Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Модель рынка товаров длительного пользования 16
1.1. Монополия и конкуренция: обозначения 16
1.2. Описание рынка товаров длительного пользования 16
Глава II. Монополистический лизинг 21
2.1. Экспоненциальное выбытие 22
Постановка задачи 22
Замечание 1. Расчёт дохода монополиста 37
Замечание 2. Ловушка Коуза 38
Выводы 39
2.2. Товары с фиксированным сроком службы 39
2.3. Необходимые условия оптимальности (общий случай) 42
Необходимые условия оптимальности в задаче о товарах с экспоненциальным выбытием 48
Необходимые условия оптимальности в задаче о товарах с фиксированным сроком службы 49
Выводы 50
Глава III. Монополист и вторичный рынок товаров длительного пользования 51
3.1. Постановка задачи 51
3.2. Обоснование фазовых ограничений 54
3.3. Задача с фазовыми ограничениями 55
Решение задачи оптимального импульсного управления с фазовыми ограничениями 56
3.4. Модели Канна, Тепо, Осадчего 70
3.5. О виде фазовых ограничений 70
3.6. Влияние вторичного рынка 71
3.7. Дополнение: вторичный рынок товаров с фиксированным сроком службы 72
Заключение 75
Литература
- Описание рынка товаров длительного пользования
- Необходимые условия оптимальности (общий случай)
- Необходимые условия оптимальности в задаче о товарах с фиксированным сроком службы
- Решение задачи оптимального импульсного управления с фазовыми ограничениями
Введение к работе
Известный американский экономист Рональд Коуз (Ronald Coase) предположил, что, монополист, производящий товары бесконечно длительного пользования (совершенно долговечные товары) или владеющий ими изначально, теряет свою монопольную власть. В результате он вынужден продавать товары длительного пользования по конкурентной цене. Конкуренция может возникнуть, даже если существует только один поставщик.
Согласно Коузу, товар, проданный вчера, является совершенным заменителем товара, купленного сегодня, т.е. производимый сейчас товар конкурирует с товаром, произведённым и проданным ранее. Получается, что с монополистом конкурирует тот, кого он не одолеет никогда: он сам. По мысли Коуза, эта конкуренция совершенна.
В своей работе Durability and monopoly [1] Коуз выдвинул следующее интуитивное предположение: монополист насытит рынок, продавая товар по монопольной цене, но не остановится на этом, когда спрос на товар по монопольной цене станет равным нулю, так как имеет возможность продать ещё дополнительное количество товара по более низкой цене. Чем больше товара он будет выбрасывать на рынок, тем быстрее будет падать цена. Если процесс продолжается, то цена упадёт до конкурентной цены. Зная это, покупатели не будут приобретать товар, пока цена не достигнет конкурентной. Справедливость своей гипотезы Коуз обосновывал с помощью результатов статической модели монополии, тогда как постановка задачи требует применения динамической теории.
Потребитель, покупающий товар длительного пользования сегодня, вряд ли купит такой же товар завтра. Таким образом, товары, которые предлагает монополист в два различных периода, представляют собой заменители, а не дополнители.
Приведём иллюстрацию гипотезы Коуза для самого простого статического случая [2]. Предположим, что существуют семь потребителей. Эти потребители имеют «готовность платить» или «оценку» v = l,2,...,7 соответственно; v -настоящая дисконтированная стоимость потока услуг, начиная с момента покупки и далее. Каждый потребитель может извлечь полезность только из одной
единицы товара длительного пользования. Предположим, что никаких затрат на производство этого товара не требуется и сам товар долговечен.
Допустим сначала, что монополист делает в первом периоде предложение раз и навсегда. Монополист назначает монопольную цену 4 (при .этом монополист получает максимально возможную монопольную прибыль, равную 16). Теперь рассмотрим многопериодную модель. Предположим, что монополист назначает цену 4 в первом периоде, а потребители с оценкой не ниже 4 принимают её. В начале второго периода остаточный спрос монополиста составляют потребители с оценками от 1 до 3. В этом случае монополист склонен назначить более низкую цену для второго периода. Например, если второй период является последним периодам продаж монополиста, он назначает монопольную цену, соответствующую остаточному спросу, т.е. цену 2. Теперь рассмотрим, что произойдёт, когда потребители в первом периоде понимают, что у монополиста ex post появится стимул снизить цену во втором периоде. Потребители с высокими оценками, возможно, всё ещё будут согласны платить цену 4, так как они склонны приобрести товар. Тем не менее, потребитель с оценкой 4, например, не купит товар, поскольку он получил бы нулевой излишек, тогда как, подождав какое-то время, он мог бы получить положительный излишек. Таким образом, ожидание будущего снижения цены вызывает снижение спроса в первом периоде.
Гибкость, которой обладает монополист для регулирования цен во времени, на самом деле, причиняет ему ущерб. Действительно, для него было бы лучше, если бы он мог ex ante принять на себя обязательство не торговаться, т.е. не снижать цены после того, как потребители с высокой оценкой купят товар. Это объясняется тем, что потребители ждут того момента, когда монополист снизит цену. Потери прибыли монополиста в условиях отсутствия обязательств становятся очень высокими при частых ценовых корректировках. Гипотеза, выдвинутая Коузом, утверждает, что при нарастающей частоте ценовых корректировок прибыль монополиста стремится к нулю. Все торговые операции совершаются практически мгновенно по ценам, близким к предельным затратам (как в случае конкуренции).
Монополист может сократить количество товара, переходящего в следующий период, снижая продолжительность срока службы товара. При этом увеличивается остаточный спрос, а, следовательно, и цена следующего периода.
