Содержание к диссертации
Введение 4
Глава 1. Обзор основных направлений исследований по решению коэффициентных обратных задач для уравнений
параболического типа 23
1. Определение корректности по А.Н.Тихонову 23
2. О некорректности коэффициентных обратных задач 25
3. Теоремы единственности решения коэффициентных
обратных задач (КОЗ) 27
4. Решение коэффициентных обратных задач
методом регуляризации 31
5. Решение коэффициентных обратных задач
методом квазиобращения 44
Краткие выводы по результатам главы 1 48
Глава 2. Определение младшего коэффициента уравнения
параболического типа методом регуляризации 49
1. Постановка коэффициентной обратной задачи 49
2. Постановка вариационной задачи и алгоритм ее решения
методом регуляризации 52
3. Разностная задача для вспомогательного
интегродифференциального уравнения 62
4. Численное решение вспомогательной задачи.
Анализ результатов расчетов 70
5. Определение младшего коэффициента уравнения.
Анализ результатов расчетов и выводы 75
Краткие выводы по результатам главы 2 78
Приложение 1. Результаты вычислительных экспериментов 79
Глава 3. Определение старшего коэффициента уравнения
параболического типа методом регуляризации 93
1. Постановка коэффициентной обратной задачи 93
2. Постановка вариационной задачи и алгоритм ее решения
методом регуляризации 95
3. Разностная задача для вспомогательного
интегродифференциального уравнения 105
4. Численное решение вспомогательной задачи.
Анализ результатов расчетов 111
5. Определение старшего коэффициента уравнения.
Вывод различных формул для его вычисления.
Анализ результатов расчетов и выводы 115
6. Численное исследование коэффициентной устойчивости
соответствующей прямой задачи 139
7. Сравнение регуляризированной задачи с
задачей квазиобращения 145
Краткие выводы по результатам главы 3 149
Приложение 2. Результаты вычислительных экспериментов 151
Глава 4. Использование коэффициентной обратной задачи для конструирования одномерного распределенного датчика
температурного поля и ее численное решение 173
1. Постановка задачи о конструировании одномерного
распределенного датчика температурного поля 173
2. Алгоритм решения задачи о продолжении решения
нелинейного интегродифференциального уравнения 178
3. Определение старшего коэффициента уравнения
параболического типа 181
4. Результаты численных расчетов 183
Результаты численного решения вспомогательного интегродифференциального уравнения 186
Результаты вычисления старшего коэффициента уравнения (4.1.5) 191
5. Нахождение температурного поля по результатам
вычисления старшего коэффициента 195
Краткие выводы по результатам главы 4 197
Заключение 198
Библиографический список используемой литературы 201
Нумерация формул в работе ведется по главам, для теорем, рисунков и таблиц - тройная: первая цифра указывает номер главы (для введения - 0), вторая - номер параграфа.
Введение к работе
В диссертации рассматриваются задачи определения нестационарных физических полей, распределение которых описывается уравнениями параболического типа, содержащими неизвестные коэффициенты. Математические модели строятся как решения коэффициентных обратных задач (КОЗ), известных как задачи идентификации [3, 5, 26]. Неизвестной является вектор-функция. Ее составляющие - функция, для которой составлено уравнение, и коэффициенты эллиптического дифференциального оператора. Далее предполагается, что коэффициенты уравнения зависят от пространственной переменной и не зависят от времени. Постановки задач основаны на использовании теорем единственности решения КОЗ, доказанных М.В.Клибановым [2, 15, 58 — 61, 114]. Для получения единственного решения КОЗ требуется задать на границе области решения переопределенный набор краевых условий: функцию, для которой записано уравнение, и ее нормальную производную.
