Численные и аналитические методы и модели исследования динамики пространственных структур в многокомпонентных стохастических системах "реакция-диффузия" Максимов Валерий Владимирович

Содержание к диссертации

Введение

1 Аналитические методы исследования стохастических многокомпонентных реакционно-диффузионных систем 21

1.1 Обзор наиболее широко используемых методов 21

1.1.1 Приближение среднего поля для однокомпонентных систем

1.1.2 Анализ моментов, корреляционных и структурных функций 29

1.1.3 Метод динамической ренормализационной группы 36

1.1.4 Обобщенные уравнения Гинзбурга-Ландау

1.2 Уравнения Фоккера-Планка для параметров порядка 48

1.3 Приближение среднего поля для многокомпонентных систем

1.4 Выводы по первой главе 57

2 Численные методы исследования и моделирования динамики стохастических многомерных многокомпонентных реакционно-диффузионных систем

2.1 Численный метод решения нелинейного многомерного самосогласованного уравнения Фоккера-Планка 59

2.1.1 Конечно-разностная схема 60

2.1.2 Точность, достоверность и ограничения метода 62

2.2 Численный метод для моделирования динамики систем 72

2.2.1 Метод моделирования случайного поля с экспоненциальной в пространстве и во времени 72 функцией корреляции

2.2.2 Конечно-разностная схема на основе метода переменных направлений

2.3 Комплексы программ для исследования пространственно- временной динамики и статистических характеристик стохастических двумерных двухкомпонентных реакционно диффузионных систем

2.3.1 Комплекс программ «Моделирование

пространственных и пространственно-временных структур в системах типа реакция-диффузия в поле мультипликативных флуктуации» 81

2.3.2 Комплекс программ «Исследование статистических характеристик стохастических систем реакция диффузия»

2.4 Выводы по второй главе 87

3 Аналитическое исследование процессов образования пространственных структур в двухкомпонентных двумерных стохастических реакционно-диффузионных системах 89

3.1 Пространственно-распределенная стохастическая биофизическая система. Анализ поведения параметра порядка 89

3.2 Пространственно-распределенный стохастический брюсселятор

3.2.1 Уравнение Фоккера - Планка для плотности распределения вероятности значений амплитуды критической моды

3.2.2 Стационарные статистические характеристики амплитуды критической моды как функции интенсивности шума 102

3.2.3 Анализ динамики системы в приближении среднего поля

3.3 Выводы по третьей главе 119

4 Численное моделирование пространственных структур в двухкомпонентных двумерных стохастических реакционно диффузионных системах 122

4.1 Переход «порядок-беспорядок» в биофизической системе 122

4.2 Исследование влияния шума на процесс формирования пространственных структур в стохастическом брюсселяторе 129

4.3 Выводы по четвертой главе 134

Заключение 136

Благодарности 139

Список цитируемой литературы 140

• Анализ моментов, корреляционных и структурных функций
• Численный метод для моделирования динамики систем
• Пространственно-распределенный стохастический брюсселятор
• Исследование влияния шума на процесс формирования пространственных структур в стохастическом брюсселяторе

Введение к работе

Актуальность работы

В настоящее время значительный интерес вызывают исследования пространственно-временной динамики реальных многокомпонентных пространственно-распределенных систем, находящихся под влиянием внешней флуктуирующей среды и учитывающих внутренние шумы. Одной из широко распространенных моделей таких систем является система стохастических уравнений реакционно-диффузионного типа - система нелинейных уравнений в частных производных параболического типа, в которую включены мультипликативные и аддитивные случайные поля. Примерами таких моделей являются модель CDIMA реакции и модель пигментации рыбы с аддитивными шумами [S.S. Riaz, S. Dutta, S. Kar, D.S. Ray (2005)], модель фитопланктон-зоопланктон-рыба шумами параметров [Н. Mai chow, F.M. Hilker, S.V. Petrovskii (2004)], модель Сфифта-Хоенберга с аддитивным шумом [О. Carrillo, М.А. Santos, J. Garcia-Ojalvo, J.M. Sancho (2004)], стохастическая модель ФитцХью-Нагумо [М. Gosak, М. Marhl, М. Регс (2007)], брюсселятор с мультипликативным шумом [S.E. Kurushina, V.V. Maximov, Yu.M. Romanovskii, (2014)] и т.д.