Р. Коуз указал две стратегии возвращения монопольной власти:
1. особые договорные и институциональные соглашения. Например,
монополист обязуется не продавать товар сверх количества, соответствующего
монопольной цене, или принимает решение не продавать товар, а сдавать его в
аренду (монополистический лизинг), что позволяет закрепить товар за
покупателем;
2. снижение долговечности товара.
Действительно, монополистический лизинг «ликвидирует» вторичный рынок товаров длительного пользования, и единственным продавцом товара остаётся монополист. А снижение долговечности товара заставляет потребителей чаще приобретать товар, что увеличивает объёмы продаж и доходы монополиста.
Гипотеза Коуза превратилась в аргумент юридической практики. Вот какие выводы делает американский судья Ричард Познер: «Профессор Коуз доказал, что политика монополистического лизинга такого монополиста товара длительного пользования, как United Machinery Corporation, может быть предназначена для преодоления трудностей, встречающихся при попытке назначить монополистическую цену за товар длительного пользования... Возможно, монополистический лизинг следовало бы запретить на этом основании».
Компания «Белл» в 1877 г. приняла решение не продавать телефонные аппараты, а сдавать их в аренду. Компания United Machinery Corp., производившая оборудование для изготовления обуви, не продавала своё оборудование, а сдавала в аренду сроком на 17 лет. К монополистическому лизингу прибегали корпорации IBM и Xerox. В декабре 2005 года компания Honda представила свою новую разработку: робота - помощника в офисе, согласно заявлениям компании, робот не поступит в продажу, но в скором времени его можно будет взять в лизинг.
Возможно, действия этих компаний были вызваны не столько противостоянием угрозе снижения цен из-за отказа потребителей покупать товар
иначе как по конкурентной цене, сколько стремлением ликвидировать или монополизировать рынок подержанной продукции и прикрепить к себе потребителей на весь период использования товаров длительного пользования в части послепродажного обслуживания. Кроме того, монополистический лизинг позволяет осуществлять ценовую дискриминацию первого рода путём назначения более высокой арендной платы более активным пользователям.
Под влиянием работ Коуза были внесены поправки в федеральное антимонопольное законодательство США, запрещающие монополистический лизинг товаров длительного пользования.
Дж. Бюлоу (Bulow, 1982, 1986) [3,4] рассматривает простую двухпериодную дискретную модель рынка товаров длительного пользования для различных типов предприятий. Решается задача максимизации прибыли монополиста за два периода. Автор рассмотрел возможность выбытие товаров и наличия вторичного рынка (во второй период товар может продавать не только монополист, но и купившие товар в первый период). Показано, что доход монополиста, продающего товары, ниже дохода монополиста, сдающего товары в аренду. Чтобы повысить свой доход, монополист, продающий товары, специально уменьшает срок службы товаров, что заставляет покупателя чаще делать покупки.
Вопрос об оптимальной продолжительности срока службы товара для случая монополистического лизинга рассматривается в работе [5]. Опираясь на тот факт, что монополист является владельцем запаса товаров длительного пользования в каждый момент времени, автор делает выводы о том, что у монополиста есть стимул выбирать долговечность, чтобы минимизировать межвременные производственные затраты. «Запланированное устаревание» отсутствует, монополист не производит товар с нерентабельно коротким жизненным циклом для того, чтобы вынудить потребителей совершать покупки.
Н. Стоки (Stokey, 1982) показала [6], что исследовать гипотезу Коуза можно только в непрерывном времени. Покупатель будет считать товар, проданный завтра, совершенным заменителем товара, проданного сегодня, если не придётся терпеть убытки в ожидании до завтра, чтобы купить товар, т.е.
только если момент «завтра» - следующий момент продаж, наступает через бесконечно малое время. Рассмотрена динамическая модель с бесконечным горизонтом планирования, для этой модели найдено равновесие, которое является пределом (единственных) равновесий в вариантах этой модели с конечным горизонтом планирования. Опираясь на предположение о рациональности потребительских ожиданий, Стоки показала, что в равновесном состоянии цены на товар бесконечно длительного пользования становятся конкурентными (т.е. равными предельным издержкам, которые считаются постоянными). Т.е. рынок наполняется «в мгновенье ока» и торговля прекращается.
Вслед за Бюлоу, Буковецки и Хилтон [7] показывают, что поведение монополиста зависит от отсутствия угрозы входа в отрасль. Монополист продал бы некоторое количество товара, если бы он пытался сдержать вход соперника. Продажи снижают потенциальный спрос для новичка, тогда как аренда не обязывает потребителей оставаться с укоренившейся фирмой в случае входа новой фирмы.
В работе [8] приведен вывод гипотезы Коуза, когда оценки покупателей отличаются от производственных затрат монополиста. В данном случае гипотеза Коуза говорит о том, что монополист продаёт по цене, близкой к самой низкой оценке покупателя.
Ж. Тепо (Thepot, 1988) [9] приводит прямое доказательство гипотезы Коуза с использованием теории оптимального управления и динамического программирования для случая нулевых предельных издержек и абсолютно долговечных товаров. Рассматриваются два вида монополии: монополия, пользующаяся доверием, и монополия, непользующаяся доверием. В работе [10] Ч. Кан (Kahn, 1986) строит динамическую модель рынка товаров длительного пользования и делает попытку доказать, что в случае возрастающих предельных издержек гипотеза Коуза несправедлива. М.С. Осадчий [11], опираясь на модели Кана и Тепо, исследует рынок более подробно, используя средства математической экономики, рассматривая различные варианты поведения монополиста. Аналогичную задачу, но с учётом возможности амортизации товара, пытается решить и Л. Карп (Кагр, 1996) [12], используя понятие «сильного марковского абсолютного равновесия» (Strong Markov Perfect
Equilibrium). Однако в этих четырёх работах молено указать неточности в применении математических методов.
