Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Вспомогательные сведения
1.1. Некоторые сведения из теории функций и функционального анализа
1.2. Некоторые сведения из теории функционально-дифференциальных уравнений
Глава 2. Результаты общетеоретического характера
2.1. Свойства интегралов Римана-Стилтьеса и Лебега-Стилтьеса
2.2. Аналитические выражения для некоторых сопряженных операторов
2.3. Восстановление операторов по их сопряженным
Глава 3. Общие вопросы теории функционально-дифференциальных моделей
3.1. Представление общего решения функционально-дифференциальной модели
3.2. Разрешимость задачи Коши для функционально-дифференциальной модели с распределенным запаздыванием
3.3. Оценки сверх решений функционально-дифференциальных моделей
3.4. Оценки снизу решений функционально-дифференциальных моделей
Глава 4. Устойчивость периодической дифференциальной модели с распределенным запаздыванием
4.1. Конструктивные оценки показателя экспоненциальной устойчивости и свойства производящей функции. Определяющая матрица
4.2. Вспомогательные соотношения, использующие композиционное произведение ядер
4.3. Конструктивная аппроксимация определяющей матрицы в классе вычислимых матриц
4.4. Алгоритмы и схема вычислительного эксперимента по исследованию устойчивости
Глава 5. Устойчивость периодической дифференциальной модели с сосредоточенным запаздыванием. Случай соизмеримых периодов
5.1. Вспомогательные утверждения и оценки. Матрица Коши
5.2. Конструктивное исследование асимптотики матрицы Коши
5.3. Вспомогательные соотношения между резольвентными ядрами
5.4. Алгоритмы и схема вычислительного эксперимента по исследованию устойчивости
5.5. Коррекция показателя устойчивости модели
Глава 6. Устойчивость периодической дифференциальной модели с сосредоточенным запаздыванием. Случай несоизмеримых периодов
6.1. Вспомогательные конструкции
6.2. Класс слабо периодических матриц как основа конструктивной аппроксимации
6.3. Конструктивное исследование вспомогательной модели
6.4. Достаточный признак экспоненциальной устойчивости
6.5. Алгоритмы и схема вычислительного эксперимента
Глава 7. Устойчивость почти-периодической дифференциальной модели
7.1. Достаточный признак экспоненциальной устойчивости
7.2. Устойчивость моделей со специальной конструкцией коэффициентов
7.3. Случай эффективного вычисления показателя экспоненциальной устойчивости
7.4. Признаки почти-периодично сти матриц
Глава 8. Устойчивость интегральных моделей
8.1. Сохранение устойчивости модели с запаздыванием при его возмущении. Конструктивное описание окрестности устойчивой модели
8.2. Экспоненциальная оценка решения модели вольтеррового типа
Заключение
Список литературы
- Некоторые сведения из теории функционально-дифференциальных уравнений
- Аналитические выражения для некоторых сопряженных операторов
- Разрешимость задачи Коши для функционально-дифференциальной модели с распределенным запаздыванием
- Вспомогательные соотношения, использующие композиционное произведение ядер
Введение к работе
Актуальность темы. Функционально-дифференциальные (ф-д) модели, учитывающие не только настоящее состояние объекта, но и его предысторию, имеют своим источником многочисленные задачи из различных областей знания. Примеры доставляют нам акустическая обратная связь [185], автоматические регуляторы ленточного тр анспоі)тера [128] и прокатного стана [173], врубовые машины [144], импульсные устройства [177], экономические системы [114] и т.д.
Многочисленность процессов, описываемых ф.-д. моделями, вызвала интенсивное развитие их теории, начавшееся в 40-х годах прошлого века. Ей полностью или в значительной степени посвящены труды Азбслева Н.В., Андрианова Д.Л., Беллмана Р., Долгого Ю.Ф., Красовского Н.Н.. Кука К., Курбатова В.Г., Максимова В.П., Мартынюка Д.И., Митро-польского Ю.А., Мышкиса А.Д., Пинни Э., Пуляева В.Ф., Рахматуллннои Л.Ф., Рубаника В.П., Румянцева А.Н., Тонкова Е.Л., Халаная А., Хейла Дж., Цалюка З.Б., Шиманова С.Н., Эльсгольца А.Э. и других ученых.
Вначале рассматривались модели с постоянными запаздываниями. Такой подход представляет собой шаг вперед по сравнению с изучением моделей "идеального" процесса, которые получаются в предположении отсутствия последействия и в ряде случаев хорошо отражают действительные явления. В других же случаях такие модели описывают процесс весьма приближенно. Так, например, модель годичного изменения численности популяции представляет собой уравнение с запаздыванием, обусловленным отставанием реакции популяции на изменение среды. При этом данный процесс хорошо описывается уравнением с постоянным запаздыванием. Но уже при изучении изменения численности популяции на протяжении нескольких лет приходится учитывать сезонные изменения среды, при которых запаздывания модельного уравнения становятся переменными, в данном случае периодическими. Таковы, например, модель [305]
m
x(t) = Y,М ЫЧ )) ( є[о,оо[), (1)
и более общая [313]
x(t) = ]dR{r)x{t) + f{t) ( є[0,оо[). (2)
о
Об этом вынуждены говорить многие авторы [308, 309], однако применяемый этими исследователями математический аппарат заставляет их принимать упрощающее предположение о постоянстве запаздываний. Это объясняется тем, что, хотя к настоящему времени по этой тематике и получен ряд глубоких теоретических результатов (см., например, библиографию в [221]), далеко не всегда они носят эффективный характер. А это либо затрудняет их применение на практике, либо делает его даже невозможным.2
С другой стороны, в работах сугубо прикладного характера вопрос о проверке соответствующих теорем,зачастую остается открытым, тогда как при изучении реальных систем он приобретает первостепенное, значение.
Наконец, при изучении новых моделей, например, в экономике [26]:
x(t)+JdsK(t,s)x(s) = f(t) ( е[0,Ц), (3)
о существующие методы оказываются неприменимыми, а имеющиеся достаточные условия — слишком грубыми и дающими практический результат лишь в исключительных случаях.
Все это делает создание более глубокой теории ф.-д. уравнений, разработку эффективных методов их исследования, основанных на фундаментальных положениях общей теории и использующих богатые возможности современных вычислительных систем, актуальной задачей.
Объект исследования — математические модели физических, химических, биологических и других естественнонаучных, а также социальных, экономических и технических объектов, представляющие собой ф.-д. уравнения вида (1) - (3) и более общие. Рассмотрены ф.-д. модели с распределенным запаздыванием, почти периодические (по Бору) дифференциальные модели, а также периодические ф.-д. модели вида (1) с несоизмеримыми периодами коэффициентов и запаздываний.
Цель диссертационной работы состоит в разработке ряда теоретических положений относительно общих ф.-д. моделей, в получении на их основе эффективных критериев устойчивости некоторых типов моделей (1) - (3) и создании для их проверки конструктивных методов, основанных на применении современных компьютерных технологий.
