Исследование моделей математической физики псевдопараболического типа Умаров Хасан Галсанович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Основные понятия подземной гидродинамики и сильно непрерывные полугруппы операторов 29

1. Моделирование и эксплуатация нефтяного пласта 29

2. Неустановившееся фильтрационное течение в трещиновато-пористой среде 35

3. Сильно непрерывные полугруппы операторов 37

4. Дробные степени производящего оператора с неограниченным обратным 41

Глава 2 Задача Коши для уравнения ( + ) = 45

5. Постановка задачи Коши с оператором -, порождающим полугруппу 6. Фундаментальное оператор-решение задачи Коши с оператором -, порождающим полугруппу с отрицательным типом 45

7. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши с оператором -, порождающим полугруппу с отрицательным типом 47

8. Задача Коши для неоднородного уравнения с оператором -, порождающим полугруппу с отрицательным типом 53

9. Явный вид решения задачи Коши для уравнений

10. Постановка задачи Коши с оператором -, порождающим полугруппу с нулевым типом 61

11. Четномерный случай задачи Коши с оператором -, порождающим полугруппу с нулевым типом 62

12. Нечетномерный случай ( 3) задачи Коши с оператором -, порождающим полугруппу с нулевым типом 66

13. Общая формулировка результата ( 2) для задачи Коши с оператором -, порождающим полугруппу с нулевым типом 73

14. Одномерный случай задачи Коши с оператором -, порождающим полугруппу с нулевым типом 74

15. Пример приложения задачи Коши с оператором -, порождающим полугруппу с нулевым типом 80

Глава 3 Начально-краевая задача в полупространстве

16. Постановка начально-краевой задачи в полупространстве с оператором -,

порождающим полугруппу с отрицательным типом 82

17. Фундаментальное оператор-решение начально-краевой задачи в полупространстве с оператором —В, порождающим полугруппу

18. Теоремы существования и единственности решения начально-краевой задачи в полупространстве с оператором —В, порождающим полугруппу 19. Начально-краевая задача в полупространстве для неоднородного уравнения с оператором —В, порождающим полугруппу с отрицательным типом 97

20. Задача без начального условия в полупространстве с оператором —В, порождающим полугруппу с отрицательным типом 102

21. Явный вид решения начально-краевой задачи в полупространстве для уравнений анизотропной фильтрации 109

22. Постановка начально-краевой задачи в полупространстве с оператором -В, порождающим полугруппу с нулевым типом 113

23. Многомерный случай начально-краевой задачи в полупространстве с оператором —В, порождающим полугруппу с нулевым типом 115

24. Одномерный случай начально-краевой задачи в полупространстве с оператором —В, порождающим полугруппу с нулевым типом 129

25. Пример приложения начально-краевой задачи в полупространстве с оператором —В, порождающим полугруппу с нулевым типом 136

Глава 4 Начально-краевая задача в пространственном слое

26. Постановка начально-краевой задачи в пространственном слое с оператором —В, порождающим полугруппу с отрицательным типом 138

27. Фундаментальное оператор-решение смешанной задачи в пространственном слое с оператором —В, порождающим полугруппу 28. Теоремы существования и единственности решения начально-краевой задачи в пространственном слое с оператором —В, порождающим полугруппу с отрицательным типом 145

29. Начально-краевая задача в пространственном слое для неоднородного уравнения с оператором —В, порождающим полугруппу

30. Явный вид решения смешанной задачи в пространственном слое для уравнений анизотропной фильтрации 180

31. Постановка начально-краевой задачи в пространственном слое с оператором —В, порождающим полугруппу с нулевым типом 184

32. Многомерный случай начально-краевой задачи в пространственном слое с оператором -, порождающим полугруппу с нулевым типом 187

33. Одномерный случай начально-краевой задачи в пространственном слое с оператором -, порождающим полугруппу с нулевым типом 223

34. Пример приложения начально-краевой задачи в пространственном слое с оператором -, порождающим полугруппу с нулевым типом 240

Глава 5. Некоторые математические модели, реализующиеся через псевдопараболические уравнения 242

35. Задача Коши для уравнения Баренблатта–Желтова–Кочиной в случае изотропной трещиновато-пористой среды 242

36. Явный вид решения задачи Коши для уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью 254

37. Явный вид решения задачи Коши для линеаризованной системы уравнений фазового поля 258

38. Явный вид решения линейного уравнения квазистационарных процессов в полупроводниках 261

39. О разрешимости уравнения Бенджамена–Бона–Махони–Бюргерса в пространстве непрерывных ограниченных функций 264

40. Разрешимость задачи Коши для уравнения Аллера

в пространстве непрерывных ограниченных функций 270

41. О разрешимости одномерного уравнения Кана–Хилларда

с вязкостью в пространстве непрерывных ограниченных функций 278

Заключение 283 Библиографический список использованной литературы

• Неустановившееся фильтрационное течение в трещиновато-пористой среде
• Постановка задачи Коши с оператором -, порождающим полугруппу с нулевым типом
• Теоремы существования и единственности решения начально-краевой задачи в полупространстве с оператором —В, порождающим полугруппу 19. Начально-краевая задача в полупространстве для неоднородного уравнения с оператором —В, порождающим полугруппу с отрицательным типом
• Начально-краевая задача в пространственном слое для неоднородного уравнения с оператором —В, порождающим полугруппу

Введение к работе

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию неклассических моделей математической физики на основе псевдопараболических уравнений, и, в частности, математических моделей гидродинамических процессов в трещиновато-пористых средах. Построены в явном виде аналитические реше-пиязадачи Коши для модельного представления Баренблатга-Желтова-Кочиной фильтрации углеводородов в изотропных трещиновато-пористых пластах (проведено сравнение построенных точных и численных решений, используя разработанный алгоритм и комплекс программ) и начально-краевых задач для предложенных математических моделей фильтрации (на основе модельного представления Баренблатга—Жслтова-Кочиной) в анизотропных пластах с ярко выраженными вертикальными или горизонтальными проницаемостями.