В работе С. Рейнольдса (Reynolds, 2002) [13] описана экспериментальная проверка гипотезы Коуза: рассмотрен случай одного продавца-монополиста и четырёх покупателей. В эксперименте принимали участие студенты экономических школ, которые, в качестве покупателей, могли приобрести единицу товара или не приобретать товар в течение одной сессии. Мотивацией к покупке товара служила возможность последующей «перепродажи» товара «экспериментатору» по заранее оговорённой цене. Результаты этой проверки подтверждают гипотезу Коуза: как для больших, так и для малых периодов, в которые осуществляется торговля, цены на товары длительного пользования оказались значительно ниже, чем на обычные товары в той же модели.
Большой класс работ посвящен рассмотрению гипотезы Коуза с теоретико-игровой точки зрения.
Гуль, Зонненшайн и Уилсон [14] (Gul, Sonnenschein and Wilson, 1986), в предположениях, аналогичных Стоки, представляют доказательство гипотезы Коуза при условии, что покупатели используют «стационарные стратегии» (принимают решения, зависящие только от текущей цены). Однако в этой работе показано, что в модели с бесконечным горизонтом планирования может быть найден континуум равновесных состояний, отличных от «равновесия Коуза».
Осабел и Денекер [15] (Ausubel, Deneckere, 1989) в своей работе показали, что равновесие Коуза можно использовать для доказательства существования другого нестационарного равновесия: как только монополист откланяется от этого гипотетического равновесия, он теряет доверие покупателей и возвращается к равновесию Коуза, что приводит к уменьшению его дохода. Т.е. это случай, пользующейся доверием монополии, когда монополист связывает себя дополнительными обязательствами.
Багноли, Салан и Швербинский [16] (Bagnoli, Salant and Swierzbinski, 1989) рассматривают случай конечного числа покупателей: это разумно с точки зрения постановки эксперимента, но в этом случае монополист имеет возможность различать покупателей с точки зрения назначения цены, и таким образом, получать большую прибыль.
Основная задача данной работы - исследовать поведение монополиста на рынке товаров длительного пользования. С целью проверки гипотезы Коуза построена динамическая модель рынка товаров длительного пользования. Проанализированы предположения Коуза о восстановлении монопольной силы. В диссертационной работе исследованы не только товары с «классической» экспоненциальной функцией выбытия, но и товары с фиксированным сроком службы.
Актуальность работы. Актуальным является анализ механизмов восстановления монопольной власти на рынке товаров длительного пользования, проведённый на языке математических моделей.
Практическая ценность. Исследование рынка товаров длительного пользования необходимо для совершенствования антимонопольного законодательства и формирования политики регулирования государственного вмешательства на этом рынке.
Научная новизна. Коуз основывал свою теорию на интуитивных предположениях, тогда как полный анализ данной гипотезы требует математической чёткости. Достаточно обширный класс работ, посвященных анализу гипотезы Коуза, основан на простых двухпериодных моделях. В литературе встречаются попытки построить и динамические модели рынка товаров длительного пользования. В числе наиболее известных и широко цитируемых из таких работ можно назвать работы Кана [9] (Kahn С, 1986), Тепо [10] (Thepot J., 1998), М.С. Осадчего (2002) [11] и некоторых других авторов, основывающих свои исследования на результатах этих трудов. В диссертации показано, что формализация задач, описывающих модели, предложенные в этих работах, проведена некорректно1. В диссертационной работе предложены модели для корректного исследования гипотезы Коуза. Эти модели формализованы задачами оптимального импульсного управления. С помощью этих моделей было показано, что выполнение гипотезы Коуза зависит от характеристик товара длительного пользования: для товаров с фиксированным сроком службы гипотеза нашла свое подтверждение (при определённых начальных условиях), а в случае
1 Подробнее см. главу III.
экспоненциального выбытия выполнение гипотезы зависит от соотношения нормы выбытия и ставки процента.
Вопреки предположениям Коуза, даже используя монополистический лизинг, монополист может оказаться в условиях конкуренции. В работе показано, что наличие вторичного рынка не оказывает принципиального влияния на поведение монополиста.
Апробация работы. В основу диссертационной работы положены результаты, полученные автором в ходе исследований, проводимых в рамках научно-исследовательской работы по проектам:
плана научно-исследовательской работы отдела математического моделирования экономических систем ВЦ РАН № 01.2.007 01866
аналитической ведомственной целевой программы РНП.2.2.1.1.2467;
РФФИ (проект № 08-07-00158-а, 07-01-12024-офи, 05-01-00942, 05-01-08045-офи_а, 02-01-00854-а);
РГНФ (проект № 08-02-00347а, 05-02-02349а),
программы по поддержке ведущих научных школ НШ-2982.2008.01, НШ-5379.2006.1,
программы фундаментальных исследований РАН № 16 «Математическое моделирование и интеллектуальные системы», программ фундаментальных исследований ОМН РАН № 3 (п. 3.14), РАН № 14 (п. 1.11).
Научные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
XLVI, научная конференция МФТИ, Москва-Долгопрудный, 2003г.
XLVII научная конференция МФТИ, Москва-Долгопрудный, 2004г.
I международная конференция «Системный анализ и информационные технологии» САИТ-2005, Переславль-Залесский, 2005.
