Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Краевая задача Неймана вне тела малой толщины 15
1.1. Постановка задачи 15
1.2. Сведение задачи к граничному интегральному уравнению 17
1.3. Численное решение задачи 20
1.4. Заключение по главе 1 23
Глава 2. Тестирование разработанной численной схемы решения задачи Неймана вне тела малой толщины 24
2.1. Постановка задач для тестирования 24
2.2. Методы решения исходной задачи для телесного объекта и краевой задачи на тонком экране 28
2.3. Анализ поведения численных решений при измельчении разбиения 34
2.4. Сравнение решений, получаемых по различным моделям 51
2.5. Заключение по главе 2 65
Глава 3. Краевая задача Неймана на бесконечном слабоизогнутом экране 3.1. Постановка исходной задачи 68
3.2. Разрешимость исходной задачи и свойства ее решения 71
3.3. Снесение граничных условий 76
3.4. Численное решение задачи 81
3.5. Пример решения задачи обтекания рельефа 84
3.6. Решение краевой задачи Неймана на симметричном теле малой толщины..87
3.7. Решение краевой задачи Неймана для уравнения Лапласа вне объектов, расположенных на слабоизогнутом экране
3.7.1 Постановка задачи потенциального обтекания тел вблизи неплоского экрана 97
3.7.2 Сведение задачи обтекания тел вблизи неплоского экрана к интегральному уравнению 98
3.7.3 Численное решение задачи 101
3.7.4 Пример решения задачи обтекания тел вблизи неплоского экрана 105
3.8. Заключение по главе 3 106
Глава 4. Снесение граничных условий на срединную поверхность в линейной задаче об обтекании крыла конечного размаха 108
4.1. Постановка задач обтекания телесного и тонкого крыльев 109
4.2. Постановка задачи со снесением граничных условий и учетом толщины 117
4.3. Численная схема решения задачи со снесенными граничными условиями 120
4.4. Расчет нагрузок 123
4.5. Расчет обтекания прямоугольного крыла с профилем Жуковского 125
4.6. Решение задачи об обтекании крыла конечного размаха с симметричным профилем NACA-0012 130
4.7. Расчет обтекания крыла конечного размаха с несимметричным профилем. Уточненная модель с доразбиением ячеек 132
4.8. Заключение по главе 4 145
Заключение 147
Литература
- Численное решение задачи
- Методы решения исходной задачи для телесного объекта и краевой задачи на тонком экране
- Численное решение задачи
- Численная схема решения задачи со снесенными граничными условиями
Численное решение задачи
В работах [52, 69] предложен метод учета реальной телесной формы профиля крыла в рамках решения двумерных задач со снесением граничного условия на среднюю линию профиля, основанный на нанесении на эту линию дополнительного слоя источников. При этом задача об обтекании профиля сводится к системе двух одномерных сингулярных интегральных уравнений, теория и численные схемы решения которых изложены в [28, с. 168]. Заметим, что указанный подход применялся и при решении трехмерных задач об обтекании крыла конечного размаха, но с привлечением гипотезы плоских сечений.