Известно [66], что задача определения равномерно эллиптического дифференциального оператора, входящего в параболическое уравнение, приводится в смысле исследования единственности и устойчивости к задаче нахождения специальной правой части дифференциального уравнения. Эта задача далее сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода, то есть является условно-корректной [96]. Для решения условно-корректных задач используются специальные методы: регуляризации [96, 26, 66 - 69, 75, 76, 91], квазирешений [55], квазиобращения [71, 77, 19 - 21]. В диссертации для решения КОЗ используется вариационная постановка задачи и метод регуляризации, причем стабилизатор (норма пространства Соболева
W\ [89]) выбран в общем виде: он содержит весовые коэффициенты. Исполь-
зуется алгоритм, разработанный П.Г.Данилаевым и М.В.Клибановым [114, 61], сводящий решение КОЗ к задаче о продолжении решения некоторого вспомогательного интегродифференциального уравнения.
Актуальность темы
Коэффициентные обратные задачи (задачи идентификации) стали предметом пристального изучения особенно в последние годы благодаря исследованиям советских математиков [18, 52, 56]. Интерес к ним вызван в первую очередь их важным прикладным значениям. Они находят приложения при решении задач планирования разработки нефтяных месторождений (определение фильтрационных параметров месторождений [1, 8, 9, 11, 12, 27, 28, 36 - 45, 57, 74, 79, 101, 102, 104, 109, 121 - 123]), при создании новых видов измерительной техники [53], при решении задач мониторинга окружающей среды [30] и др. Стандартная постановка КОЗ содержит функционал (невязку), зависящий от решения соответствующей задачи математической физики [18, 121]. Решение задачи ищется из условия его минимума.
Идентификация коэффициента к(х,у) уравнения
ди д dt дх
Г*аО_±Г**0
Л*,у,0 О)
дх) ду\ ду,
основана на использовании метода наименьших квадратов и заключается в минимизации функционала (невязки), например, следующего вида
т п
J = і S ["(*/' у і > 0 -z/ ] dt> (2)
где z,— значения функции uix^y^t) в точках (х,-,^,), полученные путем измерений, uipc^y^i) - численное решение уравнения (1), рассматриваемого
совместно с соответствующим набором дополнительных условий.
Проблема состоит в развитии приближения для идентификации параметров в уравнениях с частными производными по возмущенным данным, являющегося численно устойчивым и физически совместимым с предпола-
гаемым характером неизвестных параметров. Вычислительная неустойчивость и некорректная природа проблемы требуют использования процедуры регуляризации. Регуляризация приводит к нахождению решения близкой задачи, которое корректно по А.Н.Тихонову и аппроксимирует решение исходной задачи.
Задачу идентификации коэффициента к(х,у) уравнения (1) методом
регуляризации исследовали М.Х.Хайруллин [101, 102, 104], G.Chavent [109, ПО], C.Kravaris, J.H.Seinfeld [121 - 123] и др. П.Г.Данилаев предложил алгоритм решения КОЗ, основанный на использовании метода квазиобращения [36, 114]. В диссертации КОЗ рассматривается в постановке, использующей условия теорем единственности решения М.В. Клибанова. Разработан подход, в определенном смысле обобщающий использование метода квазиобращения [71].
Методы численного решения КОЗ в связи с их приложениями в подземной гидрогазодинамике разрабатывали также М.Т.Абасов, Э.Х.Азимов, Т.М.Ибрагимов [1], А.Д.Искандеров [57] и др. Часто при постановке КОЗ предполагается, что неизвестные коэффициенты зависят только от пространственных переменных. Такие КОЗ исследовали О.М.Алифанов [2 -5], П.Н. Вабищевич и А.Ю.Денисенко [18], М.В.Клибанов [61] и др. Единственность решения условно-корректных задач исследовали М.М.Лаврентьев [66 - 69], В.Г.Романов [66, 68, 80 - 82], М.В. Клибанов [2, 15, 58 - 61].
В диссертации исследуется численное решение КОЗ. Численные методы решения условно-корректных задач разрабатывали А.Л.Бухгейм [16, 17], А.Б. Бакушинский, А.В.Гончарский [7], А.А.Самарский, П.Н.Вабищевич [86, 87] и др.
В диссертации КОЗ рассматриваются в связи с их приложением к созданию нового измерительного прибора - распределенного датчика для измерения температурного поля [53, 22]. Для него построена математическая модель. В ее основе - решение КОЗ для уравнения типа теплопроводности. Не-
известной является вектор-функция. Ее составляющие — функция, для которой составлено уравнение, и коэффициенты равномерно эллиптического дифференциального оператора. Предполагается, что коэффициенты уравнения зависят от пространственных переменных и не зависят от времени. Постановка задачи основана на доказательстве теорем единственности решения КОЗ.
