Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные понятия и приложения теории дробного исчисления 13
1.1. Основные понятия теории дробного исчисления 13
1.2. Основные области применения теории дробного исчисления 18
1.3. Теорема единственности для дифференциального уравнения дробного порядка 21
1.4. Выводы по главе 1 и постановка задач исследования 22
Глава 2. Математическое моделирование колебательных процессов с вязкоупругим демпфированием 24
2.1. Процесс математического моделирования 24
2.2. Задача Штурма-Лиувилля для уравнения движения осциллятора с вязкоупругим демпфированием
2.3. Оценка для первого собственного значения задачи Штурма-Лиувилля 39
2.4. Выводы по главе 2 47
Глава 3. Математическое моделирование напряженно деформированного состояния вязкоупругих материалов с использованием дробного исчисления 48
3.1. Экспериментальные данные и стандартные методы математического моделирования вязкоупругого тела 48
3.2. Математическое моделирование вязкоупругих материалов с использованием дробного дифференцирования 55
3.3. Математическое моделирование и параметрическая идентификация вязкоупругих материалов с использованием производных дробного порядка 61
3.4. Математическое моделирование ползучести. Параметрическая идентификация 71
3.5. Математическое моделирование релаксации. Параметрическая идентификация з
3.6. Выводы по главе 3 86
Глава 4. Численные методы и программы для решениядифференциальных уравнений с производной дробного порядка 87
4.1. Численные методы для математического моделирования высокоэластичной деформации 87
4.2. Численные методы для математического моделирования ползучести и релаксации 96
4.3. Численные методы для математического моделирования осциллятора с вязкоупругим демпфированием 99
4.4. Численные методы для решения обобщенной задачи Ламе 101
4.5. Программное обеспечение для исследования методов математического моделирования вязкоупругих элементов 107
4.6. Выводы по главе 4 115
Заключение 116
Литература 118
- Теорема единственности для дифференциального уравнения дробного порядка
- Задача Штурма-Лиувилля для уравнения движения осциллятора с вязкоупругим демпфированием
- Математическое моделирование вязкоупругих материалов с использованием дробного дифференцирования
- Численные методы для математического моделирования осциллятора с вязкоупругим демпфированием
Введение к работе
Актуальность работы.
Развитие современной техники и технологий создания материалов опирается на исследования конструкций и материалов, способных эффективно работать в упругой или вязкоупругой областях при действии сложных нагрузок. Широкое распространение получил направленный синтез материалов с заданными свойствами – огнестойкостью, высокой прочностью и пластичностью.
Проектирование и использование таких материалов в различных областях техники трудно представить без предварительного математического моделирования их напряженно-деформированного состояния (НДС) и оценки адекватности применяемых моделей и методов моделирования физических процессов с учетом имеющихся экспериментальных данных. Так, для полимерных материалов диаграмма растяжения включает не только линейный участок незначительной протяженности, но и характерный при больших деформациях участок нелинейной зависимости.
Стандартные подходы к математическому моделированию вязкоупругих материалов с использованием производных целого порядка не демонстрируют полного соответствия экспериментальным результатам. Необходимость применения адекватных математических методов, способных с высокой точностью описать и спрогнозировать параметры исследуемых процессов, обусловило повышение внимания к разработке математических методов моделирования напряженно-деформированного состояния вязкоупругих материалов с применением производных дробного порядка.
Помимо разработки адекватных математических методов моделирования напряженно-деформированного состояния возникает не менее важная задача параметрической идентификации моделирующих соотношений с производными дробного порядка, а также разработки методики идентификации параметров этих соотношений по экспериментальным данным. Значения этих параметров, особенно порядка дробной производной, играют ключевую роль в прогнозировании поведения систем с вязкоупругими элементами, а также в принятии решений о выборе тех или иных материалов для различных целей.
С практической точки зрения актуальным является моделирование систем с вязкоупругими элементами в условиях периодических нагрузок (автомобильные и железные дороги, сейсмическая защита зданий и др.). Для решения этой задачи необходимы математические методы, позволяющие выполнять математическое моделирование напряженно-деформированного состояния вязкоупру-гих материалов и учитывающие их осцилляционные свойства с вязкоупругим демпфированием.
