Содержание к диссертации
Введение
1. Температурные напряжения 15
1.1. Напряжённо-деформированные состояния и законы сохранения 15
1.2. Определяющие законы 17
1.3. Кусочно-линейный пластический потенциал Треска – Сен-Венана и зависимость предела текучести от температуры 21
1.4. Расчёт температурных полей в одномерных задачах с осевой симметрией 22
1.5. Расчёт напряжений в одномерных задачах с осевой симметрией 25
Заключение по главе 26
2. Математическое моделирование горячей посадки муфты на вал 27
2.1. Постановка задачи. Термоупругое деформирование 27
2.2. Пластическое течение 30
2.3. Разгрузка 33
2.4. Повторное пластическое течение. Течение в состоянии полной пластичности 35
2.5. Остаточные напряжения. Итоговый натяг 41
2.6. Результаты. Случаи деформирования материалов сборки
2.6.1. Муфта и вал, материал которых одинаков 49
2.6.2. Муфта и вал, материал которых различен 73
Заключение по главе 115
3. Математическое моделирование горячей посадки труб 116
3.1. Постановка задачи. Термоупругое деформирование 116
3.2. Пластическое течение 118
3.3. Полная пластичность 121
3.4. Разгрузка 125
3.5. Остаточные напряжения. Натяг 126
3.6. Результаты
3.6.1. Составной цилиндр, изготовленный из одного металла 135
3.6.2. Составной цилиндр, изготовленный из различных металлов 157
Заключение по главе 184
4. Горячая посадка колец: плоско-напряжённое состояние 185
4.1. Постановка задачи 185
4.2. Пластическое течение во внешнем кольце 187
4.3. Пластическое течение во внутреннем кольце 189
4.4. Разгрузка. Выравнивание температуры 191
4.5. Результаты экспериментов
4.5.1. Составное кольцо, изготовленное из одного металла 195
4.5.2. Составное кольцо, изготовленное из различных металлов 211
Заключение по главе 218
Заключение 219
Список литературы 220
- Расчёт температурных полей в одномерных задачах с осевой симметрией
- Повторное пластическое течение. Течение в состоянии полной пластичности
- Полная пластичность
- Пластическое течение во внутреннем кольце
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. До настоящего времени нормативные документы по сборке горячей посадкой основаны на теории температурных напряжений в упругих телах. Связано это с тем, что расчёты температурных напряжений при учёте возможных возникновений пластических течений встречают определённые трудности и потому изучены недостаточно. То же относится и к другим задачам теории температурных напряжений, когда температурное поле является неустановившимся и потоки тепла в теле значительны. К числу таких задач относятся задачи сварки, высокоскоростной штамповки, волочения и др. Подобные технологии широко распространены в производстве, и потому расчётное прогнозирование процессов эволюции температурных напряжений с формированием полей остаточных напряжений приобретают исключительно важное значение для технологической практики. Учитывать пластические свойства материалов, оказывается, совершено необходимо, так как именно они зачастую определяют существо протекающих процессов деформирования. И хотя в диссертации рассмотрены только процессы, связанные со сборкой цилиндрических деталей способом горячей посадки, результаты её могут использоваться также в целом ряде других задач, например, связанных с эволюцией температурных напряжений. Фундаментальная механика неоднократно обращалась к математическому моделированию упругопластического деформирования в условиях нестационарных температурных полей, однако полного и замкнутого решения такой проблемы до сих пор не получено. Это является главной причиной тому, что не созданы и соответствующие расчетные методики. Иногда данные изменения диктуются заметными твердотельными фазовыми превращениями, хотя часто и без ощутимых таковых, но упругие модели изменяются, изменяется предел текучести. Последний, относящийся к фундаментальным параметрам упругопластического деформирования, обычно значительно падает с ростом температуры. Следовательно, поверхность нагружения, которая в условиях принятия принципа максимума Мизеса задаёт пластически потенциал, не является стационарной поверхностью в простран-3