Цель работы
В математическом смысле цель работы определена как исследование КОЗ для уравнений параболического типа в постановках, для которых доказаны теоремы единственности. Следуя им, уравнение рассматривается совместно с переопределенным набором краевых условий. Учитывая условную корректность КОЗ в такой постановке, необходимо построить регуляризи-рующий алгоритм их решения и разработать методы его численной реализации.
В результате преобразований исследование КОЗ сводится к задаче о продолжении решения вспомогательного интегродифференциального уравнения, не содержащего неизвестного коэффициента [36, 114, 33]. Задача рассматривается в вариационной постановке с регуляризацией. В его основе — квадратичная невязка интегродифференциального уравнения. Стабилизатор выбирался в общем виде, содержащем весовые коэффициенты. Целью работы было применить такой подход для решения различных КОЗ, когда неизвестным является младший коэффициент или коэффициент при старшем члене уравнения. Цель работы также состояла в изучении влияния выбора весовых коэффициентов стабилизатора и параметра регуляризации на поведение решения, в разработке алгоритма численного решения, в создании программного обеспечения. Ставилась цель изучить связь данного подхода с алгоритмом решения КОЗ, разработанным на основе использования метода квазиобращения.
Для численного решения КОЗ использовался метод сеток (конечных разностей). Использовались известные алгоритмы, в частности, метод матричной прогонки [83, 84]. Для оценки разработанных алгоритмов использовался вычислительный эксперимент [85]. Вычисления проводились для тестовых примеров, имеющих точное аналитическое решение. Численное решение задачи сравнивалось с ним.
В качестве практического приложения ставилась цель построить математическую модель для конструирования одномерного распределенного датчика температурного поля. Датчик построен на основе пленочной технологии, реализованной в виде распределенной RC структуры, емкость или сопротивление которой чувствительно к измеряемому полю. Задача его конструирования сведена к решению соответствующей КОЗ об определении старшего коэффициента одномерного уравнения параболического типа.
Для достижения этих целей в работе:
Решена задача нахождения коэффициента при младшем члене уравнения параболического типа, изучено поведение ее численного решения.
Решена задача нахождения коэффициента при старшем члене уравнения параболического типа, проведены численные расчеты для оценки эффективности разработанного алгоритма.
Исследовано влияние выбора параметра регуляризации, весовых коэффициентов в стабилизаторе, параметров разностной задачи на поведение численного решения. Разработаны рекомендации по проведению числовых расчетов с использованием предложенного алгоритма.
Доказано, что квазиобращение КОЗ можно рассматривать как частный случай регуляризированной вариационной задачи в исследуемой постановке, когда стабилизатор выбран специальным образом.
Разработано программное обеспечение, позволившее реализовать предложенный метод решения КОЗ.
Рассмотренные КОЗ применены для конструирования одномерного
распределенного датчика температурного поля на основе микропленочной резистивно-емкостной RC-структуры. Математически она сведена к определению независящего от времени старшего коэффициента в уравнении параболического типа.
Научная новизна
Новыми результатами являются:
Рассматриваемые в диссертации постановки КОЗ, основанные на теоремах единственности решения. Параболическое уравнение рассматривается совместно с переопределенным набором краевых условий. Формулируются вариационные постановки задач, заключающиеся в минимизации квадратичной невязки некоторого вспомогательного интегродифференциального уравнения, не содержащего искомого коэффициента.
Алгоритмы решения КОЗ. Для решения используется метод регуляризации. Условие минимума невязки заменяется условием минимума некоторого сглаживающего функционала, в котором стабилизатор (норма пространства Соболева W\ ) имеет общий вид и содержит весовые коэффициенты. Нахождение численного решения задачи методом конечных разностей.
Теорема о связи, существующей между методом квазиобращения и методом регуляризации.
Исследование влияния выбора параметра регуляризации, весовых коэффициентов в стабилизаторе, других параметров задачи, в том числе соответствующей разностной задачи, на поведение численного решения.
