Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическая модель 19
1.1. Объект моделирования 19
1.2. Постановка задачи
1.2.1. Уравнения магнитной газодинамики 20
1.2.2. Граничные условия 22
1.2.3. Начальные условия 24
1.3. Метод численного решения 25
1.3.1. Единицы измерения 25
1.3.2. Криволинейная система координат 25
1.3.3. Метод расчётов 27
Глава 2. Квазиодномерное приближение в узких трубках 28
2.1. МГД-уравнения в квазиодномерном приближении 29
2.2. Граничные и начальные условия 31
2.3. Стационарные течения
2.3.1. Стационарные уравнения и их анализ 33
2.3.2. Первые интегралы 38
2.3.3. Уравнение для плотности 39
Глава 3. Результаты расчётов и их анализ 42
3.1. Узкие коаксиальные каналы постоянного среднего радиуса 42
3.1.1. Трансзвуковой сверхальфвеновский режим течения с ускорением 42
3.1.2. Дозвуковой сверхальфвеновский режим течения 45
3.1.3. Сверхзвуковой доальфвеновский режим течения 50
3.1.4. Альфвеновский режим течения 53
3.1.5. Заключение к разделу 55
3.2. Узкие коаксиальные каналы криволинейной конфигурации 56
3.2.1. Дозвуковой тип течения 57
3.2.2. Трансзвуковой тип течения с ускорением 60
3.2.3. Трансзвуковой тип течения с замедлением 62
3.2.4. Сверхзвуковой режим течения 64
3.2.5. Заключение к разделу 68
3.3. Режимы ускорения плазмы поперечным магнитным полем в каналах с профилированными электродами 69
3.3.1. Разбиение канала на узкие трубки 70
3.3.2. Канал с профилированным центральным электродом 72
3.3.3. Канал с профилированным внешним электродом 74
3.3.4. Заключение к разделу 77
3.4. Двумерные течения с продольным магнитным полем 78
3.4.1. Канал с профилированным центральным электродом 78
3.4.2. Канал с профилированным внешним электродом 88
3.4.3. Заключение к разделу 95
Заключение 97
Список литературы
- Уравнения магнитной газодинамики
- Единицы измерения
- Стационарные уравнения и их анализ
- Узкие коаксиальные каналы криволинейной конфигурации
Уравнения магнитной газодинамики
Течения сплошной электропроводящей среды в пренебрежении такими диссипативными эффектами, как вязкость и теплопроводность, а также в предположении её бесконечной электропроводности описываются с помощью следующей системы уравнений магнитной газодинамики (МГД) (см., например, [75]):
Здесь и далее используются традиционные для магнитной газодинамики обозначения: р - плотность плазменного потока, v - вектор его скорости, р давление, Т - температура, є - внутренняя (тепловая) энергия, у - показатель адиабаты (плазма - «одноатомный газ», и в практических задачах у = 5/3), Cv теплоёмкость при постоянном объёме, Н - вектор напряжённости магнитного поля, j - вектор плотности электрического тока.
Первые три уравнения системы (1.1), как и в газодинамике, соответствуют трём законам сохранения: массы, импульса и энергии. Четвёртое уравнение вытекает из уравнений Максвелла.
Магнитное поле также удовлетворяет условию: div H = 0 (1.2) Задача ставится в области, соответствующей форме канала на рис. 1.2. В задаче предполагается осевая симметрия, то есть д/дср = 0 в цилиндрических координатах (r,(p,z). В этом случае система уравнений (1.1) в цилиндрической системе координат приобретает следующий вид: HzHr
Следует отметить, что уравнения системы (1.3) имеют консервативную форму записи, за исключением пятого уравнения (для энергии є), которое имеет неконсервативное слагаемое, но по опыту решения вычислительных задачах его предпочтительнее записывать именно в приведённом виде, обеспечивающим положительность температуры (см. [75]).
Через входное сечение канала плазменного ускорителя слева в него поступает плазма с заданной плотностью р0, температурой Т0 и соответствующей внутренней (тепловой) энергией є0, а следовательно, и давлением р0. Естественно предположить, что плазма поступает в канал не вращаясь, то есть её азимутальная скорость v на входе равна нулю.
