Содержание к диссертации
Введение
1. Особенности динамики гранулированных сред 16
1.1. Флюидизация и конденсация гранулированных сред под воздействием вибрации 1 б
1.2. Конвекционные течения в гранулированных средах 18
1.3. Сегрегация г ранул припайных сред 20
1.4. Поверхностные структуры в тонких слоях гранул игр о ванных сред 22
1.5. Волны плотности при свободном падении гранулированных сред 23
1.6. Кластеризация и коллапс в гранулированных средах 24
1.7. Гидродинамический подход к описанию динамики гранулированных сред 26
1.8. Возможные направления исследования динамики гранулированных сред 29
2. Математическое описание динамики гранулированной системы 34
2.1. Постановка задачи о релаксации гранулированной системы 34
2.2. Этапы математического моделирования 36
2.3. Математическая модель гранулированной системы 39
2.4. Метод моделирования динамики гранулированной системы . 41
2.5. Формулы пересчета скоростей сталіолвающихся частиц гранулированной системы 44
2.6. Начальные и краевые условия. Значения параметров модели 53
2.7. Исследуемые величины, характеризующие состояние гранулированной системы 56
3. Релаксационные процессы в системе твердых абсолютно упругих некращающихся сфер 58
3.1. Постановка задачи . 58
3.2. Релаксация системы в гравитационном поле 59
3.3. Условия отсутствия колебаний . 63
3 А Особенности протекания релаксационных процессов 64
3.5. Релаксация системы без учета гравитации 69
3.6. Оценка полной механической энергии системы 71
3.7. Вычисление коэффициента диффузии системы 72
3.8. Зависимости характеристик колебаний от параметров модели 74
3.9. Выводы 77
4. Равновесные распределения частиц системы твердых абсолютно упругих невращаюшихся сфер 79
4.1. Постановка задачи 79
4.2. Критерии проверки достижения системой состояния термодинамического равновесия
4.3. Равновесные распределения частиц системь. по величинам скоростей 85
4.4. Равновесные распределения частиц системы по высотам 89
4.5. Гидростатический подход к описанию равновесных состояний системы 97
Уравнение состояния Ван-дер-Ваальса 100
Уравнение состояния Карнагана Стерлинга 101
4.6. Выводы 106
5. Процессы осаждения в гранулированной системе 108
5.1. Постановка задачи 108
5.2. Осциллирующий характер процессов осаждения частиц гранулированной системы 110
5.3. Равновесность и неравновесность процессов осаждения частиц гранулированной системы 113
5.4. Вычисление величин, характеризующих процессы осаждения частиц гранулированной системы120
5.5. Выводы 122
Заключение 124
Список использованных источников 126
- Гидродинамический подход к описанию динамики гранулированных сред
- Формулы пересчета скоростей сталіолвающихся частиц гранулированной системы
- Зависимости характеристик колебаний от параметров модели
- Гидростатический подход к описанию равновесных состояний системы
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена исследованию динамики гранулированной системы методами математического (и компьютерного) моделирования.
Гранулированной средой называется дискретная система, состоящая из большого числа частиц, размеры которых сопоставимы с расстояниями между ними. Существенно, что при изучении свойств таких систем взаимодействие между частицами гранулированной среды рассматриваются как столкновения твердых тел. Это означает, что силы взаимного притяжения и отталкивания, подобные межмолекулярному взаимодействию в жидкостях, между частицами гранулированной системы не учитываются.
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В диссертационной работе проведено математическое моделирование динамики гранулированньіх сред, заключенных в замкнутом объеме пространства под воздействием гравитационного поля, и исследованы возможности компьютерного моделирования.
Актуальность темы диссертационной работы связана с наличием гранулированных сред в природе, с многочисленным практическим применением гранулированных веществ в повседневной жизни, а также с использованием новых технологий в различных отраслях производства от фармацевтики и промышленности строительных материалов до микроэлектроники.
В природе гранулированные среды встречаются повсеместно: пустыни (Bagnold, 1941), прибрежные зоны морей и океанов, древние морские глубины представляют собой неисчерпаемые источники кварцевого песка — основного строительного материала современной цивилизации.
На производство гранулированных материалов расходуется порядка десяти процентов вырабатываемой на планете энергии. По использованию человеком в повседневной деятельности гранулированные вещества занимают второе место после воды.
В промышленности строительных материалов, строительной индустрии, жилищно—гражданском строительстве интенсивно применяются гранулированные строительные смеси - гравий, щебень, галька, песок, глина; уголь, соли; руды алюминия, марганца, железа; россыпи золота, платины, алмазов; фосфориты, — которые используются как облицовочные, электроизоляционные, кислотоупорные материалы, сырье для каменного литья, декоративный камень и проч.
5.
Промышленные технологии обработки и использования гранулированных материалов встречаются практически во всех отраслях народного хозяйства. Процессы дробления, измельчения, соединения, перемешивания ингредиентов, находящихся в состоянии гранулированных веществ, играют существенную роль в химической, горнодобывающей промышяенностях, машиностроении, косметологии, парфюмерии, фармакологии, фармацевтической химии, медицине. Однако физика процессов приготовления однородных смесей нескольких ингредиентов с различными, дополняющими друг друга воздействиями, исследована и объяснена недостаточно полно. При этом качество и степень перемешивания ингредиентов особенно важны: нарутттение технологий изготовления косметических и лекарственных средств может иметь тяжелые последствия.
При исследовании физики гранулированных систем рассматриваются дискретные объекты, разброс размеров частиц которых составляет несколько порядков. Тот факт, что вещества, состоящие из отдельных частиц, диапазон размеров которых охватывает несколько порядков, могут подчиняться универсальным законам поведения, что физические законы динамики и статики гранулированных сред могут объединять объекты, различные по форме, природе, размерам, - этот факт инициирует интенсивные исследования, разработки в данной области.
Как сказано выше, диссертационная работа посвящена исследованию методами математического моделирования динамики гранулированных сред, находящихся в замкнутом объеме пространства под воздействием гравитационного ПОЛЯ.