Научная новизна. Выносимые на защиту результаты являются новыми. Среди них отметим следующие:
- установлен ряд свойств интегралов Римана-Стилтьеса и Лебега-Стилтьеса, с помощью которых выведены формулы Грина (Коши) представления решения общей краевой задачи для ф.-д. моделей, широко используемые при исследовании их устойчивости;
- разработаны конструктивные методы исследования устойчивости периодических ф.-д. моделей с распределенным и сосредоточенным запаздываниями, допускающие применение компьютера;
- разработан эффективный метод исследования устойчивости периодического дифференциального уравнения с запаздываниями, являющегося моделью процесса горения в камере жидкостного реактивного двигателя;
- создан эффективный метод установления устойчивости периодической дифференциальной модели с сосредоточенными запаздываниями для случая несоизмеримых периодов коэффициентов и запаздываний как наиболее точно описывающий изучаемое устройство;
- разработаны методы установления устойчивости почти-периодической дифференциальной модели;
- получен эффективный признак устойчивости интегрального уравнения Вольтерры с запаздыванием, являющегося моделью импульсного устройства с запаздывающей обратной связью;
- разработана методика, позволяющая с помощью введения в изучаемое устройство обратной связи от неустойчивой ф.-д. модели перейти к устойчивой, а для устойчивой, оставляя ее таковой же, добиться потребления моделируемым устройством как можно меньшего количества энергии.
Методы исследования. В основе полученных в диссертации ре зультатов лежат методы функционального анализа, теории функций действительной и комплексной переменных, ф.-д. и интегральных уравнений и алгебры.
Теоретическая и практическая значимость. Предложенные в диссертационной работе методы являются конструктивными. Они изложены в форме, удобной для практических расчетов, а разработанные на их основе алгоритмы могут быть применены для установления устойчивости многих экономических систем, импульсных устройств с запаздывающей обратной связью, процессов горения в реактивных двигателях и других объектов.
Полученные результаты могут быть использованы также в различных разделах математики: функциональном анализе, теории функций, дифференциальных и интегральных уравнениях с запаздыванием.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на международных конференциях: "Нелинейные колебания" (Будапешт, 1987), "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (Челябинск, 2000, 2002), "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Уфа, 2000); на всесоюзных: "Функционально-дифференциальные уравнения" (Магнитогорск, 1984), (Душанбе, 1987),"Качественная теория дифференциальных уравнений" (Рига, 1989); на всесоюзной школе по теории операторов (Тамбов, 1987); на республиканской конференции "Теория и численные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений" (Рига. 1988); на Понтрягинских чтениях-4 (Воронеж, 1993); на всероссийской математической конференции (Магнитогорск, 1999); на Уральских региональных конференциях " Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Пермь, 1988; Уфа, 1999, 2003); на второй северокавказской региональной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям (Махачкала, 1989); на конференциях математических кафедр пединститутов Уральской зоны (Ижевск. 1969); на межвузовской конференции "Проблемы физико-математического образования в педагогических вузах России на современном этапе" (Магнитогорск, 1996); на конференции по дифференциальным уравнениям с отклоняющимся аргументом в университете Дружбы народов им. П. Лумумбы (Москва, 1969); на 14-й научно-технической конференции ВЗПИ (Москва, 1970); на научно-технических конференциях Пермского политехнического института (Пермь, 1976 - 1983); на Пермском город ском семинаре по ФДУ под руководством проф. Азбелева Н.В. (1988 -2000); на Магнитогорском городском семинаре по ФДУ (1986 - 1988): на Екатеринбургском городском семинаре по уравнениям с запаздыванием под руководством проф. Долгого Ю.Ф. (2001); на Ижевском городском семинаре под руководством проф. Тонкова Е.Л. (2002).
Публикации. Результаты диссертации представлены в работах [260] - [310].
Содержание и основные результаты. В главе 1 для удобства дальнейшего чтения приведены некоторые сведения из различных разделов математики.
В главе 2 рассматриваются некоторые вопросы теории функций и функционального анализа. Полученные здесь результаты используются ниже, но имеют и самостоятельный интерес.
Известно, что при построении общих ф.-д. моделей широко используются интегралы Римана-Стилтьеса и Лебега-Стилтьеса. Так, подобные модели в теории оптимального управления использовал акад. Красовскып Н.Н. [312]; такие уравнения являлись предметом исследования А.Д. Мы-шкиса [180], и им установлен ряд свойств интеграла Римана-Стилтьеса. и т.д. При этом развитие теории таких моделей (см., например, [26]) требует знания новых свойств этих интегралов.
В § 2.1 установлены некоторые свойства интегралов Римана-Стилтьеса и Лебега-Стилтьеса, используемые для описания общих ф.-д. моделей. В частности, справедлива
Теорема 2.1.5. Пусть функция q : [а, 6] х [с, d] - R удовлетворяет условиям Q :
Qi) vraisup var q(t,s) с oo;
se[c,d\ te[a,b]
Q2)q{t,-)eCOQ[c,d} ( є[а,6]);
с
Qz) }q{;s)dseAC[a.b] (єМ);
о
Qi) Q(--!S) непрерывна слева на ]а,6[ (s е [c,d\);
у : [а, 6] —» R — ограниченная борелевская функция, ь
Тогда / y(r)dTq(T,-) є оо[с, d] и при [с, d] с [а, Ь] справедливо равенство
a
b d d b
J y(r)dr J q{r, rj)dr) = j j y(r)dTq(T, rj)drj. (4)
а с со
Отметим, что условия Q легко проверяются на практике, чем приведенное утверждение выгодно отличается от несимметричной теоремы Фубини, установленной известными американскими математиками Камероном и Мартином [243].
При изучении ф.-д. модели, как и при рассмотрении уравнений в произвольных банаховых пространствах, большую роль играет сопряженное уравнение. Оно позволяет, в частности, установить формулу представления общего решения рассматриваемой модели (типа формулы вариации постоянных), используемую, в свою очередь, для решения ряда задач прикладного характера, связанных с устойчивостью, различными оценками их решений и т.д. При этом неизбежно встает вопрос о построении соответствующих сопряженных операторов. Полученные в работе аналитические выражения для некоторых сопряженных операторов, в основном неограниченных, собраны в §2.2. Остановимся на одном из них.
Будем говорить, что функция К : [а, 6] х [а, Ь] — Ап удовлетворяет условиям К, если:
К і) К(-, s) при всех s суммируема;
K l) K(t,-) при почти всех (п.в.) t интегрируема по Рішану;
А з) существует неотрицательная суммируемая функция р : [а.Ь] — І?1 такая, что Л (,-) ip(t.) при п.в. t.
Пусть Л : АС11 с С1 - L j1, Л = D + 71, где D — оператор дифференцирования, (.г- є АС11)
ь Tx(t) = fdsK(t,s)x(s) ( єМ]), (5)
а
причем функция К : [а, Ь] х [а, Ь] — Ап удовлетворяет условиям ii, K(-J ) = О п.в. на [a, &]; L1 — множество классов у є L7 , имеющих своими представителями интегрируемые по Риману функции у : [a,b] - Rn. Тогда
б Р(Л ) = L" {у є LI, : -jf(-) + Jy{t)K(t, -)dt є NBVn}
a
и (у € V(A ))
( ь
-y(8) + jy(t)K(t,s)dt, є]а,Ь],
A y(s)
a
/ y(t)K(t, a)dt, s = a.
