Введение к работе
'
Актуальность работы. В настоящее время большой интерес вызывают так . называемые дважды стохастические случайные процессы. Общая схема построения таких процессов заключается в следующем: рассматривается какой-либо известный класс случайных процессов с известными характеристиками, которые берутся зависимыми от другого управляющего случайного процесса.
Такие процессы используются в теории массового обслуживания для описания потока заявок со случайной интенсивностью, при описании помех, действующих в каналах связи. Однако особый интерес подобные процессы представляют для описания динамики цен рисковых финансовых активов на фондовых рынках, потому что реальные процессы изменения цены очень сложны и обладают многими особенностями, еще не нашедшими адекватного представления в математической модели.
С другой стороны следует отметить, что математическое описание дважды стохастических случайных процессов наталкивается на очень большие трудности. Поэтому исследование каждого нового класса таких процессов представляет как чисто математический, так и практический интерес и является актуальным.
Состояние проблемы. Необходимость описания ряда финансовых процессов, таких как ценообразование на фондовом рьюке, установление всевозможных банковских и обменных процентных ставок, привела к исследованию математических моделей со случайной волатильностью в случае дискретного и непрерывного времени. Термином «волатильность» в финансовой математике принято называть стандартное отклонение изучаемого процесса. Однако, волатильность, как мера экономической неопределенности, не наблюдаема напрямую на финансовых рынках. Для ее исследования разработан ряд дискретно-непрерывных моделей, использующих наблюдения за ценами финансовых активов, сделанные в дискретные моменты времени.
Для измерения цены опционов европейского типа существует широко известная модель Блэка-Шоулса, основанная на модели Самуэльсона изменения цен финансовых активов, которая хотя и учитывает системные отклонения цен, но неприспособленна для описания колебаний случайной волатильности, которыми характеризуются реальные фондовые рынки.
(
РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ I
БИБЛИОТЕКА |
В литературе широко представлен класс моделей, являющихся обобщением модели Самуэльсона, в которых волатильность моделируется при помощи диффузионных процессов. Эти модели имеют следующую общую структуру
dSt=aStdt + ctS,dW} <Л|/(о,) = a(pt )dt + b(a, ]dW,2 где W] и Wf - коррелированные винеровские процессы с коэффициентом корреляции р, а - коэффициент, обозначающий ставку доходности; у(о,) - некоторая функция величин о,, в выражении которой коэффициенты а(с,) и Ь2(а,) имеют смысл среднего и дисперсии случайной волатильности а,, а параметр р измеряет степень так называемого «эффекта рычага», при котором уменьшение стоимости актива в большей степени, чем ее увеличение зависит от значения случайной волатильности. Среди таких работ можно выделить труды Дж. Кортадона, Р. Шмалензи, С. Джонса, В. Бейли.
В дискретные моменты времени ti <...
где {є,} - гауссовский белый шум с нулевым средним и дисперсией ,. Случайные величины Wt = yV},W2) и е, не зависят от моментов tut,.
Оценка параметров дискретно-наблюдаемых диффузионных процессов с ненаблюдаемыми состояниями является сложной задачей, изучению которой посвящено большое количество трудов. Фундаментальная проблема заключается в том, что траектория функции распределения, и как следствие, плотности вероятностей, моделируемых процессов не может быть точно определена. В работах М. Прицкера и Й. Эйт-Сахали предложен метод для одномерной модели, в котором прямое уравнение Колмогорова определяет полупараметрическую оценку функции диффузии модели при условии известной функции сноса.
Другая группа трудов, принадлежащих авторам Д. Даффлу, Р.Ф. Энглу, А.Р. Гэлленту, связана с исследованиями, основанными на использовании разнообразных методов моментов (симуляционный метод моментов, эффективный метод моментов, метод непрямого вывода).