Гранулированные среды в динамике проявляют уникальные эффекты, не присущие веществам в иных агрегатных состояниях. Такие особенности гранулированных сред были замечены и описаны еще несколько столетий назад, но не все из них получили свое объяснение даже к настоящему времени. С конца 50-х годов XX века в области динамики гранулированных сред проводятся исследования с интенсивным привлечением средств компьютерной техники. К настоящему времени накоплен обширный материал результатов физических экспериментов по динамике гранулированных сред. Ведется активная работа по созданию теории, отражающей существенные особенности поведения гранулированных сред, как это сделано для газов, жидкостей и твердых тел. Сложность такой задачи заключается в том, что гранулированная среда в зависимости от условий» в которых она находится, может прояв-
6. лятъ себя как вещество в любом из перечисленных агрегатных состояний, но при этом обнаруживает и эффекты, свойственные только гранулированным веществам.
В настоящее время теория, описывающая особенности и эффекты поведения гранулированных сред, отсутствует. Успешному сотрудничеству экспериментаторов и теоретиков может содействовать разработка математической модели, адекватно сочетающей в себе и условия реального физического эксперимента, и гипотезы, допущения теории, в рамках которой рассматривается данная модель. Такому сотрудничеству способствует появление современных суперкомпьютеров, которые позволяют моделировать поведение системы многих частиц. Компьютерные эксперименты позволяют получать результаты для обширного набора варьируемых параметров модели., что зачастую невозможно в лабораторных условиях. Поэтому математическое моделирование динамики гранулированных сред служит связующим звеном между разрабатываемой теорией и существующими экспериментальными результатами, способным помочь в их трактовке и обосновании. Исследование физических объектов и процессов методами прямого компьютерного моделирования является интересной и важной задачей.
При проведении исследований особый интерес представляют следующие задачи. Во-первых, в реальных условиях на поведение объектов и характер протекающих процессов играет воздействие гравитационного поля. Во-вторых, интересно изучать динамику систем, находящихся в замкнутых областях пространства. В-третьих, более существенную роль, чем в газах, на поведение гранулированных сред оказывает частичная неупругость соударений и возможность вращения частиц при столкновениях, поэтому интерес представляет использование в расчетах моделей, учитывающих эти свойства частиц гранулированных систем. В-четвертых, важно изучить поведение системы при переходе к плотным гранулированным средам, так как именно такие среды интенсивно используются в промышленности, технике, медицине и многих других отраслях,
В диссертационной работе рассмотрена модель гранулированной среды — трехмерная система одинаковых твердых сфер. В реальных условиях частицы гранулированных сред отличаются по размерам, массе, форме. Однако с помощью простой модели, рассмотренной в диссертационной работе, обнаружены и объяснены важные особенности поведения гранулированной системы, находящейся в замкнутом объеме пространства под воздействием
7, гравитационного поля, а также исследованы пределы применимости использованных в работе моделей твердых сфер.
Результаты, полученные в диссертационной работе, могут найти применение при рассмотрении гранулированных систем, подверженных внешним воздействиям, например, вибрациям.
Экспериментальное и численное исследование поведения гранулированных сред под воздействием вертикшшной вибрации в настоящее время ведется и развивается достаточно активно (Rosato et al7 1987; Evesque & Ra-jchenhach, 1989; Laroche et al, 1989; Bernu & Mazighi, 1990; Bretz et al, 1992; Gallas et at, 1992a; Gallas etaly 19926; Herrmann, 1992; Jullien etal, 1992; Ta-guchi, 1992;Вепяаеґд, ]993; Duran etal, 1993; Knight etal, 1993; McNamara & Young, 1993; Pak & Behringer, 1993; Duran et at, 1994; Luding et al9 1994a; Luding et al9 19946; Luding et al, 1994e; Luding et al9 1994г; Melo et alf 1994; Bourzutschky & Miller, 1995; Hayakawa et al, 1995; Knighl et al7 1995; Melo et al, 1995; Pak et at, 1995; Aoki et al, 1996; Clement et al? 1996; Knight et al3 1996; Cedra et alt 1997). Одним из наиболее распространенных походов в области исследования динамики гранулированных сред является изучение поведения гранулированной системы, находящейся в стационарном состоянии или достигшей равновесия (Baxter et al, 1989; Gallas et al, 1992«; Goldhirsch & Zanetti, 1993; Pak & Behringer, 1993; Lee, 1994; Melo et aL, 1994; Cantelaube & Bideau, 1995; Melo et at, 1995; McNamara & Young, 1995; Brey et al, 1996; Clement et al, 1996; Duran et al9 1996; McNamara & Young, 1996; Pouliquen & Gutfraind, 1996; Cedra et ah, 1997; Hill et ai9 1997; Makse, 1997; vanNoije & Ernst, 1998; Zhou, 1998; Aranson et al9 1999; Elperin & Vikhansky 1999; Salazar & Brenig, 1999; Tohoclmik, 1999; Chakraborty et ah, 2000 Quinn & Hong, 2000; Hong, 2001).
Подобные работы содержат две основные особенности. Во-первых, исследование поведения гранулированных систем, подверженных внешнему воздействию (в частности, вертикальной вибрации), нацелено на изучение поведения системы под влиянием этого воздействия (в частности, вынужденных колебаний, возникающих в рассматриваемой системе под влиянием периодически изменяющейся силы). Во-вторых, анализ поведения таких хра-нулированных систем проводится после того, как в системе устанавливается некоторое стационарное или равновесное состояние.
Однако возникают следующие вопросы: каково поведение аналогичной гранулированной системы, не подверженной воздействию вибрации; как
8.
происходит эволюция системы из начального состояния к стационарному или равновесному; каковы особенности переходных процессов^ протекающих в аналогичной гранулированной системе, по мере достижения системой стационарного или равновесного состояния.
В работах, посвященных исследованию динамики гранулированных сред, подобные вопросы не рассмотрены, в частности, не затронут вопрос о том, каков характер переходных процессов, протекающих в изучаемых гранулированных системах на этапе их эволюции из заданного начального состояния. Поэтому изучение «собственной» динамики гранулированных сред, находящихся в гравитационном поле и не подверженных внешним воздействиям, является актуальной задачей, имеющей важное научное и практическое значение.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью диссертационной работы является изучение характера релаксационных процессов в гранулированной системе, находящейся в замкнутом объеме пространства под воздействием гравитационного поля.