V Московская международная конференция по исследованию операций (ORM2007). Москва, 2007.
Вторая Международная конференция «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (MMSED-2007), Москва, 2007.
II Всероссийская научная конференция с молодёжной научной школой «Математическое моделирование развивающейся экономики», посвященная 90-летию со дня рождения Н.Н. Моисеева. ЭКОМОД-2007, Киров, 2007.
Вторая международная конференция «Системный анализ и информационные технологии» САИТ-2007, Обнинск, 2007.
L научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», Москва, 2007.
VII международная конференция «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'08. Москва, 2008.
Вторая ежегодная конференция "Современные подходы к исследованию и моделированию в экономике, финансах и бизнесе". Санкт-Петербург, 2008.
научный семинар под руководством академика А.А. Петрова в ВЦ РАН им. А.А. Дородницына, Москва, 2007.
Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы.
В первой главе введены основные определения и построена модель рынка товаров длительного пользования, учитывающая возможность торговли на вторичном рынке. Эта модель описана задачей максимизации прибыли монополиста. Рассмотрены два случая товаров длительного пользования с различными функциями выбытия.
Во второй главе рассмотрена гипотеза Коуза в случае монополистического лизинга. В этом случае единственным продавцом остаётся монополист, и цена на товар определяется обратной функцией спроса. В случае экспоненциального выбытия задача максимизации прибыли монополиста становится задачей оптимального импульсного управления. Для этой задачи найдено оптимальное управление и доказана теорема о магистрали в сильнейшей форме. Показано, что в этом случае гипотеза Коуза не всегда справедлива: монополист может оказаться как в условиях монополии, так и в условиях конкуренции. Положение монополиста на рынке зависит от отношения параметров модели: нормы выбытия и ставки процента.
В случае товаров с фиксированным сроком службы задача максимизации прибыли монополиста становится задачей оптимального импульсного управления
с запаздываниями. При условии того, что в нулевой момент времени монополист начинает выпускать новый товар, которого раньше не было на рынке, найденное решение этой задачи показывает, что гипотеза Коуза в этом случае подтверждается: монополист оказывается в условиях конкуренции. Опровергнуто предположение Коуза о том, что монополист имеет возможность избежать конкуренции, сдавая товары в длительную аренду. Используя монополистический лизинг, монополист также может оказаться в условиях конкуренции.
В третьей главе рассмотрена возможность торговли товарами на вторичном рынке. Проанализированы неточности, допущенные при построении моделей в некоторых аналогичных работах. Задача максимизации прибыли монополиста в случае экспоненциального выбытия является задачей оптимального импульсного управления с ограничениями на фазовую траекторию. Найдено решение этой задачи и показано, что наличие торговли на вторичном рынке не оказывает принципиального влияния на поведение монополиста.
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.
РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ
Построена модель рынка товаров длительного пользования, позволяющая описывать поведение монополиста. При различных предположениях о товаре и ситуации на рынке модель представляет собой задачу оптимального импульсного управления, оптимального импульсного управления с запаздываниями, оптимального импульсного управления с ограничениями на фазовую траекторию. Найдены оптимальные решения этих задач, доказана теорема о магистрали в сильнейшей форме.
Исследование модели показало, что справедливость гипотезы Коуза зависит от характера выбытия товаров длительного пользования. Для товаров, описываемых экспоненциальным законом выбытия, справедливость гипотезы Коуза зависит от соотношения коэффициента выбытия /л и банковской
процентной ставки г. При изменении параметра fi/r от 0 до со магистраль X монотонно смещается от выпуска при совершенной конкуренции Хс к монопольному выпуску Хм. Гипотеза Коуза справедлива, если //«/-. Для
товаров с фиксированным сроком службы при нулевом начальном запасе товаров у потребителей гипотеза подтверждается. Для совершенно долговечных товаров, какие и рассматривал Коуз, гипотеза подтверждается: монополист оказывается в условиях конкуренции.
Снижение долговечности товара может помочь монополисту избежать конкуренции в случае товаров с экспоненциальным выбытием, но не в случае товаров с фиксированным сроком службы. Однако, и в том и в другом случае, монополист увеличивает свою прибыль, снижая долговечность товаров.
Вопреки предположениям Коуза, используя монополистический лизинг, монополист всё равно может оказаться в условиях конкуренции. Более того, наличие торговли на вторичном рынке не оказывает принципиального влияния на поведение монополиста.
СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Флёрова А.Ю., Шананин А.А. Задача оптимального управления производством товаров длительного пользования. Труды XLVI научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть VII. Управление и прикладная математика. Москва-Долгопрудный: МФТИ, 2003г. с. 138-139.
Флёрова А.Ю. Модели вторичного рынка товаров длительного пользования. Труды XLVII научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть VII. Управление и прикладная математика. Москва-Долгопрудный: МФТИ, 2004г. с. 165-167.
Флёрова А.Ю. Шананин А.А. Анализ динамической модели рынка товаров длительного пользования. Первая международной конференции «Системный анализ и информационные технологии» САИТ-2005 (12-16 сентября 2005 г., Переславль-Залесский, Россия): Труды конференции. Т.1. - М.: КомКнига, 2005. - с. 343-347.
Флёрова А.Ю. Исследование влияния вторичного рынка на поведение монополиста, производящего товары длительного пользования. Сообщение по прикладной математике. М.: ВЦ РАН, 2006.
Флёрова А.Ю. Товары длительного пользования с фиксированным сроком службы. Труды V Московской международной конференции по исследованию операций (ORM2007), посвященная 90-летию со дня рождения Н.Н. Моисеева. М.: МАКС Пресс, 2007. с. 105-106.