Исследование эволюции стохастических пространственно распределенных систем может быть проведено различными методами. Приближение среднего поля (MFT) является эффективным инструментом для изучения шумоиндуцированной динамики систем различной природы и шумоиндуцированных явлений [В. Lindnera, J. Garcia -Ojalvo, A. Neimand, and L. Schimansky-Geier, (2004)]. Оно успешно применено для исследования шумоиндуцированного разделения фаз в консервативных системах с параметром порядка [М. Ibanes, J. Garcia-Ojalvo, R. Toral, and J. M. Sancho, (1999)], управляемого шумом механизма формирования структур [J. Buceta, М. Ibanes, J. M. Sancho, and К. Lindenberg, (2003)], внутренних шумоиндуцированных фазовых переходов [О. Carrillo, М. Ibanes, J. Garcia-Ojalvo, J. Casademunt, and J. M. Sancho, (2003).], неравновесных фазовых переходов первого рода, индуцированных аддитивным [A. A. Zaikin, J. Garcia-Ojalvo, and L. Schimansky-Geier, (1999)] и мультипликативным [R. Muller, K. Lippert, A. Kiihnel, and U. Behn, (1997); O. Carrillo, M. Ibanes, and J.M. Sancho, (2002)] шумами, шумоиндуцированных реентерабельных переходов в нелинейных цепочках [P. S. Landa, А.А. Zaikin, L. Schimansky-Geier, (1998)], чистых шумоиндуцированных неравновесных реентерабельных фазовых переходов второго рода [С. Van den Broeck, J.M.R. Parrondo, R. Toral, and R. Kawai, (1997)], реентерабельных фазовых переходов «беспорядок-порядок-беспорядок» и «порядок-беспорядок-порядок» с фазовой диаграммой, имеющей седловую точку [J. Buceta, J. М. R. Parrondo, and F. Javier de la Rubia, (2001)].

Однако в указанных выше и других работах рассматриваются только однокомпонентные пространственно распределенные системы с аддитивным, мультипликативным или обоими видами шумов. Поэтому актуальным является

развитие MFT для многокомпонентных систем «реакция-диффузия», являющихся частным, но чрезвычайно важным случаем пространственно распределенных систем.

Применение приближения среднего поля к исследованию шумоиндуцированных явлений, возникающих в однокомпонентних задачах, приводит к необходимости численного решения одномерного одноточечного нелинейного самосогласованного уравнения Фоккера-Планка (NSCFPE). Различные методы применяются для численного интегрирования NSCFPE. В работах [D. S. Zhang, G. W. Wei, and D. J. Kouri, (1997); D. S. Zhang, G. W. Wei, D. J. Kouri, and D. K. Hoffman, (1997)] представлен элегантный и эффективный метод, основанный на распределенных аппроксимационных функционалах на базе полиномов Эрмита. Высокая точность решения достигается при малом числе точек решетки. В [А. N. Drozdov and М. Morillo, (1996)] предложен конечно-разностный метод, основанный на К-точечной интерполяционной формуле Стирлинга. В [Н. Chen, J. Duan, and Ch. Zhang, (2012)] использована конечно-разностная схема в дифференциальной части и правило трапеций в интегральной части NFPE. Методы конечных элементов [P. Kumar and S. Narayanan, (2006)] и конечных разностей [P. Kumar and S. Narayanan (2006); F. Campillo, M. Joannides, and I. Larramendy-Valverde, (2014)], алгоритм дискретной сингулярной свертки [G. W. Wei, (1999); (2000)], прямой основанный на квадратурах метод моментов [D. L. Otten and P. Vedula, (2011); R. О. Fox and P. Vedula, (2010)], псевдо - спектральный метод [Y. Kawamura (2007)], методы интегралов по траекториям [М. Н. Wehner and W. G. Wolfer, (1987); H. Haken, (1976)] и разложения по собственным функциям [N. G. van Kampen, (1977); Н. Tomita, A. Ito, and H. Kidachi, (1976)] и другие [D. Moroni, В. Rotenberg, J.-P. Hansen, S. Succi, and S. Melchionna, (2006); D. L. Ermak and H. Buckholtz, (1980)] также используются для нахождения численных решений NFPEs.

Несмотря на многообразие существующих численных методов решения NFPE, лишь немногие из них успешно применяются для интегрирования многомерных уравнений. Поэтому численное решение многомерного NSCFPE все еще является сложной и актуальной проблемой.

Еще один метод для изучения эволюции систем рассматриваемого типа в окрестности точки бифуркации Тьюринга основан на выводе обобщенных уравнений Гинзбурга-Ландау (ОУГЛ) [Н. Haken, (2004); S.E. Kurushina, (2012)]. Но получаемые в результате ОУГЛ являются также стохастическими и требуют дальнейшего сложного математического анализа. Подход, использующий метод динамической ренормализационной группы, применяется только для одномерных однокомпонентных систем [W. Genovese, М.А. Munoz, J.M. Sancho, (1998); J.M. Sancho, J. Garcia-Ojalvo, H. Guo, (1998)]. Анализ моментов функций состояния изучаемых систем и их структурных функций [J. Garcia-Ojalvo, J.M. Sancho, (1996); С. Van den Broeck, J.M.R Parrondo, R. Toral, R. Kawai, (1997)], как правило, проводится численно или при аналитическом исследовании дополнительно используются другие приближения:

корреляционное, MFT и др. Для таких систем может быть записано функциональное УФП [Н. Haken, (2004); V.I. Klyatskin, (2005)]. Однако нахождение его решения представляет значительную сложность, если вообще это возможно. Разрабатываются и другие методы, применяемые для исследования стохастических пространственно распределенных систем, моделируемых интегро-дифференциальными уравнениями [A. Hutt, A. Longtin, andL. Schimansky-Geier, (2008)].

Представленные выше аналитические методы результативны в определенной области значений параметров задачи или имеют ограничения на число компонент или размерность пространства системы.

