Введение к работе
Актуальность темы. Изучение волновых процессов имеет важное зна-ение для успешного развития многих областей науки и техники. Наиболее нтересными и близкими к реальным физическим явлениям являются трекерные задачи математического моделирования волновых процессов. Волно-ые стационарные поля различной природы, как правило, имеют много общих
ойств. Это обусловлено тем, что все они описываются дифференциальными равнениями или системами эллиптического тина. К ним относятся и рас-латриваемые в диссертации стационарные задачи дифракции акустических
упругих волн. Они встречаются в акустике океана и атмосферы, геофизике, ефектоскопии.
Начиная со второй половины 20 в. все большее значение приобретают братные задачи и задачи управления для уравнений акустики. Они иссле-овались в работах Колтона, Кресса, Кирша, Энджелла, Лакса, Филлипса, орюнова и Сасковца а также многих других авторов. Задачи оптимизации роцессом дифракции акустических волн ранее не исследовались. В настоя-ей диссертации исследуется задача минимизации отклонения звукового поля о включении от некоторого требуемого за счет изменения источников звука о внешней среде. При ее численном решении основной объем вычислений риходится на решение стационарных задач дифракции акустических волн а акустическом включении. Поэтому, для успешного решения поставленной птимизационной задачи, необходимо эффективно решать прямые задачи ди-ракции. Аналитическое решений задач дифракции возможно только в случаях, ко-
а включение имеет достаточно простую геометрическую форму (шар, эл-ипсоид). Поэтому основным методом исследования дифракционных процес-ов является математическое моделирование. Задачи дифракции, как правило ассматриваются в неограниченных областях, причем их решение может мед-енно убывать с расстоянием, а длина волны быть соизмерима с размерами еоднородности. Поэтому разностные и асимптотические методы редко бы-ают эффективны при их решении. Методы интегральных уравнений иред-тавляют собой надежный и гибкий математический аппарат, способствую-ий успешному решению проблем, возникающих в задачах дифракции. Они озволяют сводить исходные задачи в неограниченных областях к системам нтегральных уравнений (СИУ) по компактным границам включений, имею-им меньшую размерность.
В данной работе задача дифракции с помощью метода граничных инте-ральных уравнений (решение ищется в виде потенциалов простого слоя) све-ены к СИУ по поверхности включения, и предложен достаточно простой
метод решения СИУ.
Целью работы является теоретический и численный анализ задачи
оптимального управления акустическими колебаниями, а также математиче
ское моделирование акустических и упругих колебаний в однородной среде с
трехмерным включением. '
Методы исследования. В диссертации применяются результаты и методы теории потенциалов, функциональных пространств Соболева, эллиптических краевых задач, оптимального управления.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.
-
Разработаны и реализованы в виде комплекса программ для ЭВМ алгоритмы численного решения стационарных трехмерных задач дифракции акустических и упругих волн. Впервые проведено численное исследование влияния физических и геометрических параметров сред на процесс дифракции упругих волн на трехмерном упругом включении.
-
Проведен теоретический и численный анализ задачи оптимального управления акустическими колебаниями в однородной среде с трехмерным включением. А именно, доказана разрешимость задачи, предложен алгоритм решения, обоснована его сходимость, выполнены численные расчеты, демонстрирующие возможности создания акустических полей, обладающих заданными свойствами.
Теоретическая и практическая ценность. Применяемые в данной работе методы могут быть использованы для исследования и численного решения других оптимизационных, граничных и гранично-контактных задач. Созданные комплексы программ позволяют эффективно решать задачи дифракции в неограниченных областях с трехмерными включениями, краевые задачи для уравнения Гельмгольца (внутренние и внешние), а также находить оптимальные режимы управления акустическими полями.
Работа была поддержана грантами ДВО РАН (проекты JW> 06-І-П14-053, 06-II-CO-001, 08-II-CO-001), РФФИ (проект Ж№ 06-01-96024, 08-01-00947) и Программы Президиума РАН № 14.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Дальневосточных математических школах-семинарах имени академика Е.В. Золо-
ова (Владивосток, 2003, 2004, 2005, 2008; Хабаровск, 2006) и на общеинсги-утских семинарах в Вычислительном центре ДВО РАН.
Публикации и вклад автора. Основные результаты диссертации опуб-икованы в работах [1]—[13]. Работы [2]-[9], [12] выполнены в соавторстве с на-чным руководителем, который поставил задачу и предложил метод решения рямьгх задач дифракции. Реализация этих методов на ЭВМ, теоретическое сследование задачи оптимизации, разработка метода ее решения и его реа-изации на ЭВМ, а также анализ полученных результатов выполнены лично втором.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех лав и заключения, изложена на 124 страницах, содержит 22 иллюстрации и писок литературы из 120 наименований.