A.Y. Flerova Mathematical modeling of monopolist's behavior on durable goods market. Труды 2-ой Международной конференции «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (MMSED-2007). М.: РУДЫ, 2007. С. 266-268.
Флёрова А.Ю. Управление производством товаров длительного пользования с учётом монополистического лизинга. Известия РАН: Теория и системы управления, № 6, 2007. С. 167-176.
A. Yn. Flerova Control of Production of Durable Goods with Account of Monopolistic Leasing II Journal of Computer and Systems Sciences International, 2007, Vol. 46, No. 6, pp. 1001-1010.
Флерова А.Ю. Математическая модель рынка товаров длительного пользования с различными характеристиками выбытия. II Всероссийская научная конференция с молодёжной научной школой «Математическое моделирование развивающейся экономики», посвященная 90-летию со дня рождения Н.Н. Моисеева. ЭКОМОД-2007, г. Киров, 9-15 июля 2007/Тезисы докладов. - Киров, изд-во. ВятГУ, 2007. С.43.
Флёрова А.Ю. Математическая модель рынка товаров длительного пользования с различными характеристиками выбытия. II Всероссийская научная конференция с молодёжной научной школой «Математическое моделирование развивающейся экономики», посвященная 90-летию со дня рождения Н.Н. Моисеева. ЭКОМОД-2007, г. Киров, 9-15 июля 2007/Труды конференции. - Киров, изд-во. ВятГУ, 2007. С.43.
Флёрова А.Ю. Поведение монополиста на рынке товаров длительного пользования в зависимости от вида товаров. Вторая международная конференция «Системный анализ и информационные технологии» САИТ-2007 (10-14 сентября 2007 г., Обнинск, Россия): Труды конференции. В 2 т. Т.2. -М.: Издательство ЛКИ, 2007. С. 139-141.
Флёрова А.Ю. Математическая модель вторичного рынка товаров длительного пользования с различными характеристиками выбытия. Труды 50-ой научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть VII. Управление и прикладная математика. Том 1. - М.: МФТИ, 2007. С.94-96.
Флёрова А.Ю. Задачи оптимального управления, возникающие при исследовании гипотезы Коуза. Труды VII международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'08. Москва, 28-31 января 2008 г. Институт проблем управления им. А.В. Трапезникова РАН. М.: Институт проблем управления им. А.В. Трапезникова РАН, 2008. С. 1292-1295.
Основные результаты диссертации представлены в работах [4, 7, 10]. В совместных работах задачи поставлены, и направление их решений выбрано совместно с профессором А.А. Шананиным, автору принадлежит реализация выбранных направлений исследования: формулировка и доказательство утверждений, изучение свойств оптимальных траекторий.
Описание рынка товаров длительного пользования
Для того чтобы начать разговор о монополии и конкуренции и ввести необходимые обозначения, вспомним модель экономических взаимодействий, предложенную французским математиком, экономистом и философом Антуаном-Огюстеном Курно в 1838 г. Введем следующие обозначения: X - объем выпуска товара, Р(Х) - обратная функция спроса, убывающая по X . Будем считать, что функция издержек линейна по выпуску, издержки по производству единицы продукции обозначим с. Естественно считать о О. Предположим также, что выполняется следующее условие. (ХР(Х))" 0. В случае монополии задача максимизации прибыли производителя имеет вид X (Р(Х) - с) -» max. 4 х о Будем считать, что Р(0) с . Уравнение на выпуск в условиях монополии выглядит следующим образом: Рх(Х)Х + Р(Х)-с = 0. (1.1) Решение этого уравнения обозначим Хм - выпуск в условиях монополии. Уравнение на выпуск в условиях совершенной конкуренции отличается от уравнения на выпуск монополии: Р(Х)-с = 0. (1.2) Выпуск в условиях совершенной конкуренции обозначим Хс.
Пусть монополист производит и продаёт один вид товаров длительного пользования. Предполагаем, что сделки могут совершаться непрерывно, трансакционные издержки отсутствуют, а владение товаром не приносит монополисту пользы.
Исследуем задачу максимизации прибыли предприятия N(T) за период времени [0,Т]. Обозначим через X(t) запас товара, находящийся в собственности репрезентативного потребителя в момент времени t. Будем считать, что скорость выпуска товара длительного пользования равна скорости продажи. Количество товаров, продаваемых потребителю в момент времени t обозначим u(t). В нашей модели это управляющий параметр.
Рассмотрим товары не только с бесконечным сроком службы, но и товары с возможностью выбытия. Будем считать, что товар выбывает согласно закону, описываемому некоторой гладкой функцией выбытия a(t). Т.е. от единицы нового товара через время t остаётся количество a{t). Таким образом, изменение запаса товаров у потребителя происходит за счет выбытия товаров и покупки новых товаров в размере u(t): t X(t)= \a{t-z)u{r)dz. —00
В начальный момент времени величина запаса товаров у потребителей определяется количеством выпущенных до начала планирования товаров: о Х(0) = j" а(-т)и(т)сіт. —00 Логично предположить, что известна структура выпуска товаров до момента времени 0. Пусть u(t) = и0 (t) при t 0. Обозначим через p(t,r) цену товара длительного пользования возраста т в момент времени t.