В некоторых вопросах, связанных с представлением решений ф.-х моделей, [193] требуется, чтобы рассматриваемый оператор являлся сопряженным к некоторому, вообще говоря, другому оператору. При этом оказывается полезным и явное выражение последнего. Иными словами, возникает задача восстановления оператора по его сопряженному. Решению этой задачи посвящен § 2.3.
Глава 3 посвящена решению общих вопросов, касающихся ф.-Д. моделей, без которых невозможно получить многие конкретные результаты. Здесь рассматривается возможность представления общего решения ф.-д. модели в виде формулы Грина (Коши), а также приводятся методы получения оценок сверх} и снизу решений этих моделей.
Наиболее широкий класс математических моделей, к которому относятся дифференциальные уравнения с сосредоточенным и распределенным запаздываниями, интегро-дифференциальные уравнения, уравнения нейтрального типа и др.[14] может быть описан уравнением
\x(t)=f(t) (t є [а,6]), (6)
где Л : АСп с Сп — L" — линейный неограниченный плотно определенный оператор. Присоединяя к (б) краевое условие
ГЬ = а, (7)
где вектор-функционал Q : АСп с Сп — Rn также неограничен, и вводя оператор ( 0 ] : АС11 с С" - D{ х R\ определенный правилом
( Q ) Х [пх ) получаем краевую задачу
{х є АСП),
( е[а,6]). (8)
В §3.1, занимающем центральное место третьей главы, рассматривается возможность представления общего решения задачи (8) в виде
равенства
б
x(t) = X(t)a + jG(t,s)f(s)ds ( €[а,Ь]), (9)
а
играющего ту же роль в теории ф.-д. моделей, что и формула Грина в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, и с помощью которой получен ряд важных результатов прикладного характера.
Здесь же получены и системы уравнений относительно матрицы Грина общей краевой задачи для ф.-д. уравнений как функции первого и второго аргументов соответственно. Отметим, что на необходимость их построения в свое время указывал проф. Аз белев Н.В. (см. [14], с. 61).
В §3.2 рассматривается разрешимость задачи Коши для ф.-д. модели с распределенным запаздыванием (3), где интеграл понимается в смысле Римана-Стилтьеса.
Традиционно полагают, что в модели (3) K(t, •) имеет на [О, 6] ограниченную вариацию; при этом в виде (3) могут быть записаны обыкновенные дифференциальные уравнения, интегр о-дифференциальные и дифференциальные уравнения с сосредоточенным запаздыванием [156]. Нами модель (3) рассматривается с интегрируемой по Риману K(t,-). Это позволяет существенно расширить класс математических моделей, записываемых в таком виде; при этом теория этой модели становится более стройной, а ее практическая реализация — проще. Имеет место
Теорема 3.2.6. Пусть функция К : [0,6] х [0,6] - Ап (6 е]0,оо[) .удовлетворяет условиям Л\ K(t, s) = 0 при s t;
;с(0)=а0, )€#". (10)
Тогда задача (3) - (10) всюду однозначно разрешима, а ее решение представимо в виде
t t t
x(t) = (E + jR(T,0)dT)aQ + J(E + jR(T,s)dT)f{s)ds, (11)
0 0 s
где П(-,-) —резольвента ядра А (-,-) рассматриваемого в пространстве "[0,6] уравнения
t y(t) = jK(t,s)y(8)d8 + h(t) (і Є [0,6]). (12)
о
В §3.3 излагается способ получения оценки сверху решений ф.-д. моделей.
В §3.4 между решениями х и y(t, ) двух ф.-д. моделей устанавливается соотношение
у(ММ0 = у( ,0)я(0), частный случай которого широко применяется в теории оптимального управления, в дифференциальных играх и т.д. Здесь оно используется для получения оценок снизу решений ф.-д. моделей.
Начиная с четвертой главы, рассматриваем имеющие широкое применение ф.-д. модели с периодическими параметрами. Нами разработаны конструктивные (эффективно реализуемые с помощью компьютерных технологий) методы исследования на устойчивость этих моделей.
В главе 4 рассматривается модель (3), где п х n-матрица К(-,-) удовлетворяет условиям К, в которых условие А з заменено условием
3) ПрИ ВСЄХ S € [0,оо[ И П.В. t € [s,oo[
рГ(М) сехр(7( -в)) (7 0),
и w-периодична по двум аргументам.
Пусть A = {(t,s) : 0 $ t оо}. Воспользуемся полученным в §3.2 представлением (11) решения модели (3), удовлетворяющего условию (10). Видим, что устойчивость этой модели обеспечивается оценкой
Д(М) со exp(a(t- s)), ( ,«) є А (13)
при а 0, получением которой вначале и занимаемся. Положим
D = {(t,s) :0 s t s + u 2u},
Tft s, z) = R(t + kto, s)zk, (14)
где (f, s) є D, z — комплексная переменная.
Следующее утверждение устанавливает связь показателя а в оценке (13) с областью аналитичности функции Г(, s,•).
Теорема 4.1.1. 1) Пусть существует р 0 такое, что функция Г(?,І,-) аналитична внутри окружности \z\ = р и ограничена на ней равномерно по t, s при П.В. S.
Тогда найдется CQ 0 такое, что при всех t є [0,оо[ и п.в. s є [0,/] выполняется неравенство (13), где a = -(Ыр)/и .
2) Пусть существуют а и со 0 такие, что выполняется неравенство (13).
Тоща функция Г(7,5, •) аналитична внутри окружности \z\ = ехр(-псо). Для случая, когда ядро А (-,) вырождено, установлены формулы коэффициентов ряда (14):
R(t + kco.s) = Ф( , )(Я + Г(«)) В(«), (t,s) є D,
где JR(-,) — резольвента ядра А(-)В(-) уравнения (12),
Ф(ї,7з) JR(U)A(i)d ,+A(t), (t,s) е D,
s
S+Ul
s
Это дает возможность исследование устойчивости модели (3) свести к нахождению собственных чисел матрицы Е + T(s). Оказывается, что они не зависят от s, и потому справедлива
Теорема 4.1.2. Для того чтобы имела место оценка (13), условие
ЛС exp(au ), sup max Г(Ї, s, z)\\ сю (r,s)eDl2l=exp(-ftw)
достаточно, а условие
Л(1) єхр(ш )
необходимо.3
Природа модели (3) такова, что матрица U может быть найдена лишь в исключительных случаях. Поэтому, имея в виду получение практически значимого критерия, в §§4.3,4.4 разрабатывается алгоритм конструктивного исследования устойчивости рассматриваемой модели, ориентированный на применение компьютера. В качестве примера доказывается устойчивость уравнения колебаний упругой струны.
В главе 5 рассматривается "периодическая" дифференциальная модель с запаздыванием (1), описывающая, например, процесс горения в
Здесь А 1 — наибольшее по модулю собственное число матрицы
w
U ± Е + J В()Ф(,0) Ц. о
жидкостном реактивном двигателе, работу системы типа электромагнитного прерывателя, некоторые экономические процессы и др.
