса (рис. 3.21в).

Результаты расчетов показывают, что при положительных значениях параметров перекрестной диффузии р\ 0, 2 0 особи популяции стремятся полностью заполнить благоприятные зоны, вне зависимости от их месторасположения на ареале.

Далее рассмотрим систему (3.1) при различных значениях параметров p1, p2, q1, q2, остальные параметры задаются (3.17). На рис. 3.22 представлены начальные и финальные распределения при разных знаках значений перекрестной диффузии p1 0,p2 0. Здесь видно, что в момент выхода на стационарное распределение неохраняемая часть популяции занимает благоприятную зону, и профиль распределения повторяет профиль функции ресурса r(x,y). Освобожденные, менее предпочтительные, участки ареала занимает охраняемая часть популяции.

На рис. 3.23 представлены финальные распределения u(x,y,t) и v(x, y, t) с учетом функции ресурса r(x, y) (рис. 3.23а) при p1 = -0.02, p2 = -0.03, q1 = 0.15, q2 = 0.05. В этом случае, в начальный момент времени части популяции заполняют близлежащую благоприятную зону. Финальные распределения u(x,y,t) и v(x,y,t) имеют более выраженные экстремумы. Вследствие учета перекрестной диффузии с отрицательными значениями параметров, в точках максимумов плотности u(x,y,t) возникает минимум плотности v(x,y,t), и наоборот. При этом на распространение популяции по ареалу влияет введенная функция ресурса.

Обобщенный ресурс в модели охраняемой популяции оказывает положительное воздействие на выживание части популяции, подверженной антропогенному воздействию. Несмотря на наличие бифуркации в точечной модели при бифуркационном значении параметра b1 = 0.8, на рис. 3.24 показано установление ненулевой плотности u(x,y,t) при наличии функции ресурса. Рис. 3.24б соответствует вырождению неохраняемой части из-за высокого антропогенного воздействия при отсутствии ресурса.