стве напряжений. Ощутимые упрощения в математическом аппарате достигаются использованием кусочно-линейных поверхностей нагружения в пространстве главных напряжений, к числу которых относится классическое условие пластичности максимальных касательных напряжений (условие Треска – Сен-Венана). Но в этом случае в условиях интенсивных температурных изменений характер пластических течений может изменяться со сменой соответствия напряжений разным граням призмы, форму которой принимает поверхность нагружния в пространстве главных напряжений. Следовательно, алгоритмы расчётов процесса деформирования должны отслеживать такие изменения, что ужесточает требования к ним и к их программной реализации. Современные вычислительные возможности в состоянии обеспечить реализацию алгоритмов, несущих в себе возможности фиксировать момент зарождения областей пластического течения, расчётно указывать закономерности продвижения упругопластических границ и границ, на которых меняются режимы течения. Создание соответствующих математических моделей, разработка в рамках таких моделей алгоритмов и программ расчётов оказывается, безусловно, актуальной задачей как для целей развития фундаментальной теории упругопластического деформирования при интенсивно изменяющихся температурных условиях, так, что, возможно, более важно, для целей совершенствования технологий.
Цель работы. Целью работы является создание математической модели, алгоритмов и программ расчётов, способных в процессе вычислений указывать распределение температурных напряжений, упругих и пластических деформаций в каждый момент времени протекания процесса горячей посадки цилиндрических деталей, включая итоговое распределение остаточных напряжений и сформированный натяг.
Задачи диссертации. Сформулированная цель позволяет указать основные задачи диссертационной работы:
- разработать математическую модель процесса горячей посадки с учётом упругопластических свойств материалов сборки и существенной зависимости предела текучести от температуры;
адаптировать существующие программы расчетов нестационарных полей температуры для нужд расчетов температурных напряжений в рассматриваемом процессе;
разработать алгоритмы и программы расчетов, позволяющие по рассчитанному температурному полю указать распределение перемещений, упругих и пластических деформаций, температурных напряжений;
встроить в создаваемую методику расчетов алгоритмы для отслеживания моментов возникновения и исчезновения областей пластического течения, моментов разделения пластических областей на части, где пластическое течение происходит по-разному;
предусмотреть алгоритмические и программные возможности в расчетах итогового распределения остаточных напряжений и итогового натяга в сборке.
Положения, выносимые на защиту:
- математическая модель процесса сборки упругопластических цилиндриче
ских деталей способом горячей посадки для случаев плоской деформации и плос
кого напряжённого состояния при условии зависимости предела текучести от
температуры;
- алгоритмы и программы расчётов неустановившихся температурных
напряжений в условиях нестационарных распределениях температуры и продол
жающегося процесса теплопроводности;
алгоритмы отслеживания моментов возникновения областей пластического течения и моментов перестройки течения при переходе напряжённых состояний с грани поверхности нагружения на ребро и далее на иную грань;
установленные средствами математического моделирования качественные особенности процесса упругопластического деформирования, связанные с использованием кусочно-линейных потенциалов теории пластического течения и зависимостью предела текучести от температуры;
разработанные вычислительные средства для расчёта итогового распределения остаточных напряжений в материалах сборки и сформированного натяга.
Научная новизна работы заключается в создании математической модели эволюции температурных напряжений, задаваемой интенсивным изменением температуры и учитывающей пластические свойства деформируемых материалов. Предполагается, что пластическое течение связанно с использованием классических кусочно-линейных условий текучести, в которых предел текучести существенно зависит от температуры. В рамках такой модели созданы алгоритмы и программы расчётов неустановившихся температурных напряжений в каждый рассчитываемый момент времени. На примере решения краевых задач теории температурных напряжений о сборке цилиндрических деталей способом горячей посадки расчётно установлена последовательность возникновения различных областей пластического течения в зависимости от соответствия напряжений разным граням и рёбрам кусочно-линейной поверхности нагружения в пространстве главных напряжений. Установлена возможность повторного пластического течения при дальнейшем остывании сборки. Эти качественные результаты носят общетеоретический характер и важно, что такие особенности процесса следуют при использовании классического условия пластического течения Треска – Сен-Венана. Данное обстоятельство требует своего учёта не только в задачах сборки горячей посадкой, но и в других задачах по расчёту температурных напряжений в упругопластических телах.
Разработаны новые алгоритмы и программы расчётов эволюции температурных напряжений в упругопластических материалах в условиях зависимости предела текучести от температуры, позволяющие отслеживать моменты зарождения пластических областей, положения упругопластических границ и продвигающихся границ в области течения, разделяющих пластические области на части, в которых течение подчинено разным уравнениям теории пластичности.
Достоверность результатов диссертационной работы базируется на использовании классических подходов механики сплошных сред, корректности математических выкладок, использовании общепринятых процедур расчетов и сравнении с известными решениями в теории температурных напряжений в упругих материалах.
Практическое значение. Результаты работы направлены на совершенствование методик и расчётного прогнозирования признанной технологической операции. Они могут использоваться в расчётах и при составлении соответствующих методик для других технологических операций, где технологический процесс определяется интенсивными термомеханическими воздействиями.
Публикации. Основные результаты исследований и содержание диссертационной работы опубликованы в 10 печатных работах, из них 4 рекомендованы ВАК РФ для публикации основных научных результатов для соискания ученой степени доктора и кандидата наук. Разработанная программа расчётов соответствующим образом зарегистрирована.
Личный вклад автора. Все основные результаты, составившие диссертацию, получены автором лично. Соавторы публикаций по теме диссертации участвовали в обсуждении постановочной части решаемых задач и результатов вычислений по разработанным автором программам расчётов. В диссертации отсутствуют заимствованные материалы и результаты других исследований, а когда по логике изложений такие сведения оказываются необходимыми, то они снабжены соответствующими ссылками на авторов и литературные источники.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения и списка литературы из 153 источников. Работа изложена на 236 страницах, содержит 73 таблицы и 119 рисунков.
Расчёт температурных полей в одномерных задачах с осевой симметрией
Далее в качестве термодинамического потенциала будем использовать свободную энергию, для которой W(el,T) = e(el,s)-sT, (1.7) ду/ де = -s , — = Т . дТ ds В (1.7) принимается важное для дальнейшего положения о независимости свободной энергии от необратимых (пластических) деформаций. Подстановка (1.7) в (1.5) позволяет записать упругий потенциалу соответ Р гдеТ – абсолютная температура;W ственно скорости изменения упругих и пластических деформаций. Аргументы функции е(еу,я)и у/(ееірт\ являются независимыми переменными, поэтому из (1.8) следуют два соотношения: (1.9) dw(ey,r) Q = де У pT ds dt QjJ аиЄи (1.10) Зависимость (1.9) является аналогом известной в нелинейной теории упругости формул Мурнагана [20], а соотношение (1.10) является уравнением баланса энтропии. Источник, стоящий в правой части (1.10), задаёт производство энтропии за счёт необратимого деформирования.
Будем полагать деформируемый материал изотропным. В таком случае упругий потенциал оказывается функцией трех независимых инвариантов і , 12 , i3 тензора упругих деформаций, а не шести компонент е\. данного тензора, т.е. w = w (i1, i2, i3, в), (1.11) l1 =e]j; I2 =elteeji ; /3 = еег/]кеекг\ = т0 1т -т0).
Выбор независимых инвариантов в (1.11) произволен. Через т0 в (1.11) обозначена постоянная величина, называемая комнатной температурой. Разложим функцию (1.11) в ряд Тейлора относительно свободного (і1 = і2 = і3 = в = 0) состояния. Сохраняя в таком ряде лишь первые значимые слагаемые, запишем W = — 121 + /л + ув + ув2 . (1.12) Зависимость (1.12) представляет собой квадратичную функцию деформаций е и относительно температуры в . Коэффициенты Л , ju , v, у разложения (1.12) в большинстве случаев полагаются постоянными. Подстановка (1.12) в (1.9) приводит к известным зависимостям закона Дюамеля-Неймана: а1] = (Яеекк-3КаТ0в) + 2/ие1, (1.13) где X и ц - параметры Ламе; - модуль сдвига;к = Л + —/л- модуль упругости всестороннего сжатия; а - коэффициент линейного расширения).
Уравнение теплопроводности следует из (1.10) при подстановке в него (1.7) и (1.12). При этом следует постулироваться законом теплопроводности. В рассматриваемом случае изотропии механических и теплофизических свойств материалов данный закон приобретает простую форму: q. = -xT . = -xT06 . (1.14)
В законе теплопроводности Фурье (1.14) х – коэффициент теплопроводности. Подставив (1.14) вместе с (1.7) и (1.12) в уравнение баланса энтропии, получим
В (1.15) постоянную а называют коэффициентом температуропроводности, а 81 и 82 - параметрами связанности. Первый из них ответственен за производства тепла за счёт необратимых деформаций, второй порождён связанностью в совместном изменении температуры, объёма и давления также, как и в теории совершенного газа. Для идеально упругой среды последний эффект оказывается незначительным и им пренебрегают, т.е. последний слагаемый правой части (1.15) не вносит значимых вкладов в термомеханический процесс. Иначе, параметры82 говорят о малости данной постоянной материалов. Это возможно, если постоянная у является большой. Но тогда и 81 можно считать малой величиной, что справедливо при незначительных скоростях деформирования. Теория температурных напряжений является как раз таковой, что связанностью деформационных и тепловых процессов пренебрегают, считая 81 = 82 = 0. Оставаясь последовательным, в (1.15) следует пренебречь и слагаемыми, которые оказываются произведением малых величин. Следует считать, что Є + 1 = 1. Конвективным переносом тепла в твёрдом деформируемом теле, т.е. слагаемым v в ,также следует пренебречь. Таким способом окончательно получаем наиболее простое уравнение теплопроводности в форме — -ав =0. (1.16) dt ," Следуя опять же условию малости скоростей деформаций, в уравнении движения (1.5) будем пренебрегать инерционными слагаемыми. При отсутствии массовых сил имеем уравнение равновесия в форме Gu,j=. (1.17)
Когда происходит только обратимое деформирование, то совокупность соотношений (1.1), (1.2), (1.13) - (1.17) составляет замкнутую систему уравнений теории термоупругих напряжений (16 уравнений относительно 16 неизвестных в ,
При достижении напряжёнными состояниями поверхности нагружения в теле может начаться пластическое течение. Принцип максимума Мизеса гласит, что при фиксированных параметрах еЦ для любого значения компонент скоростей деформаций имеет место неравенство т?є а є, где аг) - действительные значения компонента напряжений, соответствующие данному значению г?; а - компоненты возможного напряженного состояния, допускаемого данной функцией нагружения. Иными словами, из возможного множества процессов пластического деформирования осуществляется тот, в которых мощность диссипации механической энергии максимальна (производство энтропии максимально). В таком случае поверхность нагружения оказывается пластическим потенциалом и следует ассоциированный закон пластического течения. Когда поверхность нагружения в пространстве напряжений является гладкой, получаем следствие ассоциированного закона течения в форме
В (1.18) учитывается, что поверхность /(оу) является неизменной в пространстве напряжений, т.е. не зависит от истории деформирования и скорости деформирования, материал в условиях пластического течения не упрочняется. Данные условия задают пластическое течение, которое называется идеальным пластическим течением [21].