Предполагается известной величина полного электрического тока J в системе, который втекает через левый торец центрального электрода. Разрядный ток на входе в канал имеет строго радиальное направление, поэтому в цилиндрической системе координат в осесимметричном случае выполняется соотношение:
Таким образом, во входном сечении канала задано азимутальное магнитное поле Н 0 = r0i/0/r(0), где H0 =2Jlcr0 - характерное значение напряжённости магнитного поля на входе, г0 - характерное значение радиуса канала на входе.
Внешнее магнитное поле в установке может быть определено некоторой постоянной величиной на входе в канал. Таким образом, на входе в канал z = 0 заданы следующие значения параметров задачи: Р =Р0, Т 0=Г0, Нгп = Н0 , п =0, і/ 0=//0 (1.7) г z=0 r-v Z= u cp 0 Ф z z= z z=0 r(0) В зависимости от типа изучаемого течения вид граничных условий на входе и выходе из канала, а также их количество, вообще говоря, могут меняться.
При моделировании трансзвуковых сверхальфвеновских ускорительных течений, представляющих собой наибольший интерес в теории плазменных ускорителей, предполагается дозвуковой (по отношению к быстрой магнитозвуковой скорости Cf ) режим втекания, и в качестве граничных условий z=0 z0. на входе в канал задаются значения (1.7) всех искомых параметров системы, кроме, например, скорости втекания vz
На выходе из канала устанавливается сверхзвуковой (по отношению к быстрой магнитозвуковой скорости) режим течения, поэтому каких-либо граничных условий на правой границе канала задавать не требуется.
Исследования альфвеновских и близких к ним МГД-течений к рассмотренным выше условиям на входе в ускоритель могут требовать постановки дополнительных граничных условий как на входе, так и на выходе из канала.
Ограничивающие канал центральный и внешний электроды, заданные уравнениями линий г = r1 (z) и г = r2 (z) соответственно, непроницаемы и эквипотенциальны, что определяет граничные условия на них в следующем виде: vn г= 0, Нп г= 0, (1.8) где vn, Нп - нормальные составляющие вектора скорости плазмы и вектора напряжённости магнитного поля в плоскости ср = const, Г - центральный и в процессе численного внешний электроды. Эквивалетная (1.8) запись, используемая моделирования поставленной задачи, имеет вид: где T1(Z) = dr1 jdz и r2 (z) = CIY2 jdz - наклоны центрального и внешнего электродов к оси z соответственно. Начальные условия в постановке задачи могут быть достаточно произвольными, так как наибольший интерес для анализа представляют собой установившиеся (стационарные) режимы течения. Предполагается, что в начальный момент времени плазма покоится, а магнитное поле подчинено условию (1.4).
Для получения ускорительных режимов течения необходимо также дополнительно обеспечить начальный разгон плазмы. Для этого, например, достаточно задать распределение давления р или напряжённости поперечного магнитного поля Н в виде монотонно убывающей функции от пространственной координаты z, согласованное с граничными условиями.
Единицы измерения
Цель настоящего раздела заключается в представлении результатов моделирования и расчётов течений плазмы в узком коаксиальном канале типа сопла постоянного среднего радиуса в присутствии продольного магнитного поля, порождаемого внешними по отношению к каналу проводниками. В дополнение и развитие предыдущих исследований в [75, 76] основное внимание уделено альфвеновским и близким к ним типам течений. Стационарные течения получены методом установления в численном решении (см. раздел 1.3.3) нестационарных квазиодномерных МГД-задач с уравнениями (2.4) и заданными граничными и начальными условиями (см. разделы 2.1 и 2.2).
В разделе рассматривается узкий канал типа сопла постоянного среднего радиуса следующей конфигурации поперечного сечения: S(z) = 2(z-0.5) +0.5 (3.1)
Согласно упомянутой в разделе 2.3.1 классификации, трансзвуковой сверхальфвеновский режим течения с ускорением соответствует типу 3.
Полученные решения поставленной задачи повторяют представленные в [75, 76] результаты расчётов стационарных течений плазмы с ускорением, соответствующих малым или умеренным значениям продольного магнитного потока HZS. Данное соответствие свидетельствует о достоверности полученных результатов.
Так же, как и в статье [76], стационарные режимы легко устанавливаются при значениях HZS (HZS) . Полученное в ней при Р=1 критическое значение (і/25) « 0.5 уточнено до (i/z) =0.526.
На рис. 3.1 представлен процесс установления рассматриваемого типа течения при Р =1, HZS = 0.3 в терминах продольной скорости vz при различных значениях времени t. Установившийся режим наблюдается при 4 в выбранных единицах измерения (1.10).