Математическое моделирование с использованием дробного исчисления приводит к рассмотрению дифференциальных уравнений с производными дробного порядка. Аналитическое решение таких задач зачастую оказывается очень сложным или даже невозможным, поэтому актуальной является разработка эффективных численных методов и программных продуктов.
Степень разработанности темы исследования. Математическим моделированием вязкоупругих тел с использованием дробного анализа занимались многие отечественные (Герасимов А.Н., Слонимский Г.Л., Нахушев А.М., Сургулад-зе Т.А., Огородников Е.Н., Победря Б.Е., Алероев Т.С. и др.) и зарубежные (Gement A., Scott-Blair G.W., Caputo M., Bagley R.L., Torvik P.J., Ingman D., Suldalnitsky J., Naber M. и др.) ученые. Однако, при всем разнообразии подходов исследования, задачам параметрической идентификации уделяется значительно меньше внимания. Также имеется много нерешенных задач в области аналитического исследования модели осциллятора с вязкоупругим демпфированием.
Цель работы – развитие методов математического моделирования напряженно-деформированного состояния вязкоупругих материалов на основе аппарата дробного исчисления, разработка новых численных алгоритмов параметрической идентификации моделей и численных методов решения дифференциальных уравнений с производными дробного порядка с дальнейшей реализацией в виде программных продуктов.
Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи.
-
Разработка методов математического моделирования напряженно-деформированного состояния вязкоупругих материалов на основе аппарата дробного исчисления.
-
Разработка алгоритмов параметрической идентификации и оценка адекватности математических моделей напряженно-деформированного состояния вязкоупругих материалов с применением аппарата дробного исчисления.
-
Оценка адекватности и исследование математической модели осциллятора с вязкоупругим демпфированием, позволяющее получить аналитические выражения для системы собственных значений и собственных функций и теоретические оценки для первого собственного числа задачи Штурма-Лиувилля.
-
Разработка и верификация новых численных методов решения уравнений с производными дробного порядка, возникающих в процессе математического моделирования напряженно-деформированного состояния вязкоупругих материалов.
-
Разработка программ, реализующих алгоритмы параметрической идентификации моделирующих соотношений, содержащие производные дробного порядка, а также численные методы решения уравнений с производными дробного порядка.
Объект исследования: напряженно-деформированное состояние вязкоуп-ругих материалов.
Предмет исследования: математические методы моделирования, численные методы моделирования осциллятора с вязкоупругим демпфированием и методики параметрической идентификации моделирующих соотношений напряженно-деформированного состояния вязкоупругих материалов с применением аппарата дробного исчисления.
Методология и методы исследования. Для решения поставленных задач используются базовые методы математического моделирования и вычислительного эксперимента как двуединого процесса создания и исследования ма-
тематических моделей. Результаты получены с использованием теории дробного исчисления, интегральных уравнений, а также теории разностных схем. Научная новизна.
-
Разработан метод математического моделирования напряженно-деформированного состояния вязкоупругих материалов, включающий в себя алгоритм параметрической идентификации моделей дробного исчисления, позволяющий определять порядок оператора дробного дифференцирования как критерий эффективности направленного синтеза.
-
Разработаны новые алгоритмы параметрической идентификации моделирующих соотношений, содержащих оператор дробного дифференцирования, позволяющие получить значения ключевых вязкоупругих параметров полимерных материалов, необходимых для прогнозирования их поведения в условиях длительных нагрузок.
-
Установлена адекватность математического моделирования осциллятора с вязкоупругим демпфированием как метода моделирования напряженно-деформированного состояния вязкоупругих материалов, получены аналитические выражения для собственных значений и собственных функций, что позволяет строить адекватные прогнозы поведения осциллирующих систем.