В настоящей диссертации указанный подход со снесением граничных условий применен к решению полностью трехмерной краевой задачи Неймана для уравнения Лапласа. При этом тонкое тело заменяется серединой поверхностью, и решается краевая задача для уравнения Лапласа вне этой поверхности. На срединной поверхности ставятся граничные условия на градиент неизвестной функции, причем правые части в этих условиях неодинаковые на различных сторонах поверхности. При отыскании решения в виде суммы потенциалов простого и двойного слоев возникает система интегро-дифференциальных уравнений, которая содержит интегральные операторы с сингулярными и сильносингулярными поверхностными интегралами, а также вне интегральные члены, содержащие поверхностный градиент неизвестной плотности потенциала двойного слоя. Для решения такой задачи построена численная схема, основанная на дискретизации указанной системы интегро-дифференциальных уравнений по методу дискретных особенностей. Отметим, что за основу взяты идеи метода дискретных особенностей для трехмерной краевой задачи Неймана и ряда других задач, описанного в монографии [28]. Однако, рассмотренная постановка краевой задачи и возникающая система интегро-дифференциальных уравнений являются новыми. Проведено тестирование предложенной численной схемы в модельной задаче, в ходе которого осуществлено сравнение получаемых результатов с численными решениями исходной задачи. Другой класс краевых задач, где также возникает необходимость замены исходной граничной поверхности на другую, более удобную поверхность, представляют краевые задачи в области над бесконечным слабоизогнутым экраном. В диссертации рассмотрена краевая задача Неймана в области, лежащей по одну сторону от неограниченной поверхности, которая вне некоторого шара совпадает с некоторой плоскостью. Если неровность экрана лежит по одну сторону от этой плоскости, то такая задача равносильна краевой задаче Неймана вне тонкого тела с плоскостью симметрии.
Для такого случая удалось доказать однозначную разрешимость интегрального уравнения, возникающего после снесения граничных условий, и получить аналитические оценки, связывающие решение краевой задачи с решением исходной задачи.
Затем построена численная схема решения краевой задачи Неймана в области над слабоизогнутым экраном и вне находящихся на нем объектов. Необходимость рассмотрения такой задачи возникает, например, при моделировании обтекания зданий и сооружений вихревыми методами. В работах [29, 67] разработаны математические модели для описания ветровых потоков, возникающих при обтекании зданий, в рамках модели идеальной несжимаемой жидкости вихревым методом (методом вихревых рамок и его модификациями). В указанных работах предполагалось, что обтекаемые объекты находятся на поверхности земли, которая моделировалась плоским экраном, и для ее учета использовался метод отражений. Однако, при этом чрезвычайно актуальной является проблема учета реального рельефа местности в таких задачах. В целом в указанных работах задача решается в нестационарной постановке с учетом развития вихревого течения, однако, для учета граничных условий на каждом шаге интегрирования по времени решается краевая задача Неймана для уравнения Лапласа в области движения воздушных потоков.
Также, разработанная численная схема решения краевой задачи Неймана вне телесного объекта малой толщины использована для решения описанной выше трехмерной краевой задачи для уравнения Лапласа, возникающей в теории крыла конечного размаха. Построенная численная схема решения такой задачи методом граничных интегральных уравнений со снесением граничного условия на срединную поверхность, была протестирована с точки зрения возможности расчета распределения давления по поверхности крыла. Распределения давления, получаемые в сечении крыла плоскостью симметрии сравнивались с известными аналитическими и численными результатами решения плоских задач об обтекании соответствующих профилей. Также осуществлено сравнение результатов расчета с результатами, полученными численно на основе трехмерных моделей для исходного телесного крыла и аппроксимирующего его тонкого крыла (без учета формы профиля), а также с известными экспериментальными данными.
Таким образом, объектом исследования в настоящей работе являются трехмерные краевые задачи для уравнения Лапласа, возникающие при моделировании течений идеальной несжимаемой жидкости.
Целью диссертационной работы являются разработка, программная реализация и верификация численного метода решения краевых задач для уравнения Лапласа, возникающих при моделировании обтекания тел идеальной несжимаемой жидкостью, со снесением граничных условий на новую граничную поверхность с приближенным учетом первоначальной формы поверхности.
Методы решения исходной задачи для телесного объекта и краевой задачи на тонком экране
Анализ полученных результатов показывает следующее:
1) При решении краевой задачи на телесном объекте исходной формы с представлением решения в виде потенциала простого слоя имеется хорошее согласование решений, получаемых на различных сетках для «толстого тела» (толщина с =0.375) как для краевых значений потенциала, так и для краевых значений его градиента. Заметно рассогласование получаемых значений градиента полного потенциала в окрестности полюса для случая w = (0,0,1), которое уменьшается при сгущении сетки. Для тела малой толщины с = 0.075 согласование результатов существенно хуже. При этом если внешняя скорость направлена вдоль тела (w = (1,0,0)), то в целом имеется согласование получаемых результатов, однако наблюдается сильный разброс значений вблизи краев тела, как для потенциала, так и для его градиента. На грубой сетке 16 26 вблизи краев получаемые значения отличаются существенно. Если внешняя скорость направлена поперек тела (w = (0,0,1)), то решения на разных сетках вообще плохо согласуются друг с другом. Можно сказать, что в этом случае данного разрешения сетки явно недостаточно для решения такой задачи.
