Введение к работе
Актуальность темы. Сингулярные и гиперсингулярные интегральные уравнения являются одним из основных математических аппаратов моделирования большинства задач теории упругости, аэродинамики, электродинамики, геофизики и теории трещин
В последнее время для исследования задач электродинамики разработаны новые модели, основанные на различных физических и математических идеях В частности, широко используются уравнения Гельмгольца, метод задачи Римана-Гильберта, краевые задачи математической физики и т. д Среди этих методов выделяется хорошими свойствами метод граничных интегральных уравнений, который позволяет не только уменьшить размерность задачи, но и свести ее к решению в ограниченной области (на границе области) Применение этого метода привело к интегральным уравнениям первого рода, которые, будучи некорректными, вызывают большие затруднения при численной реализации Этого недостатка лишены сингулярные и гиперсингулярные уравнения первого рода Поэтому в настоящее время одним из основных математических аппаратов являются сингулярные и гинерсингулярные интегральные уравнения
Численным методам решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений в задачах электродинамики посвящены работы Дмитриева В И, Захарова Е В, Лифанова И К, Назарчука 3 Т., Свешникова А. Г., Тихонова А. Н, Шестопалова В Н
Различные аспекты аналитических и численных методов решения сингулярных и і иперсингулярных интегральных уравнений изложены в работах Бойкова И В , Векуа Н П, Гахова Ф Д, Гохбсрга И Ц, Иванова В В , Лифанова И К , Михлина С Г , Мусхелешвили Н И , Пресдорфа 3. и др
Наряду с задачами электродинамики, сингулярные и гиперсингулярные уравнения являются также одним из основных аппаратов моделирования, который применяется для решения различных задач теории крыла Здесь необходимо указать на работы Белоцерковс-ього С М , Бисплингхоффа Р. П., Воробьева Н Ф , Голубева В В , Лаврентьева М А , Лифанова И К , Некрасова А. И , Эшли X и др
При этом, несмотря на большое число публикаций, посвященных как непосредственно приближенным методам решения сишулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, так и специальным классам сингулярных и гиперсингулярных интеї-ральньїх уравнений в электродинамике и аэродинамике, остался неисследованным большой круг задач
отсутствуют аналитические и численные методы решения ряда новых классов сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений теории волноводов,
не исследованы модели и численные методы для ряда нелиней -ных задач аэродинамики,
не исследованы численные методы решения нелинейных гиперсингулярных уравнений (одномерных и многомерных),
не получены параллельные методы решения сингулярных и гиперсингулярных уравнений, что представляется актуальным, так как при решении прикладных задач требуется обработка информации в режиме реального времени
Разработке, обоснованию и программной реализации численных алгоритмов решения этих проблем посвящена данная диссертация, что и определяет ее актуальность
Цель работы. Целью исследования являются моделирование структуры электромагнитною поля в нерегулярных волноводах, моделирование распределения воздушного потока вокруг крыла конечного размаха сингулярными и гиперсингулярными интегральными уравнениями и разработка численных алгоритмов решения этих уравнений Для достижения поставленной цели в работе решены следующие задачи
предложены и обоснованы численные алгоритмы решения линейных и нелинейных одномерных гиперсингулярных уравнений,
предложены и обоснованы численные алгоритмы решения линейных и нелинейных мної омерных гиперсингулярных уравнений,
разработаны и обоснованы вычислительные схемы решения новых классов сингулярных интегральных уравнений, моделирующих волновые процессы в нерегулярном волноводе,
построена нелинейная математическая модель, описывающая распределение воздушного пошка вокруг крыла конечного размаха,
разработаны и обоснованы численные алгоритмы решения нелинейного сингулярного интеїрального уравнения теории крыла,
дана прої раммная реализация полученных алгоритмов.
Методы исследовании. В работе использованы методы функционального анализа, краевых задач теории функций комплексного переменного, теории сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории дифракции и распространения электромагнитных волн, методы расчета электродинамических характеристик. Достоверность научных положений подтверждается соответствием теоретических результатов с результатами математического моделирования тестовых задач
Научная новизна исследования состоит в следующем
предложены и обоснованы численные алгоритмы решения нового класса сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений теории нерегулярных волноводов,
предложена нелинейная математическая модель циркуляции воздушного потока вокруг крыла конечного размаха,
предложены и обоснованы вычислительные схемы решения нелинейного интегро-дифференциального уравнения теории крыла,
предложены и обоснованы сплайн-коллокационные методики решения линейных и нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений (одномерных и мьогомерных);
разработан пакет программ1 вычислительные алгоритмы решения гнперсингулярных интегральных уравнений, итерационные схемы решения линейных и нелинейных интегро-дифференциальных уравнений теории крыла, вычислительные схемы решения особого составного интегрального уравнения
Теоретическая и практическая ценность работы.
Теоретическая ценность заключается в следующем-
предложены и обоснованы численные алгоритмы решения нового класса сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, моделирующих волновые процессы в волноводах,
разработана нелинейная модель поведения крыла в стационарном потоке газа;
разработаны и обоснованы вычислительные схемы решения нелинейного интегро-дифференциального уравнения теории крыла,
разработаны и обоснованы численные методики решения линейных и нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений (одномерных и многомерных),
разработаны параллельные численные алгоритмы, дающие решение новых классов сингулярных и гиперсингулярных уравнений (линейных и нелинейных одномерных, линейных и нелинейных многомерных)
Практическая ценность работы заключается в разработке и программной реализации вычислительных алгоритмов, позволяющих решить следующие прикладные задачи.
моделирование структуры электромагнитною поля в Т-сочле-ненных и коаксиальном волноводах, вычисление входного сопротивления тонкой проволочной антенны,
моделирование циркуляции воздушного потока вокруг крыла конечного размаха,
решение линейных двумерных гиперсингулярных интегральных уравнений
На защиту выносятся следующие положения:
приближенные алгоритмы решения линейных и нелинейных, одномерных и многомерных гиперсингулярных интегральных уравнений,
вычислительные схемы решения составного особого интегрального уравнения, моделирующего задачи вычисления входного сопротивления тонкой проволочной антенны и задачи вычисления электромагнитного поля в коаксиальном гиротроне,
алгоритмы приближенного решения волновых уравнений, описывающих распределение поля в Т-сочлененных волноводах,
нелинейная математическая модель распределения воздушного потока вокруг крыла конечного размаха,
итерационно-проекционные алгоритмы решения линейного и нелинейного уравнений теории крыла конечного размаха
Публикации. По результатам диссертации опубликовано 9 статей.
Работа частично выполнена по заказу Федерального агентства по образованию (2005 г., регистрационный номер 0120 0502705).
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-технических конференциях Пензенскою государственного университета (г Пенза, 2002, 2003, 2005 гг.), Международной конференции по вычислительной математике (г Новосибирск, 2004 г), международных симпозиумах "Надежность и качество" (г Пенза, 2001, 2005, 2006 гг ), Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г Саранск, 2006 г), Международной конференции "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем" (г Пенза, 2006 г), на семинаре профессора Воскресенского Е В в Институте прикладной математики ГОУ ВПО "Мордовский государственный университет" им Н П Огарева (г Саранск, 2007 г )
Пакет программ решения гиперсингулярных интегральных уравнений, реализующих алгоритмы, разработанные в диссертации, зарегистрирован в "Отраслевом фонде алгоритмов и программ" (ОФАП). Выдано "Свидетельство об отраслевой регистрации разработки" за № 8023
Комплект программ "Приближенные алгоритмы решения аэродинамических задач" используется в производственной деятельности ОАО "Пензенский КБМ" (акт о внедрении прилагается)
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений
