Введение к работе
1. Для функций , являющихся решениями дифференциальных уравнений, получаемых в качестве моделей технических задач и допускающих разложения в цепную дробь (ЦД)
(1)
где , зависят от , исследуются вопросы скорости сходимости подходящих дробей
к функции .
2. Устанавливается связь интегрально-интерполяционных многочленов, введенных В. Г. Власовым для решения практических запросов кораблестроения, с и связь последних со смешанными рядами по классическим ортогональным многочленам, введенными И.И. Шарапудиновым для численного решения дифференциальных уравнений.
Актуальность и степень разработанности темы исследования. Конечные ЦД появились в «Алгебре» итальянского математика Р. Бомбелли (1572). Бесконечные ЦД впервые были рассмотрены лордом Броункером, первым президентом Королевского общества. Основателем теории ЦД как самостоятельного раздела математики является Л. Эйлер. Разложения в ЦД для функций комплексного переменного стали важным средством аппроксимации специальных классов аналитических функций в работах Эйлера, Ламберта, Лагранжа, Гаусса, Галуа, Рамануджана, Пуанкаре, Стилтьеса и др. Методы, разработанные Фробениусом и Паде в конце 19 века для приближения аналитических функций подходящими дробями ЦД, под общим названием аппроксимаций Паде, в 20 веке стали главным вычислительным средством в задачах статистической механики и физики твердого тела, быстро распространяясь на другие разделы теоретической физики. ЦД посвящены монографии и обзорные статьи.
Вычисление производится «снизу вверх» и записывается с помощью рекуррентных соотношений
(2)
Тогда .
Цель работы. При вычислении по (2) достижение заданной точности проверяется по формуле , что очень неудобно, так как для вычисления каждой следующей подходящей дроби нужно все вычисления повторять сначала. Чтобы избавиться от этого неудобства, нужны двусторонние оценки погрешности . В работе, в частности, даются такие оценки.
В соответствии с заданной целью исследований в работе поставлены и решены следующие основные задачи:
-
Изучить возможность использования подходящих дробей цепных дробей в качестве аппарата аппроксимации специальных функций. Специальные функции выступают как решения дифференциальных уравнений.
-
Получить такие двусторонние оценки погрешности аппроксимации функций подходящими дробями, которые позволили бы выразить количественно погрешность через число используемых арифметических операций.
-
Провести анализ влияния количества операций различных аппаратов аппроксимации на погрешность аппроксимации.
-
Разработать алгоритмы численного решения задач дифференциальных уравнений с использованием аппарата цепных дробей.
Научная новизна исследования.
1. Основные рекуррентные соотношения для и позволяют получить для двусторонние оценки когда элементы и имеют вид , , где – некоторая функция и соответствующее значение ЦД является решением дифференциального уравнения, моделирующего некоторый физический, биологический и т. д. процесс.
2. Кроме того дается простое доказательство теоремы А. Гурвица (в одну сторону) используя скорость сходимости ЦД для «золотого сечения» .
Теоретическая значимость диссертационного исследования заключается в том, что полученные в диссертации результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях, связанных с разложениями функций в ЦД, при численном решении дифференциальных уравнений, где вопросы скорости сходимости играют важную роль. Они представляют интерес для специалистов по математической и теоретической физике, математическому анализу, дифференциальным уравнениям, специальным функциям математической физики и их приложениям.
Практическая значимость диссертационного исследования заключается в том, что результаты могут применяться при численном анализе математических моделей различных естественнонаучных задач, связанных с динамикой явления.
Методология и методы исследования. Для проведения исследования использованы методы функционального анализа; дифференциальных уравнений; теории ЦД, как аппарата приближения функций.
К основным положениям, составляющим новизну проведенного исследования и выносимым на защиту можно отнести следующее:
-
Построены цепные дроби для основных классов специальных функций.
-
Получены двусторонние оценки аппроксимации специальных функций подходящими дробями заданного порядка.
-
Получены зависимости погрешностей от количества производимых алгебраических операций. Аналогичные зависимости в случае многочленов и рациональных дробей были известны.
-
Разработаны различные алгоритмы решения дифференциальных уравнений.
Степень достоверности и апробация результатов исследования. Все результаты, изложенные в работе, приводятся с подробными доказательствами, докладывались на конференциях (Махачкала, 1998 г., Ростов-на-Дону, 1999 г., Воронеж, 1999 г., 2001 г.) и напечатаны в тезисах названных конференций и в статьях автора (см. список опубликованных научных работ автора).
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, двух приложений и списка использованной литературы. Общий объем диссертационной работы составляет 86 стр. машинописного текста и списка литературы из 26 наименований.
