Введение к работе
Актуальность темы
Существует большой класс математических объектов, которые могут находиться в двух состояниях - объекты с бинарными характеристиками. Среди них есть объекты со сложной внутренней структурой, в которых смена состояний достигается за счет взаимодействия большого количества элементов. К таким объектам относятся неупорядоченные ансамбли, в которых имеются связи между соседними элементами. В рамках данной работы рассматриваются ансамбли геометрических офаниченных трехмерных элементов, которые расположены в офаниченном трехмерном промежутке. Условно назовем состояния всего объекта активным и неактивным. При достижении определенной концентрации активных элементов составной объект изменяет состояние на активное за счет того, что образуется непрерывный путь, проходящий через активные элементы, соединяющий противоположные фани промежутка. Минимальная концентрация активных элементов, при которой возникает путь, называется пороговой, а состояние объекта - пороговым. Для исследования таких объектов используется теория пер-коляции, целью которой является математическое описание структур, возникающих вблизи порогового состояния и непосредственно в пороговом состоянии объекта.
Эта теория представляет большой интерес как с математической, так и прикладных точек зрения. Теория перколяции оказалась удобной для описания эффектов, возникающих в широком классе явлений. В физике эта теория используется для исследования явлений переноса. Элементам математической модели соответствуют проводящие, горящие, активные и т.д. области физической среды. Теория позволяет предсказывать возможность или невозможность протекания сквозь пористые среды, горения аэрозолей, фазовых переходов и многих других явлений, а также предсказывать свойства областей переноса. Дополнение базовой модели определенными параметрами и условиями позволяет использовать для описания специфических явлений. Примером служит модель перколяционных эффектов лавинно-стримерного перехода, моделирование которого затрагивает данная диссертация.
Исторически теория перколяции восходит к работам P.J. Flory и W.H. Stockmayer. Математическая теория перколяции развивалась J. Hammersley, S. Kirkpatrick, Б.И. Шкловским, А.Л. Эфросом, S. Havlin, G.E. Pike и многими другими. Вопросами применения направленной перколяции занимались Н. Hinrichsen, Д.И. Иудин, В.Ю. Трахтен-герц. Модель перколяционных эффектов начальной стадии искрового пробоя газов, которая включает множественное развитие структурных элементов, была предложена Х.Д. Ламажаповым.
Некоторые задачи теории перколяции были решены аналитически. Однако сложность аналитических решений заставляет исследователей прибегать к численным методам. А добавление специфических параметров в модель, приводит к тому, что получение результатов не обходится без интенсивных вычислений.
Наиболее исследованными являются решеточные модели объектов с бинарными характеристиками. Подробно исследованы двумерные решетки такими авторами как M.F. Sykes, J.W. Essam и другими. В таких моделях проводящие элементы расположены в строго определенных местах решетки: узлах, ребрах или гранях. Эта математическая модель применима к физическим процессам, в которых элементы имеют простое поведение и расположены, например, в кристаллических решетках.
Однако существует ряд физических процессов, в которых проводящие элементы могут располагаться в произвольной точке промежутка и иметь более сложные харак-
теристики. Для моделирования таких сред в трехмерном случае удобно использовать не решетчатые модели, а модели, содержащие ансамбль однотипных элементов. При этом каждый элемент наделяется тремя и более степенями свободы. Актуальность данной работы обусловлена необходимостью исследовать зависимости свойств объекта с бинарными характеристиками от характеристик составляющих его элементов. А так как далеко не все параметры отдельного элемента влияют на свойства всего объекта с бинарными характеристиками, то важным является поиск наиболее сильных зависимостей.
В рамках данной работы рассмотрены два вида задач. Обе основаны на использовании элементов, чья форма представлена вытянутыми параллелепипедами с семью геометрическими параметрами. Три параметра задают положение в пространстве, два параметра задают ориентацию, один параметр - длину, и один параметр - длину ребра квадратного основания.
Первый вид задач направлен на исследование свойств контактных кластеров, составленных из случайно разбросанных параллелепипедов в конечном трехмерном промежутке. Результаты, полученные при решении данного вида задач, позволяют предсказывать свойства процессов переноса в физических объектах.
Во втором случае геометрические параметры зависели от времени, и добавлялись параметры, определяющие электростатическое взаимодействие. Таким образом, достигалось сходство свойств элементов модели со структурными элементами газового разряда. Второй вид задач направлен на изучение динамики формирования проводящей структуры в низкотемпературной плазме, возникающей в начальной стадии искрового пробоя. Полученные результаты позволяют объяснять особенности этого явления.