Повторное пластическое течение. Течение в состоянии полной пластичности
До момента посадки на поверхностях муфты отсутствовали напряжения, т.е. а(2) r=R = 0 , а(г2) г=г = 0 , где п - первоначальный (до нагрева) внутренний радиус муфты. Следуя этим граничным условиям, получаем С1( ) = 3аК(Т -Т0), С(22) = 0 . При данных значения коэффициентов интегрирования напряжении в материале муфты будут отсутствовать. Первоначальный размер муфты находится из соотношения г = R 1 0 . Величину внутреннего радиуса г муфты 1 2(v + \) ) следует знать при её изготовлении.
Впервые пластическое течение возникает в материале муфты на её контактной поверхности г = i?1 и распространяется далее по муфте, отделяя пластическую область от упругой упругопластической границей, движущейся по закону г = щ(і) i?1. Пластическое течение материала в области щ г И1(г) осуществляется в условиях соответствия напряжений грани призмы Треска: Стг _% = _2 . Следовательно, материал сборки разделяется таким способом на три области, в двух из которых - 0 г i?1 и/ () г R2- он продолжает деформироваться упруго, а в третей области R1 г «1( ) деформируется необратимо (пластически). На рисунке 2.1 данное положение представлено схематически: верхний рисунок до момента времени t1, следующий до некоторого последовательного момента времени t2 (ниже такой момент будет задан) и так далее.
Для нахождения напряжений в области пластического течения перепишем соотношения (2.1) с учётом развивающихся пластических деформаций ерг , е? : ке, % = 4 - )+4 Ч- )- (2.10) о, = + urr-e?-epr)-KQ. Используя принадлежность напряжений к определенной грани (ar-a(p = -2k) призмы Треска и, как следствие ассоциированного закона пластического течения, условие пластической несжимаемости s + s = 0 ,
Подставляя решение дифференциального уравнения (2.13) в (2.11) и (2.12), получим зависимости для нахождения перемещений и напряжений в пластически деформируемой области. Отметим ещё раз, что получены данные зависимости с использованием условия, что напряжения соответствуют определенной грани призмы Треска: а г - а = -2 к .
Зависимости (2.14) справедливы для области пластического течения R1 г n1(t). Они решают задачу вместе с зависимостями (2.5)-(2.8), которые справедливы в областях обратимого деформирования. Однако во всех таких зависимостях присутствует шесть неизвестных функций времени: с1 (1), с( 2 1), с1 2), c2 ,(2.5)-(2.8) и с1 (3) c2 в (2.14). Эти функции определяются в каждый рассчитанный момент времени из краевых и контактных условий (2.9) совместно с условиями непрерывности перемещений и радиальных напряжений аг на упругопластической границе. Более того, на каждом шаге (по времени) расчётов необходимо определить положение упругопластической границы г = , для чего следует воспользоваться условием равенства нулю на упругопластической границе пластических деформаций. Соответствующую систему алгебраических уравнений необходимо разрешить на каждом временном шаге расчётов. Дальнейшее перераспределение температуры по сборке остывание снова приведут к качественному изменению в характере последующего деформирования, поскольку напряжения в материале муфты при г = R1 сдвинутся внутрь поверхности нагружения, то есть материал снова возвратится в упругое состояние.
Расчётные зависимости (2.5) - (2.8) вместе с (2.14) позволяют построить решение задачи только до некоторого последующего момента времени t = t2 t1 0 . В момент времени t = t2 от поверхности г = R1 отделится, перемещаясь по материалу муфты, новая упругопластическая граница г = m1(t) (см. рисунок 2.1, в). В материале муфты формируется область упругого деформирования R1 r m1(t) при наличии в данной области накопленныx, но далее не изменяющихся пластических деформаций рг(г) и р (г). Отличие er(r,t) и е О,) от рг(г) и р (г) соответственно заключается в том, что последнее есть то же, что и первые, только в них t фиксировано моментом прихода в точку с текущей координатой г упругопластической границы г = m1(t) (для каждой координаты г это свой момент времени).
