Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. При математическом моделировании объектов и систем различной природы важную роль играют регрессионные модели. Теория планирования и анализа регрессионных экспериментов была развита во второй половине XX века усилиями многих зарубежных и отечественных ученых (Дж. Элвинг, Г.Чернов, Дж. Ки-фер, Дж. Волъфовиц, В.В. Налимов, В.В. Федоров, СМ. Ермаков, М.Б. Малютов и др.). В рамках этой теории наиболее полно были изучены D-оптимальные планы эксперимента, т.е. планы, максимизирующие определитель информационной матрицы. Вместе с тем, значительный интерес представляют также Е-оптимальные планы, максимизирующие минимальное собственное число такой матрицы. Однако, несмотря на целый ряд работ, посвященных этому критерию, для классической модели полиномиальной регрессии на отрезке вид Е-оптимальных планов установлен лишь для некоторых типов отрезков. Изучению этой модели и посвящена настоящая работа. Используемый в ней подход состоит в исследовании точек и весов оптимальных планов как функций длины отрезка. В работе (В.В. Мелас. Е-огнпималъные планы эксперимента, С.-Петербург, Изд-оо С.-Петерб. ун-та, 1997) было установлено, что эти функции являются аналитическими для случая симметричных отрезков достаточно большой длины, что позволяет разложить их в ряд по обратным степеням длины. Построение таких разложений и является основной задачей диссертации.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Цель работы состоит в построении и исследовании разложения в степенные ряды точек и весов Е-оптимальных планов, рассматриваемых как функции длины отрезка.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе применяются методы математического анализа (теорема о неявном отображении, многочлены Чебышева), линейной алгебры, теории планирования регрессионых экспериментов (теорема двойственности для Е-критерия), а также используются пакеты символьной обработки данных (Maple и Mathcacl) для вычисления коэффициентов степенных разложений неявно заданных функций.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Впервые построены степенные разложения точек и весов Е-оптимальных планов, рассматриваемых как функции длины отрезка. Это позволяет для некоторого множества отрезков находить Е-оптимальные планы с лю'бой наперед заданной степенью точности.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Разработаны методы, основанные на использовании пакетов символьной обработки данных, для разложения точек и весов оптимальных планов эксперимента в степенные ряды. Эти методы могут быть использованы для изучения оптимальных планов эксперимента для широкого класса достаточно гладких моделей и различных критериев оптимальности, представимых в виде функций от информационных матриц. Развитый подход позволяет вычислять точки и веса оптимальных планов с наперед заданной точностью. Полученные результаты могут быть использованы в практике экспериментальных исследований.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре кафедры статистического моделирования математико-механического факультета СПбГУ, а также на 3-ем международном Санкт-Петербургском семинаре по стохастическому моделированию (июнь 1998).
Работа над диссертацией была поддержана грантом правительства Санкт-Петербурга для молодых ученых и аспирантов, а также грантом РФФИ (NN 96-01-00644, 98-01-00347).
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано три статьи [1]-[3].
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Библиография содержит 30 наименований. Общий объем работы — 91 страница.