Рис. 3.1. Процесс установления трансзвукового сверхальфвеновского режима течения с ускорением при HZS = 0.3.
На рис. 3.2 приведён график установившейся продольной скорости vz в сравнении со скоростями продольной альфвеновской CAz и быстрой магнитозвуковой С г. Получен трансзвуковой сверхальфвеновский режим течения с ускорением, в котором, согласно анализу системы (2.15) в разделе 2.3.1, скорость плазмы преодолевает быструю магнитозвуковую скорость С г строго в минимальном сечении сопла (z = 0.5, S = 0) и продолжает монотонно расти.
Соотношение скоростей в установившемся трансзвуковом сверхальфвеновском режиме течения с ускорением при HzS = 0.3. На рис. 3.3 показаны распределения по длине канала плотности плазмы p(z), её продольной скорости vz(z), напряжённости азимутального магнитного поля Н (z) и скорости вращения v (z) в установившемся трансзвуковом сверхальфвеновском ускорительном течении при различных значениях продольного магнитного потока HZS, в том чиcле и при HZS = 0. Данные графики демонстрируют зависимость свойств течений от величины HZS и позволяют сравнить эти свойства с таковыми в случае, когда продольное магнитное поле отсутствует. Видно, что продольное поле незначительно снижает ускорение плазмы, создаёт, а затем увеличивает скорость вращения, ослабляет падение плотности плазмы (следовательно, и температуры) вдоль оси канала и заметно усиливает падение азимутального поля Н . Последнее означает, что радиальный электрический ток jr = — дН Idz усиливается и расход тока в канале увеличивается, так как он характеризуется разностью азимутального поля на входе и выходе из канала. Соответственно, уменьшается ток выноса, измеряемый величиной Н . Таким образом, продольное поле увеличивает расход магнитной z=1 энергии, которая переходит в кинетическую энергию вращательного движения. При этом продольная кинетическая энергия, а также расход тепловой энергии уменьшаются.
Данный тип течения существует, когда заданный продольный магнитный поток лежит в диапазоне 0 HZS (HZS = 0.526. Проверено, что полученные стационарные решения с хорошей точностью удовлетворяют известным значениям первых интегралов (2.17) при условии r(z) = const.
Стационарные уравнения и их анализ
Роль параметра, изменение которого соответствует «перемещению» трубок в области изучаемого канала, выполняет кривизна нижней границы а. Значение f определяет ширину трубок и в последующих расчётах принимается равным f = 0.05 . Неизвестные х1 и х2 определяются такой логикой, что нижняя граница трубки, примыкающей к центральному электроду, совпадает с линией, задающей его геометрию, а верхняя граница примыкающей к внешнему электроду трубки - с линией внешнего электрода.
Важно учитывать, что граничное условие на напряжённость азимутального магнитного поля на входе в трубку при этом индивидуально для каждой трубки и задаётся в следующем виде (см. (2.6) в разделе 2.2): и = г0 Н , где г0 = 0.5(г2(0) + (0)) - характерное значение радиуса исследуемого канала на входе. Внешнее магнитное поле в системе отсутствует, поэтому плазменный поток взаимодействует только с порождаемым им азимутальным магнитным полем. В обсуждаемых ниже расчётах параметр /? = 0.05, что соответствует достаточно сильному поперечному магнитному полю и электрическому току.
Представленные в разделе результаты расчётов демонстрируют влияние изменяющейся от центрального к внешнему электроду геометрии канала на параметры плазменного потока. 3.3.2. Канал с профилированным центральным электродом Канал с профилированным центральным электродом геометрии (3.3) разбивается на узкие трубки следующей конфигурации нижней и верхней границ (рис. 3.28): г = a(z-0.5) +b, г = c(z-0.5) +d, где с = а + 0.05 Ъ = 0.8 + 0.25я (3.5) d = 0.8 + 0.25с -0.05 а -1.0 Увеличение по модулю параметра а соответствует «перемещению» узкой трубки, в которой в данный момент исследуется течение плазмы, от цилиндрического внешнего к профилированному центральному электроду.
Разбиение канала с профилированным центральным электродом на узкие трубки. На рис. 3.29 представлены распределения основных параметров плазменного потока (плотности р, скорости вдоль направления трубки vl, напряжённости азимутального магнитного поля Н ), движущегося в тонких трубках (3.5), соответствующих различным областям плазменного ускорителя с искривлённым центральным электродом, в трансзвуковом ускорительном режиме течения.