Исследование проведено в рамках модели твердых сфер при следующих предположениях о свойствах частиц:
абсолютно упругие неврашающиеся сферы;
частично неупругие невращающиеся сферы;
абсолютно упругие вращающиеся сферы;
частично неупругие вращающиеся сферы.
Для достижения указанной цели в диссертационной работе были поставлены и решены следующие ЗАДАЧИ:
выполнено компьютерное моделирование динамики каждой из исследуемых систем для обширного набора начальных условий и варьируемых параметров моделей;
проведена статистическая обработка и приведена графическая иллюстрация результатов моделирования; для каждой из рассмотренных моделей твердых сфер получены статистические оценки основных числовых характеристик изучаемых случайных процессов;
предложена физическая интерпретация поведения числовых характеристик, получаемых при статистической обработке результатов компьютерного моделирования изучаемых случайных процессов; дано физическое объяснение обнаруженных эффектов поведения исследуемых систем;
проверены гипотезы о предполагаемых законах распределения частиц исследуемых систем;
проведено сопоставление и подробный анализ результатов численных экспериментов, осуществленных неоднократно для каждой из моделей при изменении начальных, краевых условий и значений параметров исследуемых систем;
проверена качественная непротиворечивость закономерностей, полученных численно и установленных аналитически.
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованных источников, насчитывающего 142 наименования. Объем диссертационной работы составляет 136 страниц машинописного текста. Диссертационная работа включает 46 иллюстраций и 4 таблицы.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. Во введении определен объект исследований-, проведешшх в диссертационной работе; продемонстрирована актуальность выбранной темы работы; сформулированы цель и задачи работы; обоснована достоверность, научная новизна, теоретическая и практическая ценность решения поставленных задая.
В первой главе диссертационной работы сделан обзор литературы, относящейся к теме диссертационной работы.
Во второй главе диссертационной работы сформулирована постановка задач об исследовании динамики трехмерной системы твердых абсолютно упругих невращающихся сфер и трехмерной модели гранулированной системы, находящихся в замкнутом объеме пространства под воздействием гравитационного поля,
В третьей главе диссертационной работы исследованы релаксационные процессы, проходящие в трехмерной системе одинаковых твердых абсолютно упругих невращающихся сфер, находящихся в замкнутом объеме пространства под воздействием гравитационного поля. С помощью компьютерного моделирования прослежена эволюция системы из заданного начального состояния к состоянию ее термодинамического равновесия. Изучен характер изменения с течением времени следующих статистических величин, описывающих состояние совокупности частиц в любой момент времени: среднего значения квадратов полных скоростей движения частиц системы, квадрата среднеквадратичной скорости системы, высоты и z-компоненты скорости центра масс системы.
В результате проведенных в третьей главе диссертационной работы исследований было установлено, что переход системы твердых сфер, заклю-
10.
ченных в замкнутом объеме пространства под влиянием гравитационного поля, к состоянию термодинамического равновесия носит осциллирующий характер - величины, рассмотренные в работе* совершают колебания, затухающие по мере достижения системой состояния термодинамического равновесия.
Сформулированы условия отсутствия колебаний исследуемых величин в рассмотренной системе твердых сфер. Установлено, что возникновение колебаний обусловлено движением центра масс системы. Затухание колебаний связано с взаимным превращением кинетической и потенциальной энергий системы так, что полная механическая энергия системы твердых абсолютно упругих невращающихся сфер сохраняется, В данной главе установлены зависимости характеристик, описывающих колебания исследуемых величин - амплитуды, периода и коэффициента затухания колебаний - от параметров модели — радиуса частиц, максимального значения модуля начальной скорости частиц системы, величины ускорения свободного падения.
В четвертой главе диссертационной работы исследованы получаемые в состоянии термодинамического равновесия под воздействием гравитационного поля распределения но величинам скоростей и по высотам частиц трехмерной системы одинаковых твердых абсолютно упругих невращающихся сфер в замкнутом кубическом контейнере. В данной главе обсуждаются предложенные в диссертационной работе критерии практической проверки равновесности текущего состояния системы. Проанализирован характер изменения формы равновесных распределений частиц системы по величинам скоростей и по высотам в зависимости от параметров модели. Изучен вопрос о том, как при увеличении радиуса составляющих систему частиц происходит переход от системы малой плотности к системе большой плотности и как при этом меняется форма равновесного распределения частиц системы по высотам. Установлено, что при определенном соотношении параметров модели с увеличением радиуса частиц системы на кривой равновесной плотности распределения частиц по высотам появляется точка перегиба.
В данной главе также предложен гидростатический подход к описанию равновесных состояний веществу дающий возможное аналитическое объяснение эффекта возникновения в состоянии термодинамического равновесия точки перегиба на кривой плотности распределения частиц по высотам. Изложенный теоретический анализ проведен с применением к системе твердых сфер уравнений состояния Ван-дер-Ваальса н Карнагана-Старлинга.
її-
При определенных значениях параметров модели достигнуто согласование кривых, соответствующих результатам численного моделирования динамики исследуемой системы и полученных аналитически,
В пятой главе диссертационной работы в рамках моделей твердых сфер исследована эволюция трехмерной гранулированной системы, находящейся в замкнутом объеме пространства под воздействием гравитационного поля. Динамика такой системы прослежена с помощью компьютерного моделирования из заданного начального состояния до момента осаждения частиц на дно контейнера. В данной главе изучен характер процессов осаждения, протекающих в трехмерных моделях частично неупругих невращаю-щихся сфер5 абсолютно упругих вращающихся сфер? частично неупругих вращающихся сфер. Проанализирован характер изменения с течением времени величин, описывающих систему - среднего значения квадратов полных скоростей движения частиц системы, квадрата среднеквадратичной скорости системы, высоты и z-компоненты скорости центра масс системы, - а также распределения частиц изучаемой гранулированной системы по величинам скоростей и по высотам, получаемые в различных сечениях случайного процесса по мере осаждения частиц.