Программное обеспечение для вычисления на ПК коэффициентных обратных задач, позволяющее пользователю использовать разработанный алгоритм. Интерфейс предусматривает ввод исходных данных пользователем и выдачу результатов в графическом виде. Использование программного обеспечения, позволяющего при исследовании получить большой объем необхо-
димой информации.
Применение разработанного алгоритма к решению практической задачи о конструировании одномерного распределенного датчика температурного поля.
Практическая ценность
Практическую ценность имеют:
Математическое моделирование и математические методы конструирования одномерного распределенного датчика температурного поля на основе микропленочной резистивно-емкостной RC-структуры.
Разработанные рекомендации по выбору числовых параметров задач, рассматриваемых в вариационных постановках с использованием метода регуляризации, когда стабилизатор имеет общий вид (параметр регуляризации, весовые коэффициенты, шаги разностной сетки и др.).
Алгоритмы и их программное обеспечение для реализации разработанных методов численного решения КОЗ для параболических уравнений.
Достоверность реализации разработанного алгоритма обеспечивается решением тестовых задач, сравнением полученных результатов с точным аналитическим решением и результатами решения практической задачи.
Апробация работы и публикации
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на IY-ой научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Республики Татарстан (Казань, 2001 г.), YIII Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 2002 г.), IY-ой Всероссийской научно-технической конференции "Информационные технологии в науке, проектировании и производстве" (Н.Новгород, 2002 г.), Третьей Российской национальной конференции по
теплообмену (Москва, 2002 г.), 4th International Conference "Inverse problems: identification, design and control" (Moscow, 2003), Всероссийской (с международным участием) молодежной научной конференции "XI Туполевские чтения" (Казань, 2003 г.), международной молодежной научной конференции "XII Туполевские чтения" (Казань, 2004 г.).
Результаты работы опубликованы в 4 статьях (одна в электронном варианте) и 5 тезисах докладов. Список публикаций приведен в списке литературы.
Связь исследований с научными программами
Работа выполнена на кафедре специальной математики КГТУ им. А.Н. Туполева (КАИ) в рамках выполнения программы «Современные проблемы математического моделирования и управления». Ее результаты внедряются в совместных исследованиях, проводимых с кафедрой теоретической радиоэлектроники Института радиотехники КГТУ им. А.Н.Туполева (КАИ). В 2003-2004 гг. работа была поддержана грантом Министерства образования и науки Российской федерации по разделу «математические модели теплопроводности и диффузии» - грант НИР аспирантов вузов АОЗ-2.8-468.
Структура и основное содержание работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и библиографического списка, включающего 138 наименований. Информационная часть включает оглавление. Объем диссертации составляет 213 страниц, включая иллюстрации.
Введение содержит обоснование актуальности рассматриваемых в диссертации задач. Сформулированы цели и задачи исследования, указывается их связь с научными программами, перечисляются результаты, выносимые на защиту, отмечается их научная новизна и практическая значимость. Приводятся сведения об апробации работы и публикациях.
В первой главе сделан обзор основных направлений исследований коэффициентных обратных задач для уравнений параболического типа.
В 1 приводится известное определение корректности по А.Н. Тихонову (условной корректности). В 2 формулируется общая постановка коэффициентной обратной задачи для уравнений параболического типа. Следуя работе [66], дается схема доказательства ее некорректности по Ж.Адамару путем сведения к исследованию интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода. В 3 включены теоремы единственности решения КОЗ, доказанные М.В. Клибановым [58 - 61], которые взяты за основу при постановке и исследовании КОЗ в диссертации.
В 4 на примере работ G.Chavent'a, П.Н.Вабищевича, М.Х.Хайруллина, C.Kravaris'a и J.H.Seinfeld'a рассмотрены решения КОЗ для уравнений параболического типа методом регуляризации. Один из основных подходов к решению КОЗ основан на ее сведении к задаче минимизации некоторого функционала (квадратичной невязки) с использованием дополнительной априорной информации, например (2). Авторы предлагают различные подходы к представлению искомого коэффициента. М.Х.Хайруллин ищет его в классе кусочно-постоянных функций с конечным априори заданным числом зон постоянных значений [101, 102]. П.Н.Вабищевич и А.Ю.Денисенко представляют искомый коэффициент в виде разложения в ряд по базисным функциям [18]. C.Kravaris и J.H.Seinfeld ищут коэффициент в виде сплайнов [121 - 123]. Это то, что называется дескриптивной регуляризацией.