-
Разработаны новые численные методы решения уравнений с производными дробного порядка, построены алгоритмы численного определения собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для уравнения осциллятора с вязкоупругим демпфированием, определен критерий сходимости вычислительного процесса, что позволяет осуществить численное моделирование напряженно-деформированного состояния вязкоупругих материалов с учетом экспериментальных данных.
-
Созданы программы, реализующие алгоритмы параметрической идентификации напряженно-деформированного состояния вязкоупругих материалов с вычислением производных дробного порядка, обеспечивающие численные расчеты собственных значений и собственных функций уравнения осциллятора с вязкоупругим демпфированием, что необходимо для создания эффективной технологии синтеза вязкоупругих материалов.
Практическая значимость. Применение представленных в диссертационной работе результатов исследований, а также программных продуктов, реализующих численные алгоритмы параметрической идентификации, позволяет при направленном синтезе создать материалы с требуемыми характеристиками.
Внедрение результатов исследования. Разработанные численные методы и алгоритмы параметрической идентификации применялись при расчете характеристик полимеров, полученных методом направленного синтеза в Научном центре "Новейшие материалы и технологии". Использование материалов диссертации подтверждено соответствующими актами и справками.
Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора. Численные методы и алгоритмы параметрической идентификации моделей с производными дробного порядка опубликованы в работах [5-8] и разработаны автором самостоятельно. Результаты математического моделирования осциллятора с вязкоупругим демп-5
фированием [1-4, 9]: формулы для собственных функций и собственных значений, основные осцилляционные свойства модели, оценки для первого собственного числа и разностные схемы получены автором самостоятельно.
На защиту выносятся следующие основные результаты.
-
Метод математического моделирования напряженно-деформированного состояния вязкоупругих материалов на основе экспериментальных данных, включающий в себя алгоритм параметрической идентификации моделей дробного исчисления, позволяющий определять оператор дробного дифференцирования.
-
Вычислительные алгоритмы параметрической идентификации моделирующих соотношений, содержащих оператор дробного дифференцирования, позволяющие получить значения ключевых вязкоупругих параметров полимерных материалов.
3. Метод математического моделирования осциллятора с вязкоупругим
демпфированием как метод моделирования напряженно-деформированного со
стояния вязкоупругих материалов: формулы для собственных частот и собст
венных функций задачи Штурма-Лиувилля, оценки для первой собственной
частоты.
-
Численные методы, разностные схемы и вычислительные алгоритмы для решения уравнений с производными дробного порядка, возникающих при математическом моделировании напряженно-деформированного состояния вязко-упругих материалов.
-
Комплекс программ, реализующих алгоритмы параметрической идентификации моделирующих соотношений, содержащих производные дробного порядка, а также численные методы определения собственных значений и собственных функций уравнения осциллятора с вязкоупругим демпфированием.
Соответствие паспорту научной специальности. Область исследования соответствует паспорту специальности 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ по пунктам: 1 – «Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений»; 2 – «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей»; 4 – «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента»; 6 – «Разработка новых математических методов и алгоритмов проверки адекватности математических моделей объектов на основе данных натурного эксперимента».
Достоверность результатов обеспечивается использованием современных методов математического моделирования, вычислительными экспериментами и в некоторых случаях предельными переходами к эталонным вариантам, совпадением теоретических результатов с данными компьютерных и натурных экспериментов.
Апробация работы. Материалы диссертации и отдельные ее вопросы докладывались автором и обсуждались на семинарах кафедр высшей математики, прикладной математики и строительной механики НИУ МГСУ и конференциях, в том числе: Всероссийская научно-практическая конференция «Математи-6
ка, информатика, естествознание в экономике и в обществе», МФЮА, 2007; Международный Российско-Азербайджанском симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики», 2008; Международная конференция «Дифференциальные уравнения и топология», МГУ, 2008; Международная научно-практическая конференция «Инженерные системы – 2010», РУДН; XIII Всероссийская научно-практическая конференция «Современная строительная наука и образование», НИУ МГСУ, 2016.
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 11 печатных работах, среди них 4 – в изданиях перечня ВАК и 2 свидетельства на программу для электронных вычислительных машин.
Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 128 страницах машинописного текста, содержит 33 рисунка и 6 таблиц. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения. Список использованной литературы включает 113 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.
Теорема единственности для дифференциального уравнения дробного порядка
Как следует из определения (1.13), необходимым условием существования для функции f(x) дробной производной Капуто порядка 0, является существование обыкновенной производной порядка [] + 1 (где [] - целая часть числа ). Таким образом, дробное дифференцирование по Капуто может быть приложено к меньшему числу функций, чем дробное дифференцирование в смысле Римана-Лиувилля. Однако известно, что для моделирования вязкоупругости определяющие соотношения, записанные при помощи дробных производных Капуто, обладают преимуществом. В этом случае начальные условия можно записать, ограничившись классическими производными целого порядка, что значительно упрощает понимание физического смысла поставленной задачи. В общих словах, производная Капуто более удобна в использовании, но применима не для всех функций.
При моделировании НДС вязкоупругих тел и движения осциллятора с вязкоупругим демпфированием, будет в основном использоваться именно определение Капуто. Связь между производными D? и Da при т — 1 а тих а определяется следующей формулой Помимо достаточно хорошо разработанного математического аппарата, в настоящее время дробное исчисление находит все больше примеров четкой физической интерпретации в различных областях науки и техники. Это существенно расширяет область их применения.
В последнее время во многих науках появляются новые структуры, для описания которых недостаточно использования обыкновенных дифференци 19 альных уравнений. Между тем, такие структуры могут быть адекватно описаны при помощи дробного исчисления, или дробных интегро-дифференциальных операторов. Традиционно под дробным исчислением понимается область математики, посвященная исследованию и применению производных и интегралов произвольного вещественного порядка [41, 53, 63, 89, 96, 99, 103]. Важным разделом дробного исчисления является теория дифференциальных уравнений, содержащих производные дробного порядка.
Подтверждением актуальности приложений дробного анализа является работа [100], в которой приведены (со ссылками на источники) области исследований, где успешно использовалось дробное исчисление. На то время (1978 год) таких областей было шестнадцать, к настоящему времени их число существенно возросло.
Использованию дробного анализа в различных областях науки и техники на более современном этапе посвящены работы [41, 57, 63, 103].
Дробное исчисление находит широкое применение при моделировании и изучении различных материалов и процессов, обладающих наследственными свойствами.
Во многих науках (физика, биология, механика и др.) часто встречаются объекты (среды, системы), имеющие фрактальную природу. Фрактальным образом могут быть интерпретированы, к примеру пористые материалы и среды, а также броуновское движение. Такие процессы, как перколяция, диффузия, динамический хаос, растворение, агрегирование, разрушение и др. часто порождают фрактальные объекты и структуры [17, 41]. Фрактальная теория находит применение при моделировании фильтрации нефти и газа в месторождениях, а также различных биологических систем [36, 65, 70]. Фрактальная структура хорошо характеризует свойства многих пористых веществ. [65, 87]. Учет фрактальных особенностей при моделировании нефтегазовых месторождений необходим для правильного расчета продуктивности скважин. Дифференциальные уравнения с производными дробного порядка использованы при моделировании течения и фильтрации жидкости в пористой фрактальной среде [67].
Использование дробных производных для моделирования реальных физических процессов или сред приводит к появлению уравнений, содержащих, помимо классических, производные и интегралы дробного порядка. Дробное исчисление активно используется при моделировании систем с памятью, таких как магнитный гистерезис [59]. В последнее время наличие памяти во многих физических процессах находит все больше экспериментальных подтверждений [62]. Дробное исчисление и дифференциальные уравнения с производными дробного порядка все чаще применяются для моделирования процессов с памятью. Зачастую дробный анализ для таких систем приобретает фундаментальное значение по аналогии с классическим анализом в классической механике [45].
На сегодняшний день дробный анализ активно используется в разнообразных научных областях: нелинейные биологические процессы и теория управления, физика твердого тела и теория поля, динамика жидкости и турбулентность и др [105].
Дробное исчисление нашло широкое применение в задачах линейной вязкоупругости [57, 89]. Обобщение целых порядков производных на дробные значения при описании НДС вязкоупругих материалов позволяет значительно упростить задачу параметрической идентификации при моделировании изучаемого материала [10]. Правильная оценка прочности и устойчивости сооружений очень трудна без предварительного исследования механических процессов в вязкоупругих телах. Дробно-дифференциальный подход был использован для моделирования поведения органических стекол, эластомеров, твердых аморфных полимеров при различных температурах [99, 108].
В работе [16] дробное исчисление (по определению Римана-Лиувилля) как обобщение классических производных использовано для моделирования вязкоупругих свойств материалов. Эффект памяти проявляется в законах наследственной упругости, что отмечено еще В. Вольтерра в работах по математическому моделированию. Полученный степенной закон ползучести хорошо соответствует экспериментальным данным исследований реальных материалов [68].
Использованию дробного исчисления для описания релаксационных процессов посвящена работа [94]. Обзор методов моделирования вязкоупру-гого тела с памятью при помощи дробных дифференциальных операторов приведен в [45].
Задача Штурма-Лиувилля для уравнения движения осциллятора с вязкоупругим демпфированием
Единственным методом математического моделирования, способным качественно соответствовать результатам опытов над полимерными пленками, является использование дробных производных. Дробное исчисление успешно применяется для описания вязкоупругих материалов уже почти 100 лет.
Дробно-дифференциальный подход был успешно применен многими исследователями для описания реологического поведения органических стекол, эластомеров, полиуретана и других материалов. Экспериментальные исследования термостойких полимеров, проведенные в [32], также хорошо согласуются с результатами моделирования. Процесс разрушения полимеров складывается из предварительной пластической деформации и разрыва основных связей макромолекул. В зависимости от ряда факторов (условия деформирования, геометрия образца и т.д.) соотношение между этими двумя процессами меняется. Для предельно ориентированных образцов лимитирующим процессом является разрыв основных связей, поскольку возможности реализации процессов пластической деформации в них невелики. В пластичных же полимерах, где объем пластически (или вынужденно-эластически) деформированного материала велик, может сложиться такая ситуация, когда энергия, необходимая для пластического деформирования и распространения магистральной трещины через зону пластической деформации, будет лимитирующим параметром процесса разрушения.
Деформация твердого тела вызывает поток теплоты, который описывается по первому началу термодинамики dU = dQ + dW. Здесь dU – изменение внутренней энергии тела; dW – работа, выполненная над телом, dQ – поток тепла. Это соотношение выполняется как для обратимой, так и для необратимой деформации. Деформация вязкой ньютоновской жидкости и деформация абсолютного упругого тела представляют собой два случая, для которых поток теплоты по модулю равен работе, выполненной над телом. Эти случаи термодинамически необратимы. Для многих полимерных материалов характер деформации значительно отличается : отношение потока тепла к приложенной работе находится пределах 0,35 – 0,75 в зависимости от характера материала и режима нагружения. Другими словами, в данном случае невозможно говорить о термодинамически идеальной пластичности. Причиной тому является фрактальность структуры указанных полимеров, что приводит к текучести лишь в некоторой части объема материала. Появление оператора дробного дифференцирования обусловлено вышеуказанной фрактальностью структуры полимеров.
Как следствие вышесказанного стоит отметить, что деформация твердофазных полимеров происходит в пространстве с некоторой фрактальной размерностью и может быть описана при помощи фрактального времени [43]. При этом математический аппарат дробного интегродифференцирова-ния органично соответствует процессам, в которых время имеет фрактальную структуру на подобии множества Кантора. В этом случае порядок дробной производной соответствует фрактальной размерности времени. В случае моделирования трехмерных фрактальных объектов порядок оператор дробного дифференцирования составляет дробную часть от фрактальной размерности исходного объекта (df) [100]: = df -2. При этом значение соответствует доле структуры полимера, которая остается неизменной в процессе деформирования.