Полная пластичность
Зависимости (2.22) справедливы в области повторного пластического течения Rl r n2(t). В других двух областях происходит обратимое деформирование. Для этих областей остаются справедливыми зависимости (2.5), (2.7), (2.17) и (2.18). Следует только учесть в (2.17) и(2.18), что / = n2(t). Новые значения функций времени с1 1), с2 1), C1 (4), с( 2 , появившиеся в результате интегрирования (2.21), функций с1 (5), с2 5) так же, как и ранее вычисляются на каждом временном шаге расчетов согласно краевым условиям и условиям непрерывности перемещения и и напряжения а г на упругопластической границе г = n2(t) .
Продолжая расчёты по обозначенному алгоритму, убеждаемся, что в некоторый последующий момент времени t = t5 t4 на контактной поверхности материала муфты выполнится условие Треска о г - а = -2 k. Вместе с продолжающим выполняться требованием ar-az = -2k данное условие определит состояние полной пластичности (ребро призмы Треска). С момента времени t = t5 от поверхности г = R1 продвигается поверхность г = п3 (?), разделяющая пластическую область щ г n2(t) на две подобласти, в которых пластическое течение осуществляется в соответствии с различными системами уравнений. г = и2() . При этом необратимая деформация e pz (г), ранее растущая в области пластического течения R1 г n1(t), в которой выполнялось условие ar -az = -2k, в момент времени, связанного с продвижением границы г = п3{п), перейдёт в необратимую деформацию Pz тогда, когда к значению Рг прибавятся е г : (Рг = г+е;(и)), где Рг - неизменяющаяся часть необратимой деформации на момент наступления полной пластичности, а рг- начальное её значение, существовавшее на момент наступления разгрузки. В подобласти n3(t) г n2(t) напряжения соответствуют грани ar -a z = -2к, а в подобласти R1 r n3(t) -ребру призмы Треска. В первой из них остаются справедливыми (с точностью до функций времени с1 (5), с2 5), которые придется определить заново) зависимости (2.22). В подобласти полной пластичности необходимо найти зависимости, аналогичные (2.22). Так из закона Дюгамеля - Неймана для области полной пластичности следует
Перемещения, напряжения и деформации в материале муфтыопределяются из сооношений: в области полного пластического течения R1 г n3(t)из (2.26), в области пластического течения n3(t) г n2(t) из (2.22) с учётом l = n3(t), в области упругого деформирования n2(t) г R2 из (2.18) с учётом / = n2(t).
Затухание полного пластического течения начинается с момента времени t = t6. У поверхности контакта скорость роста окружной пластической деформации становится равной нулю, из чего следует, что перестаёт выполняться условие Треска аг-а = -2к . Напряженное состояние возвращается на грань а г - a z = -2к призмы Треска. На поверхности г = R1 зарождается разгружающая пластическая граница m3(t), которая, продвигаясь по материалу муфты, достигает в момент времени t = t7 пластической границы г = n3(t5), что приводит к затуханию полного пластического течения. В области R1 r m3(t) (r 0 = 0,г7) =/?ф(г) , при этом пластические деформации epr , ef продолжают свой рост.
Во временном интервале t6 t t1 перемещения, деформации и напряжения задаются ранее приведёнными зависимостями. В области Rl r m3(t) выполняются соотношения (2.22), в области m3{t) г n3(t) - (2.26) с тем только отличием, что l = m3{t). В области n3(t) г n2(t) задачу решают те же зависимости (2.22) при l = n3{t). Область материала муфты n2{t) г R2{t) остаётся упругой, и здесь справедливы соотношения (2.18) с / = n2(t). На каждом временном шаге расчётов наряду с положениями упругопластических границ необходимо снова осуществлять перерасчёт коэффициентов (функций времени) интегрирования уравнений равновесия, записанных по-разному для различных областей течения и упругого деформирования.