По причине значительной математической сложности аналитических методов, применяемых для изучения эволюции многокомпонентных многомерных стохастических реакционно-диффузионных систем и того факта, что большинство из них дает качественное соответствие с численным или натурным экспериментом, возникает необходимость дальнейшей разработки численных методов и алгоритмов для таких исследований.

Поэтому актуальным является разработка новых численных и приближенных аналитических методов, позволяющих исследовать состояние изучаемых систем в более широкой области значений параметров самой системы и шумов или распространение известных приближенных аналитических методов для изучения многокомпонентных многомерных систем.

Все вышеизложенное определяет актуальность темы исследования и позволяет сформулировать цель и задачи исследования.

Целью работы является разработка математических моделей, приближенных аналитических методов, численных методов, алгоритмов и комплексов программ для исследования процессов образования пространственных структур в многокомпонентных многомерных стохастических системах «реакция-диффузия».

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:

1. Развитие приближенных аналитических методов на основе концепции параметров порядка и с использованием приближения среднего поля для описания и предсказания шумоиндуцированных эффектов при образовании пространственных структур в многокомпонентных многомерных стохастических реакционно-диффузионных системах, а также исследования шумоиндуцированного перехода «беспорядок - порядок - беспорядок» в системах рассматриваемого типа.

2. Разработка и верификация численного метода решения многомерного нелинейного самосогласованного уравнения Фоккера - Планка.

3. Разработка алгоритмов и создание комплексов программ для
моделирования эволюции конкретных двухкомпонентных двумерных
стохастических систем реакция-диффузия, обработки и визуализации
результатов.

4. Аналитическое и численное исследование закономерностей эволюции плотностей распределения вероятностей значений функций, определяющих состояние, и амплитуды критической моды изучаемых систем, а также зависимостей их статистических характеристик от параметров внешнего шума с применением разработанных приближенных аналитических методов и комплексов программ.

Научная новизна полученных результатов

3. Получено уравнение Фоккера-Планка для амплитуд неустойчивых мод двухкомпонентных многомерных стохастических реакционно-диффузионных систем. В явном виде найдено его стационарное решение для амплитуды критической моды, позволяющее в окрестности точки бифуркации Тьюринга определить границу перехода «порядок-беспорядок» и изучить поведение статистических характеристик модуля амплитуды критической моды.

4. Предложено равенство, определяющее условные средние дискретного аналога функций, характеризующих состояние многокомпонентных многомерных стохастических реакционно-диффузионных систем, эквивалентное приближению среднего поля. В таком приближении получено УФП для многомерной плотности вероятности состояния этих систем в отсутствие взаимной корреляции случайных полей. Для частного случая двухкомпонентных систем специального вида получено УФП, учитывающее взаимную корреляцию случайных полей.

5. Предложен численный метод решения УФП для многомерной плотности вероятности состояния изучаемых систем, записанного в приближении среднего поля, отличающийся от эффективного метода, основанного на распределенных аппроксимационных функционалах на базе полиномов Эрмита тем, что он сохраняет положительность значений, монотонность и высокую точность решения.

6. Впервые разработаны алгоритмы численного исследования эволюции конкретных двухкомпонентных двумерных стохастических систем реакция-диффузия. Созданы комплексы программ для проведения численных экспериментов, обработки и визуализации их результатов.

5. Исследована зависимость плотности стационарного распределения
вероятностей значений амплитуды критической моды конкретных систем
рассматриваемого типа от значений интенсивности внешнего шума и
бифуркационного параметра. На плоскости «бифуркационный параметр-
интенсивность шума» построена граница перехода «порядок-беспорядок».
Проведено сравнение граничных значений интенсивности шума с граничными
значениями, полученными в численном эксперименте. Показано, что
предложенный приближенный аналитический метод вблизи точки бифуркации
Тьюринга дает удовлетворительное количественное соответствие граничных
значений интенсивности шума с граничными значениями, полученными в ходе
численного эксперимента.

6. Исследованы зависимости наиболее вероятного и среднего значений,
относительных флуктуации (чувствительности) и кумулянта второго порядка

модуля амплитуды критической моды от интенсивности внешнего шума и бифуркационного параметра в стационарном состоянии для этих систем. Показано, что поведение стационарных статистических характеристик модуля амплитуды критической моды второго порядка аналогично случаю чистых индуцированных шумом переходов.

7. Численно изучены закономерности эволюции плотности совместного распределения вероятности функций, характеризующих состояние конкретных систем рассматриваемого типа в области бифуркации Тьюринга, заключающиеся в том, что при возрастании интенсивности внешнего шума происходит последовательное изменение типов решений: одномодальное распределение - одномодальное распределение с временной бимодальностью -сложное распределение, при котором происходит чередование одно- и бимодального распределений. В приближении среднего поля исследованы зависимости от интенсивности внешнего шума наиболее вероятного и среднего значений, а также дисперсии функций, характеризующих состояние этих систем. Показано, что предложенный метод адекватно описывает динамику изучаемых систем в области бифуркации Тьюринга на качественном уровне.

Основные положения, выносимые на защиту

7. Полученное уравнение Фоккера-Планка для амплитуд неустойчивых мод определяет совместную плотность распределения вероятности некоторой конфигурации неустойчивых мод двухкомпонентных многомерных стохастических реакционно-диффузионных систем. Найденное его стационарное решение для амплитуды критической моды позволяет определить границу перехода «порядок-беспорядок» в окрестности точки бифуркации Тьюринга и исследовать статистические характеристики модуля амплитуды критической моды как функции интенсивности шума и бифуркационного параметра.