Решение практических задач нефтегазодобывающей промышленности, в связи с открытием и разработкой большого количества месторождений, продуктивные пласты которых представлены анизотропными трещиновато-пористыми породами, требует развития теоретических исследований в области подземной гидродинамики в наиболее общей их постановке, построения и исследования математических моделей с учетом пространственного характера задач фильтрации и сложной структуры горных пород.

Из всего многообразия гидродинамических моделей фильтрации в трещино
вато-пористых пластах наиболее широкое применение получила модель Барен-
блатта-Желтова—Кочиной. Основные положения теории нестационарной филь
трации в трещиновато-пористых и слоисто-неоднородных пластах сформулиро
ваны в работе¹ Г.И. Баренблатга, Ю.П. Желтова и И.Н. Кочиной I960 года, а за
тем развиты² в многочисленных публикациях, среди которых следует отметить
монографии Г.И. Баренблатга, В.М. Еитова, В.М. Рыжика³, Ю.П. Желтова⁴,
Е.С. Ромма⁵, В.Н. Майдсбора⁶, Р.В. Николаевского⁷, К.С. Басниева,

И.Н. Кочиной, В.М. Максимова⁸, X. Азиз, Э. Сеттари⁹, J.L. Vazquez^|0и др.

Баренблатт, Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах / Г.И. Баренблатт, Ю.П. Желтое, И.Н. Кочипа // IJMM. -1960. - Т. 24. - № 5. - С. 852-864. ² Развитие исследований но теории фильтрации в СССР (1917-1967) / Отв. ред. П.Я. Кочиїта. - ML: Наука, 1969.-546 с.

^ъБаренблатт, Г.И. Движение жидкостей и газов в природных пластах / Г.И. Баренблатт, В.М. Битов, В.М. Рыжик. - М.: Недра, 1984. - 211 с.

^Желтое, Ю.П. Механика нефтегазоносного пласта/ Ю.П. Желтов. - М.: Недра, 1975. - 216 с. ^sPomm, Е.С. Фильтрационные свойства трещиноватых горных пород/ B.C. Ромм. - М.: Недра, 1966. -283 с.

⁶Майдебор, В.И. Особенности разработки нефтяных месторождений с трещиноватыми коллекторами /В.Н. Майдсбор. М.: Недра, 1980.-288 с.

¹ Николаевский. В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред /В.Н. Николаевский. - М.: Недра, 1984. -232 с.

^%Басниев, К.С Подземная гидромеханика/ К.С. Басниев, И.Н. Кочипа, В.М. Максимов М.: Недра, 1993.-416 с.

''Азиз. X. Математическое моделирование пластовых сисісм / X. Азиз, Э. Сеттари - М. - Ижевск: Ип-т комн. иссл., 2004. -416 с.

ⁿ⁾Vazquez, J.L. The porous medium equation. Mathematical theory / J.L. Vazquez. - Clarendon press. Oxford. - 624 p.

Развитый, с использованием теории полугрупп сильно непрерывных операторов, подход к решению задач анизотропной фильтрации применяется в диссертации для исследования и других моделей, реализующихся через дифференциальные уравнения в частных производных, не разрешенных относительно производной по времени.

Одним из первых исследований дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной но времени, является работа академика CJI. Соболева" о малых колебаниях вращающейся жидкости, поэтому такие уравнения часто называют уравнениями Соболевского типа. В литературе употребляются также термины «псевдопараболические уравнения»¹², «уравнения типа Соболева»¹³, «уравнения типа Соболева-Гальперна»¹⁴. Имеется целый ряд монографий и обзорных статей, где излагается современное состояние теории таких уравнений и приведена подробная библиография (см., например, работы А.Г. Свешников, А.Б. Алыпин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер¹⁵; G.V. Demidenko, S.V. Uspcnskii¹⁶,G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov¹⁷, R.E. Showalter, T.W. Ting^l8,A. Favini, A. Yagi¹⁹ и др.). В этих работах исследованы вопросы разрешимости, асимптотического поведения и разрушения решений уравнений Соболевского типа, указаны многочисленные приложения теории этих уравнений в гидродинамике, в физике плазмы и во многих других областях.

Таким образом, исследование математических моделей, представляемых уравнениями Соболевского типа, имеет не только теоретическое, но и важное прикладное значение, что и обуславливает актуальность представленного исследования.

Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы является разработка фундаментальных основ для качественного и количественного исследования математических моделей, реализующихся через псевдопараболические уравнения Соболевского типа.

Поставлены следующие задачи:

"Соболев, С.Л. Об одной новой задаче математической физики / С.Л. Соболев // Изв. АН СССР, сер.