П.Г.Данилаев для нахождения коэффициентов уравнений параболического типа использовал метод квазиобращения [71]. В диссертации в определенном смысле обобщаются походы, развитые им и М.В .Клибановым [36]
Во второй главе рассматривается КОЗ об определении младшего коэффициента уравнения параболического типа с одной пространственной переменной [32]. Искомый коэффициент не зависит от времени.
В 1 формулируется КОЗ: определить вектор-функцию {q(x), u(x,t)} из условий
ut — и^ = q(x)u, О < х < 1, / > 0;
и(о,0=/о(0, «х (0,0=/і (0, '>0;
(3)
M(i,0 = go(0, и,ао = ^і(0, '>о;
w(x,0) = uQ (х), 0
Уравнение задачи (3) преобразуется так, чтобы оно не содержало коэффициента q(x). Для этого уравнение интегрируем по переменной t в пределах от 0 до t, а результат разрешаем относительно q{x). Так как коэффициент q(x) не зависит от переменной t, то qt - 0. Вводим новую неизвестную функцию v(x,t) = ut/u. Для нее получаем нелинейное интегро-
дифференциальное уравнение с дополнительными условиями
+
V/-vxc=2vx
jvx(.x,t)dt
' t
0<х<1, t>0;
.0 ио
у(0,0 = Ло(0. vx(0,0 = ti1(0, />0; (4)
v(l,0 = ^0(0, vx(l,0 = ni(0, *>0; условие v(x,0) задается произвольно. Задача (4) является условно-корректной и исследуется в вариационной постановке: определить функцию v(x,t), доставляющую минимум функционалу (невязке уравнения)
и/ ft лу
dxdt
JJv,-ve-2vJJv,(x,0A+ -*>*-
oov vo uo J J
и удовлетворяющую переопределенному набору граничных условий
у(о,о = ло(0, vx(o,o = tii(0, '>0;
у(1,0 = Ц0(0, ^(1,0 = МО, '>-
(5)
(6)
Начальное условие v(x,0) не задается.
Ввиду нелинейности уравнения задачи (4) дифференциальный опера-
О*
и0 ,
п п
тор рассматривается так Pv = vt-vXx-2vx
t н-1
\vxdt+ ^
\о
, где п- номер итера-
ции.
Для решения задачи используется метод регуляризации. Функционал (5), входящий в постановку задачи, заменяется минимизирующим функционалом
t і
t L к vt-vxx-2v
ftk-l и \\2 Ы k} к2
j v X(x,t)dt + -^L dxdt + a)) p0(x,t)v + p0](x,t)vt +
о J)
2\
+ P\o{x,t)v x +p2Q{x,t)v xx+pn{x,t)v xt+pQ2{x,t)v tt
dxdt,
(7)
где a - параметр регуляризации.
Итак, ищется функция v(x,t) в области QT = [0,1] и [0, Г], дающая экстремум функционалу (7). Значения функции v(x,t), ее производной vx на
концах промежутка интегрирования заданы (6). Для функционала (7) записывается уравнение Эйлера, которое решается совместно с дополнительными условиями, дополненными естественными граничными условиями. В результате приходим к решению краевой задачи:
п п п п п п
- (1 + оср01) v и + (1 + ар2о) v хххх - ар10 v хх + ctp0 v - арх х vxxtt + ар02 v «« +
п п
+ avt-avxx=-OLFt(x,t)-Fxx(x,t) + F(x,t), 0
(\ + apol)vt(x,0)-vxx(x,0)-F(x,0) = 0, 0
n n n
Vxxt(x,T) = 0, vttt(x,T) = 0, vtt(x,T) = 0; (\ + apm)Vt(x>T)-Vxx(x,T)-F(x,t) = 0; 0
n-\ ftn-l u Л
Здесь F(x,t) = 2 v x ^v xdt + -^- . При вычислении функции F(x,t) ис-
ко ио J
пользуются значения функции и ее производных с предыдущей итерации, как это обычно делается при решении нелинейных задач. При решении весовые коэффициенты выбирались так: Pq,P\0,Pq\ — постоянные величины, а
Pl\=PlO=Po2=-
Задача записывалась в конечно-разностной форме и решалась численно. Использовался метод матричной прогонки с итерациями. Условие окон-
чания итераций имело обычный вид:
п п-\ Vn- V п
< , где є - некоторая заранее
заданная малая постоянная величина. Для оценки эффективности предложенного алгоритма решалась тестовая задача. Результаты расчетов представлены графически и сравниваются с точным аналитическим решением.