После завершения процесса теплопроводности (данный процесс завершится, когда температура по элементам сборки выровняется и станет равной комнатной температуре г0) напряжения в элементах сборки будут иметь некоторое распределение по пространственной координате г . Такие напряжения называют остаточными, а значения а г на поверхности контакта г = Rx называют натягом в соединении. В рассматриваемом случае при комнатной температуре в части муфты напряжённо-деформированное состояние по-прежнему продолжает удовлетворять грани ar-az = -2k призмы Треска (см. рисунок 2.1, з).
Следовательно в условиях, когда Т = т0 в материале муфты присутствуют две области: область Rl{t) r n2- const , где а г - a z = -2k, и область n2{t) r R2{t), где нет необратимых деформаций. В последней области уравнение равновесия примет вид
Пластическое течение во внутреннем кольце
Следует также учитывать, что параметры X и ы для материалов внешней и внутренней труб могут принимать разные значения (так же, как и значения коэффициентов температуропроводности).
Коэффициенты интегрирования с1\ С( 2 1), с1 (2), с( 2 2) находятся из граничных условий. В качестве последних принимаем
В момент времени t = t1 на свободной внутренней поверхности впервые выполняется условие пластического течения Треска зг -а = 2 k , здесь зарождается упругопластическая граница n1 (t), которая с течением времени t t1 продвигается вглубь материала. Теперь, как показано на рисунке3.1,б, материал сборки деформируется как упруго в областях R0 г R13 n1(t) r R2, так и пластически течет в области R1 r n1(t) .
Для нахождения напряжений в области пластического течения перепишем соотношения (3.1) с учетом развивающихся пластических деформаций ерг , е? .
Схематичное представление возникновения и исчезновения различных областей пластического деформирования: а – термоупругое деформирование; б – развитее первой области пластического течения и т.д. кв, 4„- )+,,(гЛг - )-« , (3.9) Используя принадлежность напряжений к определенной грани (стг-ст = 2Аг) призмы Треска и, как следствие ассоциированного закона пластического течения, условие пластической несжимаемости гР +гр = 0 , є f = 0 , найдём e 0.5 -r-V-H -1). (3.10) Перепишем соотношение (3.10) для рассматриваемого случая or = g{urr + r-1ur)-k-KQ, G(f=g(urr+r-1ur)+k-KQ, (3.11) az = x(urr + r-1ur)-KQ. Уравнение равновесия (3.2) с учётом (3.11) запишем в виде д (1( д . Х\ _1(2 дк dQ\ — \-\—(rur)\\ = -g \-к + —-К—\. (3.12) дг гУдг )) [г дг дг )
Подставив решение дифференциального уравнения (3.12) в (3.11) и (3.10), получим соотношения для нахождения напряжений и пластической деформации в области пластического течения R0 г n1(t) . u(3) = g-1(F(-1,l,r)-G(1,l,r))+ 0.5C1(3) ( )r + C2(3) (t)r (3) (3) r с gC1(3) (t)-2r 1G(1,l,r), (3) (3) СФ gC(3) (t)-2r 1G(1,l,r)-2k(r,t), (3.13) CT 3) = —g (r,t) + (1,l,r) + k \C2(3) (t), =(2g)-1( e(r,)-1, -1ic(r,))-r-1(g-1F(-1,3,r))-r-2C2(3)(), 121 г г где F(h,l,r)= Krh tp-hQ(p,t)dp;G(h,l,r)=rh \ p hk(p,t)dp , l3 = R0 I
Коэффициенты интегрирования С1(1), c(21), c1(2) ,c2(2) с1(3) ,c (3), находим из решения системы линейных уравнений, которая состоит из граничных условий, моделирующих непрерывность радиальных напряжений и перемещений на границах г = R1, г = n1(t) и равенство радиальных напряжений на свободных поверхностях г = R0 , г = R2.