2) При решении краевой задачи на телесном объекте исходной формы с представлением решения в виде потенциала двойного слоя наблюдается хорошее согласование получаемых решений и тенденция к сходимости для случая поперечного обтекания w = (0,0,1), причем, как для тела большой толщины с =0.375, так и для тела малой толщины с =0.075. При этом для тела малой толщины с =0.075 получаются близкие результаты на сетках 30 50 и 60 100, но значительно отличающиеся на сетке 16 26, т.е. можно сказать, что такого разбиения недостаточно.
При внешнем поле, направленном вдоль тела - w = (1,0,0) наблюдается хорошее согласование получаемых результатов на всех трех сетках, как для потенциала, так и для градиента на толстом теле с =0.375. На тонком теле с =0.075, - также наблюдается тенденция к сходимости, однако рассогласование результатов больше. При этом следует отметить, что на графиках потенциала имеется нефизичный излом в окрестности полюса тела (появляется область убывания функции и в окрестности точки xl = 0). Этого нет при решении той же
задачи с представлением решения в виде потенциала простого слоя. По-видимому данный эффект есть ошибка вызванная неравномерностью сетки в окрестности полюса (квадратурные формулы для гиперсингулярных интегралов требуют равномерной сетки).
3) При решении краевой задачи на тонком теле без учета телесности наблюдается хорошее согласование получаемых решений на всех сетках.
4) При использовании предложенной модели со снесением граничного условия на срединную поверхность наблюдается в целом хорошее согласование получаемых решений на различных сетках и тенденция к сходимости получаемых решений для обоих направлений внешнего поля w . При этом для тела малой толщины: с = 0.075 - имеется хорошее согласование, как для потенциала, так и для его градиента для всех трех сеток. Для тела большой толщины согласование хуже (большее рассогласование имеется для случая внешней скорости вдоль тела w = (1,0,0)), однако в целом видна тенденция к сходимости.
Суммируя приведенные выводы, отметим следующее: для случаев решения краевой задачи на замкнутом теле, как с использованием потенциала простого слоя, так и двойного слоя, сходимость численного метода ухудшается при уменьшении толщины тела. При этом при внешнем поле вдоль потока несколько лучшие результаты дает схема с потенциалом простого слоя. При внешнем поле поперек потока существенно лучшие результаты дает схема с потенциалом двойного слоя (схема с потенциалом простого слоя вообще разваливается на приведенных сетках для тела малой толщины с = 0.075).
Предложенная модель со снесением граничного условия, наоборот, показывает тем более высокую скорость сходимости, чем меньше толщина тела.
Теперь сравним решения, получаемые по предложенной методике с решениями, получаемыми при решении исходной краевой задачи на замкнутом теле, а также с решениями, получаемыми без учета телесности при аппроксимации тела тонким экраном.
Рассмотрим вариант постановки задачи с первичным полем в виде (2.1). Во всех случаях использовалось разбиение замкнутой поверхности 60 100=6000 ячеек (30 100=3000 ячеек для срединной поверхности).
Были рассмотрены 3 варианта вектора w : w = (1,0,0), w = (0.9961,0,0.0871) , w =(0,0,1) (при интерпретации данной задачи как задачи о потенциальном обтекании тела идеальной несжимаемой жидкостью в первом случае мы имеем потенциальное обтекание вдоль тела, во третьем поперек тела; второй случай иллюстрирует обтекание под малым углом 5 градусов).