В 4 оцениваются результаты вычисления вспомогательной функции v(x,t). В процессе счета исследовалась зависимость численного решения задачи от выбора величины параметра регуляризации, весовых коэффициентов, шага по времени, времени окончания счета и времени оценки расчетов. Отрабатывалась методика по выбору всех этих параметров. Нулевое приближение выбиралось как линейная интерполяция значений функций, заданных на границе области решения. Установлено, что параметр регуляризации влияет на скорость сходимости процесса. Из весовых коэффициентов наиболее сильно влияет на результат к10. При его увеличении (до определенного
предела) результат улучшается.
\vx{x,t)dt ^ Jvx(x,0*- Jv„(*,0* —QSL- (8)
После вычисления функции v{x,t) ищется коэффициент q(x) q(x) = v(x,t)~
Vo J uo о 0 uo
Результат нахождения младшего коэффициента зависит от точности вычисления вспомогательной функции v(x,t). Там, где вспомогательная функция близка к точному значению, наблюдается хороший результат при сравнении вычисленного коэффициента q{x) с его точным значением. Наилучший результат достигается в случае, когда нулевое приближение выбрано как линейная интерполяция граничных значений функции. В случае, когда параметр регуляризации равен нулю, решение получается неустойчивым. Таким образом, применение регуляризации при решении КОЗ является необходимым условием для получения устойчивого решения, близкого к точному.
В третьей главе исследуется КОЗ об определении коэффициента, входящего в дивергентную главную часть уравнения параболического типа и не зависящего от времени [33]. Постановка задачи вновь использует теоремы единственности решения: определить вектор-функцию {k(x),u(x,t)} из условий
kuxx+kxux=ut, x0
и(*о»0 = о(0» ux(x0,t) = h0(t), 0
(9) «(*i,0 = gi(0, Mx{xltt) = hx{t\ 0<ґ<Г;
u(x,0) = cp(x), x0 < x < x,. Здесь Яо(/)>^о(0>і(0>^і(/)>ф(*) -заданные функции, удовлетворяющие условиям согласования. Как и ранее в главе 2, из уравнения (9) исключается коэффициент к(х) и делается переход к новой неизвестной функции
v{x,t) = utju. Для нее исходная задача редуцируется к исследованию продолжения решения вспомогательного нелинейного интегродифференциального уравнения
(10)
Avxx + Bvx =Cvt, x0
М0 = **, ,l(0 = %%(0 = (to"2to/), Mt)Jh^~2h^\
So g\ go gi
A = EJ0+vJx, B = E(2Jq -J2) + v(2J0Jx -J3), C = JxJ2- JqJ3,
'qO*
ft \ t
E = l- exp
+ J4, J3 = {(1 - E)J2dt. о
dt , J0 = [vxdt + (lncp)/, J2=Jo~
j і v ф j
Задача (10) является условно-корректной. Она содержит переопределенный набор краевых условий. Далее делается переход к регуляризирован-
ной вариационной постановке задачи: определить функцию v(x,t), доставляющую минимум функционалу
/1
Jjj Сv/- Avхх- Вvx dxdt + a\\{k0(x,t)v + k0l(x,t)vt + ki0(x,t)vx+
oov / oo
+ k20 (x, t)vxx+ku(x,t)v xt t Kq2 (x,t)vtt)dxdt. (11)
Для функционала (11) записывается уравнение Эйлера. Оно решается совместно с дополнительными условиями, дополненными естественными граничными условиями. В результате приходим к решению краевой задачи
(п-\ \п п п
А + ар20 vxt + ap02vt4 + apuvx2t2 + 2 )
А V J
п V.3 +
А \ J
+
(п-\п-\\
А В
V )
+
(п-\п-\\
А С
n-Y
t-В -ар10
v-2