В настоящее время развитие концепции фрактала, использующей математический аппарат дробного интегродифференцирования, вызвало тенденцию пересмотра основных положений механики полимеров. Это помогает моделировать сложные структуры с достаточной степенью адекватности. В ее рамках удается учесть комплексную природу явлений нелинейного характера: описанные выше эффекты памяти и корреляции пространственных зависимостей. При этом в предельном переходе естественным образом удается получить ранее известные решения, что позволяет сформулировать нетривиальные обобщенные законы.
Другим важным фактором является широко известное самоподобие фракталов. Применение дробного анализа для описания таких систем позволяет учесть структуру среды, объединив микро- и макроскопический уровни. Именно такой способ важен для сложных многокомпонентных систем, находящихся вне динамического равновесия, которыми и являются полимерные материалы [6].
Однако существуют материалы, для которых внезапно приложенное и поддерживаемое постоянным напряжение помимо мгновенной деформации вызывает последующий процесс течения. Такое течение со временем может носить как ограниченный, так и неограниченный характер. В таком случае материал сочетает в себе одновременно свойства упругости и свойства ползучести.
Первым случаем применения дробного исчисления в вязкоупругости, как отмечено в [10, 71], стоит считать эксперименты П. Дж. Наттинга (1921 г.), установившего эмпирический соотношение для связи между напряжением и деформацией в ходе экспериментов над многими сложными материалами: a(t) = c0yt-;, (3.10) где 0 к 1 [98]. Следует отметить, что в случае, когда деформация неизменна, следствием (3.10) является обратно степенной закон релаксации. Опыты А. Джеманта (1936 г.) и Босворта (1946 г.) позволили сформулировать определение пластичности для тел, сочетающих упругие и вязкие свойства. Данное определение впервые содержало производную дробного порядка [98].
Математическое моделирование вязкоупругих материалов с использованием дробного дифференцирования
Явление релаксации представляет собой свойство материалов (полимеров, грунтов, металлов, бетонов и др.) снижать внутреннее напряжение при неизменной начальной деформации. При этом предполагается, что деформация жестко зафиксирована.
Для строительных материалов, бетонов, полимеров, металлов, грунтов и др. релаксация — это свойство материала самопроизвольно снижать напряжение при условии, что начальная величина деформации зафиксирована жесткими связями и остается неизменной. Стоит отметить, что характер деформации может претерпеть изменения (например, перейти из упругой в пластическую), сохранив исходные размеры деформации. Снижение напряжения возникает за счет изменения межмолекулярной структуры материала.
Стандартная схема Фойгта (3.1) не может описать явление релаксации, т. к. при постоянной деформации вязкий элемент не оказывает влияния на систему. формации E(t) = Коши Основной и самой распространенной идеей для математического моделирования релаксации является схема Максвелла (3.3). При постоянной де напряжение в системе описывается решением задачи
В начальный момент времени образец подвергается быстрой (теоретически мгновенной) деформации и закрепляется в деформированном состоянии. Задача (3.52) имеет известное решение, описывающее экспоненциальный закон релаксации: a(t) = а(0)е-У\ (3.53) где Y = - .
Экспоненциальное затухание типично для некоторых задач, но простая формула (3.53) не подходит для многих реальных случаев, так что исследования неэкспоненциальной релаксации представляет большой интерес и число публикаций по данной теме велико. Экспериментальных исследования многих вязкоупругих материалов: стекол, полимеров, кристаллов, грунтов и др. также свидетельствуют о расхождениях с экспоненциальным законом релаксации [7, 13, 76, 92, 103].
Для описания неэкспоненциальной релаксации используют различные подходы. Одним из наиболее перспективных является использование в математическом моделировании производных дробного порядка. Этот подход позволяет учесть фрактальную природу материала и получил значительное развитие в последние годы.
Стандартная схема вязкоупругого тела (3.16) и обобщенная схема Фойгта (3.33) не могут быть использованы для описания релаксации, т. к. получаемые решения имеют свойство lim ff(t) =+оо, (3.54) что не имеет физической интерпретации. Действительно, подставив условие E(t) = Е0 в (3.16) и применив формулу (1.7) получим (3.55) Для уравнения (3.33) при том же условии имеем (3.56) і Очевидно, при 0 р 1 справедливо (3.54). Для корректного описания релаксации может быть использована обобщенная схема Максвелла. По аналогии с обобщенной схемой Фойгта вязкий элемент в ней заменяется вязкоупругим (рисунок 3.13).