В данной главе также даны ответы на следующие вопросы: исчезнут ли колебания исследуемых величин при условии учета в модели частичной неулругости соударений и возможности вращения частиц и будут ли процессы осаждения частиц равновесными.
В заключении представлены основные результаты диссертационной работы.
ДОСТОВЕРНОСТЬ И НАУЧНАЯ ОБОСНОВАННОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ. Результаты проведенных в диссертационной работе численных экспериментов согласуются с их теоретическим обоснованием, изложенным в работе.
Полученные результаты не противоречат фундаментальным физическим законам, применимым к системам рассмотренного типа.
При проведении численных экспериментов в работе контролировалось выполнение законов сохранения энергии (для системы твердых абсолютно упругих невращающихся сфер), импульса и момента импульса (для модели гранулированной системы).
При проведении вычислительного эксперимента оценивалось время движения между точками поворота центра масс системы, которое совпадало со временем движения на том же расстоянии материальной точки в гравитационном поле.
12, НАУЧНАЯ НОВИЗНА диссертационной работы состоит в следующем:
обнаружены новые эффекты поведения исследуемых систем, находящихся в замкнутом объеме пространства при наличии гравитационного поля;
исследованы релаксационные процессы в трехмерной системе твердых абсолютно упругих невращающихся сфер под воздействием гравитационного поля;
изучены процессы частиц гранулированной системы осаждения под воздействием гравитационного поля;
для системы абсолютно упругих невращающихся сфер исследованы получаемые в состоянии термодинамического равновесия распределения частиц по величинам скоростей и по высотам, а также характер изменения формы указанных распределений при варьировании параметров модели; изучен переходный процесс от системы с малой плотностью к системе с большой плотностью при увеличении радиуса частиц системы;
для модели гранулированной системы исследованы распределения ее частиц по величинам скоростей и по высотам, получаемые в различных сечениях изучаемого случайного процесса по мере осаждения частиц системы; прослежено изменение формы указанных распределений частиц в процессе их осаждения.
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ результатов, полученных в диссертационной работе, заключается в следующем:
в результате многочисленных компьютерных экспериментов по изучению динамики исследуемых моделей твердых сфер в обширном диапазоне варьируемых параметров модели при различных начальных условиях установлены особенности поведения трехмерной гранулированной системы, что определяет цель и дает обоснование лабораторных экспериментов;
обнаруженные зависимости характеристик, описывающих свободные колебания (амплитуда А, период Т7 коэффициент затухания /7 колебаний), возникающие в изученных системах, от исходных данных модели позволяют определить количественно условия и параметры лабораторных экспериментов, а также параметры собственных колебаний в системах рассмотренного типа;
установленные зависимости характеристик, описывающих свободные колебания в моделях твердых сфер, от параметров модели дают возможность проводить диагностику состояния среды, а также внешних условий;
13.
установленные пороговые значения величины С (процента заполнения частицами гранулированной среды замкнутого кубического контейнера) позволяют провести классификацию изучаемых систем по их плотности;
на основании полученных временных зависимостей среднеквадратичного отклонения системы от ее начального состояния получены оценки коэффициента диффузии среды в уравнении Эйнштейна-Смолуховского;
объяснение особешюстей поведения гранулированных сред при изучении свободных колебаний, возникающих в рассмотренных системах, дает возможность лучше понять и определить причины появления эффектов, присущих гранулированным средам, подверженным воздействию вертикальной вибрации;
на основании проведенного в диссертационной работе анализа процессов релаксации и осаждения частиц гранулированной системы приведены оценки времени релаксации и время осаждения, а также указаны условия, при которых протекающие процессы осаждения будут равновесными.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на:
ХХХП International Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics 2004», Saint-Petersburg (Repino), June 24-July 1, 2004;
International Conference «PHYSICS and CONTROL 2003», Saint-Petersburg, August 20-22, 2003;
XXXI International Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics 2003», Saint-Petersburg (Repino), June 22-July 2, 2003;
IV International Conference «TOOLS FOR MATHEMATICAL MODELING», Saint-Petersburg, June 23-28, 2003;
секции «Проблемы современной математики» научной сессии Московского инженерно—физического института (государственный университет), Москва, 26-30 января 2004;
IV Междунар одной конференции «Участие молодых ученых, инженеров и педагогов в разработке и реализации инновационных технологий», Москва, 24-28 ноября 2003;
- научных семинарах лаборатории «Динамика жидкостей» (Fluid
Dynamics Laboratory) Технического университета Эйндховена (TU/e), Нидер
ланды, Эйядховен, октябрь-ноябрь 2000;
14.
научных конференциях «Неделя науки-2000», «Неделя науки-2001», «Неделя науки-2002» Московского государственного университета путей сообщения (МИИТ), Москва, 2000, 2001, 2002;
научных семинарах кафедр «Прикладная математика—1», «Вычислительная математика» Московского государственного университета путей сообщения (МИИТ), Москва, 2000-2004.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ диссертационной работы, выносимые на защиту:
обнаруженный осциллирующий характер релаксационных процессов, протекающих при наличии іравитационного поля, в исследуемых трехмерных системах твердых сфер — модели абсолютно упругих неврашающих-ся сфер, модели частично неупругих невращающихся сфер, модели абсолютно упругих вращающихся сфер, модели частично неупругих вращающихся сфер;
временные зависимости характеризующих состояние системы величин, установленные при исследовании возникающих в рассмотренных системах свободных колебаний;
условия отсутствия колебаний исследуемых величин в системе абсолютно упругих невращающихся сфер;
эффект появления на кривой равновесной плотности распределения частил; по высотам точки перегиба для системы абсолютно упругих невращающихся сфер при переходе от системы с малой плотностью к системе с большой плотностью с увеличением радиуса частиц системы;
критерий равновесности процессов осаждения частиц гранулированной системы и характер изменения формы распределений частиц гранулированной системы по величинам скоростей и по высотам, получаемых в различных сечениях случайного процесса по мере осаждения ее частиц.
Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях:
Loguinova N.B., van Heijst G.J.F., Schram P.PJ.M., Trigger S.A., Vlasov Yu-P. Relaxation of granular gas under gravity. // PHYSICA A. - 2003. -. Vol. 323.-P. 155-170.