8. Существует критическое значение интенсивности внешнего шума, при котором бимодальная плотность распределения вероятности значений амплитуды критической моды изучаемых систем заменяется одномодальной, что определяет границу перехода порядок-беспорядок.

3. При увеличении интенсивности шума изменение стационарных
статистических характеристик второго порядка модуля амплитуды критической
моды систем рассматриваемого типа аналогично случаю чистых
индуцированных шумом переходов.

4. Полученное нелинейное многомерное самосогласованное уравнение
Фоккера-Планка определяет в приближении среднего поля многомерную
плотность вероятности состояния систем рассматриваемого типа, в отсутствие
взаимной корреляции случайных полей.

5. Предложенный конечно-разностный метод интегрирования нелинейного
многомерного самосогласованного уравнения Фоккера - Планка сохраняет
монотонность, положительность значений и высокую точность решения.

6. В области бифуркации Тьюринга при увеличении интенсивности
внешнего шума происходит изменение вида плотности совместного

распределения вероятности функций, характеризующих состояние конкретных систем рассматриваемого типа: одномодальное распределение заменяется одномодальным распределением с временной бимодальностью, а затем сложным распределением, при котором происходит чередование одно- и бимодального распределений. То есть, при увеличении интенсивности внешнего шума упорядоченное состояние системы сменяется упорядоченным состоянием с временной разупорядоченной фазой, а затем происходит чередование упорядоченной и разупорядоченной фаз.

7. Сравнение полученных в приближении среднего поля зависимостей от интенсивности внешнего шума наиболее вероятного и среднего значений, а также дисперсии функций, характеризующих состояние систем изучаемого типа, с соответствующими зависимостями модуля амплитуды критической моды, а также с зависимостями, полученными в результате численного эксперимента, показало, что предложенный MFT-метод адекватно описывает динамику изучаемых систем в области бифуркации Тьюринга на качественном уровне.

8. Разработанные алгоритмы и комплексы программ позволяют провести численные эксперименты по исследованию эволюции конкретных двухкомпонентных двумерных стохастических систем реакция-диффузия, а также обработать и визуализировать их результаты.

Связь с государственными программами

Работы по теме диссертации выполнялись в соответствии с планами фундаментальных научно-исследовательских работ по следующим программам: аналитической ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)», проекты 1.2.08, 2.1.1/309, федеральной целевой программе «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (госконтракт № 16.740.11.0145 и соглашение №14.В37.21.0767), Минобрнауки РФ в рамках в рамках Программы повышения конкурентоспособности СГАУ на 2013-2020 гг. и Государственного задания вузам и научным организациям в сфере научной деятельности на 2014 -2016 гг., проект № 102. Работа поддержана Губернским грантом Самарской области в области науки и техники 2010 г.

Теоретическая значимость проведенных исследований заключается в том, что полученные в диссертационной работе результаты являются важным вкладом в теорию самоорганизации нелинейных неравновесных пространственно распределенных систем, находящихся во внешней флуктуирующей среде. Они имеют общий характер и поэтому могут быть распространены на большое количество систем различной природы -физические, биологические, экологические, экономические и т.д. Это обусловлено тем, что все теоретические методы разрабатывались для обобщенной модели, а численный эксперимент проводился для такой, ставшей уже классической, модели, как брюсселятор, и хорошо известной биофизической системы. Полученные результаты позволяют продвинуться в понимании роли внешних шумов в процессах структурообразования и получить

общие статистические закономерности, характерные для систем рассматриваемого типа.

Практическая значимость проведенных исследований заключается в том, что разработанные методы могут использоваться для предсказания режимов поведения реальных сложных нелинейных неравновесных пространственно распределенных систем, находящихся под влиянием внешнего шума.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием строгих математических процедур, общеизвестных уравнений, методов и подходов, которые строго обоснованы в научной литературе, апробированы и хорошо себя зарекомендовали при проведении научных исследований.

Достоверность результатов подтверждается их верификацией при разнообразном тестировании, включающем сравнение с точными решениями (при их наличии) и с известными из литературы численными решениями, полученными другими методами, а также сравнением с известными теоретическими результатами, адекватностью полученных результатов, их непротиворечивостью известным в научной литературе достоверным общепринятым результатам.

Апробация результатов диссертации

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, Самарского государственного аэрокосмического университета им. СП. Королева, Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского, Самарского государственного университета путей сообщения и были представлены на следующих Всероссийских и Международных конференциях:

Международной научно-технической конференции «Компьютерные и
вычислительные технологии в задачах естествознания и образования». (Пенза,
2005),

II малом университетском форуме «Россия - великая держава» (Москва,
2005),

Международных междисциплинарных научных конференциях
«Курдюмовские чтения. Идеи синергетики в естественных науках» (Тверь,
2006-2011),

VIII международной школе «Хаотические автоколебания и образование
структур» ХАОС-2007 (Саратов, 2007),

Международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным системам (ВМСППС) (Алушта, 2007, 2009, 2011),

Международной конференции с элементами научной школы для молодежи «Перспективные информационные технологии для авиации и космоса» (Самара, 2006, 2010),

Международной конференции по математической физике и ее приложениям (Самара 2008,2010),

5 международной научно-технической конференции «Аналитические и
численные методы моделирования естественнонаучных и социальных
проблем» (Пенза, 2010),

IX, X Международной школе-конференции «Хаотические автоколебания и
образование структур», (Саратов, 2010, 2013),

VII Всероссийской научной конференции с международным участием
"Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2010).