Эта асимптотика хорошо согласуется с наблюдаемыми экспериментально сингулярностью в начальный момент времени и последующим степенным законом релаксации напряжения [92].
По аналогии с математическим моделированием вязкоупругих тел (3.16) и (3.33) можно сформулировать обратную задачу параметрической идентификации обобщенной схемы Максвелла (3.57) по экспериментальным данным (кривым релаксации). Значения параметров имеют большое значение для прогнозирования.
Для точной параметрической идентификации необходимо определить параметры функции Миттаг-Леффлера, что является довольно сложной задачей и требует привлечения методов дробного анализа. Но на практике точная идентификация невозможна в силу погрешности ошибок измерений и других стохастических факторов. Поэтому рассмотрим задачу разработки простой методики параметрической идентификации с допустимой погрешностью.
Важно отметить, что параметры моделирования (3.57) определяются структурными свойствами материала и инварианты к входным данным эксперимента. Будем также считать их постоянными, что справедливо для структурно стабильных материалов и не экстремальных нагрузок и деформаций.
Для определения параметров моделирования воспользуемся асимптотическими формулами (3.59). Так, при t 0 можно записать:
Если в ходе эксперимента помимо значения начального напряжения а(0) = а0 = Еоє0 известны еще хотя бы два близких к нему значения o(ti) = ?i и o(t2) = ff2, то имеем систему уравнений: (3.61) откуда ключевой параметр определяется по формуле o-"i (3.62) При последующем течении эксперимента напряжение в образце можно аппроксимировать выражением: (3.63)
Для уточнения значения параметра, вычисленного по формуле (3.62) необходимо взять еще два значения напряжения j(t2) = &2 и (О = а± причем t t » t . После аналогичных преобразований из получим вторую формулу для параметра : P togtjt . (3.64) Соответствие результатов, полученных по формулам (3.62) и (3.64) будет свидетельствовать о точности параметрической идентификации. Использование дополнительных объемов экспериментальных данных позволяет повысить точность расчетов.
Следует отметить, что при найденных параметрах соотношение (3.57) будет описывать кривую релаксации для любой не экстремальной начальной деформации, и на всем отрезке наблюдения. Этот факт следует из инвариантности параметров моделирования.
Для апробации методики обработаны кривые релаксации образцов мерзлого грунта (рисунок 3.14) [13] и полимера (нефракционизированный полиизобутилен) (рисунок 3.15) [58].
Численные методы для математического моделирования осциллятора с вязкоупругим демпфированием
Таким образом, вычисление собственных значений задачи (4.36) сводится к алгебраической задаче на собственные значения в n-мерном векторном пространстве для матрицы системы (4.40). Согласно [60] все эти собственные значения простые.
Если известно собственное значение Я;;, то соответствующую ему собственную функцию можно найти из системы (4.40). Преобразуя систему и учитывая краевые условия, получим матрицу Хессенберга, которая отличается от треугольной наличием еще одной побочной диагонали. Элементы матрицы определяются следующим образом:
Для исследования возможностей численных методов в двумерных случаях рассмотрим классическую задачу о прочности толстостенного цилиндра, подверженного действию внутреннего и наружного давлений (рисунок 4.3). Полый круглый цилиндр со стенкой постоянной толщины t подверженный действию внутреннего и наружного давлений. Вследствие симметрии цилиндра и нагрузок, возникающие деформации и напряжения будут также симметричны относительно оси. При этом толстостенным будем считать цилиндр, для которого t 0,l-D (где D - наружный диаметр). Решение таких задач было предложено французским механиком Ламе в 1828 г.