Работа выполнялась при финансовой поддержке гранта ГК П939 "Исследование процессов перестройки пограничного слоя газа при возбуждении разряда на поверхности с развитым микро- и макрорельефом".
Целью работы является изучение численными методами свойств контактных кластеров, возникающих в объектах с бинарными характеристиками.
Методы исследования, используемые в диссертации, основаны на положениях таких областей, как вычислительная математика, имитационное моделирование, теория перколяции, фракталов, графов, газового разряда. Задачи диссертационной работы:
-
Анализ существующих моделей объектов с бинарными характеристиками и обоснование актуальности разработки новой модели.
-
Разработка модели объекта с бинарными характеристиками на основе ансамбля параллелепипедов.
-
Разработка алгоритмов, структур данных и программного комплекса для исследования математических свойств контактных кластеров в ансамбле параллелепипедов.
-
Исследование с помощью программного комплекса математических свойств контактных кластеров в ансамбле параллелепипедов.
-
Исследование свойств математической модели объекта с бинарными характеристиками в динамической постановке, для которой используются дополнительные параметры, такие, что поведение элементов модели похоже на поведение структурных элементов искрового пробоя.
Научная новизна: 1) Построена математическая модель объекта с бинарными характеристиками на основе ансамбля параллелепипедов.
-
Разработан метод для определения типа пересечения куба и кластера на основе линейных неравенств, который используется в алгоритме для определения фрактальной размерности поверхности кластера, в промежуточной асимптотике.
-
Получена зависимость порогового значения рс от максимального разрешенного угла отклонения от оси z G^ для ансамбля вытянутых параллелепипедов, гдед, =NvlV, jV — количество элементов в ансамбле, v — объем одного элемента, V - объем промежутка.
-
Показано, что дипольное взаимодействие элементов ускоряет образование перколя-ционного кластера в динамической модели.
-
Получена зависимость продольного размера от времени для самого большого кластера в динамической модели.
Теоретическая и практическая ценность работы:
-
Разработана модель объекта с бинарными характеристиками, а также алгоритмы, структуры данных и программный комплекс для исследования свойств контактных кластеров в ансамбле параллелепипедов; модель позволяет использовать такие характеристики как угловое распределение, вытянутость элементов; программный комплекс позволяет производить поиск пороговой концентрации проводящей фазы, находить контактные кластеры, вычислять фрактальные размерности кластеров, оценивать динамику переноса внутри кластера, вычислять длину путей внутри кластера, моделировать динамику роста кластеров с учетом дипольного взаимодействия элементов.
-
Данные, полученные при исследовании статического ансамбля параллелепипедов, используются для оценки свойств кластеров, возникающих в объектах с бинарными характеристиками.
-
Данные, полученные при исследовании свойств математической модели перколяци-онных эффектов начальной стадии искрового пробоя газов, используются для объяснения особенностей начальной стадии искрового пробоя.
Положения, выносимые на защиту:
-
Математическая модель объекта с бинарными характеристиками на основе ансамбля параллелепипедов.
-
Метод определения типа пересечения куба и кластера на основе линейных неравенств.
-
Программный комплекс для исследования математических свойств контактных кластеров в ансамбле параллелепипедов.
-
Зависимость порогового значения рс от максимального разрешенного угла отклонения элементов от оси z 8шах, где pc=Nv/V, N - количество элементов в ансамбле, v - объем одного элемента, V - объем промежутка.
-
Зависимость скорости формирования наибольшего кластера от времени для случаев, когда присутствует и когда отсутствует дипольное взаимодействие элементов.
Апробация работы
Результаты обсуждались на конференциях «Fourth international conference on the frontiers of Plasma physics and technology», Kathmandu 2009, Nepal; на 35й Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС в 2008, г. Звенигород; на 37й Международной (Звенигородской) конференции по физике плазмы и УТС в 2010 году, г. Звенигород; на международной конференции с элементами научной школы для
молодежи «Перспективные информационные технологии для авиации и космоса (ПИТ-2010)», г. Самара, 2010 г.
Внедрение результатов работы
Результаты исследований внедрены в ИСОИ РАН и СГАУ, что подтверждается актами о внедрении.
Публикации
Всего 12 публикаций, которые включают 3 публикации в журналах, рекомендованных ВАК РФ, 7 публикаций в трудах конференций, 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. Полный список приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из перечня условных обозначений и сокращений, введения, трех глав, заключения, списка литературы. Работа изложена на 152 страницах, включая 69 рисунков и 9 таблиц. Пять приложений размещены на 24 страницах. Библиография включает 124 наименования.