На графиках на рисунках 2.18-2.26 приводятся для сравнения распределения по опорным линиям на верхней и нижней частях поверхности краевых значений потенциала и и модуля градиента полного поля \gradufull . Кроме того, для задач, решаемых на срединной поверхности (задачи Неймана на срединной поверхности и задачи со снесением граничного условия), в таблицах 2.1-2.3 приводятся средние и максимальные относительные разности получаемых численно краевых значений потенциала и его градиента по сравнению с этими же значениями, найденными численно при решении исходной задачи на телесном объекте:
Численное решение задачи
Заметим, что в рассмотренных примерах расстояние от проекций точек рельефа с максимальной и минимальной высотой на плоскость п до точек с нулевой высотой вдоль координатных осей равнялось h. Поэтому параметр h можно назвать относительной крутизной рельефа. Расчеты показали, что предложенный численный метод, основанный на снесении граничных условий на плоскость, позволяет получить приближенное поле скоростей жидкости, в котором средняя погрешность выполнения граничного условия составляет менее 10% от скорости набегающего потока при относительной крутизне рельефа h « 0.3 и менее 5 процентов при h « 0.15. Сравнение со значениями w и Woonc показывает на повышение точности аппроксимации граничного условия на реальной поверхности по сравнению с нулевым приближением, за которое можно взять невозмущенный поток.
Рассмотренный подход к решению краевых задач на слабоизогнутом экране может быть применен и к другим краевым задачам для эллиптических уравнений, которые встречаются, в частности, в задачах дифракции волн, теории фильтрации и т.д.
В этом пункте осуществим тестирование численного метода со снесением граничного условия на срединную поверхность на примере внешней краевой задачи Неймана (1.1)-(1.3) вне тела малой толщины, которое является симметричным относительно плоскости х3 = 0.
Рассматривается тело, поверхность которого состоит из двух компонент S+ и S , задаваемых уравнениями: х3 = с(1 — хх )(1 — х2), хх є [—1,1], х2 є [—1,1] для компоненты S+; х3 = — с(1 — хх )(1 — х2), хх є [—1,1], х2 є [—1,1] для компоненты S+; где с - положительный параметр, характеризующий толщину тела. Заметим, что в данной случае полная толщина тела (габарит тела при проекции на ось Ох3) равна 2с . Габариты тела в проекции на оси Охх и Ох2 равны 2. Поэтому параметр с будем называть относительной толщиной тела.
Рассматривается краевая задача для векторного поля (2.2)-(2.3) с условием w —» w на бесконечности (так же, как и в главе 2) (задача о потенциальном обтекании тела идеальной несжимаемой жидкостью), причем, предполагается, что вектор w параллелен плоскости симметрии х3 = 0. Векторное поле w опять ищем в виде w = w + grad и и для функции и возникает краевая задача (1.1)-(1.3) с правой частью в граничном условии / = -w00n.
Для сравнения были получены решения данной задачи в исходной постановке с представлением решения в виде потенциала простого слоя по численной схеме, описанной в п.2.2 и по численной схеме, описанной в главе 1, п.1.3.
Отметим, что данная задача равносильна краевой задаче (3.1) (см. пример 2 и рис. 3.3). При этом система интегральных уравнений (1.13) сводится к уравнению (3.18). Действительно. Ищем решение задачи (1.1)-(1.3) в виде (1.12). При этом для неизвестных функций /л и g возникает система уравнений (1.13), причем, векторы нормали к реальной поверхности п+ и п связана соотношениями: п[ = 1\, п =Щ, п = —щ. Тогда /+ = f . Складывая два уравнения системы (1.13) с коэффициентами 1/2, получаем уравнение (3.18) для функции //, вычитая из одного уравнения другое и домножая на коэффициент 1/2 приходим к уравнению g(y)52f(Х"y)day - j-[И )хn(x)] n-(x) = 0, хєІ0, дпдп 2 решением которого является функция g = 0. Это означает, что мы можем искать решение задачи (1.1)-(1.3), представляющееся только потенциалом простого слоя. Как было доказано в п.3.3., такое решение существует и единственно при достаточно малой толщине экрана.