матем. - 1954. Т. 18. - С. 3-50.

^пКожапов, А.И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений / А.И.

Кожанов // Докл. PAII. - 1992. - Т. 326. - № 5. - С. 781-786.

^узСвиридюк, ГА, Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева / Г.А.

Свиридюк, В.Е. Федоров // Сиб. матем. жури. - 1995. Т. 36. - № 5. - С. 1130-1145.

^[AShowdlter, R.E. Partial differential equations of Sobolcv-Galpern type / R.E. Showalter // Pacific J. Math. -

1963. - V. 31. - № 3. - P. 787-793.

'-''Свешников, А.Г. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников,

А.Б. Алыпин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер.- М., 2007. - 736 с.

^и'Demidenko, G.V. Partial differential equations and systems not solvable with respect to the highest-order

derivative / G.V. Demidenko, S.V. Upscnskii. - CRC Press, 2003. - 632 p.

"Sviridyuk, G. Linear Sobolcv type equations and degenerate semigroups of operators / G. Sviridyuk,

E. Fedorov. - Utrecht: VSP, 2003. - 268 p.

^Showalter. R.E. Pseudo-parabolic partial differential equations / R.E. Showalter, T.W. Ting // SI AM .1.

Math. Anal. 1970. - V. I. - P. 1-26.

^KFavini, A. Degenerate diffcrcntialcquationsinBanachspaccs / A. Favini, A. Yagi- Marcel Dckkcr, Inc.: New

York Basel -1 long Kong, 1999. - 313 p.

1. Обосновать метод теории полуїруни операторов для исследования математических моделей, реализующихся через псевдопараболические уравнения.

2. Решить задачу Коши для уравнения Баренблатта-Желтова—Кочиной в случае изотропного пласта и для уравнений фильтрации с ярко выраженной вертикальной или горизонтальной анизотропией трещиноваго-пористого пласта.

3. Решить смешанную начально-краевую задачу в трещиновато-пористом полупространстве и пространственном слое для уравнений анизотропной фильтрации.

4. Решить задачи Коши: для уравнения, моделирующего эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости, для линеаризованной системы уравнений фазового поля, моделирующей фазовые переходы первого рода, для уравнения в частных производных, моделирующего квазистационарные процессы в полупроводниках.

5. Исследовать разрешимость задачи Коши для уравнения Бенджамина-Бона-Махони—Бюргерса, моделирующего нелинейные поверхностные волны; для уравнения Аллера, моделирующего движение влаги в капиллярно-пористых средах; для уравнения Кана-Хилларда с вязкостью, моделирующего распределение концентрации одной из двух компонент бинарной вязкой смеси.

Методика исследования. В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений с частными производными и функционального анализа; разностные методы с применением алгоритма прогонки и программирование в среде Maple.

Поставленные задачи решаются сведением рассматриваемых математических моделей к исследованию методами теории сильно непрерывных полугрупп линейных ограниченных операторов, задачи Коши прих eR" и начально-краевых задач в полупространстве/?" = {х = (х',х_п): х' є R'^l~\x„ >0] и в пространственном слоех' є R"~\0 < x_tl <І для абстрактного псевдопараболического уравнения в банаховом пространстве Е:

В(и, + Аи)=и_т +... + и_ХЛі +f(x,l), (1)

где-А,-В- производящие операторы коммутирующих сильно непрерывных

полуїруппі/(;-/}), и(;-в) классаС₀.

Научная новизна положений, выносимых на защиту. Вес результаты, выносимые на защиту, являются новыми. К ним относятся:

6. Явный вид аналитического решения задачи Коши для уравнения Барен-блатта-Желтова-Кочиной в случае изотропного пласта и для уравнений фильтрации в случае ярко выраженной вертикальной или горизонтальной проницаемости трещиновато-пористого пласта.

7. Явный вид аналитического решения смешанной начально-краевой задачи в трещиновато-пористом полупространстве и пространственном слое для уравнений анизотропной фильтрации.

3. Фундаментальные решения и явный вид и оценки норм решений задачи Коши и начально-краевых задач в полупространстве и пространственном слое для псевдопараболического уравнения (1), как в случае отрицательного типа полугруппы, порождаемой оператором - В, гак и в случае нулевого типа.

4. Явный вид аналитического решения задачи Коши для уравнения эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости; для линеаризованной системы уравнений фазового поля; для уравнения квазистационарных процессов в полупроводниках.

5. Разрешимость задачи Коши для уравнения Бенджамина-Вона-Махони-Бюргерса; для уравнения Аллера; для уравнения Кана—Хилларда с вязкостью.

Практическая и теоретическая значимость работы. Результаты, полученные при рассмотрении движения жидкости в трещиновато-пористых средах и в почвах с фрактальной структурой, при исследовании эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости применимы в подземной гидродинамике. Результаты, полученные при рассмотрении фазовых переходов первого рода, квазистационарных процессов в полупроводниках и распределения концентрации одной из компонент бинарной вязкой смеси применимы соответственно в электродинамике и физике конденсированного состояния.

Работа имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты являются вкладом в развитие теории фильтрации в трещиновато-пористых средах и теории псевдопараболических дифференциальных уравнений Соболевского типа, причем, помимо рассмотренных в диссертации математических моделей, эти результаты позволяют исследовать и другие модели математической физики, в основе которых лежат уравнения Соболевского типа.