Первый путь исследования устойчивости данной модели, предложенный акад. Н.Н. Красовским [132] и которым идет большинство ученых, работающих в этой области [231], приводит к оценке спектрального радиуса так называемого оператора монодромии. Наиболее далеко в этом весьма трудном вопросе продвинулся проф. Ю.Ф. Долгий, предложивший метод конечномерной аппроксимации натуральной степени этого оператора. При этом ему удается исследовать асимптотическую устойчивость широкого класса моделей вида (1) [94].
Второй путь, предложенный проф. Н.В. Азбелевым и его учениками [14], заключается в переходе от модели (1) (при 0) к равносильному уравнению
т
М = Л« Я № + /( ) (t є [о,оо[),
г=1
где оператор внутренней суперпозиции 5/t. : АС71[0,6] - L7{[0, 6] определен равенством (х є АС" [0,6]) (6 є]0,оо[)
с г(А = 1х(Ч )), М )е [0,6]; ,чЧ) I 0, / ,-( ) [0,6],
т
a /W = EA-W W, где
J4f) = l ° Ігг(і)е[0Л
?№)), Іф) і [0,6].
При этом общее решение модели (1) записывается в виде
t x(t) = C(t,0)x(0)+JC(t,s)f(s)ds (іє[0,оо[),
о
и вопрос об устойчивости некоторых типов таких моделей сводится к оценке спектрального радиуса матрицы монодромии С{т{ +си,Т[) [42], а для получения эффективных признаков их устойчивости, подобно тому как это сделано в работе [126], — к оценке их мультипликаторов.
Мы изучаем устойчивость модели (1) в рамках "периодического" интегрального уравнения Вольтерры с запаздыванием
Ф) = J К& з)ФМ) ds + f{t) (t ф, оо[), (15)
где -периодические по двум аргументам п х га-матрицы А"г(-,-) таковы, что
1) Kj(-,s) измеримы и локально ограничены в существенном на [s,oc[ при п.в. s є [0,оо[;
2) Ki(t,-) суммируемы на [0,/] при всех t є [0,оо[;
3) \\Ki(t,s)\\ cexp(j(t-s)) при п.в. t є [0,оо[ и п.в. s е [О, J], где с,7 О — некоторые числа;
4) Ki(t,s) = 0 при s t]
заданные на [0,оо[ скалярные функции h{ (і = 1,..., m) измеримы. удовлетворяют условию независания ([14], с. 21) и определяют начальный промежуток ]а,0], включающий значения га,-() О при t є [0,оо[, h{(t) = t-gi(t), ш-периодические функции -(-) 0; существует число s\ 0 такое, что hi(s) 5i при s Si;
n-мерная функция /() определена на промежутке ]а,оо[, измерима и локально ограничена в существенном на нем.
Привлекательность интегральных уравнений с запаздыванием состоит в возможности приближенного нахождения резольвентных ядер как частичных сумм определяющих их рядов, а реализованные с помощью ЭВМ современные средства вычислений позволяют найти их с достаточной для практических нужд степенью точности. При этом удается: установить критерии устойчивости некоторых типов периодических моделей вида (1); полученные критерии проверить на практике, в том числе4 с применением компьютера; найти экспоненциальную оценку их решении не только с отрицательным показателем, но и с положительным, если. конечно, она в действительности такова; указать способ, позволяющий прикладнику от неустойчивой модели вида (1) перейти к устойчивой, а устойчивую оставить таковой же, но требующей меньших энергетических затрат на функционирование моделируемого ею устройства; рассмотреть трудно поддающийся исследованию случай несоизмеримых периодов коэффициентов и запаздываний.
Приведем некоторые результаты относительно модели (1) или, что то же, относительно уравнения
№ = / Е \( s)Ai(s)x(hi(s))d8 + /( ) ( е]а.оо), (16)
о i=1
где х(-, ) — характеристическая функция множества А; а- -периодичеекпе {со 0) п х га-матрицы А;() измеримы и ограничены в существенном на [0,а;]; остальные условия — те же, что и для уравнения (15).
Отметим, что приводимые здесь результаты в своей главной части не распространяются на уравнение (15) общего вида. Таким образом, оно является лишь удобным инструментом для изучения модели (1).
Пусть i?;(-, •) — резольвентные ядра уравнения (16). Введем матрицу, играющую в этом параграфе главную роль, положив при любых t и s
771
C(t, ) = /] Ш Т)Х(К(Т),З) dr + x(t, s)E. (17)
s г=1
Теорема 5.1.3. Пусть существует число s\ є [0,оо[ такое, что /гг(з) s\ при s si, а / локально абсолютно непрерывна на [,sl5 оо[. Тогда решение уравнения
І m
x(t) = J X(t, s)Ai(s)x(hi(s)) ds + /( ) (t e [s{. oo[) npif л.в. є [si,oo[) определяется формулой
W = C( ,5l)/( i) + /C( ,s)/ (s)rfe. (18)
•si
Заметим, что равенство (18) обобщает известную формулу Коши [37] для обыкновенного дифференциального ухзавнения. Поэтому С (-,-) называем матрицей Коши модели (1).
Из (18) видно, что для получения экспоненциальной оценки решения модели (1) нужна оценка
С(М) соехр(а( - )), (М)еДь (19)
где А[ = {(, s) : si s t oo}. Займемся ею. Положим
D= {(f.s) : si s t s + w si + 2u},
oo _
T{t,s,z) = JTC(t + ku,s)zk,
где (t,s) є D, z — комплексная переменная.
Следующее утверждение устанавливает связь показателя а в оценке (19) с областью аналитичности функции T(t,s, •).
Теорема 5.2.1. 1) Пусть существует р 0 такое, что функция Г(ї,,-) аналитична внутри окружности \z\ = р и ограничена на ней равномерно ПО t И S.
Тогда существует CQ 0 такое, что выполняется неравенство (19). где
a = -(\np)/u . 4
2) Пусть существуют а и с0 0 такие, что выполняется неравенство
(19).
Тоща функция Г(, s, •) аяалжтична внутри окружности \z\ = exp(-aw).
Замечание. Бросается в глаза сходство теорем 4.1.1 и 5.2.1, и может возникнуть соблазн получить оценку не C(t,s), как это делаем здесь. a J?j(t,s), подобно тому как это было сделано в главе 4. Однако такой путь, как показывает анализ, к цели не приводит. Не дает желаемого результата и попытка в главе 4 получить оценку С(, s)j, как это делаем здесь.
Пусть Л - наибольшее по модулю собственное число матрицы С ($-2,S\). На основании теоремы 5.2.1 доказывается
Теорема 5.2.2. Для того чтобы имела место оценка (19), условие
Л exp(auj)
достаточно, а условие
А exp(ato)
необходимо.
Поскольку матрица C(.S2,S[) может быть найдена лишь в исключительных случаях, то в §5.4 строится алгоритм ее (и, как следствие. Л) приближенного вычисления, позволяющий провести конструктивное исследование устойчивости изучаемой модели. В качестве иллюстрации доказана устойчивость одной из моделей динамики уровня основных производственных фондов.