Loguinova N3. Evolution under gravity of a three-dimensional hard-sphere system and a three-dimensional granular gas. II Book of abstracts of the
15. XXXII International Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics 2004», - Saint-Petersburg (Repino), 2004. -P. 60.
3, LoguinovaN.B. Granular matter; Transition to equilibrium under grav
ity.//Proceedings of tlae International Conference «PHYSICS and CONTROL
2003». - Saint-Petersburg, 2003- - P. 52-57.
LoguinovaN-B- Transition to equilibrium of a three-dimensional hard-sphere system under gravity. // Proceedings of the XXXI International Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics 2003». - Saint-Petersburg (Repino),2Q03.
LoguinovaN.B., Trigger S.A., VlasovYu.P. Mathematical simulation of relaxation of granular medium under gravity. II Book of abstracts of the IV Internationa] Conference «TOOLS FOR MATHEMATICAL MODELING 2003». -Sabt-Peteraburg, 2003. -P. 102,
6, LoguinovaN.B. Mathematical simulation of relaxation processes in
granular medium in a closed container under gravity. // Book of abstracts of the
XXXI International Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechan
ics 2003». - Saint-Petersburg (Repino), 2003. -P. 66.
1. Логинова Н.Б. Эволюция гранулированного газа под воздействием гравитационного поля. // Сборник научных трудов научной сессии МИФИ-2004. -Москва, 2004_ - С. 102.
8. Логинова Н.Б. Релаксация и равновесные распределения системы
твердых сфер.//Сборник докладов IV Международной конференции «Уча
стие молодых ученых, инженеров и педагогов в разработке и реализации ин
новационных технологий», -Москва, 2003. -С. 249—251.
Логинова Н.Б. Равновесные распределения частиц гранулирован-ной среды при наличии гравитационного поля. // Вестник МИИТа. - 2003. -№8.-С. 95-102.
Логинова Н.Б- Численное моделирование релаксации гранулированного газа. // Сборник трудов научно-практической конференции «Неделя науки-2002», Москва, 2002. - С. XXIII -2.
16.
Гидродинамический подход к описанию динамики гранулированных сред
Сформулированы условия отсутствия колебаний исследуемых величин в рассмотренной системе твердых сфер. Установлено, что возникновение колебаний обусловлено движением центра масс системы. Затухание колебаний связано с взаимным превращением кинетической и потенциальной энергий системы так, что полная механическая энергия системы твердых абсолютно упругих невращающихся сфер сохраняется, В данной главе установлены зависимости характеристик, описывающих колебания исследуемых величин - амплитуды, периода и коэффициента затухания колебаний - от параметров модели — радиуса частиц, максимального значения модуля начальной скорости частиц системы, величины ускорения свободного падения.
В четвертой главе диссертационной работы исследованы получаемые в состоянии термодинамического равновесия под воздействием гравитационного поля распределения но величинам скоростей и по высотам частиц трехмерной системы одинаковых твердых абсолютно упругих невращающихся сфер в замкнутом кубическом контейнере. В данной главе обсуждаются предложенные в диссертационной работе критерии практической проверки равновесности текущего состояния системы. Проанализирован характер изменения формы равновесных распределений частиц системы по величинам скоростей и по высотам в зависимости от параметров модели. Изучен вопрос о том, как при увеличении радиуса составляющих систему частиц происходит переход от системы малой плотности к системе большой плотности и как при этом меняется форма равновесного распределения частиц системы по высотам. Установлено, что при определенном соотношении параметров модели с увеличением радиуса частиц системы на кривой равновесной плотности распределения частиц по высотам появляется точка перегиба.
В данной главе также предложен гидростатический подход к описанию равновесных состояний веществу дающий возможное аналитическое объяснение эффекта возникновения в состоянии термодинамического равновесия точки перегиба на кривой плотности распределения частиц по высотам. Изложенный теоретический анализ проведен с применением к системе твердых сфер уравнений состояния Ван-дер-Ваальса н Карнагана-Старлинга.
При определенных значениях параметров модели достигнуто согласование кривых, соответствующих результатам численного моделирования динамики исследуемой системы и полученных аналитически,
В пятой главе диссертационной работы в рамках моделей твердых сфер исследована эволюция трехмерной гранулированной системы, находящейся в замкнутом объеме пространства под воздействием гравитационного поля. Динамика такой системы прослежена с помощью компьютерного моделирования из заданного начального состояния до момента осаждения частиц на дно контейнера. В данной главе изучен характер процессов осаждения, протекающих в трехмерных моделях частично неупругих невращаю-щихся сфер5 абсолютно упругих вращающихся сфер? частично неупругих вращающихся сфер. Проанализирован характер изменения с течением времени величин, описывающих систему - среднего значения квадратов полных скоростей движения частиц системы, квадрата среднеквадратичной скорости системы, высоты и z-компоненты скорости центра масс системы, - а также распределения частиц изучаемой гранулированной системы по величинам скоростей и по высотам, получаемые в различных сечениях случайного процесса по мере осаждения частиц.