Достоверность и обоснованность результатов исследований. Достоверность и обоснованность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается корректным применением методов математической физики, адекватностью математических моделей и сравнением результатов численных расчетов с аналитическими решениями для тестовых задач.

Апробации работы. Материалы диссертации докладывались:

на Северо-Кавказской региональной научной конференции «Линейные операторы в функциональных пространствах» (Грозный, 1989);

на международной научной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики и специальные функции» (Самара, 1992);

на Российско-Казахском и Российско-Узбекском симпозиумах «Уравнения смешанного типа, родственные проблемы анализа и информатика» (Нальчик, 2011; Эльбрус, 2012; Нальчик, 2014);

на 1 и II международных конференциях «Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатика» (Нальчик, 2011; Терскол, 2012);

на международной научной конференции «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел» (Белгород, 2011);

на III и IV международных конференциях «Математическая физика и ее приложения» (Самара, 2012, 2014);

на научной сессии Южного математического института Владикавказскою научного центра и НИИ математической физики и сейсмодинамики Чеченского госуниверситета (Владикавказ, 2012);

на международной научной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (Владикавказ, 2013; с. Цей, 2015);

на международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Белгород, 2013);

на международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы» (Стерлитамак, 2013);

на VII международной конференции «Дифференциальне и функционалыю-дифференциальне уравнения» (Москва, РУДН, 2014);

на международной конференции «Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы» (Москва, РУДН, 2014);

на международной конференции «Дифференциальные уравнения и математическое моделирование» (Улан-Уде, Байкал, 2015);

на семинарах ИМ с ВС У НИ, РАН и У Г АТУ по математическому моделированию (Уфа, 2010, 2014) и на семинарах профессора А.Б. Шабата (КЧГУ, 2012), профессора А.Л. Скубачевского (РУДН, 2013).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [48], среди них 16 публикаций в изданиях, рекомендованных ВАК, свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ и монография.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 299 страниц состоит из введения, пяти глав, разбитых на 41 параіраф и списка литературы из 254 наименований.

Неустановившееся фильтрационное течение в трещиновато-пористой среде

Математическая модель фильтрации в трещиновато-пористой среде представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных, описывающую с физической точки зрения характер исследуемого процесса, вместе с начальными и граничными (краевыми) условиями. Уже при формулировании математической модели фильтрации жидкости в геометрической области, ограниченной твёрдым скелетом породы и являющейся объединением поро-вого пространства, возникает практически непреодолимая трудность определения границ этой области и записи, например, краевого условия. Однако можно уйти от этих трудностей, если рассматривать трещиновато-пористую породу вместе с жидкостью как сплошную среду, свойства которой определяются осреднёнными характеристиками достаточно больших объёмов пласта.

Рассматривая трещиновато-пористую породу с жидкостью как сплошную среду, в качестве элементарного берется объем, размеры которого велики по сравнению с размерами отдельного блока, т.е. за элемент пласта принимается объем, содержащий большое количество блоков, и усреднение фильтрационных характеристик проводится в пределах этого элемента. Под значениями всех величин в точке понимаются средние значения по некоторым таким объемам, содержащим данную точку, т.е. при вычислении физических модельных характеристик в подземной гидромеханике используется «физическая точка». Под «физической точкой» подразумевается такой объем пористой среды, который достаточно большой, чтобы вводимая физическая характеристика не зависела от объема образца, но достаточно малый по сравнению со всей областью, в которой вводится эта характеристика. Малость объема образца по сравнению со всей рассматриваемой областью, позволяет говорить о том, что рассматривается физически бесконечный малый объем — точка. Объем пористой среды, который можно принять за физическую точку, называется элементарным объемом. Все вводимые характеристики определяются на элементарных объемах и для элементарных объемов.

Одна из важнейших осредненных характеристик горного пласта — коэффициент трещино-ватости тъ зависящий от густоты и раскрытости трещин, и равный отношению объема VT, занятого в выделенном элементарном объеме трещинами, к общему объему элемента V: т1 = VT/V. Эта формула определяет среднюю трещиноватость выделенного элементарного объёма породы. Масштаб осреднения по отношению к трещиноватой среде таков, что рассматриваемые элементарные объё 32 мы должны быть достаточно велики, чтобы их линейные размеры были бы много больше средних расстояний между трещинами и достаточно малы, чтобы в их пределах трещиноватость тг можно было бы считать постоянной величиной.

Коэффициент трещиноватости тг связан с густотой Г и раскрытием 8 трещин, которые представляются как узкие щели (рис. 5) между плоскими параллельными стенками. Если трещиноватый пласт моделируется одной сеткой горизонтальных трещин, причём трещины равноот-стоят друг от друга и одинаково раскрыты, то тг = Y5. Для трещиноватых пластов часто характерно наличие двух взаимно перпендикулярных систем трещин. Такую горную породу можно моделировать в виде коллектора расчлененного двумя взаимно перпендикулярными системами трещин с одинаковой густотой и раскрытием. Для такой модели тг = 2Y5. Если строится модель для трёх взаимно перпендикулярных систем трещин с одинаковой густотой и раскрытием (рис. 6), то тг = ЗГ 5. В общем случае т1 = кТ8, где к0 — безразмерный коэффициент, зависящий от геометрии системы трещин в породе.