Основные публикации

По материалам диссертации опубликована 41 печатная работа, в том числе 16 - в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией, 1 монография, 3 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (200 наименований), изложена на 169 страницах, содержит 46 иллюстраций.

Анализ моментов, корреляционных и структурных функций

В этом же разделе представлен анализ динамики двумерной плотности вероятности функций, описывающих состояние стохастического брюсселятора, проведенный на основании теории среднего поля, при различной интенсивности внешнего шума. Изучены зависимости средних значений концентраций, их дисперсий и наиболее вероятных от времени.

Раздел 3.2 посвящен аналитическому изучению поведения пространственно-распределенной стохастической биофизической системы на основе теории, развитой в разделе 1.2.

В четвертой главе представлены результаты численного моделирования пространственной динамики стохастического брюсселятора и биофизической системы в области бифуркации Тьюринга, полученные с помощью разработанных комплексов программ. Моделирование эволюции систем необходимо для подтверждения предсказанных в первой главе шумоиндуцированных переходов, проверки правомерности предложенного тождества, вводящего MFT, и интерпретации результатов, полученных в приближении среднего поля в третьей главе.

В Заключении подведены итоги диссертационной работы, сформулированы основные результаты и намечены дальнейшие исследования в данном направлении. Достоверность полученных результатов Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием строгих математических процедур, общеизвестных уравнений, методов и подходов, которые строго обоснованы в научной литературе, апробированы и хорошо себя зарекомендовали при проведении научных исследований.

Достоверность результатов подтверждается их верификацией при разнообразном тестировании, включающем сравнение с точными решениями (при их наличии) и с известными из литературы численными решениями, полученными другими методами, а также сравнением с известными теоретическими результатами, адекватностью полученных результатов, их непротиворечивостью известным в научной литературе достоверным общепринятым результатам. Апробация результатов и публикации

Материалы диссертационной работы использовались при выполнении научно-исследовательских работ по аналитической ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)», проекты 1.2.08, 2.1.1/309; гранту Российского фонда фундаментальных исследований 13-01-97005 рповолжьеа, федеральной целевой программе «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (госконтракт № 16.740.11.0145 и соглашение №14.В37.21.0767). Работа поддержана Губернским грантом Самарской области в области науки и техники 2010 г.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского, Самарского государственного аэрокосмического университета им. СП. Королева, Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского и отражены в тезах докладов следующих Всероссийских и Международных конференций: Международной научно-технической конференции «Компьютерные и вычислительные технологии в задачах естествознания и образования» (Пенза, 2005) [46], II малом университетском форуме «Россия - великая держава» (Москва, 2005) [47], Международных междисциплинарных научных конференциях «Курдюмовские чтения. Идеи синергетики в естественных науках» (Тверь, 2006-2011) [48-50], VIII международной школы «Хаотические автоколебания и образование структур» ХАОС-2007 (Саратов, 2007) [51], Международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным системам (ВМСППС) (Алушта, 2007, 2009, 2011) [52-54], Международной конференции с элементами научной школы для молодежи «Перспективные информационные технологии для авиации и космоса» (Самара, 2006, 2010)

[55,56], Международной конференции по математической физике и ее приложениям (Самара 2008, 2010) [57-59], 5 международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2010) [60], IX Международной школы «Хаотические автоколебания и образование структур», (Саратов, 2010) [61], VII Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2010) [62], 42-й международной научной конференции аспирантов и студентов (Санкт-Петербург, 2011) [63], 10-й Международной школы-конференции «Хаотические автоколебания и образование структур» (ХАОС-2013) (Саратов, 2013) [64]. Всего 21 публикаций в трудах и материалах конференций.

Результаты работы опубликованы в реферируемых научных журналах, таких как «Physical Review Е» [29, 38], «Математическое моделирование» [42], «Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика» [65,66], «Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки» [37,39], «Обозрение прикладной и промышленной математики» [67-70], «Вестник Самарского государственного экономического университета» [71], «Вестник Оренбургского университета» [72], Известия Самарского научного центра РАН. Спец вып. Актуальные проблемы экономики и права» [73], «Вестник Самарской государственной академии путей сообщения» [74] (всего 16 статей в журналах, рекомендованных ВАК РФ для опубликования основных научных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора и кандидата наук).