Точно также, численная схема решения системы интегральных уравнений (1.12), рассмотренная в п.1.3. переходит в численную схему (3.24) решения уравнения (3.18) (при этом g. =0, j = 1,...,N). Были рассмотрены варианты граничной поверхности со значениями относительной толщины с =0.1, с =0.2 и с =0.5. Невозмущенный поток w был взят в виде w = (1,0,0) для всех тестов.
На теле была выбрана опорная линия, возникающая при пересечении его верхней поверхности S+ с плоскостью х2 = 0. На рисунках 3.7-3-9 приведены полученные при численном решении значения функции и (потенциала возмущенной скорости) и модуля полной скорости w = w + grad и на опорной линии (кривые с подписью «новый метод»). Эти значения изображены в виде графиков, где по оси абсцисс отложена координата хх точки на опорной линии.
Для сравнения приведены аналогичные данные, полученные численно при решении исходной краевой задачи на телесном объекте с представлением решения в виде потенциала простого слоя по численной схеме, описанной в п.2.2 (кривые с подписью «замкнутое тело»).
Численная схема решения задачи со снесенными граничными условиями
В четвертой главе рассматривается задача об обтекании идеальной несжимаемой жидкостью крыла конечного размаха в линейной стационарной постановке. Такая задача с математической точки зрения сводится к краевой задаче Неймана для потенциала скорости в области вне рассматриваемого крыла с дополнительной поверхностью разрыва потенциала заданной формы, на которой ставится определенное условие на скачок потенциала. Для такой задачи при использовании подхода, развитого в главе 1 к стандартной задаче Неймана, осуществлена постановка новой краевой задачи с заменой крыла его срединной поверхностью и приближенным учетом телесности крыла за счет постановки на срединной поверхности специфических граничных условий. Возникшая задача сведена к системе интегро-дифференциальных уравнений с сингулярными и сильносингулярными интегралами, построена численная схема решения задачи, основанная на дискретизации указанных интегральных уравнений.
Для оценки достоверности получаемых результатов были проведены расчеты обтекания крыльев большого удлинения с профилем Жуковского и классическим симметричным профилем NACA-0012. В этих расчетах были получены распределения коэффициента давления по верхней и нижней поверхности крыла в срединном вертикальном сечении крыла и осуществлено сравнение полученных распределений с известными распределениями, получаемыми при решении плоской задачи обтекании соответствующего профиля идеальной несжимаемой жидкостью (с пересчетом местного угла атаки по теории Прандтля). При этом для профиля Жуковского бралось аналитическое решение, а для профиля NACA-0012 известное численное решение, полученное методом приближенного конформного отображения.
Также на основании такой численной схемы была решена задача об обтекании крыла конечного размаха с удлинением Я = 5 и несимметричным профилем серии В (ЦАГИ) толщиной 12%. На примере этой задачи проанализировано поведение численных решений при измельчении расчетной сетки, проведено сравнение получаемых результатов с результатами, получаемыми при решении исходной задачи об обтекании крыла, задачи об обтекании срединной поверхности, заменяющей крыло, а также с известными экспериментальными данными. При этом отметим следующие выводы: 1) Замена крыла срединной поверхностью (без учета телесности) позволяет правильно рассчитать суммарные нагрузки, но не позволяет получить правильное распределении давления по поверхности крыла. 2) Распределения давления, полученные на основании предложенной численной схемы со снесением граничного условия на срединную поверхность, хорошо согласуются с распределениями давления, полученными по исходной модели телесного крыла, а также с экспериментальными данными.