Другой важнейшей осредненной характеристикой горного пласта является пористость среды т2, равная отношению объема Кп, занятого в выделенном элементарном объеме порами, к общему объему элемента V: т2 = Vn/V. Эта формула определяет среднюю пористость выделенного элементарного объема породы. Здесь масштаб осреднения таков, чтобы элементарные объемы были много больше среднего объема отдельной поры и достаточно малы, чтобы величину пористости т2 в этих пределах можно было бы считать постоянной. Зафиксировав некоторую точку пористой среды и сужая, стягивая элементарные объемы к этой точке можно определить локальную пористость как предельное значение средней пористости при стягивании элементарного объема. Таким образом определенная пористость одинакова для геометрически подобных сред и не характеризует размеров пор.

Объём трещин пренебрежительно мал по сравнению с общим объёмом, занятым твёрдым скелетом и пустотами, в большинстве случаев он мал и по сравнению с общим объёмом пустот, складывающимся из объёма порового пространства пористых блоков и объёма самих трещин. Поэтому коэффициент трещиноватости т1 существенно меньше коэффициента пористости отдельных блоков т2: коэффициент трещиноватости составляет обычно доли процента тогда, как коэффициент пористости породы составляет обычно 10 20%. Изучение связи между фильтрационными свойствами трещиноватых горных пород и конфигурацией трещинного пространства требует рассмотрения и количественного учёта и

Обнажения горных пород по реке Сала-Су в Дагестане (фото из [104]). других факторов, определяющих структуру трещиноватого коллектора. К этим факторам также относится и ориентация трещин в пространстве. Большинство трещин в горных породах группируется в системы (рис. 7), что позволяет элементы ориентировки относить не к каждой отдельной трещине, а к системе трещин, за исключением весьма редких случаев, когда наблюдается «бессистемная» хаотическая трещиноватость. В трещиноватых коллекторах отмечается [79] в основном два направления трещиноватости: горизонтальное и вертикальное. Эти обстоятельства необходимо учитывать при оптимальном расположении нагнетательных и эксплуатационных скважин для повышения эффективности разработки залежи.

До бурения первой скважины, т.е. до вскрытия, нефтяной пласт находится под постоянным горным давлением, которое уравновешивается напряжениями в скелете породы и давлением жидкости в трещинах. В процессе эксплуатации скважины и дальнейшей разработки залежи снижается пластовое давление. Снижение пластового давления приводит к увеличению нагрузки на скелет породы и уменьшению раскрытия трещин. (С ростом пластового давления раскрытие трещин и вообще объём вторичных пустот увеличивается). При разработке нефтяного месторождения объём вторичных пустот в горной породе уменьшается вследствие увеличивающейся разности между горным и пластовым давлением и расширения твёрдого материала породы с заключённой в ней неподвижной водой. Вес горных пород, лежащих над пластом, уравновешивается системой напряжений в пористой среде и гидродинамическим давлением жидкости. Проницаемость характеризует свойство пористой среды пропускать через себя жидкость, газ или газожидкостную смесь под воздействием приложенного перепада давления. Пористая среда по отношению к текущей смеси является проводником, а проницаемость как бы означает проводимость газожидкостной смеси в горной породе. Проницаемость обратно пропорциональна сопротивлению, которое испытывает данная газожидкостная смесь при течении сквозь данную пористую горную породу. Изменения пористости и проницаемости происходят под действием напряжения, вызывающего перестройку скелета пористой среды. Изменение пористости в зависимости от давления обусловленное сжимаемостью зёрен, мало по сравнению со сжимаемостью пористой среды в целом, обусловленной переупаковкой зёрен: жёсткость материала зёрен для таких сред, как, например песчаники, очень велика.

Постановка задачи Коши с оператором -, порождающим полугруппу с нулевым типом

Основные представления теории нестационарной фильтрации в трещиновато-пористой среде были сформулированы в [10], последующее изложение в основном, следует этой работе.

Систему трещин и систему пор в трещиновато-пористой горной породе рассматривают как совмещение двух пористых сред с порами разных масштабов: среда 1 — укрупненная среда, в которой роль зерен играют пористые блоки, которые рассматриваются как непроницаемые, а роль поровых каналов — трещины, давление в этой среде рх; среда 2 — система пористых блоков, состоящая из зерен, разделенных мелкими порами, давление в ней р2. Таким образом, вместо одного давления жидкости в данной точке среды два — давление в трещинах рг и давление в порах блоков р2. Также вводятся два вектора скорости фильтрации: скорость фильтрации по трещинам Wt и скорость фильтрации по блокам W2.

Уравнение движения жидкости в трещиновато-пористой среде представляется законом Дарси: скорость фильтрации W однородной жидкости в пористой среде прямо пропорциональна градиенту давления grad р и обратно пропорциональна коэффициенту вязкости жидкости: где к — проницаемость породы. Уравнение фильтрационного течения (2.1) записано в предположении, что пористая среда изотропная, т.е. свойства этой среды одинаковы по всем направлениям. Однако для природных пластов это чаще всего не так. Если пористая среда не изотропная, то в декартовой прямоугольной системе координат х, у, z компоненты вектора grad р выражаются через компоненты вектора скорости фильтрации W = {Wv W2, W3} соотношениями: кігдР к12дР к13дР к21дР к22дР к23дР к31дР к32дР к33дР 1 ц дх ц ду ц dz, 1 ц дх ц ду ц dz, s ц дх ц ду ц dz, где kij — компоненты тензора проницаемости.