(п-\п-\\
А С
n-ln-l
-ВС
Vxt +
fn-\n-Y\
А В
+
(п-\п-\\
вс)г
V J
+
А С
(n-\n-Y\ (п-\п-\\ (п-\2^
в с
\ J
С +ap0l
v 2 + офо v =0, x0 < x < xl, t > 0;
v(x0,0 = |i0(0, v, (x0,/) = rj0(0, vxt (xQ,t) = 0, t>0;
n n n
v (xj, 0 = Hi (0, ? (xt, 0 = Л і (0. vxt (x{ ,0 = 0, f > 0; ^ (x,0) = 0, ,3 (x,0) = 0, 7ff (x,0) = 0, ^ (x,0) = 0, x0 < x < *,,
v (x,0) задается произвольно, x0 < x < x{;
и и и
п-іґп-і n n-\ n n-\ n \ n
С Cv( (x,^)- ^v^ (x,^)- В vx (x,t{) \ + ap0lvt (x,t{) = 0, x0
Численное решение соответствующей разностной начально-краевой задачи находилось методом матричной прогонки с итерациями. В расчетах полагалось ки = к20 =к02=0. Для анализа предложенного алгоритма исследования КОЗ использовалась тестовая задача, имеющая точное аналитическое решение. Исследовалось влияние выбора величины параметра регуляризации и весовых коэффициентов стабилизатора на поведение численного решения, величины отрезка времени, на котором ищется решение интегро-дифференциального уравнения, шагов разностной сетки.
Решение задачи выполнялось в два этапа. На первом этапе численно решалась задача о продолжении решения вспомогательного интегродиффе-ренциального уравнения. На втором этапе по результатам вычисления вспомогательной функции определялся коэффициент к(х).
Для вычисления коэффициента используется система двух линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных к,кх, полученная из уравнения (9). Поскольку искомый коэффициент не зависит от времени, исходное уравнение можно интегрировать и дифференцировать по
времени. В результате получаются разные СЛАУ, например:
^хих "*" ^ихх = uf>
*
kxuxt + kuxxt = utt.
СЛАУ оказываются, как правило, плохо обусловленными, поэтому для их решения снова применяется метод регуляризации. Используются различные алгоритмы определения старшего коэффициента. Результаты вычислений по различным алгоритмам для различных СЛАУ сравниваются между собой. Проводится численное исследование коэффициентной устойчивости соответствующей прямой задачи.
В 7 сформулирована и доказана теорема, в которой доказывается связь, существующая между КОЗ в регуляризированных вариационных постановках, рассмотренных в диссертации, и в постановках, полученных при использовании метода квазиобращения.
Теорема. Если в функционале (11) вариационной задачи (11), (10) положить к0 =&10 = к02 = ки = к2о = 0, k0i = const, то при стремлении параметра регуляризации к нулю задача квазиобращения получается как частный случай регуляризированной вариационной задачи. Обе они дают приближенное решение одной и той же некорректной задачи.
В четвертой главе рассматривается задача конструирования одномерного распределенного датчика температурного поля на основе микропленочной резистивно-емкостной RC-структуры, емкость или сопротивление которой чувствительно к измеряемому полю [22]. Начало этих исследований положено в работах Ю.К.Евдокимова. Измеряя распределение сопротивления или емкости вдоль датчика, можно определить искомое распределение физического поля. Математически задача сводится к определению независящего от времени старшего коэффициента в уравнении параболического типа.