Поведение потребителя будем описывать с помощью функции полезности, которая зависит не только от объема товара у потребителей, но и от временной структуры товара, и эта зависимость выражается следующим образом: производная функции полезности имеет вид fx(X{ty) — /2(г) Это выражение имеет следующую интерпретацию: f\{X(t)) - ценность услуг, получаемых от товаров длительного пользования, убывающая по X; fi(T)- стоимость обслуживания (например, ремонта, запчастей и т.д.) товара возраста т, не убывающая по т.
Такую зависимость хорошо иллюстрирует следующий пример: таксомоторный парк в некотором городе. Чем больше количество автомобилей в городе, тем меньше доход, получаемый с одного автомобиля. А чем больше возраст автомобиля, тем выше затраты на ремонт и замену запчастей. Как же определяется цена товара? Предположим, что мы заняли сумму p(t,z)dX и приобрели в момент времени / дополнительное количество dX товара длительного пользования возраста т. Использовали этот товар в течение периода времени dt, получив услуги, ценностью {fl{X{t))-f2{T))dtdX. Затем продали в момент времени /77ч а(т + dt) 1ЛГ t + dt, получив прибыль от продажи p(t + dt,t + dt) dX, и вернули долг а(т) с процентами er p{t,r)dX. Во избежание арбитража экономический результат такой операции при положительном количестве dX должен быть равен нулю: dX = 0. (/i( (0) -Ш) Ь + p(t + dt,v + dt) Ф + f} -erdtp(t,r) а(т) J
Однако монополист может влиять на ценообразование: он всегда может назначить цену на новый товар, меньшую, чем цена на вторичном рынке в данный момент, Для того, чтобы учесть эту возможность введём дополнительное управление w(t) 0, позволяющее монополисту снижать цену на новый товар.
Устремим dt к 0, получим дифференциальное уравнение в частных производных, определяющее цену на рынке на товар возраста г в момент времени t.
Необходимые условия оптимальности (общий случай)
В случае экспоненциального выбытия, описанном в п. 2.2, функция выбытия товаров длительного пользования имеет вид а(ґ — т) = е т К Мы предполагаем, что в случае небольшого начального запаса товаров у потребителей оптимальная траектория в этом случае имеет магистраль X, а попадает на неё и сходит с неё скачками. На магистрали u(t) = /лХ. Проверим это предположение. Исследуем скачок в последний момент времени. Для этого выпишем X J при Sj—T.
Согласно лемме Фаркаша, Я J = 0 при s —Т, так как согласно нашим предположениям в конечный момент траектория делает положительный скачок. Таким образом, мы получаем, что Р(Х(Т)) = 0 . Это означает, что Х(Т) = Хс и в последний момент монополист продаёт максимально возможное количество товара и попадает в условия конкуренции. Мы получили граничное условие.
Аналогичным образом можно показать, что X J = 0 при ,=0, когда происходит скачок из начального состояния на магистраль. Выпишем значение
Вспомним, что Р(Хс) = 0 - в случае совершенной конкуренции производитель вынужден продавать товар по цене, совпадающей с предельными издержками - и получим, что -Я9 =(ИГ -е- тМр{Х) + - -ХР\х) Согласно теореме Фаркаша, Я = 0. И мы получаем уравнение для магистрали X: Р{Х) + - —ХР (х) = 0. r-hju v Это уравнение оказывается уравнением (2.11), а траектория X совпадает с найденным во второй главе магистральным значением X. Таким образом, сделав предположение о виде оптимальной, мы получили необходимые условия оптимальности. И эти условия совпадают с условиями оптимальности, полученными для этой задачи в главе II с помощью принципа максимума.
Необходимые условия оптимальности в задаче о товарах с фиксированным сроком службы
Аналогично предыдущему пункту выпишем значения Я и Я J для задачи о товарах с фиксированным сроком службы. Пусть в начальный момент времени J0=0 и мы предполагаем, что оптимальной траекторией является траектория, изображённая на рис. 2: скачки на некоторый постоянный уровень X с периодичностью а. В этом примере u(t) = 0. Без ограничения общности можем считать, что в є (0,а). Выпишем значение Я J при s = О і -Ґj = \{P\Xz)Xz + P{Xz)X)dz = Р{Х) = О. о Отсюда мы получаем, что X = Хс, т.е. монополист попадает в условия конкуренции. і -Я0 = er{T-a) \P\Xcz)Xcdz +ег(т в)Р(Хс) = -ег{т а)Р(0). о Мы получили Я 0 при и{9) — 0. Таким образом, наше предположение о виде оптимального управления оказалось верным. Полученные условия оптимальности подтверждаются теоремой 2 из п. 2.2.
Выводы
В данном разделе представлен способ нахождения экстремалей в задаче (2.33) о максимизации прибыли монополиста на рынке товаров длительного пользования, отличный от принципа максимума. Сделав некоторые предположения о том, как ведёт себя оптимальная траектория (когда происходят скачки, где управление положительно, а где равно нулю), мы можем проверить, удовлетворяет ли наше предположение необходимым условиям оптимальности.
В случае товаров с экспоненциальным выбытием показано, что с помощью принципа максимума получены идентичные необходимые условия оптимальности.
Такой способ применения необходимых условий оптимальности удобен в тех случаях, когда модель рынка товаров длительного пользования описывается задачей, для которой пока не разработана теория принципа максимума как, например, в случае задачи Р5.