Для трещиновато-пористых пластов в большинстве случаев характерно наличие двух взаимно перпендикулярных систем трещин, связанных с естественной слоистостью осадочных горных пород. При этом проницаемость вдоль слоёв имеет одно значение /сг, а в перпендикулярном направлении — другое кв, порой несоизмеримое с кГ. Поэтому, располагая одну из главных осей тензора проницаемости — z перпендикулярно плоскости напластования, а две другие — х и у выбирая произвольно в плоскости напластования, получают: кг1=к22=кт, къъ=кв, ktj = 0 (i±j). (2.2) Если трещиновато-пористая среда характеризуется средним раскрытием трещин 5 и средним размером блоков I, который совпадает со средней длиной I трещин, закон фильтрации

Дарси для анизотропной трещиновато-пористой среды в выбранной системе координат в силу соотношений (2.2) записывается в виде к0 О 0 др/дх W = --{ 0 к0 0 Зр/fly (2.3) 0 0 kdp/dz где к0 = 83кг/1 ик = 83кв/1 — коэффициенты проницаемости, определяемые геометрией соответственно системы горизонтальных и вертикальных трещин.

Характерной особенностью нестационарных процессов в трещиновато-пористых средах является интенсивный обмен жидкостью между системами пор и трещин, который обусловлен разницей давлений в них. Если давления рг и р2 равны, то между жидкостью в порах и жидкостью в трещинах существует равновесие. Нарушение этого равновесия приводит к

Уравнения появлению перетока, интенсивность которого q определяет количество жидкости, перетекающее в единицу времени из блоков в трещины в единице объема среды: где а — безразмерный коэффициент, характеризующий геометрию среды ар — плотность жидкости.баланса жидкости в трещинах и блоках имеют вид

С учетом уравнения состояния жидкости р = р(р), где р = Pi или р = р2; зависимостей Щ = тАр! ), і = 1,2, и равенства (2.4) уравнения (2.3), (2.5) образуют замкнутую систему восьми уравнений для определения шести компонент скоростей фильтрации и двух давлений.

Практическое применение полученной системы уравнений облегчается тем обстоятельством, что её можно значительно упростить в предположении, что жидкость — слабосжимае-мая с постоянной вязкостью \і, обе среды — трещины и пористые блоки — упругие, проницаемости обеих сред постоянные и что трещинная пористость тг и проницаемость блоков к2 малы, и, значит, можно пренебречь накоплением жидкости в трещинах и потоком её через блоки.

При выполнении всех этих предположений приходим к значительно упрощенной системе с постоянными коэффициентами для определения искомых давлений в трещинах рг и блоках р2 пласта: Удх . ду J я dz \ (2.6) При выводе системы (2.6) пренебрегли изменением массы в системе трещин и потоком жидкости в блоках — это означает, что жидкость «хранится» только в блоках, а перемещается только по трещинам. Из системы (2.6) можно исключить одно из давлений: определив из первого уравнения давление в блоках р2 и подставив полученное значение во второе, получим уравнение в частных производных третьего порядка коэффициенты, которого — постоянные величины, зависящие от геометрических характеристик пласта (в частности, имеет место линейная зависимость их от проницаемости) и свойств фильтрующейся жидкости.

Дифференциальное уравнение в частных производных (2.7) является псевдопараболическим уравнением соболевского типа не разрешенным относительно производной по временной переменной t.

В этом и последующих параграфах будут рассматриваться линейные операторы (ограниченные и неограниченные), действующие в банаховом пространстве Е. Через 1(Е,Е) будем обозначать пространство линейных ограниченных операторов действующих в Е.

Абстрактная операторнозначная функция U(t): [О, +оо[ - L(E,E), удовлетворяющая условиям U(t + s) = f/(t)f/(s), f/(0) = /, где t,s 0, а / — единичный оператор, есть однопа-раметрическая полугруппа операторов [74], [129], [27], [45] в банаховом пространстве (, Е).

Полугруппы операторов U(t) классифицируются [129, гл. XII] соответственно их поведению — «гладкости» в нуле, т.е. при t - 0 +. Здесь рассматриваются сильно непрерывные в нуле: limt 0+ U(t)e = е, Ve Є E, полугруппы класса С0.

Теоремы существования и единственности решения начально-краевой задачи в полупространстве с оператором —В, порождающим полугруппу 19. Начально-краевая задача в полупространстве для неоднородного уравнения с оператором —В, порождающим полугруппу с отрицательным типом

В трещиновато-пористом коллекторе, в котором анизотропия связана с естественной слоистостью [8, с. 12-13] и, значит, проницаемость вдоль слоев значительно больше, чем проницаемость в направлении перпендикулярном плоскости напластования: направление фильтрационного потока в основном «горизонтальное» [94, с. 323].