Основные параметры плазмы в наборе тонких трубок, соответствующих различным областям плазменного ускорителя с профилированным центральным электродом. Падение плотности плазмы, а значит, расход тепловой энергии у центрального электрода более интенсивны по сравнению с областью внешнего прямого электрода, при этом у центрального электрода возникает мало выраженная зона уплотнения. В силу увеличения входного значения напряжённости азимутального магнитного поля (см. (2.6) в разделе 2.2) расход электромагнитной энергии также выше у профилированного электрода. Рассмотренные закономерности положительным образом сказываются на ускорительных характеристиках канала: в области центрального профилированного электрода плазма ускоряется заметно интенсивнее, нежели чем в области внешнего электрода.
Таким образом, в каналах-соплах с профилированным центральным электродом кривизна электрода способствует разрежению плазмы и возрастанию её скорости на выходе из канала.
Канал с профилированным внешним электродом геометрии (3.4) разбивается на узкие трубки следующей конфигурации нижней и верхней границ (рис. 3.30): г = a(z-0.5) +b, г = c(z -0.5) +d, где с = а + 0.05 Ъ = 0.3 + 0.25а (3.6) d = 0.3 +0.25с 0.0 а 0.95 Увеличение параметра а соответствует «перемещению» узкой трубки уже от цилиндрического центрального к профилированному внешнему электроду. Рис. 3.30. Разбиение канала с профилированным внешним электродом на узкие трубки.
На рис. 3.31 представлены распределения основных параметров плазменного потока (плотности р, скорости вдоль направления трубки vl, напряжённости азимутального магнитного поля Н ), движущегося в тонких трубках (3.6), соответствующих различным областям плазменного ускорителя с профилированным внешним электродом, в трансзвуковом ускорительном режиме течения. Рис. 3.31. Основные параметры плазмы в наборе тонких трубок, соответствующих различным областям плазменного ускорителя с профилированным внешним электродом.
В областях, близких к профилированному внешнему электроду, появляется, а затем усиливается зона компрессии потока: в распределении плотности плазмы возникает, а затем увеличивается уплотнение, максимум которого смещается к центру канала. Следовательно, и возрастает температура потока. Ускорительные характеристики канала падают, что выражается в уменьшении скорости вытекания потока. В области внешнего электрода возникают обратные токи в связи с появлением участка возрастания напряжённости Н при этом величина расходуемого в системе тока, характеризующаяся разностью значений напряжённости азимутального магнитного поля на входе и выходе из канала, уменьшается.
Таким образом, с точки зрения эффективности ускорения плазменные ускорители с профилированным внешним электродом, по-видимому, менее предпочтительны по сравнению с ускорителями геометрии (3.3) ввиду возникновения рассмотренных выше эффектов.
Для анализа течений плазмы в поперечном магнитном поле в профилированных коаксиальных каналах предложено и реализовано разбиение области канала на узкие трубки, границы которых соответствуют координатным линиям канала. Параметры движения потока в трубках определяются с помощью квазиодномерной МГД-модели;
Исследования сосредоточены на трансзвуковых течениях в плазменных ускорителях, поэтому каналы имеют форму сопла с минимальным поперечным сечением в средней части, и электроды выпуклы внутрь. Чтобы почувствовать влияние кривизны разных знаков, проведены две серии расчётов, в которых профилированным является каждый из электродов в отдельности, а другой для простоты имеет форму прямого цилиндра;
Продемонстрировано, что в профилированных каналах в трансзвуковом ускорительном течении в плазменном потоке могут возникать зоны сжатия, зоны разрежения, зоны локального торможения, области генерации электрического тока и обратные токи, обязанные криволинейной геометрии электродов.
Узкие коаксиальные каналы криволинейной конфигурации
Те же графики на рис. 3.34б,в показывают изменения в распределении тех же величин, связанные с приближением к центральному электроду и соответствующей этому усиливающейся кривизной трубок. Чем меньше средний радиус трубки, тем ниже в ней плотность плазмы, скорость выше, а поперечное магнитное поле и электрический ток сильнее, поскольку поле задано на входе обратно пропорционально радиусу (1.13). Роль продольного поля в целом здесь слабее - сплошные линии ближе к штриховым.
