Введение к работе
Актуальность темы исследования. Композиционные наноматери-алы находят широкое применение в промышленности, так как этим материалам можно придать определенные свойства путем введения нано-частиц. Важным является то, что для достижения улучшенных свойств необходимо введение нанонаполнителей в незначительных количествах. Особенно востребованы в последнее время полимерные нанокомпозиты.
Производство нанокомпозитов представляет собой высокотехнологичную отрасль и требует огромных трудовых, временных и денежных ресурсов. Возникает потребность в проведении серьезных научных исследований в данном направлении, в том числе моделировании структуры таких материалов и теоретическом исследовании свойств. Разработка научных основ исследования структуры и свойств композиционных наноматериалов является актуальной задачей на сегодняшний день.
Среди методов исследования структуры и свойств нанокомпозитов большой популярностью пользуются методы теории перколяции и теории фракталов (М. И. Кулак, В. Г. Шевченко). Перколяция (percolation — англ.) — протекание. Перколяция изучает образование связанных объектов — кластеров. Если кластер простирается через всю систему, его называю перколяционным. Для каждой перколяционной модели важно определение наличия перколяции (перколяционного кластера), и в частности порога перколяции. Порог перколяции — это минимальная концентрация заполняющего материала, при которой имеет место протекание от одной стенки системы к другой. Модели теории перколяции делятся на решеточные и континуальные (Ю. Ю. Тарасе-вич).
Континуальные перколяционные модели успешно используются для исследования структуры и свойств композиционных материалов (J. Largo, P. Tarazona, Y. В. Yi). Важно понимать поведение таких систем в критической области, так как именно на пороге перколяции система значительно меняет свои свойства или приобретает новые.
В данном диссертационном исследовании предложены континуальные перколяционные модели жестких сфер и эллипсоидов с проницаемыми оболочками.
Цели и задачи исследования. Целью диссертационного исследования являлось построение математической модели перколяционной системы, состоящей из жестких элементов с проницаемыми оболочками. Данная модель может быть использована для исследования влияния агрегации наночастиц на физические и механические свойства композиционного наноматериала.
Для достижения поставленной цели были поставлены и решены следующие основные задачи:
-
разработан метод моделирования континуальных перколяционных систем, состоящих из жестких элементов с проницаемыми оболочками;
-
построены и исследованы модели континуальной перколяции жестких сфер и вытянутых жестких эллипсоидов с проницаемыми оболочками. Для этих моделей:
исследовано поведение характеристик модели (распределение кластеров по размеру, средний размер кластера, мощность и фрактальная размерность перколяционного кластера, среднее число соседей Вс);
исследована зависимость значения порога перколяции от толщины проницаемой оболочки элемента;
исследована зависимость значения порога перколяции от аспектного отношения элемента;
-
разработан программный комплекс для проведения вычислительного эксперимента по нахождению порога перколяции и других основных характеристик моделей;
-
на основе полученных данных компьютерного эксперимента проведен теоретический анализ структуры полимерного нанокомпози-та, исследованы степень усиления (повышение модуля упругости) и возникновение электропроводности наноматериала вблизи критической концентрации.
Объекты и методы исследования. Проведено моделирование континуальной перколяции жестких сфер и эллипсоидов с проницаемыми оболочками.
Построена математическая модель перколяционной системы М =
пі ^^і PiPbondi
k,h), в которой случайным образом размещены элементы Rn С N х N х N одинакового размера с заданными параметрами: р — доля заполнения системы элементами, Pbond — вероятность возникновения связи между элементами (1 в случае, когда связь между элементами гарантирована перекрытием проницаемых оболочек и 0 ^ Pbond ^ 1 в случае, когда связь между элементами пропорциональна объему перекрытия проницаемых оболочек), к — аспектное отношение элемента (1 для сфер и >1 для вытянутых эллипсоидов вращения), h = d/r — отношение толщины проницаемой оболочки к радиусу вращения, кг — количество испытаний. Определяются следующие параметры модели:
вероятность возникновения перколяционного кластера, средний размер кластера, мощность и фрактальная размерность перколяционного кластера, среднее значение соседей элемента, распределение кластеров по размерам, распределение соседей по элементам, критические показатели.
Моделирование проводилось методом Монте-Карло. Для распределения элементов по кластерам был модифицирован алгоритм Хошена-Копельмана (J. Hoshen, R. Kopelman). Для генерации случайных чисел применялся алгоритм «вихрь Мерсенна»(период 219937 — 1) (М. Matsumoto). Нахождение перколяционного кластера проводилось с помощью «волнового алгоритма» (F. Rubin). При моделировании использовались периодические граничные условия по всем трем направлениям.
На защиту выносятся:
-
Математическая модель перколяционной системы, состоящей из жестких элементов с проницаемыми оболочками.
-
Модификация алгоритма Хошена-Копельмана для использования в континуальных перколяционных моделях.
-
Результаты моделирования континуальной перколяции сфер, в случае когда вероятность образования связей между сферами пропорциональна объему перекрытий проницаемых оболочек: зависимость порога перколяции от толщины проницаемой оболочки, зависимость вероятности возникновения связи от доли упаковки при различных значениях толщины проницаемой оболочки, распределение и среднее значение соседей Вс.