В анизотропном трещиновато-пористом коллекторе (9.1) исследуем фильтрационный поток — дифференциальное уравнение (0.4): в участках пласта достаточно удаленных от охватывающих его непроницаемых горных пород и в течение достаточно малого промежутка времени, так что влияние границ еще не сказалось или же не существенно. Тогда искомое распределение давления в неограниченном пласте, совпадающем с евклидовым пространством , будет определяться только значением давления в момент вскрытия пласта: т.е. ставится задача Коши нахождения решения дифференциального уравнения (9.2), удовлетворяющего начальному условию (9.3).

Будем предполагать, что начальное данное ( ) и искомое решение ( ) уравнения (9.2) для всех значений ( ) [ [ , по переменным ( ) принадлежат банахову пространству ( ), , функций ( ) с интегрируе мой по - ой степенью абсолютной величины, норма которого определяется формулой /L( ) (ttR\f( )\p) . В пространстве ( ), , оператор Лапласа с областью определе ния ( ) { ( ) обобщенная производная ( )}, является производящим оператором сжимающей сильно непрерывной полугруппы ( ) класса [146, с. 261], [74, с. 58]:

Положительная полуось принадлежит [146, п. 1.1.2] резольвентному множеству опера

тора Лапласа и для резольвенты ( ) , , где — тождественный оператор, справед лива оценка ( ) ( )1( ) i/( )L( ), (9.5) и представление степеней [27, с. 664] ( ) ( ) —C( ) ( ) ( ) , . (9.6) В пространстве ( ), , оператор ( ) ( ) { ( ): обобщенная производная ( )}, (9.7) порождает [146, c. 261], [117, c. 228] полугруппу класса : ( ) ( ) ( -) (- ) ( ) - (-) #R ( ) ( К К) . (9.8) Так как полугруппа, порождаемая оператором Лапласа, является сжимающей, то тип по лугруппы (9.8) — отрицательный: \\( )ll ( /x), . Ограниченный оператор -[( У ], ( ) ( ), , (9.9) порождает сильно непрерывную полугруппу, более того — группу, класса определяемую степенным рядом ( ) E , который абсолютно сходится равномерно по в любом конечном интервале положительной полуоси. Для полугруппы ( ) справедливо представление ( ) ( t) (j( )) ( )l ( Г, откуда, используя (9.5), получаем \\( )\\ ( —( )) , т.е. полу группа ( ) является сжимающей, а, используя (9.6), для любого элемента из ( ) вы водим представление ( ) (t)[ / /0 C) Ґ I WS) =, (9.10) где ( ) YX( ){s/) — модифицированная функция Бесселя [23]. Из представлений (9.8) и (9.10) для полугрупп, порождаемых операторами и , следует их коммутирование. Используя, введенные операторы (9.7) и (9.9), уравнение (9.2) фильтрации в анизотропной среде (9.1) с ярко выраженным горизонтальным направлением трещиноватости можно переписать в виде абстрактного дифференциального уравнения не разрешенного относительно производной по времени.

Ярко выраженное вертикальное направление трещиноватости. В этом случае пред положим, что начальное данное ( ) и искомое решение ( ) уравне ния (0.3): , (9.12) для всех значений ( ) [ [ , по переменной принадлежат банахову простран ству [] непрерывных функций ( ) для которых существуют пределы при :

В пространстве [ ] оператор / с областью определения (/) Положительная полуось принадлежит резольвентному множеству оператора / и для ре зольвенты ( /) , , справедливы [27, с. 681-682, с. 664] оценка

Таким образом, рассматриваемые задачи фильтрации в анизотропных средах с ярко выраженными вертикальным и горизонтальным направлениями трещиноватости сводятся к задаче Коши (5.1), (5.2) в банаховом пространстве для абстрактного аналога уравнения диффузии. Из решения абстрактной задачи Коши (5.1), (5.2) и оценки его нормы, конкретизируя банахово пространство и действующие в нем операторы — коэффициенты уравнения, — получается решение рассматриваемой анизотропной задачи фильтрации и его оценка.

Оценка и явный вид решения анизотропной задачи фильтрации в трещиновато пористом коллекторе с ярко выраженным горизонтальным направлением трещиновато сти. Для того чтобы из формулы (7.1), решения задачи Коши (5.1), (5.2), вывести явный вид решения задачи Коши для уравнения (9.2), кроме представлений (9.8), (9.10) полугрупп, порож даемых операторами , , необходимо иметь представление корня квадратного из неограниченного оператора ). Используя формулу (6.3), имеем где ( ) ( ). Пусть выполнены условия: функции ( ), ОД непрерывны по переменной по норме пространства ( ), , причем справедливы оценки выполнены, например, с постоянной =

Итак, условия теоремы 7.2 удовлетворены и, следовательно, решение задачи Коши для уравнения (9.2) фильтрации в анизотропной среде с ярко выраженным горизонтальным направлением трещиноватости есть функция

Пусть начальная функция {x) удовлетворяет условиям (9.23), тогда единственное решение {) задачи Коши для уравнения (9.2) фильтрации в анизотропной среде (9.1) с ярко выраженным горизонтальным направлением трещиноватости дается в явном виде формулой (9.24) и для него справедлива оценка нормы (9.25). Оценка и явный вид решения анизотропной задачи фильтрации в трещиновато-пористом коллекторе с ярко выраженным вертикальным направлением трещиноватости.