Показатель а в оценке (19) может оказаться положительным; либо отрицательным, но большим по модулю. Поскольку то и другое в реальных системах нежелательно, в §5.5 разработана методика, позволяющая для этих случаев, взяв j 0, от модели (1) перейти к устойчивой модели ( €[0,оо[) x(t) = (7 - at)x(t) + е(У-«Ы1)Аг{г)х(}1 )) - (7 - a)ip(O) (0 = Р(0 ( О).1
Этот прием с технической точки зрения означает введение в моделируемое устройство обратной связи, которая и позволяет от неустойчивой модели перейти к устойчивой, а устойчивую оставить таковой же, но требующей меньшего потребления энергии моделируемым устройством. Отметим, что на практике для этого конструируются блоки запаздывания, включаемые в линии обратной связи, причем в отличие от нас величина запаздывания подбирается эмпирически.
Стремясь возможно более точно описать моделируемое устройство, в главе 6 рассматриваем случай, когда в модели (1) периоды коэффициентов А{ и запаздываний #г- несоизмеримы. Главную роль здесь играет вводимый нами класс слабо периодических матричных функций, "близких" к Д.
Определение 6.2.1. Заданную на промежутке [0,оо[ матричную функцию А\ назовем слабо периодической, если существует относительно плотное множество {тк} (к = 0,1,...) и $i 0 такие, что A(t) = A(t- тк)
При t Є [sX +Tk,Si + Tk+i[.
Это позволяет модель (1) записать в виде
m m
i(t) = Am ht(t)) + НЩ)х(к )) (t Є [0,oo[),
(0 = v(0 ( o),
где
Hl{t)±Ai(t)-A\{t) ( є[0,оо[),
и рассматривать #/(•) как постоянно действующие возмущения. Таким образом, вопрос об устойчивости модели (1) в этом случае сводится к установлению оценки вида (19) матрицы Коши С е(•, •) неоднородного уравнения (20). Приведем соответствующее утверждение.
Теорема 6.3.1. Пусть
_ sup \\С(і,з)\\ сл
S\ S t Si+T»
И
max{\\C(s[ + TUsl)\U\\C(sl-hn,sl)\\} r,
ще сі 0 и г 0 — некоторые числа. Тогда имеет место оценка
\\C(t,s)\\ cexp(a(t - в)), (М) 6 Ai,
ще
а — (In r )//5,
/? = (Pn + /?nP„+i)u, _ Ґ max{cfг-(/Нт-Ф+рп+1ы)//?} cir } при г 1, \ max{cfrPn+lW/ , СІ} при г 1.
Отметим, что весьма существенным для предлагаемого метода исследования данной модели является то, что он дает возможность получения экспоненциальной оценки ее матрицы Коши (с отрицательным показателем), если она в действительности имеет место.
В §6.5 приводится алгоритм, позволяющий провести конструктивное исследование рассматриваемой модели на устойчивость.
К предыдущей главе естественным образом примыкает глава 7, в которой рассматривается почти-периодическая дифференциальная модель
x{t) = A(t)x(t) ( є[0,оо[).
Основная идея главы б (введение слабо периодических матриц) позволяет и здесь определить экспоненциальную оценку матрицы Коши уравнения
x(t) = A{t)x(t) ( є[0,оо[)
со слабо периодической матрицей А(-), после чего А(-) - А(-) рассматриваются как постоянно действующее возмущение.
Отметим, что относительно плотное множество {тк}. используемое для построения Л(-), помимо своей основной роли, позволяет дать отличные от известных нам доказательства почти периодичности некоторых матриц; в частности, суммы и произведения периодических матриц с несоизмеримыми периодами.
Глава 8 посвящена изучению устойчивости интегральных моделей.
При составлении математической модели реального явления ее параметры (в частности, запаздывания) неизбежно определяются с некоторой погрешностью. Возникает задача о сохранении устойчивости математической модели при их возмущении. В §8.1 рассмотрен этот вопрос применительно к уравнению
t x(t) = J K{t, s)x( p{s))ds + f(t) (t ф,oo[), (21) являющемуся математической моделью, например, импульсного устройства с запаздывающей обратной связью [177]. Наряду с (21) рассмотрим модель
x{t)=jK(t,s)x(il (s))ds + f{t) (te]a,oo[), (22)
о
и пусть
6 = vrai sup\ijj(t) - f(t)\,
t[0,oo[ t
к = lim vrai sup / \\K(t + h,s) - K(t, s)\\ds,
/1-0+ є[о,оо[ I t
vrai sup / \\R(t,s)\\ds cL oo,
/Є[0,оо[ I
где -R(v) — резольвентное ядро модели (21).
Следующее утверждение дает важное для приложений конструктивное описание окрестности устойчивой модели (21).
Теорема 8.1.1. Пусть относительно моделей (21) и (22) выполнены те же условия, что и для уравнения (15), и модель (21) устойчива.
Тогда, если существует а е]0,1/(2(1 + 2с\))[ такое, что А; а, то при достаточно малом 5 устойчива и модель (22).
Отметим, что в ходе доказательства этого утверждения требуемая малость 6 устанавливается.
Последний, второй параграф восьмой главы, посвящен методу получения экспоненциальной оценки решения интегрального уравнения Воль-терры
x(t) = [K(t,s)x(s)d8 + f(t) (іє[0,оо[), (23)
о
являющегося подходящей моделью для описания, например, сосуществования двух биологических видов [314]. Пусть
K{Ls)UK(t,s)exp(P(t-s)), 0, (24)
Q{-,-) и R® (• •) — соответственно ядро вспомогательного уравнения вида (23) и его резольвента.
H(t,s)UK(t,s)-Q(t,s). (25)
Теорема 8.2.2. Пусть в модели (23)
vrai sup vrai sup \\K(t,s)\\ exp(-a!o(t - s)) ссь
t€[0,oo[ s6[0,t]
где CQ 0 и c o — некоторые числа; определенная равенством (24), где /і О — некоторое число, матрица К(-,-) имеет экспоненциальный порядок роста 7 с0 + h + 1, где
ь А (со + a) + \Асо + )2 + 4а п- 2 0 — заданное число; выполняется равенство (25), где
vrai supvrais\ipjFf(t,s) h.
te[0,oo[ s€[0,t]
Тоща, если выполняется неравенство
vrai sup vrai sup \\RQ(t, s)\\ exp(-cv(f - s)) с oo,
«Є[0,оо[ s€[0, ]
где с Co + h, то RK (-, •) удовлетворяет неравенствам
vrai sup vrai sup JR/V (t, s)\\ exp((/i - a - cr)(/ - s)) oo,
/,Є[0,оо[ sG[0, ]
vrai sup / #Л ( , s) exp((/3 - a - a)(t - s))rb oo.
Таким образом, диссертация посвящена разработке теоретических основ и эффективных методов исследования математических моделей физических, химических, биологических и других естественнонаучных, а также социальных, экономических и технических объектов, представляющих собой ф.-д. уравнения.
В каждом параграфе принята своя нумерация утверждений, определений и формул. Запись "по теореме 2.1.5", например, означает, что речь идет о теореме 5 первого параграфа второй главы. При ссылках на материал внутри главы ее номер опускается, а при ссылках на материал внутри параграфа опускается и номер последнего. Конец доказательства утверждений помечен знаком D.