-
Результаты моделирования континуальной перколяции жестких вытянутых эллипсоидов с проницаемыми оболочками: зависимость порога перколяции от толщины проницаемой оболочки и аспектного отношения эллипсоида, распределение и среднее значение соседей Вс для эллипсоидов с к = 2, 3, 4, 5.
-
Комплекс разработанных программ для нахождения порога перколяции и основных характеристик моделей: для случая жестких сфер с проницаемыми оболочками (1-ая модель: связь между сферами обеспечивается перекрытием их проницаемых оболочек, 2-ая модель: связь между сферами пропорциональна объему перекрытия их проницаемых оболочек) и случая жестких вытянутых эллипсоидов с проницаемыми оболочками.
Научная новизна. Все выводы и результаты, приведенные в диссертации, являются оригинальными. Предложена новая математическая модель перколяционной системы жестких элементов с проницаемыми оболочками, отличающаяся от существующих следующим: для перколяционной задачи сфер впервые учитывается вероятность возникновения связи между сферами; для перколяционной задачи эллипсоидов впервые проведено исследование жестких вытянутых эллипсоидов вращения с проницаемыми оболочками. Кроме этого, предложенные модели близки к реальным системам, так как при моделировании не использовалась дискретизация пространства и сведение модели к решеточной (как это делалось в работах предшественников), и все элементы распределялись случайным образом без добавления каких-либо правил и дополнений (в работах предшественников для простоты использовались либо определенные законы распределения, либо сдвиг координат и др.).
Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы: исследованные модели и произведенные расчеты вносят вклад в теорию континуальной перколяции сфер и эллипсоидов; результаты моделирования можно использовать для теоретического исследования структуры и свойств полимерных нанокомпози-тов, содержащих дисперсные наночастицы. Практическая значимость работы обусловлена следующим. Разработан программный комплекс, позволяющий исследовать континуальную перколяцию жестких сфер и вытянутых эллипсоидов с проницаемыми оболочками. Проведена модификация алгоритма Хошена-Копельмана для континуальных перколя-ционных задач.
Личный вклад автора и роль соавторов. Автор принимал участие на всех этапах диссертационного исследования: в процессе создания математической модели перколяционной системы (совместно с научным руководителем), разработке программного комплекса, получении экспериментальных данных, их обработке и интерпретации, подготовке публикаций. Основные результаты работы, основные расчеты, положения и выводы, выносимые на защиту, принадлежат лично соискателю.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и иных научных мероприятиях: II сессия научной Школы-практикума «Технологии высокопроизводительных вычислений и компьютерного моделирования» в рамках VI Межвузовской конференции молодых ученых и специалистов, г. Санкт -Петербург, 14-17 апреля 2009 г.; Семнадцатая международная конференция «Математика. Компьютер. Образование.», г. Дубна, 25-30 ян-
варя 2010 г.; Неделя науки Астраханского государственного университета 2010 г.; Семинар «Моделирование физических свойств неупорядоченных систем: самоорганизация, критические и перколяционные явления», г. Астрахань, 25-29 сентября 2011 г.; Международный молодежный научный форум «Ломоносов-2012», г. Москва, 10-13 апреля 2012 г.; IV Международная научная конференция «Моделирование-2012», г. Киев, 16-18 мая 2012 г.; XX Международная конференция «Математика. Экономика. Образование.», г. Новороссийск, 27 мая — 3 июня 2012 г.; VI Международная школа-семинар «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»им. Е. В. Воскресенского, г. Саранск, 6-12 июля 2013 г.; XXI Всероссийская школа-конференция молодых ученых и студентов «Математическое моделирование в естественных науках», г. Пермь, 2-5 октября 2013 г.; Всероссийская научно-практическая конференция молодых ученых с международным участием «Современные проблемы математики и ее прикладные аспекты - 2013», г. Пермь, 29-31 октября 2013 г. Полностью работа доложена и обсуждена на:
семинаре при кафедре «Математического моделирования систем и процессов »Пермского национального исследовательского политехнического университета (г. Пермь);
семинаре при кафедре «Механика композиционных материалов и конструкций»Пермского национального исследовательского политехнического университета (г. Пермь);
научном семинаре Института механики сплошных сред УрО РАН (г. Пермь).
Публикации по теме диссертации. Основное содержание диссертационного исследования отражено в 12 публикациях соискателя, среди них: 3 статьи в журналах, рекомендованных ВАК для публикации материалов диссертации, 1 зарегистрированная программа.
Связь с научными проектами. В основу диссертационного исследования положены работы, выполненные в АГУ в 2007-2013 годах в рамках проектов РФФИ Na 09-01-97007-р_поволжье_а «Математическое моделирование фазовых переходов в системе наночастиц в перколяци-онном подходе», РФФИ Na 09-02-90440-Укр_ф_а «Скорелированная пер-коляция в системах с частицами анизотропной формы», РФФИ № 09-08-00822_а «Изучение влияния размеров и форм частиц на свойства неупорядоченных систем вблизи и за порогом перколяции», Министерства образования и науки России Na 1.588.2011 «Математическое моделирование процессов самоорганизации в системах микро- и наночастиц».
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, 1 приложения и списка литературы из 96 наименований. Объем диссертации — 168 страниц.