В данной главе также даны ответы на следующие вопросы: исчезнут ли колебания исследуемых величин при условии учета в модели частичной неулругости соударений и возможности вращения частиц и будут ли процессы осаждения частиц равновесными. В заключении представлены основные результаты диссертационной работы. ДОСТОВЕРНОСТЬ И НАУЧНАЯ ОБОСНОВАННОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ. Результаты проведенных в диссертационной работе численных экспериментов согласуются с их теоретическим обоснованием, изложенным в работе. Полученные результаты не противоречат фундаментальным физическим законам, применимым к системам рассмотренного типа. При проведении численных экспериментов в работе контролировалось выполнение законов сохранения энергии (для системы твердых абсолютно упругих невращающихся сфер), импульса и момента импульса (для модели гранулированной системы). При проведении вычислительного эксперимента оценивалось время движения между точками поворота центра масс системы, которое совпадало со временем движения на том же расстоянии материальной точки в гравитационном поле. НАУЧНАЯ НОВИЗНА диссертационной работы состоит в следующем: - обнаружены новые эффекты поведения исследуемых систем, находящихся в замкнутом объеме пространства при наличии гравитационного поля; - исследованы релаксационные процессы в трехмерной системе твердых абсолютно упругих невращающихся сфер под воздействием гравитационного поля; - изучены процессы частиц гранулированной системы осаждения под воздействием гравитационного поля; - для системы абсолютно упругих невращающихся сфер исследованы получаемые в состоянии термодинамического равновесия распределения частиц по величинам скоростей и по высотам, а также характер изменения формы указанных распределений при варьировании параметров модели; изучен переходный процесс от системы с малой плотностью к системе с большой плотностью при увеличении радиуса частиц системы; - для модели гранулированной системы исследованы распределения ее частиц по величинам скоростей и по высотам, получаемые в различных сечениях изучаемого случайного процесса по мере осаждения частиц системы; прослежено изменение формы указанных распределений частиц в процессе их осаждения. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ результатов, полученных в диссертационной работе, заключается в следующем: - в результате многочисленных компьютерных экспериментов по изучению динамики исследуемых моделей твердых сфер в обширном диапазоне варьируемых параметров модели при различных начальных условиях установлены особенности поведения трехмерной гранулированной системы, что определяет цель и дает обоснование лабораторных экспериментов; - обнаруженные зависимости характеристик, описывающих свободные колебания (амплитуда А, период Т7 коэффициент затухания /7 колебаний), возникающие в изученных системах, от исходных данных модели позволяют определить количественно условия и параметры лабораторных экспериментов, а также параметры собственных колебаний в системах рассмотренного типа.
Формулы пересчета скоростей сталіолвающихся частиц гранулированной системы
Методы математического моделирования часто используются при изучении различных явлений в природе и в технике.
Построение модели реальной физической системы при исследовании и анализе ее поведения позволяет поставить задачу изучения рассматриваемого объекта как математическую (Краснощеков, 1984; Тихонов, Костомаров, 1984; Малинецкий, 2002).
Прежде всего, требуется выделить наиболее важные черты, присущие изучаемой физической системе, определить количественные характеристики моделируемых процессов, протекающих в ней. Затем необходимо дать математическое описание системы, после чего следует выбрать метод решения сформулированной математически задачи. Построенная таким образом математическая модель используется для исследования поведения рассматриваемой физической системы.
При построении математической модели изучаемой системы сначала выделяют основные, ключевые свойства, процессы, играющие главную, доминирующую роль на данном пространственном и временном масштабах. Затем строят более простую модель исследуемой системы. Возможно, это будет модель с меньшей областью применимости, учитывающая меньшее количество факторов. Создание последовательности более простых моделей целесообразно проводить до тех пор, пока не сконструирована простейшая математическая модель, поведение которой может быть проанализировано и объяснено, динамика которой понятна.
Таким образом, при исследовании естественно начинать с построения и анализа простейшей, наиболее грубой математической модели рассматриваемой системы. В дальнейшем возникает необходимость уточнить модель, сделать ее соотвегствие реальной системе более полным. Такая необходимость обусловлена, например, появлением новой информации об изучаемой системе, которую [информацию] требуется отразить в математической модели, или расширением диапазона параметров, выводящим за пределы применимости исходной модели. При построении новой модели полезно максимально полно использовать опыт и результаты, полученные на предыдущих этапах при конструировании более простых моделей. Зачастую процесс последовательного развития и уточнения модели приходится повторять неоднократно.
Лишь после того, как модель нижнего уровня изучена и понята, удается перейти на следующий, более высокий уровень. Можно сказать, что основным достижением и основной целью исследования при решении сложных задач является построение иерархии упрощенных моделей. При этом должно быть установлено, какой уровень модели разумно использовать в тех или иных случаях. Привлекательной чертой иерархии упрощенных моделей является создание базовых математических моделей, исследование которых позволяет эффективно строить и изучать обширные классы моделей различных явлений.
Однако математическая модель не может быть абсолютно тождественна изучаемому объекту, она не передает всех ею свойств и особенностей - она является приближенным его описанием, так как любая математическая модель основана на упрощениях, допущениях, идеализации. Поэтому результаты, получаемые при анализе модели, всегда носят для объекта приближенный характер. Их точность определяется степенью соответствия, адекватности модели и объекта.
Когда законы, определяющие поведение и свойства изучаемого объекта, хорошо известны, точность результатов, которую обеспечивает созданная модель, можно оценить a priori.
Более сложная ситуация возникает, когда знания об изучаемом объекте недостаточны. В этом случае при построении математической модели приходится делать дополнительные предположения, которые носят характер гипотез. Выводы, полученные в результате исследования такой гипотетической модели, носят для изучаемого объекта условный характер. Они справедливы для него настолько, насколько правильны исходные предположения. Для их проверки необходимо сопоставить результаты исследования модели со всей имеющейся информацией об изучаемом объекте. Следует сравнить различные гипотетические модели и выбрать из них такую, которая является наиболее простой и в то же время в рамках требуемой точности правильно передает свойства изучаемого объекта. Создаваемая модель должна быть согласована с теми данными об изучаемом объекте, которые доступны, и с теми вопросами, ответы на которые предполагается получить с ее помощью.
Вычислительный эксперимент с помощью которого в диссертационной работе проведено исследование динамики гранулированных сред, имеет ряд общих черт, характеризующих единую структуру, которую можно сформулировать в виде технологического цикла, состоящего из пяти этапов.
Первый этап вычислительного эксперимента начинается с анализа, выявления существенных черт, особенностей реальной физической системы, поведение которой изучается- При этом фиксируются основные физические процессы, протекающие в данной системе, и определяются допущения, при которых будут справедливы результаты, получаемые в ходе математического моделирования. Итогами этого этапа являются формулировки математических моделей, характеризующих исследуемую физическую систему.
Второй этап вычислительного эксперимента характеризуется разработкой вычислительного алгоритма, выбором методов решения сформулированных на предыдущем этапе математических задач. Результат этого этапа есть совокупность алгебраических формул и разработанные алгоритмы, которые используются для анализа эволюции изучаемых объектов и явлений. Как правило, для каждой математической задачи можно предложить несколько вычислительных алгоритмов. Задача, которая ставится на данном этапе, состоит в выборе лучшего алгоритма в смысле его эффективности.