Наряду с задачами оценки случайной волатильности в литературе важное место занимают задачи фильтрации, направленные на получение наиболее точ-
ных оценок параметров рассматриваемых моделей с использованием наблюдений, сделанных в дискретные моменты времени. В трудах А.С. Харвея, Д.Б. Нельсона и Дж.Н. Нильсена исследованы фильтры второго порядка для моделей с рядом комбинированных параметров.
Следует отметить, что автору не удалось найти трудов, посвященных исследованию процессов, аналогичных представленным в данной диссертационной работе.
Цель работы заключается в изучении дважды стохастического гауссовского процесса, волатильность которого зависит от управляющего случайного процесса.
В рамках указанной цели ставились следующие задачи:
-
Найти вероятностные характеристики модели Самуэльсона изменения цен финансовых активов со случайной волатильностью в виде авторегрессионного процесса первого порядка в непрерывном и дискретном времени;
-
Построить оценки параметров данной модели, когда измерения проводятся в непрерывном времени; в дискретном времени с равными интервалами между измерениями; в случайные моменты времени, образующие пуассоновский поток событий;
-
Построить оптимальный линейный фильтр для фильтрации квадрата вола-тильности с минимальной средне-квадратичной погрешностью;
-
Обобщить формулу Блэка-Шоулса на модель изменения цен со случайной волатильностью, рассматривая справедливую цену опциона как случайную величину и найти математическое ожидание справедливой цены опциона;
-
Создать программное обеспечение для расчета всех указанных выше величин.
Методика исследования. Исследование носило теоретический характер. При решении поставленных задач использовались методы теории вероятностей, теории случайных процессов и математической статистики, а также методы математики рынка ценных бумаг. Полученные результаты моделировались при помощи программного обеспечения с использованием численных методов.
Положения, выносимые на защиту. Автор выносит на защиту следующие научные результаты.
1. Статистические характеристики гауссовского случайного процесса с случайной волатильностью в виде авторегрессионного процесса первого порядка при измерениях через равные промежутки времени; при измерениях в непре-
рывном времени; при измерениях в случайные моменты времени, образующие пуассоновский поток событий постоянной интенсивности.
-
Вид оценок параметров указанных выше моделей.
-
Вид оптимального линейного фильтра квадрата волатильности дважды стохастического случайного процесса, рассмотренного выше, в трех случаях:
измерения процесса производятся через равные промежутки времени;
измерения процесса производятся в случайные моменты времени, образующие пуассоновский поток событий постоянной интенсивности и весовые коэффициенты фильтра зависят только от номера измерения;
измерения процесса производятся в случайные моменты времени, образующие пуассоновский поток событий постоянной интенсивности, но весовые коэффициенты фильтра зависят от момента времени, когда было произведено это измерение.
-
Формулы для средней цены производных ценных бумаг при случайной волатильности и процентной ставке.
-
Точное выражение для плотности вероятностей интеграла от квадрата дискретного марковского процесса с двумя состояниями и дискретным временем и его асимптотика при большом интервале промежутка интегрирования.
Теоретическая ценность работы заключается в том, что в ней подробно изучен гауссовский случайный процесс со случайной волатильностью, которая является авторегрессионным процессом первого порядка.
Практическая ценность работы заключается в том, что изученный процесс может найти применение для описания процесса изменения цен финансовых активов и прогнозирования их стоимости на фондовом рынке.
Апробация работы
Работа докладывалась и обсуждалась на следующих научных конференциях:
-
Межрегиональной научно-методической конференции «Повышение эффективности научных исследований и совершенствование учебного процесса». Анжеро-Судженск, 2000.
-
Всероссийской научно-практической конференции «Новые технологии и комплексные решения: наука, образование, производство». Анжеро-Судженск, 2001.
-
Межрегиональной конференции «Математические методы в природе и обществе», Красноярск, 2002.
-
Шестом корейско-российском международном научно-техническом симпозиуме KORUS'2002, Новосибирск, 2002.
5. Четвертой всероссийской конференции с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур», Томск, 2002.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 печатных работ.
Структура и объем диссертации. Текст диссертации состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы - 129 страниц. Список литературы включает 65 наименований.