Кривизна трубки и продольное поле заметно влияют на переход скорости плазмы через быструю магнитозвуковую скорость С л. В верхней трубке, примыкающей к прямому электроду, этот переход происходит в минимальном сечении с продольным полем и без него (см. [75, 76]), однако эти сечения находятся правее (ниже по течению) середины канала в результате деформации трубки. В криволинейных трубках рассматриваемой геометрии точка перехода vl = С смещается влево по мере приближения к оси и роста кривизны. Продольное поле несколько замедляет это смещение, что показано на рис. 3.34, где наряду со скоростью vl представлены графики скорости звука С л в течениях с продольным полем и без него. В частности, в трубке у центрального электрода обе точки перехода находятся левее минимального сечения канала.
Как уже было отмечено выше в анализе результатов двумерных расчётов, продольное магнитное поле вызывает вращение плазмы, максимальное у центрального электрода. 3.4.2. Канал с профилированным внешним электродом
Вторая серия расчётов в каналах конфигурации (3.4) отличается от первой (3.3) геометрией: кривизна траекторий и образуемых ими узких трубок здесь противоположного знака. Выпуклым внутрь, но в сторону оси z теперь является внешний электрод, а центральный - прямой цилиндрический.
На рис. 3.35 представлены распределения плотности плазменного потока, электрического тока, скорости плазмы вдоль траектории и её скорости вращения в стационарном режиме с продольным полем и без него. Их следует сравнить между собой, а также с аналогичной информацией в канале предыдущей геометрии (3.3) с профилированным центральным электродом.
Неравномерное распределение плотности по радиусу, замеченное в [79] и на рис. 3.32, связано с магнитным давлением, возрастающим в сторону центрального электрода, и несколько усилено продольным магнитным полем. В рассматриваемой геометрии плазма опять прижата к внешнему электроду во входной и центральной частях канала вплоть до того, что её плотность становится здесь немонотонной вдоль траекторий: плотность возрастает до максимального значения, которое выше заданного на входе. Основной причиной этому является кривизна электрода, а продольное поле дополнительно усиливает этот эффект (рис. 3.35). Распределение электрического тока в канале на рис. 3.35 отличается заметным отклонением против часовой стрелки от радиального направления даже в случае течений в поперечном магнитном поле. В присутствии продольного магнитного поля это отклонение усиливается, а ток во входной и центральной частях канала становится более интенсивным: значения функции гН быстрее убывают в осевом направлении. Как уже было отмечено в разделе 3.3.3, ускорение плазмы у профилированного внешнего электрода менее интенсивно за счёт уменьшения входного значения азимутального магнитного поля. При этом продольное магнитное поле, как и в разделе 3.4.1 с геометрией (3.3), в целом снижает ускорительные характеристики канала и вызывает вращение плазмы. Рис. 3.35. Распределения основных параметров плазменного потока в канале с профилированным внешним электродом в присутствии продольного магнитного поля (сплошные линии) и без него (штриховые). Траектории и образованные ими узкие трубки течений в отсутствии продольного поля испытывают в рассматриваемой геометрии тенденции к «распрямлению» в выходной части канала (рис. 3.36). Они отклоняются вниз от симметричных относительно минимального сечения z = 0.5 линий у = const, полученных линейной интерполяцией между электродами (1.11) (см. также раздел 3.3.3). Продольное поле влияет на течение противоположным образом, отклоняя траектории, как и в предыдущем случае, в сторону внешнего электрода, то есть стремится отчасти восстановить упомянутую симметрию.
Графики на рис. 3.37 демонстрируют, как и выше, изменение представленных на них величин вдоль выделенных на рис. 3.36 узких трубок и их сравнение в течениях с продольным полем и без него. Здесь хорошо видна немонотонность плотности вдоль траектории в верхней и средней трубках. В присутствии продольного поля заметно возрастает плотность и скорость во входной части канала. В трубке вдоль горизонтального электрода продольное поле влияет сравнительно слабо. Место перехода скорости vl через магнитозвуковую С л сильно зависит от кривизны трубки и подвержено здесь противоположной закономерности: в «горизонтальной» нижней трубке оно совпадает с её минимальным сечением, которое слегка смещено вправо от середины канала, а по мере возрастания кривизны заметно смещается влево (в сторону входа), причём сильнее в присутствии продольного поля, чем без него (рис. 3.37).