Численный метод для моделирования динамики систем

Применение приближения среднего поля к исследованию шумоиндуцированных явлений, возникающих в однокомпонентных задачах, приводит к необходимости численного решения одномерного одноточечного нелинейного самосогласованного уравнения Фоккера-Планка (NSCFPE). Различные методы применяются для численного интегрирования NSCFPE. В работах [11,12] представлен элегантный и эффективный метод, основанный на распределенных аппроксимационных функционалах на базе полиномов Эрмита. Высокая точность решения достигается при малом числе точек решетки. В [13] предложен конечно-разностный метод, основанный на К-точечной интерполяционной формуле Стирлинга. В [14] использована конечно-разностная схема в дифференциальной части и правило трапеций в интегральной части NFPE. Методы конечных элементов [15] и конечных разностей [15,16], алгоритм дискретной сингулярной свертки [17], метод моментов, основанный на квадратурах [18,19], псевдо - спектральный метод [20], метод интегралов по траекториям [21,22] и метод разложения по собственным функциям [23,24] и другие [25,26] также используются для нахождения численных решений NFPEs.

Несмотря на многообразие существующих численных методов решения NFPE, лишь немногие из них, например [12,15], успешно применяются для интегрирования многомерных уравнений. Поэтому численное решение многомерного NSCFPE - все еще сложная задача, требующая серьезного исследования.

В этом разделе предлагается численный метод для решения многомерного NSCFPE и протестированы его точность и достоверность.

В функциях qa из (2.4), полученных интегрированием по ха, входит условное среднее E{xa\xx,...,xa_bxa+X,...,xn;t), которое является функцией переменных хъ...,ха_ъха+ъ...,хп, исключая ха. Поэтому нахождение qa не представляет проблем. Если j(pa/ka)dxa невозможно проинтегрировать точно, можно воспользоваться приближенными методами, например правилом трапеций.

Чтобы продемонстрировать точность и достоверность результатов, полученных с помощью конечно-разностной схемы (2.6), и выявить ее ограничения, применим (2.6) к точно решаемому нелинейному УФП для модели Шимизу-Ямады [172,173] и нелинейного УФП [174], полученного для нелинейной стохастической модели в приближении среднего, введенной Кометани и Шимизу [175]. На примере указанных выше проблем точность метода (2.6) сравнивается с точностью метода распределенных аппроксимационных функционалов на базе полиномов Эрмита [11]. NSCFPE для модели Шимизу-Ямады имеет вид: dx времени. Это условие также использовалось в качестве критерия правильности выбора размера области интегрирования, от которого зависит соблюдение граничных условий (2.2).

На рис. 2.2, 2.3 для сравнения представлены графики десятичного логарифма относительной ошибки log10(OI и десятичного логарифма отклонения нормировки плотности вероятности от единицы log10 1-1(01- Рис-2.4 и 2.5 демонстрируют численные решения (2.7) и десятичный логарифм модуля абсолютной ошибки log10\f(x,t)-f(x,t)(28y\, определяющей отклонение численного решения от аналитического (2.8), полученные на основании схемы (2.6) и метода, основного на DAF. На рис. 2.6 показаны зависимости Дх) при t = 0.01 для аналитического решения и решений, полученных методами (2.6) и DAF. Соответствующие графики получены при рекомендуемых (дающих наименьшую ошибку) в [11] параметрах DAF-метода в соответствующем порядке аппроксимации по времени (0(т)), таком же, как в схеме (2.6). Решение по схеме (2.6) получено при / = г = 0.001.

Из представленных на рис. 2.2, 2.4(6), 2.5(6) графиков видно, что в первом порядке аппроксимации по времени точность решения, полученного с помощью схемы (2.6) выше, особенно при достижении стационарных значений и в моменты времени, близкие к начальному. Как видно из рис. 2.3, значения log10 1-1(01, полученные DAF- методом, имеют порядок 10" , что означает небольшое нарушение условия нормировки. Схема (2.6) асимптотически (при больших временах) сохраняет условие нормировки вероятности на единицу с точностью порядка 10" .

Анализ рисунков 2.1, 2.4, 2.5 и 2.6 показывает, что схема (2.6) обеспечивает положительность значений плотности вероятности в моменты времени, близкие к начальному, где решение близко к разрывному, и высокую точность решения.

Пространственно-распределенный стохастический брюсселятор

Известно [80,153,199], что однородному статистически стационарному состоянию (беспорядку) системы соответствует одномодальная плотность распределения вероятности значений амплитуды критической моды. Возникновение неоднородного статистически стационарного состояния (порядок) проявляется в расщеплении максимума плотности распределения вероятности на два симметричных.

Для модели (3.3) были получены система уравнений для амплитуд неустойчивых мод 4 ! виДа (1-53) и уравнение Фоккера - Планка для плотности распределения вероятности значений амплитуды критической моды, имеющее вид (1.57). Функции, введенные в уравнениях (1.53), (1.57), соответствующие (3.3), представлены в Приложении В. На рисунках 3.1 и 3.2 представлены изменения плотности стационарного распределения вероятности значений амплитуды критической моды с увеличением интенсивности шума при переходе через точку бифуркации детерминированной системы.