Необходимо отметить, что полученные условия оптимальности, как и принцип максимума, не являются достаточными и требуют дальнейших исследований (например, доказательства существования и единственности решения). Глава III. Монополист и вторичный рынок товаров длительного пользования
Теперь построим и рассмотрим модель «полноценного» рынка товаров длительного пользования, когда нет никаких ограничений на перепродажу товаров на вторичном рынке на примере товаров с экспоненциальной функцией выбытия. Как же влияет на поведение монополиста наличие вторичного рынка? 3.1. Постановка задачи Описание рынка товаров длительного пользования с учетом возможности торговли на вторичном рынке Пусть в период времени [0,Т] предприятие производит и реализует один вид товаров длительного пользования. В случае товаров с экспоненциальной функцией выбытия, потребительские качества товара со временем не ухудшаются, поэтому ожидания потребителей и цена товара не зависят от возраста товара. Поведение потребителя будем описывать с помощью функции полезности U(X), производная которой равна f(X). Будем считать, что выполняется Закон Спроса, т.е. функция f(X) убывает по X, а также предположим выполнение условия (Х/(Х))" О. Наложим дополнительное условие на обратную функцию спроса: пусть при X, таких что f(X) (r + ju)c, значение функции /"(X) не принадлежит интервалу f(X) - (г + ju)c f(X) - (г + /i)c Заметим, что длина этого интервала стремится к нулю при уменьшении параметра /2. Обозначим это условие Q.. Через p(t) обозначим сложившуюся на рынке цену товара длительного пользования в момент времени t. Как же определяется цена товара? Ответ на этот вопрос в общем случае приведен в главе 1. Применим аналогичные рассуждения и для товаров с экспоненциальной функцией выбытия.
Необходимые условия оптимальности в задаче о товарах с фиксированным сроком службы
Таким образом, если Х0 X, то y/2(t) 0, т.е. условия оптимальности ни на одном отрезке времени не выполняются. Это означает, что единственным возможным управлением в этом случае является скачок либо на ограничение, либо в область не ниже кривой р = , т.е. в некоторую точку Хх, где г + /л Хі=тт{Х ,Х}. Теперь рассмотрим Х0 X. Как было показано, положительное управление, которое позволило бы траектории попасть на ограничение, /ч f(X)-c(r + ju) Л „ существует при условии y/2v)- 0. Допустим, что такое управление действительно существует на некотором отрезке времени. Заметим, что справедливо следующее равенство: X(t) + v(t) = -M(X(t) + y,2(t)), Отсюда получаем траекторию X(t), которая может быть оптимальной. I /ТО J /ш Обозначим эту траекторию X (t). Возможное управление имеет вид \ f(X)-(r + Ju)c f\X) -м 1. и(0 = f\x) f\x).
Покажем, что если траектория X (t) действительно оптимальна, то она попадает на ограничение в точке X.
Было показано, что, попав на ограничение, траектория уже с него не сходит. На ограничении цена определяется функцией, зависящей от количества товаров у потребителей. Таким образом, мы попадаем в задачи Р1 о монополистическом лизинге товаров длительного пользования. И в рассматриваемом случае доход N (т ,Х(т )) будет иметь вид т Ng(r ,X(T )) = J еГ Тч МХ(8{Х) - c)dt = М = X(g(X)-c) г ґ r \ er(T-r ) (x ] V -1 VX J V J
Рассмотрим условие трансверсальности (3.11). Согласно условиям оптимальности, т.к. траектория приходит на ограничение с положительным управлением, справедливы следующие равенства: Щ(т ) = с-8(Х ). ул,(г ) = f(X )-c(r + fit) f(X ) Таким образом, выражение (3.11) принимает вид ЇХ X f(X )-c(r + ju) (g(X)-c) = 0 c-g(X ) + g\X ) f\X ) Действительно, решение этого уравнения является X = X. Предположим, что это решение единственно. Таким образом, траектория X (t) приходит на ограничение в точке X. Однако, выше показано, что слева от X не может быть оптимальных траекторий, поэтому траектория X (t) приходит в точку X справа, т.е. X os(t) не возрастает. Таким образом, должно выполняться следующее ограничение для возможного оптимального управления: 0 u(t) juXpos(t), а при наших условиях Q, наложенных на обратную функцию спроса, такое неравенство не выполняется. Это означает, что нет такого отрезка времени, на котором могут выполняться условие оптимальности p(t) - с + у/х (У) = 0, при которых существует неотрицательное управление. Поэтому единственным возможным положительным управлением является скачок на ограничение.
Допустим, что для начальных условий (р0,Х{ ) при Х? Х имеет место следующее управление: сначала на некотором отрезке времени u(t) — 0, а потом скачок на ограничение. Для некоторого другого начального условия (р0,Х2 ) при Х2 X оптимальным решением является скачок на ограничение. Покажем это.
Выше показано, что при Х2 X в начале применяется импульсное управление, т.е. выполняется равенство р —с + у/- (0) = 0. Допустим, после скачка применяется нулевое управление, тогда (p(t) c + Wl(t))\=o=(r + Ju)c-f(X(0)) + f\X(0)) 2(0) = 0.
Следовательно, если в начальный момент времени произошёл скачок, всюду верно равенство p(t) - с + у/\ (t) = 0. А мы показали выше, что это условие выполняется для единственного управления: скачка на ограничение. Значит, при начальных условиях (р0,Х2), где Х2 Х, оптимальным решением является скачок на ограничение и других решений нет. При таком скачке траектория проходит точку (р0,Х ), где X Х. Если бы из точки {pQ,X) существовало иное, нежели скачок на ограничение, оптимальное управление щ (t) при котором доход монополиста был бы больше, тогда и для начальной точки (р0,Х2) оптимальное управление было бы таким: скачок в точку {pQ,Xx ), а потом управление щ (t). Однако, мы показали, что это не возможно. Следовательно, единственным возможным управлением для любых допустимых начальных условий является скачок на ограничение. Таким образом, г = 0. Лемма 5 доказана. 2. Мы убедились, что в начальный момент времени оптимальная траектория делает скачок на ограничение, в точку g(X ).