Предположим, что материал трубы обладает вязкоупругими свойствами. В этом случае, согласно (3.16) ее напряженно-деформированное состояние описывается при помощи дробных производных. При этом соотношения между окружными и радиальными напряжениями и деформациями имеют вид
Эта обобщенная задача является нестационарной, т. е. функция смещений u(r, t) зависит от времени. Сформулируем граничные условия: в начальный момент труба не деформирована, на внешней поверхности радиальные напряжения равны внешнему давлению, на внутренней - внутреннему. и(г,0) = 0 or(Rvt) = -Pi (4.48) ar(R2,t) = -у 2 Для решения задачи (4.47)-(4.48) определим двумерную сетку на области [RlfR2] X [ОД] и составим на ней разностную схему (рисунок 4.4). Ri ГьКъЯь R2 0hT Рисунок 4.4 - Двумерная сетка для разностной схемы обобщенной задачи Параметры сетки: W1h1= R2-Rlt N2h2= Т, ri = R1 + ihlf (4.49) tj=jh2, і =0...N1J = Q...N2. Здесь RltR2 - внутренний и внешний радиусы, Т - произвольный заданный период времени, hlth2 - шаги сетки. Всего в сетке (Л + l)(iV3 + 1) узлов. Разностные аналоги частных регулярных и дробных производных в узлах сетки записываются в виде Таким образом, в системе должно быть (М2 - 1) уравнений для неизвестных значений искомой сеточной функции. Произведен расчет системы (4.34)-(4.36) со следующими параметрами: а = 0,5; pi = 0,3; Е1 = 200МПа сс; і?! = 1м; R2 = 2м; р1 = 10 МПа; р2 = 1 МПа; Nj = 4; tf2 = 3; /ij = 0,25м; /І2 = lc.
В разработанных программах реализованы методы математического моделирования и алгоритмы параметрической идентификации вязкоупругих материалов и вычисления собственных значений и функций уравнения осциллятора с вязкоупругим демпфированием. Все программные продукты зарегистрированы в Отраслевом фонде электронных ресурсов «Наука и образование» [54, 55].
Две программы «Параметрическая идентификация моделей с произ водными дробного порядка» и «Расчет модели осциллятора с вязкоупругим демпфированием» выполнены в единой оболочке (рисунок 4.7). Программа «Параметрическая идентификация моделей с производными дробного поряд ка»предназначена для решения задачи определения параметров напряженно деформированного состояния материала по экспериментальным данным.
Возможен выбор трех уравнений, моделирующих напряженно деформированное состояние материала: вязкоупругости, ползучести и релаксации.
Для выбранной модели необходимо ввести экспериментальные данные (не менее трех экспериментально известных точек напряженно деформированного состояния материала). По ним программа выполнит расчет всех параметров модели, в том числе порядка используемой дробной производной. Помимо определения параметров на экран выводится модельный график.
Ввод данных возможен как вручную, так и из файла. Для корректной работы алгоритма параметрической идентификации необходимо не менее 4 экспериментальных точек. Увеличение объема входных данных позволяет повысить точность идентификации. Если на вход подано более 10 точек, то программа проводит процедуру генерации выборки данных: из всего массива отбираются тройки экспериментальных точек, для каждой тройки осуществляется вычисление параметров моделирующего соотношения. Сопоставление результатов идентификации по разным объектам выборки позволяет на 30% повысить точность оценки значений параметров и определить дисперсию (ошибку вычислений).
Программа может быть использована для моделирования, инженерных расчетов, прогнозирования поведения реальных материалов (полимеры, бетоны, грунты, стекла, эмали и т. д.)
Программа «Расчет модели осциллятора с вязкоупругим демпфированием» предназначена для исследования решений дифференциального уравнения второго порядка, содержащего дробную производную. Реализованы два режима: вычисление собственных функций и собственных значений; численное решение модели свободных или вынужденных колебаний.
В режиме определения собственных чисел и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля необходимо указать параметр модели, а также требуемое число собственных значений (не более 10). Собственные значения будут выведены в виде чисел, соответствующие им собственные функции – графически. Вычисление собственных значений и функций происходит по алгоритмам и формулам, описанным в п. 2.2.