Рисунок 3.1 иллюстрирует плотность распределения вероятности значений амплитуды критической моды в докритической области. При малых шумах стационарная плотность вероятности близка к 5-функции и среднее и наиболее вероятное значения модуля амплитуды критической моды совпадают и равны нулю, т.е. однородное статистически стационарное состояние системы является наиболее вероятным (см. верхний ряд рис. 3.1). При увеличении интенсивности шума (см. нижний ряд рис. 3.1) происходит деформация кривой стационарной плотности вероятности: максимум, не смещаясь, значительно уменьшается, при этом основание кривой расширяется. Так как полученное распределение вероятности не является Гауссовым, среднее значение становится отличным от наиболее вероятного. Таким образом, несмотря на отсутствие расщепления одномодальной плотности вероятности на бимодальную, среднее значение модуля параметра порядка становится отличным от нуля и следует ожидать возникновения неоднородного статистически стационарного состояния (порядка). Очевидно, что в рассматриваемом случае возникновение нового состояния носит случайный характер. Объяснить это можно так. Формирование структур в докритической области может происходить на сильных неоднородностях среды. Такую неоднородность может создать сильная (крупномасштабная) флуктуация, вероятность которой невелика и зависит от параметров шума. Таким образом, при длительном наблюдении за эволюцией системы и подходящих параметрах внешнего шума можно ожидать формирования таких случайных неоднородностей, которые вызовут возникновение структур в области их нахождения.

Рисунок 3.2 демонстрирует стационарную плотность распределения вероятности значений амплитуды критической моды (1.57) системы (3.3) в закритической области при различных интенсивностях шума. Бимодальные распределения соответствуют существованию диссипативных структур. При этом наиболее вероятное значение и математическое ожидание модуля параметра порядка становится отличным от нуля. Рисунок 3.2 показывает, что при увеличении интенсивности шума происходит постепенное слияние максимумов, и при некотором критическом значении интенсивности шума вновь возникает одномодальная плотность. При этом кстр = 0, а (1 1) 0.

Система (3.3) переходит в состояние сильно нерегулярного поведения (беспорядок). Таким образом, полученное изменение плотности стационарного распределения вероятности значений амплитуды критической моды свидетельствует о существовании в системе (3.3) фазового перехода «беспорядок - порядок - беспорядок».

Обсуждавшееся выше изменение статистически стационарных среднего и наиболее вероятного значений модуля амплитуды критической моды, соответствующих изменению плотностей изображенных на рисунке 3.2, демонстрирует рисунок 3.3.

Статистически стационарная плотность вероятности (1.57) для значений амплитуды критической моды системы (3.3) в докритической области (/)=100) для двух значений интенсивности шума 6г. Другие параметры модели: ro=l, ао=8, g=l.434, =0.093, /г=0.857, 6=11.905, дао=0.490, гд=г/2=1, #1=2.4-10" . Критическое значение контрольного параметра/)=135

Статистически стационарная плотность вероятности (1.57) для значений амплитуды критической моды системы (3.3) в закритической области (/)=150) для пяти значений интенсивности шума 6г. Другие параметры модели как на рисунке 3.1 !.J US Статистически стационарные среднее ( СЩ1 ) и наиболее вероятное щ значения модуля амплитуды критической моды как функции интенсивности шума, полученные с помощью (1.57) для системы (3.3). Закритическая область. Здесь и далее для параметры системы (3.3) такие же, как на рисунке 3.1, за исключением тех, которые даны в подписях к рисункам

Чувствительность x (a) и кумулянт второго порядка к2 (б) как функция интенсивности шума 02 Следует отметить, что при приближении к детерминированной точке перехода, даже очень малые флуктуации будут способствовать потере устойчивости неоднородного состояния и вызывать неупорядоченное состояние. Звездочки на рисунке 3.4 соответствуют граничным значениям, полученным в результате численного интегрирования модели (3.3) в двумерной области. В окрестности детерминированной точки перехода (О в2 0.01) теоретические результаты удовлетворительно количественно соответствуют результатам численного эксперимента. Начиная с 92 0.01 наблюдается только качественное соответствие. Это можно объяснить тем фактом, что при увеличении интенсивности шума условие J(zlk) u, используемое при выводе обобщенных уравнений Гинзбурга-Ландау (1.53) для системы (3.3), не выполняется.

Брюсселятор - модель простой автокаталитической химической реакции, имеющей тримолекулярный шаг [200]. Несмотря на то, что тримолекулярная модель является физически нереализуемой, брюсселятор -одна их самых известных математических моделей, используемых для исследования явлений самоорганизации. Концентрации исходных и конечных веществ в этой реакции поддерживаются постоянными. Влияние внешнего флуктуирующего окружения может привести к тому, что концентрации исходных и конечных веществ сами станут случайными функциями. Это, в свою очередь, приводит к необходимости включения шумов в кинетические уравнения детерминированной модели. Предположим, что наиболее подвержено влиянию внешней случайной среды исходное вещество, имеющее концентрацию Віп.

Следуя процедурам, описанным в разделе 1.1.4, получены уравнения для амплитуд неустойчивых мод (параметров порядка) вида (1.53) системы (3.4) и УФП для плотности вероятности некоторой конфигурации неустойчивых мод при возникновении пространственных структур вида (1.57).