Судьба сложилась так, что у меня были прекрасные учителя и друзья. В хронологическом порядке это: проф. Цалюк 3. Б., доц. Винокуров В. Р., проф. Азбелев Н. В., доценты Абдрахманов В. Г. и Чистяков А. В.. проф. Симонов П. М. Всем им я искренне признателен за многолетнее внимание к моей работе.
Не могу не высказать слова благодарности и в адрес: руководства Магнитогорского государственного университета, а также моих коллег по работе за оказанные мне помощь и поддержку.
Некоторые сведения из теории функционально-дифференциальных уравнений
Функционально-дифференциальные (ф-д) модели, учитывающие не только настоящее состояние объекта, но и его предысторию, имеют своим источником многочисленные задачи из различных областей знания. Примеры доставляют нам акустическая обратная связь [185], автоматические регуляторы ленточного тр анспоі)тера [128] и прокатного стана [173], врубовые машины [144], импульсные устройства [177], экономические системы [114] и т.д.
Многочисленность процессов, описываемых ф.-д. моделями, вызвала интенсивное развитие их теории, начавшееся в 40-х годах прошлого века. Ей полностью или в значительной степени посвящены труды Азбслева Н.В., Андрианова Д.Л., Беллмана Р., Долгого Ю.Ф., Красовского Н.Н.. Кука К., Курбатова В.Г., Максимова В.П., Мартынюка Д.И., Митро-польского Ю.А., Мышкиса А.Д., Пинни Э., Пуляева В.Ф., Рахматуллннои Л.Ф., Рубаника В.П., Румянцева А.Н., Тонкова Е.Л., Халаная А., Хейла Дж., Цалюка З.Б., Шиманова С.Н., Эльсгольца А.Э. и других ученых.
Вначале рассматривались модели с постоянными запаздываниями. Такой подход представляет собой шаг вперед по сравнению с изучением моделей "идеального" процесса, которые получаются в предположении отсутствия последействия и в ряде случаев хорошо отражают действительные явления. В других же случаях такие модели описывают процесс весьма приближенно. Так, например, модель годичного изменения численности популяции представляет собой уравнение с запаздыванием, обусловленным отставанием реакции популяции на изменение среды. При этом данный процесс хорошо описывается уравнением с постоянным запаздыванием. Но уже при изучении изменения численности популяции на протяжении нескольких лет приходится учитывать сезонные изменения среды, при которых запаздывания модельного уравнения становятся переменными, в данном случае периодическими. Таковы, например, модель [305]
Об этом вынуждены говорить многие авторы [308, 309], однако применяемый этими исследователями математический аппарат заставляет их принимать упрощающее предположение о постоянстве запаздываний. Это объясняется тем, что, хотя к настоящему времени по этой тематике и получен ряд глубоких теоретических результатов (см., например, библиографию в [221]), далеко не всегда они носят эффективный характер. А это либо затрудняет их применение на практике, либо делает его даже невозможным.2
С другой стороны, в работах сугубо прикладного характера вопрос о проверке соответствующих теорем,зачастую остается открытым, тогда как при изучении реальных систем он приобретает первостепенное, значение.
Наконец, при изучении новых моделей, например, в экономике [26]: о существующие методы оказываются неприменимыми, а имеющиеся достаточные условия — слишком грубыми и дающими практический результат лишь в исключительных случаях. Все это делает создание более глубокой теории ф.-д. уравнений, разработку эффективных методов их исследования, основанных на фундаментальных положениях общей теории и использующих богатые возможности современных вычислительных систем, актуальной задачей. Объект исследования — математические модели физических, химических, биологических и других естественнонаучных, а также социальных, экономических и технических объектов, представляющие собой Упомянем две работы, являющиеся исключением из этого "правила": Румянцев А.Н. Вычислительный эксперимент в исследовании ф.-д. моделей: теория и приложения. Автореферат ... докт. физ.-матем. наук. Казань, 1999. Ким А.В., Ложников А.Б. Математическое моделирование систем с последействием: теория, алгоритмы, программное обеспечение // Изв. ИМИ. Ижевск, 2002.- N 2. ф.-д. уравнения вида (1) - (3) и более общие. Рассмотрены ф.-д. модели с распределенным запаздыванием, почти периодические (по Бору) дифференциальные модели, а также периодические ф.-д. модели вида (1) с несоизмеримыми периодами коэффициентов и запаздываний. Цель диссертационной работы состоит в разработке ряда теоретических положений относительно общих ф.-д. моделей, в получении на их основе эффективных критериев устойчивости некоторых типов моделей (1) - (3) и создании для их проверки конструктивных методов, основанных на применении современных компьютерных технологий. Научная новизна. Выносимые на защиту результаты являются новыми. Среди них отметим следующие: - установлен ряд свойств интегралов Римана-Стилтьеса и Лебега-Стилтьеса, с помощью которых выведены формулы Грина (Коши) представления решения общей краевой задачи для ф.-д. моделей, широко используемые при исследовании их устойчивости; - разработаны конструктивные методы исследования устойчивости периодических ф.-д. моделей с распределенным и сосредоточенным запаздываниями, допускающие применение компьютера; - разработан эффективный метод исследования устойчивости периодического дифференциального уравнения с запаздываниями, являющегося моделью процесса горения в камере жидкостного реактивного двигателя; - создан эффективный метод установления устойчивости периодической дифференциальной модели с сосредоточенными запаздываниями для случая несоизмеримых периодов коэффициентов и запаздываний как наиболее точно описывающий изучаемое устройство; - разработаны методы установления устойчивости почти-периодической дифференциальной модели; - получен эффективный признак устойчивости интегрального уравнения Вольтерры с запаздыванием, являющегося моделью импульсного устройства с запаздывающей обратной связью; - разработана методика, позволяющая с помощью введения в изучаемое устройство обратной связи от неустойчивой ф.-д. модели перейти к устойчивой, а для устойчивой, оставляя ее таковой же, добиться потребления моделируемым устройством как можно меньшего количества энергии. Методы исследования. В основе полученных в диссертации ре зультатов лежат методы функционального анализа, теории функций действительной и комплексной переменных, ф.-д. и интегральных уравнений и алгебры. Теоретическая и практическая значимость. Предложенные в диссертационной работе методы являются конструктивными. Они изложены в форме, удобной для практических расчетов, а разработанные на их основе алгоритмы могут быть применены для установления устойчивости многих экономических систем, импульсных устройств с запаздывающей обратной связью, процессов горения в реактивных двигателях и других объектов. Полученные результаты могут быть использованы также в различных разделах математики: функциональном анализе, теории функций, дифференциальных и интегральных уравнениях с запаздыванием.