Измерительный процесс с использованием РД описывается следующей схемой. Температурное поле Т(х) воздействует на РД, вызывая в нем измене-
ниє распределения погонного сопротивления верхней термочувствительной пленки, которое подобно распределению профиля температуры. Для нахождения погонного сопротивления R(x) на концы датчика подается единичный скачок напряжения. Принята следующая физическая модель процесса изменения величины R(x). В случае, когда t<0, распределение R(x) = R0(x). Когда ^>0, происходит мгновенное изменение функции R(x), которое далее сохраняется. Подлежит определению распределение R(x) для t > 0
R(x) = R0 + AR = R0[l + кЛТ(х)] = Л,[і + ktAT{x/)\= R0\l + ktAT* I,
(12)
0 < x < I, где kt- температурный коэффициент чувствительной пленки, Rq- погонное сопротивление резистивной пленки при Т = Т0, АТ = Т -Г0. В этой записи
предполагается t' - некоторый фиксированный момент времени такой, что для значений t > t* температура практически не меняется или меняется очень мало. По данным измерений переходной характеристики РД требуется определить распределение погонного сопротивления R(x) по длине датчика 0 < х < I, а затем, воспользовавшись уравнением чувствительности (12) определить искомый температурный профиль.
Распределение напряжения является аналогом распределения температуры и описывается уравнением
dU д( 1 dU)
с = , 0<х<1, t>0. (13)
dt dx\R(x) дх J
Задача заключается в нахождении профиля напряжения как решения уравнения (13), в котором коэффициент R(x) заранее неизвестен. Таким образом уравнение (11) содержит неизвестный коэффициент - старший коэффициент дифференциального оператора. Требуется найти вектор-функцию {R(x), U(x,t)}, удовлетворяющую уравнению (13) с переопределенным набором граничных условий. Для получения дополнительных условий, необходимых для математической постановки задачи, решалась соответствующая
прямая задача при условии, что коэффициент уравнения известен. Ее решение также использовалось и для оценки качества решения обратной задачи.
Следуя общей схеме решения, описанной в главе 3, вводится новая функция v(X,x) = wx/w. Эта функция имеет особенность при т = 0, так как
w(X,0) = 0. Поэтому функция v(X, т) рассматривалась в области {О < X < 1,
є < т < Т], где є > 0 - заданная малая постоянная величина. Исследование по
схеме, описанной в главе 3, сводится к продолжению решения некоторого вспомогательного нелинейного интегродифференциального уравнения. Формулируется регуляризированная вариационная постановка задачи. После ее решения определяется коэффициент уравнения. При вычислениях вспомогательной функции использовались выводы главы 3 по выбору параметра регуляризации и весовых коэффициентов, сделанные основании решения тестовой задачи. Для нахождения старшего коэффициента уравнения использовались способы, описанные в главе 3.
По результатам вычисления коэффициента искалось температурное поле. Для этого использовались два способа. В первом - коэффициент, найденный в результате решения обратной задачи, использовался для решения прямой задачи. В конечном счете, определялось поле безразмерной температуры, которое на рисунке 1 сравнивается с ее точным распределением.
1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0
——Точное решение
—— Приближенное решение
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Рис.1.
Расчеты показывают, что наилучшее приближение достигается на внутренней части области. Вблизи границ области приближенное решение значительно отклоняется от точного.
Во втором способе переходим от вычисленного коэффициента уравнения к распределению погонного сопротивления. Далее распределение температуры получается из формулы (12). По результатам вычислений делается вывод: если определять поле температуры, используя формулу (12), то рекомендуется выбирать при конструировании прибора чувствительную пленку, для которой температурный коэффициент близок к единице. Такой выбор не приведет к неоправданному завышению «шума» - погрешности счета, то есть к искажению результата.
Условия рассмотренной задачи оказались самыми неблагоприятными для применения разработанного алгоритма в том смысле, что численные значения вспомогательной функции в ряде случаев оказывались близкими к нулю. Это приводило к понижению точности вычисляемого коэффициента. Тем не менее, расчеты подтвердили возможность использовать данный алгоритм при специальной оценке порядка вычисляемой функции. В рамках использованной модели результаты оказались удовлетворительными в той части области, где решение вспомогательного интегродифференциального уравнения мало изменяется со временем.
Заключение содержит выводы и результаты проделанной работы.