2.1. X Х. Отклоняться от ограничения монополисту не выгодно, так как р — g(X) - это максимальная цена, которая возможна за данное количество товара X, понижать ее убыточно, а повышать ее нельзя из-за ограничения. Как показано выше, в п. I доказательства, попадая на ограничение, траектория с него уже не сходит. Удерживать цену р на уровне g(X) позволяет управление w.
Таким образом, цена на товар зависит от количества товаров у потребителей. В этом случае мы попадаем в условия задачи Р1, решение которой найдено в главе 1. В этом случае Р(Х) = g(X), X = X и Хс = Хс. 2.2. X X. В этом случае рынок насыщен товаром, но монополисту выгодно оставаться на ограничении, так как выше было показано, что, попав на ограничение, траектория с него не сходит. Таким образом, в этом случае монополисту необходимо избрать такое управление, чтобы оставаться на ограничении до тех пор, пока траектория не попадет в стационарную точку X. Управление в этом случае находится из условия p(t) = g(X(t)). Продифференцируем это равенство:
Решение задачи оптимального импульсного управления с фазовыми ограничениями
Мы увидели, что наличие или отсутствие вторичного рынка качественно не влияет на оптимальное поведение монополиста в случае товаров длительного пользования с жспонетіиальной функцией выбытия.
Оптимальные траектории для задач с учётом вторичного рынка и без него очень похожи: при достаточно небольшом начальном запасе товара у потребителей в начальный момент времени происходит скачок на магистраль, где траектория остаётся до последнего момента времени. Мы убедились, что предположение Коуза о том, что отсутствие вторичного рынка может помочь вернуть монопольную власть не подтверждается: монополистический лизинг не может уберечь монополиста от попадания в условия конкуренции.
Как в случае отсутствия вторичного рынка, так и принимая во внимание его наличие, конкуренции можно избежать, понижая срок службы товаров. Это предположение Коуза подтвердилось. Понижая срок службы товаров, монополист вынуждает покупателя чаще приобретать товар длительного пользования, тем самым увеличивает свой доход. Но необходимо отметить, что влияние параметра [і, характеризующего скорость выбытия товаров, на оптимальное управление, нельзя рассматривать без учёта влияния параметра г -ставки процента. Влияние этих параметров необходимо рассматривать в совокупности.
Сам Коуз не принимал в расчёт такой важный параметр как процентная ставка, но согласно приведённым в этой работе исследованиям, положение монополиста зависит от соотношения параметров норма выбытия и ставка и. процента: как уже отмечалось, при изменении параметра — от 0 до оо г магистраль X монотонно смещается от выпуска при совершенной конкуренции Хс к монопольному выпуску Хм. Это означает, что гипотеза Коуза для товаров длительного пользования с экспоненциальной функцией выбытия справедлива, если /I«г, вне зависимости от наличия или отсутствия вторичного рынка.
Дополнение: вторичный рынок товаров с фиксированным сроком службы
Решение задачи Р2 об оптимальном поведении монополиста в случае монополистического лизинга товаров длительного пользования с фиксированным сроком службы найдено только для нулевых начальных условий (глава II, пункт 2.2), т.е. для ситуации, когда у потребителей нет запаса таких товаров. Естественно, при этом не существует вторичного рынка товаров длительного пользования. Монополист мгновенно продаёт максимально возможное количество товаров, и рынок насыщается, торговля прекращается, весь спрос удовлетворён. Тут так же не возникает возможностей для возникновения вторичного рынка.
Торговля на вторичном рынке возможна, если в начальный момент у потребителей существует некоторый запас товаров и есть спрос на эти товары. При этом на оптимальное поведение монополиста влияет не только начальный запас товаров у потребителей, но и структура продажи товаров на отрезке времени [-а,0], которая может быть описана функцией управления на этом отрезке uQ(t), tG[—а,0]. Товар не теряет своих потребительских качеств до истечения срока использования. Цена на товар возраста т в момент времени t определяется следующим образом. , л \p(t,T) = p(t), при т а; [О, при т а.
Применим рассуждения из главы 1 о формировании цены на вторичном рынке для случая товара длительного пользования с фиксированным сроком действия. Предположим, что мы заняли сумму p(t)dX и приобрели в момент времени t дополнительное количество товара длительного пользования dX. Использовали этот товар в течение периода времени dt, получив услуги, ценностью f(X(t))dtdX. За это время срок действия товара мог закончиться, поэтому при расчёте на продажу этого товара необходимо учесть вероятность того, что товар уже вышел из строя. Затем продали в момент времени t + dt, ( dt\ получив прибыль 1 p{t + dt)dX, и вернули долг с процентами V a J (l + rdt)p(t)dX. Экономический результат такой операции во избежание арбитража не может быть больше 0: f{X{t))dt + (1- —)p(t + dt) -(1 + rdt)p{t) 0. a
Введём дополнительное управление w(t) 0, позволяющее монополисту снижать цены на новый товар, и устремим dt к нулю, получим p{t) = Г г + -) p{t) - f(X(t)) - w(t). V а) При этом описании ценообразования на рынке товаров с фиксированным сроком службы сделано следующее предположение: мы считаем, что покупатель, приобретая товар на вторичном рынке, не знает, какого возраста этого товар, так как товар не теряет своих потребительских качеств. Покупатели будут приобретать товар, если ожидаемая ценность услуг от этого товара превысит дисконтированную стоимость этого товара.