Введение к работе
Ряды и интегралы Фурье - классические средства спектрального анализа (см. Г.М. Фихтенгольц), позволяющие выделять присутствующие в математической модели сигнала гармоники и отдельные всплески. Они имеют существенный недостаток (см. И. Добеши) - сложность алгоритмов извлечения информации о наличии в математической модели сигнала высокочастотных пульсаций c коротким сроком их действия, то есть информации о детальной структуре сигнала. Анализ Фурье в случае, когда в сигнале возникают (или исчезают) некоторые гармонические составляющие или частота плавно изменяется с течением времени, также дает неудовлетворительные результаты (см. A. Abatte). Вейвлет-анализ (см. И. Добеши, А.А. Короновский) спектра сигналов не имеет этих недостатков и является важнейшим средством спектрального анализа. Развитие этого направления - создание новых средств спектрального анализа, не имеющих подобно интегральным вейвлет-преобразованиям указанных недостатков анализа Фурье и отличающихся от вейвлет-преобразования более простыми алгоритмами реализации, является актуальной задачей.
В работах В.Л. Леонтьева предлагаются сеточные ортогональные базисные функции с конечными носителями (ОФФ), которые имеют более простую по сравнению с вейвлетами структуру и являются основой для построения интегральных преобразований более эффективных по сравнению с вейвлет-преобразованиями в спектральном анализе моделей сигналов.
Цель работы. Целью диссертационной работы является получение интегральных преобразований, основанных на использовании ортогональных финитных функций, предложенных в работах В.Л. Леонтьева, и -сплайнов, исследование их эффективности в спектральном анализе математических моделей сигналов.
Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:
получение интегральных преобразований, основанных на использовании сеточных вещественных финитных функций (ортогональных финитных функций и -сплайнов) различных степеней;
построение комплексных финитных функций на основе вещественных финитных функций;
создание с помощью комплексных финитных функций систем сеточных ортогональных комплексных финитных функций (КОФФ), исследование их ортогональности и аппроксимирующих свойств;
моделирование сигналов с помощью ортогональных финитных функций;
получение интегральных преобразований, основанных на использовании сеточных комплексных ортогональных финитных функций и разработка связанных с ними алгоритмов численных методов спектрального анализа сигналов;
создание на базе полученных в работе теоретических результатов программы Transform реализации численных методов спектрального анализа сигналов;
исследование эффективности численных алгоритмов, определяемых новыми интегральными преобразованиями, полученными на основе использования комплексных и действительных финитных функций, в спектральном анализе тестовых математических моделей сигналов и при исследовании моделей реальных сигналов.
Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы математического анализа, функционального анализа, теории аппроксимации, математического моделирования, линейной алгебры, вычислительной математики. Для программной реализации численных методов спектрального анализа сигналов использован язык программирования Object Pascal и среда разработки программ Delphi 6.0.
Достоверность результатов. Достоверность результатов диссертации обеспечивается строгостью формулировок теоретических положений и их математических доказательств, а также проверкой адекватности полученных теоретических результатов на основе численных расчетов. Достоверность подтверждается сравнением результатов численных расчетов с аналогичными результатами, полученными в работах других авторов.
Научная новизна. В результате выполненной научной работы:
- получены сеточные комплексные финитные функции, основанные на вещественных финитных функциях, исследованы их аппроксимирующие свойства;
- разработана методика математического моделирования сигналов с помощью ОФФ и КОФФ;
- построены на основе комплексных и действительных финитных функций прямые и обратные интегральные преобразования, которые по структуре и способам получения отличаются от комплексных и действительных прямых и обратных интегральных вейвлет-преобразований;
- изучены основные свойства полученных интегральных преобразований, которые подобны аналогичным свойствам интегральных вейвлет-преобразований;
- показана более высокая эффективность новых интегральных преобразований в спектральном анализе моделей сигналов по сравнению с интегральными вейвлет-преобразованиями.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее практическая ценность определяется тем, что полученные теоретические результаты могут быть использованы в построении математических моделей сигналов различного физического происхождения и в их спектральном анализе.
На защиту выносятся:
построение сеточных комплексных финитных функций, основанных на вещественных финитных функциях, исследование ортогональности и аппроксимирующих свойств;
создание методики математического моделирования сигналов, основанной на использовании ОФФ и КОФФ;
разработка и исследование интегральных преобразований, связанных с комплексными и действительными финитными функциями;
программа Transform компьютерной реализации численных методов спектрального анализа сигналов, основанных на полученных в работе теоретических результатах;
исследование эффективности новых численных методов спектрального анализа сигналов при решении тестовых задач, подтверждающее достоверность созданных в диссертации теоретических основ и показывающее более высокую эффективность новых интегральных преобразований в спектральном анализе моделей сигналов по сравнению с интегральным преобразованием Фурье и интегральными вейвлет-преобразованиями;
исследование эффективности полученных интегральных преобразований в спектральном анализе реальных метеорологических сигналов, заданных в цифровой форме.
Апробация работы и публикации. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
Шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия) (Сочи, 2005 г.);
Международной конференции «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике», секции «Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники» (Ульяновск, 2005 г.);
Шестой Международной конференции «Математическое моделирование физических, технических, экономических социальных систем и процессов» (Ульяновск: УлГУ, 2005 г.);
Седьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) (Кисловодск, 2006 г.);
VII Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2006 г.);
Международной конференции «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике», секции «Математические методы и модели в прикладных задачах науки и техники» (Ульяновск, 2006 г.), а также на научных семинарах Ульяновского государственного университета и Ульяновского государственного технического университета.
Личный вклад автора. Постановка задач осуществлялась научным руководителем, д.ф-м.н., профессором В.Л. Леонтьевым. Построение комплексных ортогональных финитных функций различных порядков на основе действительных ортогональных финитных функций, исследование их свойств, доказательства теорем, разработка программы Transform, проведение расчетов и анализ полученных результатов выполнены автором самостоятельно.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ (3 работы в журналах из списка ВАК). Список опубликованных работ помещен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, выводов, списка литературы из 94 наименований и 4 приложений. Общий объем диссертации составляет 162 страницы (основной текст – 110 страниц). Работа содержит 166 рисунков, 3 таблицы.