Третий этап вычислительного эксперимента заключается в создании комплекса прикладных программ, реализующих выбранный алгоритм для компьютерного моделирования поведения каждой из разработанных на первом этапе математических моделей изучаемой физической системы.
Четвертый этап вычислительного эксперимента состоит в проведении вычислений на компьютере. По существу этот этап и составляет математическое моделирование поведения исследуемой физической системы. На данной стадии наиболее полно проявляется сходство вычислительного эксперимента с лабораторным. Сначала проводятся тестовые расчеты, отладка программ. Затем осуществляется переход к производственным расчетам, после проведения которых объясняется и предсказывается эволюция явлений, процессов, протекающих в изучаемой физической системе.
Пятый этап вычислительного эксперимента, тесно связанный с четвертым, - этап обработки результатов расчетов. На этом этапе проводится анализ результатов вычислений с целью объяснения и прогнозирования поведения исследуемой физической системы. По результатам вычислений на данном этапе возможно уточнение исходной математической модели и затем повторение цикла вычислительного эксперимента.
Зависимости характеристик колебаний от параметров модели
Происхождение обнаруженных колебаний, возникающих в исследуемой системе, связано с движением центра масс при наличии в системе появляется анизотропия направлений, приводящей к возникновению отличной от нуля скорости направленного движения частиц, то есть скорости If (г) центра масс системы.
При ненулевом значении g ускорения свободного падения в системе a priori заложена анизотропия. Поэтому колебания исследуемых величин возможны даже при задании изотропного начального распределения частиц по скоростям, когда Щїо) = О,
В начальный момент времени t{) = 0 частицы распределены равномерно в пространстве координат. Это означает, что при tо = 0 центр масс системы находится выше своего равновесного положения, так как в состоянии термодинамического равновесия распределение частиц данной системы по высотам при выбранных значениях параметров не противоречит распределению Больцмана с уровнем значимости а = 0.01. Для распределения Больцмана плотность частиц экспоненциально убывает с высотой, тогда как для равномерного распределения плотность частиц на любой высоте одинакова. Подробно вопрос о равновесных распределениях частиц изучаемой системы рассмотрен в главе 4 «Равновесные распределения частиц системы твердых абсолютно упругих невращающихся сфер» диссертационной работы. Итак, центр масс, расположенный выше своего равновесного значения, начнет опускаться (рис. 3.1(6% символы), то есть возникнет ненулевая 2-компонента скорости TF(Y) центра масс и появится направленное движение частиц системы (рис. 3.1(6), символы). Движение центра масс системы происходит до тех пор, пока скорость направленного движения частиц системы не перейдет в скорость их теплового движения, при этом скорость центра масс системы станет равной нулю (рис. 3.1(6), символы) и центр масс системы достигнет положения равновесия (рис. 3.1(6), символы).
Колебания указанных величин отсутствуют при условии, что центр масс системы находится в состоянии покоя и занимает равновесное положение.
Проведенный анализ поведения рассмотренной системы позволяет сформулировать следующие условия отсутствия колебаний исследуемых величин в системе твердых упруго взаимодействующих невращающихся сфер, заключенных в замкнутом объеме пространства; центр масс системы должен оставаться в покое и занимать равновесное положение. При этом аналитические формы распределений частиц системы в пространстве координат и в пространстве скоростей не существенны. Для возбуждения в исследуемой системе колебаний рассмотренных в диссертационной работе величин достаточно нарушения, но крайней мере, одного из сформулированных условий.
Исследование, проведенное в широком диапазоне значений параметров рассматриваемой системы, показало, что при указанных в разд. 2.6 «Начальные и краевые условия. Значения параметров модели» величинах варьируемых параметров модели апериодический режим перехода изучаемой системы к состоянию термодинамического равновесия не обнаружен. В дальнейшем при изучении релаксационных процессов, протекающих в исследуемых моделях твердых сфер, не рассматривается вопрос о возможности возникновения режимов, апериодических по скорости и положению центра маис системы, а также по величине квадрата среднеквадратичной скорости системы. Отсутствие апериодического режима свидетельствует о том, что при заданных значениях параметров время перехода энергии направленного движения частиц изучаемой системы в энергию их теплового движения существенно превышает период колебаний исследуемых величин системы.
Важно отметить, что сформулированные условия являются лишь признаком отсутствия в системе описанных колебаний. Однако выполнение этих условий не гарантирует того, что состояние системы действительно является равновесным. Исследованию равновесных состояний изучаемой системы посвящена глава 4 «Равновесные распределения частиц системы твердых абсолютно упругих невращающихся сфер»,
В следующем разделе более детально пояснен смысл сформулированных условий.
Условия отсутствия колебаний указывают на то, что центр масс системы должен быть в покое, то есть скорость u(t) центра масс (иди скорость направленного движения частиц системы) должна быть равна нулю. Выбранное (см. разд. 2.6 «Начальные и краевые условия. Значения параметров модели») изотропное начальное распределение частиц в пространстве скоростей подразумевает выполнение первого из сформулированных условий отсутствия колебаний: при таком начальном распределении частиц системы но скоростям n(to) — 0, то есть центр масс системы находится в состоянии покоя. Второе из сформулированных условий требует, чтобы центр масс системы занимал равновесное положение. Однако равномерное начальное распределение частиц в пространстве координат не является равновесным для рассмотренной системы, находящейся в гравитационном поле. Об этом свидетельствует рис. 3.1: при задании начальных условий в пространстве координат при to — 0 центр масс системы находится выше того положения, которое центр масс занимает в состоянии термодинамического равновесия системы. Естественно предположить, что при малой плотности для рассматриваемой системы равновесным будет больцмановское распределение ее частиц по высотам, каким оно является для разреженных газов, находящихся под воздействием гравитации при нормальных условиях.
В диссертационной работе проанализированы распределения частиц исследуемой системы по высотам, получаемые в состоянии термодинамического равновесия системы. Подробному изучению равновесных распределений частиц посвящена глава 4 «Равновесные распределения частиц системы твердых абсолютно упругих невращаіощихся сфер».