Аналитические выражения для некоторых сопряженных операторов
Научная новизна. Выносимые на защиту результаты являются новыми. Среди них отметим следующие: - установлен ряд свойств интегралов Римана-Стилтьеса и Лебега-Стилтьеса, с помощью которых выведены формулы Грина (Коши) представления решения общей краевой задачи для ф.-д. моделей, широко используемые при исследовании их устойчивости; - разработаны конструктивные методы исследования устойчивости периодических ф.-д. моделей с распределенным и сосредоточенным запаздываниями, допускающие применение компьютера; - разработан эффективный метод исследования устойчивости периодического дифференциального уравнения с запаздываниями, являющегося моделью процесса горения в камере жидкостного реактивного двигателя; - создан эффективный метод установления устойчивости периодической дифференциальной модели с сосредоточенными запаздываниями для случая несоизмеримых периодов коэффициентов и запаздываний как наиболее точно описывающий изучаемое устройство; - разработаны методы установления устойчивости почти-периодической дифференциальной модели; - получен эффективный признак устойчивости интегрального уравнения Вольтерры с запаздыванием, являющегося моделью импульсного устройства с запаздывающей обратной связью; - разработана методика, позволяющая с помощью введения в изучаемое устройство обратной связи от неустойчивой ф.-д. модели перейти к устойчивой, а для устойчивой, оставляя ее таковой же, добиться потребления моделируемым устройством как можно меньшего количества энергии. Методы исследования. В основе полученных в диссертации ре зультатов лежат методы функционального анализа, теории функций действительной и комплексной переменных, ф.-д. и интегральных уравнений и алгебры. Теоретическая и практическая значимость. Предложенные в диссертационной работе методы являются конструктивными. Они изложены в форме, удобной для практических расчетов, а разработанные на их основе алгоритмы могут быть применены для установления устойчивости многих экономических систем, импульсных устройств с запаздывающей обратной связью, процессов горения в реактивных двигателях и других объектов.
Полученные результаты могут быть использованы также в различных разделах математики: функциональном анализе, теории функций, дифференциальных и интегральных уравнениях с запаздыванием.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на международных конференциях: "Нелинейные колебания" (Будапешт, 1987), "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (Челябинск, 2000, 2002), "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Уфа, 2000); на всесоюзных: "Функционально-дифференциальные уравнения" (Магнитогорск, 1984), (Душанбе, 1987),"Качественная теория дифференциальных уравнений" (Рига, 1989); на всесоюзной школе по теории операторов (Тамбов, 1987); на республиканской конференции "Теория и численные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений" (Рига. 1988); на Понтрягинских чтениях-4 (Воронеж, 1993); на всероссийской математической конференции (Магнитогорск, 1999); на Уральских региональных конференциях " Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Пермь, 1988; Уфа, 1999, 2003); на второй северокавказской региональной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям (Махачкала, 1989); на конференциях математических кафедр пединститутов Уральской зоны (Ижевск. 1969); на межвузовской конференции "Проблемы физико-математического образования в педагогических вузах России на современном этапе" (Магнитогорск, 1996); на конференции по дифференциальным уравнениям с отклоняющимся аргументом в университете Дружбы народов им. П. Лумумбы (Москва, 1969); на 14-й научно-технической конференции ВЗПИ (Москва, 1970); на научно-технических конференциях Пермского политехнического института (Пермь, 1976 - 1983); на Пермском город ском семинаре по ФДУ под руководством проф. Азбелева Н.В. (1988 -2000); на Магнитогорском городском семинаре по ФДУ (1986 - 1988): на Екатеринбургском городском семинаре по уравнениям с запаздыванием под руководством проф. Долгого Ю.Ф. (2001); на Ижевском городском семинаре под руководством проф. Тонкова Е.Л. (2002). Публикации. Результаты диссертации представлены в работах [260] - [310]. Содержание и основные результаты. В главе 1 для удобства дальнейшего чтения приведены некоторые сведения из различных разделов математики.В главе 2 рассматриваются некоторые вопросы теории функций и функционального анализа. Полученные здесь результаты используются ниже, но имеют и самостоятельный интерес.
Известно, что при построении общих ф.-д. моделей широко используются интегралы Римана-Стилтьеса и Лебега-Стилтьеса. Так, подобные модели в теории оптимального управления использовал акад. Красовскып Н.Н. [312]; такие уравнения являлись предметом исследования А.Д. Мы-шкиса [180], и им установлен ряд свойств интеграла Римана-Стилтьеса. и т.д. При этом развитие теории таких моделей (см., например, [26]) требует знания новых свойств этих интегралов. Отметим, что условия Q легко проверяются на практике, чем приведенное утверждение выгодно отличается от несимметричной теоремы Фубини, установленной известными американскими математиками Камероном и Мартином [243].
При изучении ф.-д. модели, как и при рассмотрении уравнений в произвольных банаховых пространствах, большую роль играет сопряженное уравнение. Оно позволяет, в частности, установить формулу представления общего решения рассматриваемой модели (типа формулы вариации постоянных), используемую, в свою очередь, для решения ряда задач прикладного характера, связанных с устойчивостью, различными оценками их решений и т.д. При этом неизбежно встает вопрос о построении соответствующих сопряженных операторов. Полученные в работе аналитические выражения для некоторых сопряженных операторов, в основном неограниченных, собраны в 2.2. Остановимся на одном из них.
Разрешимость задачи Коши для функционально-дифференциальной модели с распределенным запаздыванием
Природа модели (3) такова, что матрица U может быть найдена лишь в исключительных случаях. Поэтому, имея в виду получение практически значимого критерия, в 4.3,4.4 разрабатывается алгоритм конструктивного исследования устойчивости рассматриваемой модели, ориентированный на применение компьютера. В качестве примера доказывается устойчивость уравнения колебаний упругой струны.
В главе 5 рассматривается "периодическая" дифференциальная модель с запаздыванием (1), описывающая, например, процесс горения в жидкостном реактивном двигателе, работу системы типа электромагнитного прерывателя, некоторые экономические процессы и др.
Первый путь исследования устойчивости данной модели, предложенный акад. Н.Н. Красовским [132] и которым идет большинство ученых, работающих в этой области [231], приводит к оценке спектрального радиуса так называемого оператора монодромии. Наиболее далеко в этом весьма трудном вопросе продвинулся проф. Ю.Ф. Долгий, предложивший метод конечномерной аппроксимации натуральной степени этого оператора. При этом ему удается исследовать асимптотическую устойчивость широкого класса моделей вида (1) [94].
Второй путь, предложенный проф. Н.В. Азбелевым и его учениками [14], заключается в переходе от модели (1) (при 0) к равносильному уравнению и вопрос об устойчивости некоторых типов таких моделей сводится к оценке спектрального радиуса матрицы монодромии С{т{ +си,Т[) [42], а для получения эффективных признаков их устойчивости, подобно тому как это сделано в работе [126], — к оценке их мультипликаторов.