На основании проведенной работы можно сделать следующие выводы. 1) Предложена математическая модель с приближенным учетом телесности тонкого объекта в трехмерной краевой задаче Неймана для уравнения Лапласа. В рамках данной модели задача сводится к системе интегро-дифференциальных уравнений с сингулярными интегралами на срединной поверхности. Для указанных интегро-дифференциальных уравнений построена схема численного решения, основанная на методе дискретных особенностей. 2) Разработанная математическая модель учета телесности объекта протестирована на примере модельной краевой задачи Неймана, возникающей при моделировании потенциального обтекания осесимметричного тела, толщина которого варьировалась. Для каждого варианта тела строились численные решения задачи с использованием предложенного метода снесения граничных условий на срединную поверхность. Также строились численные решения задачи вне исходной замкнутой поверхности и краевой задачи на тонком экране, получаемой при замене тела срединной поверхностью без учета телесности. Эти задачи также решались методом интегральных уравнений.
Для всех указанных задач строились решения на различных сетках разбиения поверхности. Анализ поведения численных решений показал, что наибольшая скорость сходимости отмечена для случая краевой задачи Неймана на тонком экране (без учета телесности). Для задачи на телесном объекте исходной формы скорость сходимости ухудшается с уменьшением толщины тела. Для новой схемы со снесением граничного условия результаты, получаемые на различных сетках, согласуются друг с другом лучше, чем для задачи на замкнутом теле, причем согласование тем лучше, чем меньше толщина объекта.
Сравнение численных результатов, полученных по различным моделям друг с другом, показало, что предложенная модель со снесением граничного условия на срединную поверхность позволяет учесть толщину тела и получить согласующиеся с получаемыми для телесного объекта распределениями краевых значений потенциала и его градиента, причем, в целом согласование улучшается при уменьшении толщины объекта. При этом выявлены случаи, когда модель с полным пренебрежением телесностью (краевая задача на тонком экране) дает решения, существенно отличающиеся от решений исходной задачи на телесном объекте малой толщины.
При сравнении получаемых по предложенной модели численных решений с численными решениями исходной задачи выявлены случаи, когда при уменьшении толщины тела наблюдается ухудшение качества численных решений исходной задачи. 3) Предложенная численная схема со снесением граничного условия на срединную поверхность была применена к краевой задаче Неймана над бесконечным слабоизогнутым экраном с локальной неровностью, при том что этот экран является плоским вне этой неровности. Эта задача возникает при моделировании потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости над бесконечным слабоизогнутым экраном. Такая задача равносильна краевой задаче Неймана вне тела малой толщины, возникающей при потенциальном обтекании тела, имеющего плоскость симметрии потоком, направленным вдоль этой плоскости. Для данной задачи доказаны разрешимость исходной задачи и задачи со снесением граничного условия на плоскость, получены аналитические оценки близости решений этих задач.
На примере данной задачи также было проведено тестирование предложенной численной схемы, показавшее хорошее согласование численных решений, с численными решениями исходной задачи. При этом отмечено хорошее согласование как для получаемых численных распределений потенциала, так и его градиента.
Осуществлено сравнение получаемых численных решений с известными аналитическими данными, численными результатами других авторов, полученными по другим методам, с численными решениями, полученными автором при решении задачи об обтекании телесного крыла исходной формы и тонкого экрана, аппроксимирующего крыло (без учета телесности), известным методом вихревых рамок. Также в одном из примеров было проведено сравнение численных результатов с известными экспериментальными данными.
Проведенный анализ полученных результатов расчетов показал, что модель без учета телесности позволяет достаточно точно (с точностью до нескольких процентов) рассчитать суммарные силы, действующие на крыло, но не позволяет правильно рассчитать распределение давления по поверхности крыла. В то же время распределения давления, получаемые по модели со снесением граничного условия и приближенным учетом телесности, хорошо согласуются с распределениями давления, получаемыми в рамках исходной постановки об обтекании крыла конечного размаха, и хорошо согласуются с известными экспериментальными данными, аналитическими решениями и численными результатами других авторов.