Полезно отметить, что приL = 420, N= 512, g = 20, vmax 50, R = 5, s - 1, p - 0, /?0 = "1 распределение частиц системы по высотам, получаемое в состоянии термодинамического равновесия, не противоречит больцма-новскому с уровнем значимости а = 0.01. Поэтому можно считать равновесным в пространстве координат для исследуемой системы при L = 420, N=512, g = 20, vmax- 50, R - 5, є = 1, fi = 0, / = - 1 следующее состояние: распределение Больцмана — по высотам (z-направление); равномерное распределение - по оставшимся пространственным переменным (х и у-направления).
Гидростатический подход к описанию равновесных состояний системы
Понятие термодинамического равновесия в статистической физике определено следующим образом (Кубо, 1967; Левич, 1969; Ландау, Лифшиц, 1976; Климонтович, 1982; Reif, 1965).
Рассмотрим классическую систему многих частиц. Состояние системы в некоторый момент времени t характеризуется с помощью ряда макроскопических параметров - температуры, давления, объема. Следует, однако, отметить, что не в любом состоянии системы все ее параметры имеют определенный физический смысл.
Если для замкнутой макроскопической системы и для любой ее части, каждая из которых сама по себе также является макроскопической, макроскопические физические величины, характеризующие систему, близки к своим средним значениям, то говорят, что такая система находится в состоянии термодинамического равновесия (Ландау, Лифшиц, 1976).
Исследуемая система может находиться в таких состояниях? когда какой—либо макроскопический параметр, например, температура или давление, различен в ее разных частях, то есть единого значения этого параметра во всей системе не существует. Это означает, что в рассматриваемой системе будут возникать потоки, например, поток тепла или поток массы. Если такие состояния не поддерживаются специально, например- с помощью теплонепроницаемых стенок, то состояния эти не останутся неизменными. В результате по истечении некоторого периода времени в системе установится такое состояние, что при неизменных внешних условиях каждый макроскопический параметр системы будет иметь одно и то же значение во всех ее частях и не будет меняться с течением времени. Такое состояние системы и называется термодинамически равновесным.
Если в системе существуют макроскопические потоки, то такое состояние рассматриваемой системы называется неравновесным. Процессы перехода изучаемой системы из неравновесного состояния к состоянию термодинамического равновесия называются релаксационными процессами. В главе 3 «Релаксационные процессы в системе твердых абсолютно упругих нев-ращающихся сфер» данной работы исследованы релаксационные процессы, протекающие в трехмерной системе твердых абсолютно упругих невращаю-щихся сфер.
Если на любом этапе изучаемого физического процесса значения всех макроскопических параметров, характеризующих рассматриваемую систему, успевают «выровняться» так, что в любой момент времени состояние системы является равновесным, то протекающий таким образом эволюционный процесс называют равновесным- При изучении равновесных процессов градиенты всех макроскопических параметров системы в каждый момент времени равны нулю, В главе 5 «Процессы осаждения в гранулированной системе» данной работы исследованы эволюционные процессы, проходящие в гранулированной системе.
Как правило, в состоянии термодинамического равновесия классическая система многих частиц, находящаяся под воздействием гравитационного поля имеет; по величинам скоростей - распределение Максвелла, по высотам - распределение Больцмана (равномерное распределение по оставшимся пространственным переменным) (Кубо? 1967; Левич, 1969; Ландау, Лифшиц, 1976).
Указанное определение и описание признаков равновесности и неравновесности состояний изучаемой системы и процессов, в ней протекающих, помогает охарактеризовать критерии практической проверки того, является ли достигнутое системой состояния термодинамически равновесным.
Укажем использованную в диссертационной работе процедуру, которая применена для анализа равновесности состояния, установившегося в изучаемой системе по результатам компьютерного моделирования ее динамики.
На первом этапе строятся графики зависимостей от времени t исследуемых в работе величин, характеризующих состояние системы - среднего значения v2(f) ісвадратов полных скоростей движения частиц системы, значения vrif) квадрата среднеквадратичной скорости системы, высоты zc.m(t) центра масс системы, z-компоненты u t) скорости центра масс системы (см. разд. 2.7 «Исследуемые величины характеризующие состояние гранулированной системы»).
На основании построенных графически зависимостей устанавливается, достигла ли система стационарного (в широком смысле) состояния, то есть сохраняют ли указанные характеристики системы с течением времени t постоянные значения. Стационарность состояния в широком смысле означает, что математическое ожидание и дисперсия случайного процесса не зависят от времени t. Поэтому на данном этапе производится проверка неизменности (в пределах статистической погрешности) с течением времени значений статистических оценок математического ожидания и дисперсии изучаемого случайного процесса.
Неизменность с течением времени перечисленных величин свидетельствует о том, что градиенты этих величин (то есть процессы переноса) в системе отсутствуют. Так, обращение в нуль величины и (/) и достижение стационарного значеная дисперсии означает, что направленное движение частиц системы прекратилось и в системе установилась постоянная температура.
Следовательно, на первом этапе устанавливается стационарность (в широком смысле) достигнутого системой к данному моменту времени состояния.
Однако достижение стационарных значений изучаемых величин не гарантирует установление в системе термодинамически равновесного состояния, так как распределения частиц исследуемой системы в пространстве скоростей и в пространстве координат могут оказаться неравновесными несмотря на независимость от времени макроскопических характеристик системы. Поэтому на втором этапе исследуются распределения частиц системы по величинам скоростей и по координатам (по высотам).
На основании построенных гистограмм проверяется непротиворечивость указанных распределений теоретически предполагаемым зависимостям, например, распределению Максвелла с параметром Tv в пространстве скоростей и распределению Больцмана с параметром Тс по высотам при условии, что для данной системы распределение Больцмана справедливо. Следует напомнить, что по достижении системой состояния термодинамического равновесия значения параметров Tv и Тс обоих распределений становятся равными, о чем речь шла в разд. 3.4 «Особенности протекания релаксационных процессов» данной работы- Если лее для изучаемой системы распределение Больцмана невозможно, то на данном этапе производится проверка непротиворечивости распределения частиц по величинам скоростей закону Максвелла.