В этом случае «пространство параметров» — четномерно и поэтому в формуле (7.1) нет дробных степеней оператора . Используя представления (9.18), (9.19) полугрупп, порождаемых операторами , , из формулы (7.1) имеем Функция (9.26) будет решением уравнение (9.12) фильтрации в анизотропной среде с яр ко выраженным вертикальным направлением трещиноватости, если начальное данное удовле творяет условиям: функции ( )/ [], 0,6, непрерывны по перемен ным ( ) по норме пространства [ ], причем справедливы оценки

Пусть начальная функция ( ) удовлетворяет условиям (9.27), тогда единственное решение ( ), ( ) ][ , задачи Коши для уравнения (9.12) фильтрации в анизотропной среде (9.20) с ярко выраженным вертикальным направлением трещиноватости дается в явном виде формулой (9.27) и для него справедлива оценка нормы (9.28).

Начально-краевая задача в пространственном слое для неоднородного уравнения с оператором —В, порождающим полугруппу

Предположим, что в постановке начально-краевой задачи для неоднородного уравнения (19.1) переменная меняется на бесконечном промежутке, т.е. , а начальное данное задается на гиперплоскости . Тогда постоянные и , которые в предыдущих параграфах были из неравенств /( ), будут равны нулю. Другими словами, если раньше допускался рост по норм функций ( ), ( ) и ( ), то теперь нормы этих функций равномерно ограничены по В рассматриваемом случае фор мула (19.2), определяющая решение (

В этом параграфе также будем предполагать, что тип полугруппы, порождаемой оператором , — неположительный: доказывающую единственность решения краевой задачи без начального условия:

С другой стороны, справедлива Теорема 20.1. Пусть выпол 1) значения функции i) принадлежат множеству ( ) (/) и для непрерывных функций /( ), n/( ), ( ) няются оценки норм \\A (% \\Bn ( )\\ ( ), 2) значения функции ( ) и е частных производных ( ), %п, принадлежат соответственно множествам ( ) ( ) (n ) и (П//) и для непрерывных функций n/( ), /( ), /( ), ї п, ( ) Д

Тогда краевая задача без начального условия (20.8), (20.9) имеет единственное решение, определяемое формулой (20.7), и для него справедлива оценка нормы

Отметим, что из промежуточного результата (левая часть последнего неравенства) следует стремление к нулю при второго слагаемого из формулы (20.7).

Оценки норм интегралов, входящих в формулу (20.11), аналогичны полученным в пункте II) при оценивании i \\. 2) при , имеем формулу для частной производной первого порядка Дифференцируя по переменной обе части формулы определяющей ( ), за тем, используя представление v и интегрируя по частям, получим

Оценки норм интегралов, входящих в формулу (20.12), также аналогичны полученным в (20.8).

Осталось пункте II). Из сравнения результатов (20.10) и (20.13) заключаем, что функция (20.7) является решением уравнения показать выполнение краевого условия (20.9). В силу промежуточного результата пункта I) достаточно установить, что первое слагаемое в формуле (20.7) (обозначим его i)) стремится к ( ) при . Для всех достаточно малых , в любой фиксированной точке ( ) , предварительно переписав J) в виде где — сколь угодно малое, а — достаточно большое положительные числа. Теоре ма 20.1 доказана.

Явный вид решения начально-краевой задачи в полупространстве для уравнений анизотропной фильтрации Ярко выраженное горизонтальное направление трещиноватости. В анизотропном трещиновато-пористом коллекторе (9.1) исследуем фильтрационный поток — дифференциальное уравнение (0.4): вблизи одной из границ пласта, например — подошвы, в течение достаточно малого промежутка времени, так что влияние других границ, составленных из охватывающих залежь непроницаемых пород, в том числе — кровли, еще не сказалось или ограничивает же не существенно. Тогда искомое распределение давления ( ) в коллекторе — полупространстве R {{x) }, будет определяться начальным значением давления в момент вскрытия залежи: \ (.x), ix) R, (21.2) и краевым условием на границе пласта : где число временной промежуток рассмотрения процесса фильтрации, а начальное и краевое данные согласованы между собой: {х ) ( ),( ) .

Функции ( ), ( ) и ( ) для всех значений ( ): , по переменным ( ) будем предполагать принадлежащими банахову про странству ( ), . Используя операторы (9.7) и (9.9): ), ( ) ( ), и [( )], ( ) ( ), перепишем уравнение (21.1) в виде абстрактного дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной по времени

Таким образом, рассматриваемая задача анизотропной фильтрации (21.1) - (21.3) в пространстве ( ), , может быть сведена к решению абстрактной начально краевой задачи (16.1) - (16.3).

Ярко выраженное вертикальное направление трещиноватости. В анизотропном трещиновато-пористом коллекторе (9.17) исследуем фильтрационный поток — дифференциальное уравнение (0.3): Таким образом, и в этом случае рассматриваемая задача анизотропной фильтрации (21.5) - (21.7) может быть сведена к решению абстрактной начально-краевой задачи (16.1) - (16.3).

Оценка и явный вид решения анизотропной задачи фильтрации в трещиновато-пористом коллекторе с ярко выраженным горизонтальным направлением тре- щиноватости. Для того чтобы из формулы (18.2) решения абстрактной краевой задачи (16.1) - (16.3) вывести явный вид решения начально-краевой задачи (21.1) - (21.3), кроме представлений (9.8), (9.10) полугрупп, порождаемых операторами , , используем представление (9.22) дробной степени .