Исследование влияния шума на процесс формирования пространственных структур в стохастическом брюсселяторе

Моделирование динамики системы (3.3) при различных отношениях диффузионных коэффициентов и интенсивностях шума #2 позволило определить границу перехода порядок-беспорядок на плоскости параметров D и в2. Полученные граничные значения интенсивности отмечены звездочками на рисунке 3.4, где также представлена граница перехода, полученная аналитически в разделе 3.1. Как следует из рисунка 3.4, граничные значения интенсивности шума 92 в окрестности детерминированной точки бифуркации Тьюринга удовлетворительно количественно соответствуют граничным значениям, полученным в результате численного эксперимента. При удалении от детерминированной точки бифуркации наблюдается только качественное соответствие. Объяснение этого факта приводится в разделе 3.1.

В разделе 3.1 также приводятся доводы о возможности возникновения структур в докритической области в месте нахождения крупномасштабной флуктуации при длительном наблюдении за системой. Нами было проведено численное моделирование эволюции системы (3.3) в докритической области. Для моделирования выбраны следующие параметры / = =0.510, a0/r0=//2=8, g2/r0=2.06, / = 0.093, /г = 0.857, 6 = 11.905, Й / =1000, 01=2.6-10"3, 02=2.56-10"2; kfl = kfi = 0.5, область 200x200, и периодические граничные условия.

На рисунке 4.4 представлена пространственная динамика функции хх для моментов времени t = 1, 927, 940, 950 и 1120. Возникающая пространственная структура имеет «солитоноподобный» вид (см. рис. 4.4 t = 1120). Из рисунка 4.4 также видно, что длительность процесса разрушения однородного состояния в докритической области (см. рис.4.4 t = 1 - 927) значительно превосходит аналогичную длительность в закритической области (см. рис. 4.1, 4.2 слева от вертикальной черты). Как и было предсказано в разделе 3.1, только в результате длительного наблюдения за эволюцией системы, можно наблюдать рождение неоднородного состояния в докритической области.

Чтобы показать, что «солитоноподобная» структура «рождается» случайным образом на крупномасштабной флуктуации, проанализируем рисунок 4.5. Из графика усредненных по поверхности флуктуации функции Х\ видно, что при разрушении однородного состояния наблюдаются «всплески» флуктуации и в более ранние моменты времени, например при tx520, 730, 850 (рис. 4.5). Этим моментам соответствуют неудачные попытки рождения структуры. Для момента /=850 изображена такая возникающая коротко живущая структура. Когда при /=934 величина флуктуации преодолевает некоторое пороговое значение, происходит дальнейший рост флуктуации и устанавливается новое упорядоченное статистически стационарное состояние - структура.

Таким образом, результаты численного моделирования эволюции системы (3.3) полностью подтверждают теоретические выводы раздела 3.1. В результате численного моделирования динамики системы (3.3) доказано, предсказанное в разделе 3.1, существование шумоиндуцированного перехода порядок-беспорядок, причем найденные численно граничные значения интенсивности шума вблизи детерминированной точки бифуркации удовлетворительно количественно соответствуют теоретическим значениям. Показана возможность образования пространственных структур в докритической области, рождающихся на крупномасштабных флуктуациях. Причем сценарий рождения полностью соответствует предсказанному в разделе 3.1.

Процесс формирования пространственных структур в системе (3.4) при различной интенсивности флуктуации демонстрируют рисунки 4.6-4.8. На рисунках показан вид сверху, дающий более наглядное представление о конфигурации структур. Градиент цвета, такой же, как на рисунке 3.10, визуализирует изменение значений хх от минимального до максимального соответственно. Для моделирования динамики выбраны периодические граничные условия и прямоугольная область размером 200x200.

На рисунке 4.6 показан процесс установления пространственной структуры в системе (3.4) при интенсивности внешнего шума, соответствующей появлению бимодальности в упорядоченной фазе (см. рис. 3.14). Из рисунка 4.6 видно, что в процессе установления на фоне общей вполне упорядоченной структуры наблюдается разупорядочение при t є (10,35), заключающееся в изменении положений и значений локальных минимумов и максимумов функции Х\. Статистически стационарное состояние достигается при временах порядка 45 единиц модельного времени.

Рисунок 4.7 демонстрирует влияние шума на эволюцию системы (3.4) при значениях параметров, соответствующих многократной перекачке плотности вероятности через бимодальность (см. рис. 3.18). Анализ рисунка 4.7 показывает, что при этих параметрах происходит чередование конфигураций «лабиринта», «живущих» некоторое время. Время, за которое происходит замена одной конфигурации на другую значительно меньше «времени жизни» самой конфигурации. При этом в процессе такой замены на некотором участке «лабиринта» наблюдается некоторое разупорядочение. Если каждую конфигурацию считать отдельной упорядоченной фазой, то можно сказать, что при данных параметрах системы и внешнего шума наблюдается перемежаемость упорядоченных фаз через разупорядочение.

Эволюция функции Х\ модели (3.4) при относительно большой интенсивности шума показана на рисунке 4.8. При выбранных параметрах статистически стационарное состояние не устанавливается. Наблюдается беспорядок, появление которого предсказано теоретически в разделе 3.2.2. Аналогичный переход происходит в модели (3.3). Учитывая математическую общность моделей (3.3) и (3.4) следует ожидать разрушения пространственных структур под действием шума (переход порядок-беспорядок) и в любой другой модели, описываемой уравнениями вида (1).