Мы изучаем устойчивость модели (1) в рамках "периодического" интегрального уравнения Вольтерры с запаздыванием где -периодические по двум аргументам п х га-матрицы А"г(-,-) таковы, что 1) Kj(-,s) измеримы и локально ограничены в существенном на [s,oc[ при п.в. s є [0,оо[; 2) Ki(t,-) суммируемы на [0,/] при всех t є [0,оо[; 3) \\Ki(t,s)\\ cexp(j(t-s)) при п.в. t є [0,оо[ и п.в. s е [О, J], где с,7 О — некоторые числа; 4) Ki(t,s) = 0 при s t] заданные на [0,оо[ скалярные функции h{ (і = 1,..., m) измеримы. удовлетворяют условию независания ([14], с. 21) и определяют начальный промежуток ]а,0], включающий значения га,-() О при t є [0,оо[, h{(t) = t-gi(t), ш-периодические функции -(-) 0; существует число s\ 0 такое, что hi(s) 5i при s Si. Привлекательность интегральных уравнений с запаздыванием состоит в возможности приближенного нахождения резольвентных ядер как частичных сумм определяющих их рядов, а реализованные с помощью ЭВМ современные средства вычислений позволяют найти их с достаточной для практических нужд степенью точности. При этом удается: установить критерии устойчивости некоторых типов периодических моделей вида (1); полученные критерии проверить на практике, в том числе4 с применением компьютера; найти экспоненциальную оценку их решении не только с отрицательным показателем, но и с положительным, если. конечно, она в действительности такова; указать способ, позволяющий прикладнику от неустойчивой модели вида (1) перейти к устойчивой, а устойчивую оставить таковой же, но требующей меньших энергетических затрат на функционирование моделируемого ею устройства; рассмотреть трудно поддающийся исследованию случай несоизмеримых периодов коэффициентов и запаздываний. Приведем некоторые результаты относительно модели (1) или, что то же, относительно уравнения где х(-, ) — характеристическая функция множества А; а- -периодичеекпе {со 0) п х га-матрицы А;() измеримы и ограничены в существенном на [0,а;]; остальные условия — те же, что и для уравнения (15). Отметим, что приводимые здесь результаты в своей главной части не распространяются на уравнение (15) общего вида. Таким образом, оно является лишь удобным инструментом для изучения модели (1). Пусть i?;(-, ) — резольвентные ядра уравнения (16). Введем матрицу, играющую в этом параграфе главную роль, положив при любых t и s Заметим, что равенство (18) обобщает известную формулу Коши [37] для обыкновенного дифференциального ухзавнения. Поэтому С (-,-) называем матрицей Коши модели (1). Из (18) видно, что для получения экспоненциальной оценки решения модели (1) нужна оценка где (t,s) є D, z — комплексная переменная. Следующее утверждение устанавливает связь показателя а в оценке (19) с областью аналитичности функции T(t,s, ). Теорема 5.2.1. 1) Пусть существует р 0 такое, что функция Г(ї,,-) аналитична внутри окружности \z\ = р и ограничена на ней равномерно ПО t И S. Тогда существует CQ 0 такое, что выполняется неравенство (19). где 2) Пусть существуют а и с0 0 такие, что выполняется неравенство (19). Тоща функция Г(, s, ) аяалжтична внутри окружности \z\ = exp(-aw). Замечание. Бросается в глаза сходство теорем 4.1.1 и 5.2.1, и может возникнуть соблазн получить оценку не C(t,s), как это делаем здесь. a J?j(t,s), подобно тому как это было сделано в главе 4. Однако такой путь, как показывает анализ, к цели не приводит. Не дает желаемого результата и попытка в главе 4 получить оценку С(, s)j, как это делаем здесь.
Вспомогательные соотношения, использующие композиционное произведение ядер
Привлекательность интегральных уравнений с запаздыванием состоит в возможности приближенного нахождения резольвентных ядер как частичных сумм определяющих их рядов, а реализованные с помощью ЭВМ современные средства вычислений позволяют найти их с достаточной для практических нужд степенью точности. При этом удается: установить критерии устойчивости некоторых типов периодических моделей вида (1); полученные критерии проверить на практике, в том числе4 с применением компьютера; найти экспоненциальную оценку их решении не только с отрицательным показателем, но и с положительным, если. конечно, она в действительности такова; указать способ, позволяющий прикладнику от неустойчивой модели вида (1) перейти к устойчивой, а устойчивую оставить таковой же, но требующей меньших энергетических затрат на функционирование моделируемого ею устройства; рассмотреть трудно поддающийся исследованию случай несоизмеримых периодов коэффициентов и запаздываний.
Приведем некоторые результаты относительно модели (1) или, что то же, относительно уравнения где х(-, ) — характеристическая функция множества А; а- -периодичеекпе {со 0) п х га-матрицы А;() измеримы и ограничены в существенном на [0,а;]; остальные условия — те же, что и для уравнения (15). Отметим, что приводимые здесь результаты в своей главной части не распространяются на уравнение (15) общего вида. Таким образом, оно является лишь удобным инструментом для изучения модели (1).
Пусть i?;(-, ) — резольвентные ядра уравнения (16). Введем матрицу, играющую в этом параграфе главную роль, положив при любых t и s Заметим, что равенство (18) обобщает известную формулу Коши [37] для обыкновенного дифференциального ухзавнения. Поэтому С (-,-) называем матрицей Коши модели (1). Из (18) видно, что для получения экспоненциальной оценки решения модели (1) нужна оценка где (t,s) є D, z — комплексная переменная. Следующее утверждение устанавливает связь показателя а в оценке (19) с областью аналитичности функции T(t,s, ). Теорема 5.2.1. 1) Пусть существует р 0 такое, что функция Г(ї,,-) аналитична внутри окружности \z\ = р и ограничена на ней равномерно ПО t И S. Тогда существует CQ 0 такое, что выполняется неравенство (19). где 2) Пусть существуют а и с0 0 такие, что выполняется неравенство (19). Тоща функция Г(, s, ) аяалжтична внутри окружности \z\ = exp(-aw). Замечание. Бросается в глаза сходство теорем 4.1.1 и 5.2.1, и может возникнуть соблазн получить оценку не C(t,s), как это делаем здесь. a J?j(t,s), подобно тому как это было сделано в главе 4. Однако такой путь, как показывает анализ, к цели не приводит. Не дает желаемого результата и попытка в главе 4 получить оценку С(, s)j, как это делаем здесь. Пусть Л - наибольшее по модулю собственное число матрицы С ($-2,S\). На основании теоремы Поскольку матрица C(.S2,S[) может быть найдена лишь в исключительных случаях, то в 5.4 строится алгоритм ее (и, как следствие. Л) приближенного вычисления, позволяющий провести конструктивное исследование устойчивости изучаемой модели. В качестве иллюстрации доказана устойчивость одной из моделей динамики уровня основных производственных фондов. Показатель а в оценке (19) может оказаться положительным; либо отрицательным, но большим по модулю. Поскольку то и другое в реальных системах нежелательно, в 5.5 разработана методика, позволяющая для этих случаев, взяв j 0, от модели (1) перейти к устойчивой модели. Матрицы Д,-(-,-), а, следовательно, и С(-,-), удовлетворяют третьему но условий на ядра уравнения (25). Поэтому радиус окружности, внутри которой функция Г( ) ана-литична, отличен от 0. Этот прием с технической точки зрения означает введение в моделируемое устройство обратной связи, которая и позволяет от неустойчивой модели перейти к устойчивой, а устойчивую оставить таковой же, но требующей меньшего потребления энергии моделируемым устройством. Отметим, что на практике для этого конструируются блоки запаздывания, включаемые в линии обратной связи, причем в отличие от нас величина запаздывания подбирается эмпирически. Стремясь возможно более точно описать моделируемое устройство, в главе 6 рассматриваем случай, когда в модели (1) периоды коэффициентов А{ и запаздываний #г- несоизмеримы. Главную роль здесь играет вводимый нами класс слабо периодических матричных функций, "близких" к Д.