В момент времени t = t2 t1 на свободной поверхности внутреннего цилиндра г = R0 вместе с выполнимым условием Треска о г - аф = 2 к выполняется новое условие Треска а г - (5 z = 2 к , что приводит к образованию полного пластического течения, которое продвигается вглубь материала внутреннего цилиндра. Для области полного пластического течения зависимости между напряжениями, температурой и деформацией примут вид KQ, k,- - )+4 4- )- (3.14) )-4;)- KQ. Условие полной пл астичности ar-az = 2k и ст -ст = 2к и условие пластической несжимаемости sf+s + sf = 0 приводят к соотношениям epr =2/3urr-1/(3r)ur-2k(3vT1, (3.15) e =-1/3urr-2/(3r)ur+k(3 y1. Уравнение равновесия (3.2) перепишем, подставляя в него соотношения (3.14), в которых используются (3.15): 122 д (1 ( д . Л\ 59 дк к К—1-— (ги ) \\ = К 4/3 2-. (3 16) дг{г{дг JJ дг дг г Подставив решение дифференциального уравнения (3.16) в выражения (3.14) и (3.15), получим напряжения и пластические деформации области полной пластичности R0 г n2(t): u(4)(r)=K-1F(-1,l,r)-(3K)-1G(-1,l,r)-2K-1G(1,l,r) + + 0.5С1(4)() + с2(4)() СТ(4) (4) (r)= i:C1(4)()- (r,)-4r (1,/,r), e (r)=(-2G(1,l,r) + G(-1,l,r))(3rKy1 + 16C1(4)(t)-r-2C(24)(t) + + 2/3Є(г,)-13(14(3 )_1 + 2a"1)ic(r,)-(&)"1 F(-1,/,r), (r)=-(2 G1,/,r)+G(-1,/,r))(3r )-1 + 16C1(4)() + 2 4)() + Ф + 13(7(3 )_1 + \L 1)k(r,t) + (Kry1F(-1,l,r)-1/3e(r,t), I = R0. Материал сборки деформируется упруго-пластически (см. рисунок 3.1). В области упругого деформирования n1(t) г R1 и R1 г R2 напряжения находятся из соотношений (3.5)-(3.8) с учётом / = n1(t) в области полной пластичности R0 r n2(t) из (3.17), а в области n2(t) г n1(t) определяются из (3.13) с учётом / = n2(t) .
Коэффициенты интегрирования С1(1), с(21) , с1(2) ,с(2) с1(3) ,с2(3) , с1(4) ,с(24) находим из решения системы линейных уравнений, которая состоит из граничных условий, моделирующих непрерывность радиальных напряжений и перемещений на границах г = R1, г = n1(t), r = n2(t) и равенство радиальных напряжений на свободных поверхностях г = R0, г = R2.
В момент времени t = t3 границы n2(t) и п1(г)соединятся (п 2(t) = п1(і)) и область пластического течения, в которой выполнялось условие Треска (а г - а = 2к), перестанет существовать.
Через некоторое время (t = t4) от упругопластической границы n2(t) отделилась граница n3(t), характерная тем, что в области n2(t) г n3(t) материал деформируется пластически, здесь выполняется условие Треска аг - (5 z = 2 к . Соотношения закона Дюамеля - Неймана для новой области примут вид аг= кг,-е М-1иг-е:)-КЪ, Ф = м«„ р Р x(ur,r-e?-е?)+W(r-1ur)-KQ, (3.18) г + иг г - е KQ. Учитывая условие пластической несжимаемости є; + f = 0 , є = 0 , выражаем из выполнимого условия Треска пластическую деформацию: =0.5(«г,г- и-1). (3.19) Уравнение равновесия (3.2) перепишем, подставляя в него соотношения (3.18), в которых используется (3.19): д2иг g диг иг 50 (дк кЛ g + ——r-w = K— - —+- . (3.20) дг2 г дг г2 dr [дг г) Подставляя в (3.18) и (3.19) решение дифференциального уравнения (3.20), получаем соотношения для нахождения напряжений и пластических деформаций области, в которой выполняется условие Треска a r -az = 2k: