Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическое моделирование интегрально-оптических планарных (регулярных) волноводов 12
1. 1 Моды тонкопленочных диэлектрических многослойных волноводов в декартовых координатах, выраженные через поперечные компоненты 18
1. 2 Моды тонкопленочных диэлектрических многослойных волноводов в декартовых координатах через продольные компоненты 24
1. 3 Граничные условия для мод многослойных диэлектрических волноводов в декартовых координатах через продольные компоненты 29
1. 4 Граничные условия для мод многослойных диэлектрических волноводов через продольные компоненты в вещественном представлении 36
1. 5 Граничные условия для мод многослойных диэлектрических волноводов в декартовых координатах через поперечные компоненты 38
1. б Тригонометрическая форма дисперсионных соотношений для трехслойных и четырехслойных волноводов через поперечные компоненты : 41
1. 7 Тригонометрическая форма дисперсионных соотношений для трехслойных и четырехслойных волноводов через продольные компоненты 49
1. 8 Задача отыскания устойчивого решения приближенной системы линейных алгебраических уравнений 52
Глава 2. Математическая модель плавно-нерегулярного интегрально-оптического трехмерного волновода 55
2. 1 Концепция; адиабатических мод для плавно-нерегулярного интегрально- оптического волновода : 58
2. 2 Вывод уравнений и выражений для вертикальных распределений направляемых мод 59
2. 3 Асимптотический метод исследования математической модели 63
2. 4 Системы уравнений и граничные условия в нулевом приближении 64
2. 5 Решения для вертикальных распределений направляемых мод в нулевом векторном приближении 66
2. 6 Граничные условия в нулевом векторном приближении : 69
2. 7 Приближение метода регулярных волноводов сравнения 76
2. 8 Вычисление полей направляемых мод плавно-нерегулярного волновода методом волноводов сравнения 81
2. 9 Первое приближение для вертикального распределения электромагнитного поля направляемых мод 84
Глава 3. Устойчивые методы решения задач, возникающих в матричных моделях интегрально-оптических волноводов 89
3. 1 Решение дисперсионных соотношений регулярного трехслойного волновода в матричной модели в продольных и поперечных компонентах, сравнение с решением тригонометрических дисперсионных соотношений 90
3. 2 Решение дисперсионных соотношений регулярного четырехслойного волновода. Дисперсионная зависимость при переходе от трехслойного волновода к четырехслойному 94
3. 3 Устойчивый метод вычисления полей направляемых мод регулярных волноводов 99
3. 4 Вычисление полей направляемых мод регулярных волноводов в комплексном представлении 104
3. 5 Вычисление эффективного показателя преломления обобщенной линзы Люнеберга 105
3. 6 Решение дисперсионного уравнения ТОВЛ Люнеберга в нулевом приближении 109
3. 7 Синтез профиля толщины ТОВЛ Люнеберга методом волноводов сравнения. Сравнение с результатами Саутвелла 112
3. 8 Устойчивое вычисление полей направляемых мод плавно-нерегулярных волноводов методом волноводов сравнения 115
3. 9 Вычисление вертикального распределения поля направляемых мод в нулевом приближении 118
3. 10 Вычисление вертикального распределения поля направляемых мод в первом приближении 120
3.11 Вычисление полного поля направляемых мод в нулевом и первом приближениях 122
Выводы 124
Литература 126
- Моды тонкопленочных диэлектрических многослойных волноводов в декартовых координатах через продольные компоненты
- Вывод уравнений и выражений для вертикальных распределений направляемых мод
- Решение дисперсионных соотношений регулярного четырехслойного волновода. Дисперсионная зависимость при переходе от трехслойного волновода к четырехслойному
- Устойчивое вычисление полей направляемых мод плавно-нерегулярных волноводов методом волноводов сравнения
Введение к работе
Основное содержание работы
Во введении приведены актуальность темы диссертационных исследований, цель работы, методы исследований, научная новизна и практическая значимость результатов, выносимые на защиту положения, обоснованность и достоверность полученных результатов, а также краткое содержание диссертации.
Приведен краткий аналитический обзор результатов по математическому моделированию регулярных и поперечно-нерегулярных волноводов. Обсуждаются результаты по продольно нерегулярным закрытым волноводам и по продольно нерегулярным открытым волноводам.
В первой главе диссертации после короткого обзора известных результатов и методов исследования плавно-нерегулярных в продольном направлении интегрально-оптических волноводов приводится обобщающий их метод адиабатических мод, а также формулируется задача исследования математической модели этого метода на примере (тонкопленочной обобщенной волноводной линзы) ТОВЛ Люнеберга. После рассмотрения асимптотического метода его исследования формулируется иерархия матричных моделей, более грубых, чем нулевое приближение асимптотического метода: метода волноводов сравнения и регулярных волноводов. Приведены полученные автором утверждения о предельных переходах между моделями иерархии.
Для полноты анализа моделей приведено последовательное й обоснованное изложение теории регулярных планарных диэлектрических многослойных волноводов в рамках матричной модели. Показано совпадение полученных результатов с результатами, приведенными в публикациях других авторов в случае совпадения геометрических и оптических параметров волноводов [1, 2, 3].
Проведена редукция уравнений Максвелла к двум независимым системам дифференциальных уравнений и граничных условий (одна для ТЕ-поляризации, другая для ТМ-поляризации), которая в свою очередь редуцируется к двум независимым однородным системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для амплитудных коэффициентов. Каждая однородная СЛАУ и «дисперсионное» условие ее разрешимости и составляют матричную модель для соответствующей поляризации.
Во второй половине первой главы показано, что каждое из приведенных в обширной литературе (см., например [1-4]) по регулярным планарным диэлектрическим многослойным волноводам «дисперсионное соотношение» совпадает с одним из вариантов «дисперсионных соотношений», полученных в матричной модели.
Приведенные здесь соотношения матричной модели позволяют вычислить амплитуды направляемых мод. Они позволяют также описать трансформацию
направляемой моды методом регулярных волноводов сравнения при переходе из трехслойного волновода в четырехслойный и обратно.
Во второй главе диссертации вначале приводятся сведения об адиабатической модели плавно-нерегулярного интегрально-оптического волновода с четвертым волноводным слоем переменной толщины h(y,z), необходимые для
формулировки цели диссертации и исследования устойчивых методов и алгоритмов численного решения задач адиабатической модели.
Далее формулируются математические задачи исследования математической модели адиабатических мод и формулируются методы и алгоритмы устойчивого приближенного решения возникающих при этом задач. Перейдем непосредственно к описанию математической модели адиабатических мод в плавно-нерегулярном волноводе на примере ТОВЛ Люнеберга.
Поле направляемой моды, распространяющейся вдоль оси z в регулярном волноводе, имеет вид:
E(x,y,z,t) = E(x)exp{i(u)t-k()j8z)}, H(x,y,z,t) = H(x)exp{i(cot-kQPz)}.
Поле направляемой моды в плавно-нерегулярном (в горизонтальном направлении распространения моды) интегрально-оптическом волноводе в методе «адиабатических мод» ищется в виде:
E(x,y,z,t)} \E(x;y,z)} exp{/[fiy-p(y,z)]}
H(x,y,z,t)\ \(x;y,z)\ JPh>z)
(0.1)
fy J \dz)
где fi(y,z) =
Подстановка (1) в уравнения Максвелла приводит к паре уравнений второго порядка для вертикальных (вдоль оси х) распределений продольных компонент поля направляемой моды Ez(x;y,z),Hz(x;y,z), параметрически зависящих от горизонтальных координат,
\ZZ J
( 2 э ( і ЛЛдн.
е.—
(0.2)
д2Е„ 2л 2 3
ZzPz
ЪЕ.
Іб)Є
\ZZ J J
d{ 1 \и с ( г Ъ( 1
— —т Я +- г2р—\—-
^ + ZEz=-pyZz-
(0.3)
Ъуух:
ySbZ
ty\Zz
+ГН=-рУХх
ICOJ1
и к следующим дифференциальным выражениям через Е,(x;y,z),Hz(x;y,z) для вертикальных распределений поперечных и вертикальных компонент поля:
^ч=|і_^, (0.4)
с dtdx єд2Е,
>2" """ ^,=^-^ (0.5)
dzdy
z х dzdx с dtdy
2„ Э2Я,
, (0.6)
(0.7)
ZZ2E,
d2E, и д2Н7
= 2- + - ї.
dzdx с dtdy
dzdy с dtdx
Для случаев, рассмотренных в диссертации, нерегулярность волновода удовлетворяет условию малости изменения коэффициента фазового замедления J3 на горизонтальных расстояниях порядка длины волны излучения Л:
|(v/J)|
max ^- = 5 «1. Следовательно, можно применить асимптотический по малому
параметру 5 метод решения. Получившиеся для (0.2)-(0.7) вклады нулевого и первого порядка малости по 8 являются моделями нулевого порядка для плавно-нерегулярного волновода и поправкой первого порядка к модели нулевого порядка. В нулевом приближении для продольных компонент справедливы уравнения:
^ + ^//-/^=0, (0.8) ^- + ko^ju-je2)Hz=Q, (0.9)
а для поперечных и вертикальных компонент дифференциальные выражения:
Я =
-*„V,Aff- ' к0ЦеМ-Аг) (Е^тфщ{-ік^-к^н^ (0Л1> к02(єМ-&2) е= 1 ikoJu—^ + k02je}JezE0z ax (0.12) Н--Щ^[-'к^ + к^Е\ (0ЛЗ) Особо обсуждается вид тангенциальных граничных условий для электромагнитного поля направляемых мод с учетом негоризонтальности касательных плоскостей в точках границ раздела слоев. Именно негоризонтальность вносит существенный вклад уравнения для амплитуд общих решений уравнений (0.8)-(0.9) в слоях волновода. Этот вклад приводит к тому, что матричные уравнения граничных условий зависят от профиля толщины ТОВЛ Люнеберга: h(y,z),dh/dy, dh/dz , и от фазы: (p{y,z),d(p/dy, др/dz . Следовательно, дисперсионные уравнения для направляемых мод перестают быть алгебраическими, как в случае регулярных волноводов, а становятся уравнениями в частных производных первого порядка. Вид выражений (0.10)-(0.13), зависящих как от Е,(x;y,z), так и от Н,(x;y,z), показывает, что даже в нулевом приближении ТЕ- и ТМ- поляризации остаются связанными, и их не удается описать независимыми моделями. С наибольшей очевидностью это следует из уравнений (0.2), (0.3), описывающих систему связанных осцилляторов, которая может быть решена в рамках метода связанных волн. Во второй главе приводится сравнение нулевого приближения с более грубым приближением и показывается его совпадение с методом волноводов сравнения. Далее приводится метод вычисления полей направляемых мод, как в нулевом приближении, так и в приближении, эквивалентном методу волноводов сравнения. В конце второй главы приводятся уравнения, и фундаментальные системы решений для продольных компонент полей направляемых мод в первом по порядку малости приближении. Выражения для четырех оставшихся компонент получаются из формул для вклада первого порядка малости асимптотического метода, приведенного в начале главы. В начале третьей главы приведены полученные автором утверждения об устойчивой разрешимости неточных однородных СЛАУ на основе поздних результатов А.Н. Тихонова [5, 6]. Далее приведены алгоритмы численного решения уравнений для базовых характеристик направляемых мод ТОВЛ Люнеберга, полученные в диссертации, а также численные реализации алгоритмов и результаты численных экспериментов. Для того чтобы получить базовые характеристики адиабатических мод в нулевом приближении необходимо решить несколько вспомогательных задач. Первая задача состоит в определении распределения (коэффициента фазового замедления) КФЗ внутри обобщенной линзы Люнеберга. Вторая задача - это трассировка лучей внутри ТОВЛ Люнеберга. Решив эти вспомогательные задачи, мы будем обладать всей необходимой вспомогательной информацией. Распределение коэффициента фазового замедления Р(г) ТОВЛ Люнеберга равно Р вне радиуса R, а внутри него удовлетворяет интегральному уравнению: 0(r)/fi = exp[aKp,F)], где P = rj3(r)/J3 и со{р,F) = - нелинейное уравнение решается методом деформированного многогранника Нелдера-Мида минимизации невязки й)(р, F) интеграл при этом вычисляется с использованием формул Ньютона-Котеса 8-го порядка. Вычисленное распределение КФЗ р(г) задает закон эволюции двумерных лучей в плоскости волновода yOz : d(R. лйу\ др. d(a. dz\ Ър. . -r\fi(y,z)-j-\ = -f-(y,z), — P(y,z)— =^(y>z). ds\ ds) ay ds\ dsj az В результате вычисления получены сеточные значения для семейства лучей yj(zk) и их наклонов Vj(zk). Вычисленные значения позволяют восстановить сеточное векторное поле (Py(yj(zk),zk),Pz(yj(zk),zk)y. Данное приближенное векторное поле вместе с распределением P(y,z) = P((y2 + z2)^2) формирует вместе со значениями ns, nf, п,, пс, d входные данные для вычисления выходных данных h(y,z), dh/dy(y,z), dh/dz(y,z) из дисперсионного уравнения. Тангенциальные граничные условия образуют однородную систему линейных алгебраических уравнений для амплитудных коэффициентов {А ,5 ] М(/3)(А,В)Т =0 относительно двенадцатимерного вектора (А,В)Т, которая обладает нетривиальным решением в случае, если определитель матрицы системы равен нулю: det(M (/3)) = 0. И сама матрица М(/3), и ее определитель det(M(/?)) зависят от дифференциального уравнения в частных производных относительно h и алгебраического уравнения относительно векторного поля /3. Приближенное решение данного уравнения предлагается искать в виде конечной комбинации экспоненциальных функций вида мУ,г)фехр методом наименьших квадратов по 4N параметрам {К(,y,-,z,,cj : Z(F^(A^'^);^(3't,Zt);ni,n/,n/,nc,^))2 -+ min . Значения /3m(y,z) и приближенные вычисленные значения h(y,z),dh/dy,dh/dz, при которых разрешима система линейных алгебраических уравнений, подставляем в матрицу системы. Полученную конкретную однородную систему линейных алгебраических уравнений решаем методом Тихоновской регуляризации: (М(/Зт)тМ(/Зт) + аї)(А,В)т=М(/Зт)т(А\,В0)тг что эквивалентно минимизации Тихоновского функционала \M({3J(AM\ +а\(АМ -{А\,В,)Т Вычисленные коэффициенты {А,.,!?.} вместе с /3(y,z) и вычисленным значением h(y,z) подставляем в формулы для компонент электромагнитного поля, что завершает этап вычисления вертикального распределения электромагнитного поля, приведенного в выражениях для нулевого приближения и в выражениях для первого приближения. Вычисленные вертикальные распределения полей подставляются в выражения для полных полей адиабатических мод, которые вычисляются вдоль сеточных траекторий двумерных лучей. Вычисленные значения полей адиабатических мод позволяют сформировать профили постоянной фазы мод, а также амплитудно-фазовые распределения мод в окрестности фокуса, вычисленного в приближении скалярного поля. В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе. Обзор результатов по математическому моделированию (теории) регулярных и нерегулярных волноводов Задачи изучения и проектирования волноведущих структур в акустике и электромагнетизме изучались на протяжении многих лет, как специалистами по прикладной акустике и прикладному электромагнетизму, в том числе и прикладной оптике, так и специалистами по прикладной математике. В« области полых волноводов с металлическими стенками задача распространения электромагнитных волн была полностью решена в серии работ А.Н.Тихонова и А.А.Самарского [6-10]. В это же время по теории регулярных волноводов были опубликованы с работы [11-13]. Математическое исследование закрытых и открытых волноводов электромагнитного излучения было продолжено в работах А.Г.Свешникова с соавторами [14-21], и в работах физиков [1, 22-24, 26]. По теории и применениям открытых планарных волноводов опубликован ряд монографий, содержащих большие разделы по теории регулярных вдоль оси распространения оптического излучения волноводов [2, 3, 4, 27-32]. Начало строгой математической теории волноведущих систем было положено в 1947-1948 годах классическими работами А.Н. Тихонова и А.А. Самарского, опубликованными в "Журнале технической физики" и в "Журнале экспериментальной и теоретической физики". В работе "О представлении поля в волноводе в виде суммы полей ТЕ и ТМ" было строго доказано, что любое электромагнитное поле в регулярном волноводе в области, свободной от внешних зарядов и токов, может быть представлено в виде суперпозиции поперечно-магнитных и поперечно-электрических волн. При решении задач о возбуждении открытых волноводов возникла необходимость адекватной формулировки условий на бесконечности, обеспечивающих однозначность решения. Эта задача решалась в работах А.Н. Тихонова, А.Г. Свешникова и др. Наряду с теорией регулярных волноведущих систем в конце сороковых -начале пятидесятых годов появился ряд работ, посвященных развитию методов расчета влияния поперечных нерегулярностей в волноводе на распространяющуюся в нем основную волну. Расчет данного класса нерегулярных волноводов потребовал разработки специальных математических методов. Одним из весьма эффективных оказался предложенный в 1958 году профессором А.Г. Свешниковым неполный метод Галеркина. Основой алгоритма построения приближенного решения задачи расчета поперечно нерегулярного волновода является переход от краевой задачи для уравнения в частных производных к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Причем в отличие от большинства работ в методе А.Г. Свешникова переход осуществляется не к бесконечной, а к конечной системе уравнений. Существенным является также то, что специальный выбор проекционных соотношений метода Галеркина позволяет, в отличие от большинства известных методов, провести строгое математическое доказательство сходимости метода при условиях гораздо более общих, чем это удается сделать в случае сведения задачи к бесконечной системе. Во второй половине прошлого века были заложены основы нерегулярных вдоль оси распространения оптического излучения волноводов. Эти работы можно разделить на следующие большие группы: волноводы с уединенными резкими нерегулярностями, волноводы со статистическими нерегулярностями и волноводы с плавными нерегулярностями. В последнем направлении наибольший вклад внесли работы Б.З. Каценеленбаума, обобщенные в работах [33-35] по плавно-нерегулярным закрытым волноводам и работы В.В. Шевченко по плавным переходам в открытых волноводах, опубликованные в работах [36, 37]. К ним примыкают работы [38-46]. Характерной особенностью волноводов с продольной нерегулярностью является то, что при прохождении волн через неоднородности происходит излучение в открытое пространство. Плавным переходом Б.З. Каценеленбаум и В.В. Шевченко называют такой переход между продольно регулярными участками волновода с различными параметрами, который осуществляется путем непрерывного (без скачков) изменения этих параметров. Плавный переход в волоконном волноводе, представляет, таким образом, неоднородный вдоль оси участок волновода. Задачу описания трансформации электромагнитного поля в таких переходах Б.З. Каценеленбаум [34] решил с помощью построенного им метода волноводов сравнения. Плавный переход в планарном волноводе может представлять неоднородный вдоль горизонтальной плоскости участок волновода. В.В. Шевченко [36] ограничился в своей книге рассмотрением неоднородных вдоль оси участков волновода и в случае планарного волновода. В книге [36] построен метод, позволяющий применить метод волноводов сравнения к классу открытых линий, свойства которых медленно меняются вдоль линии. Авторы работ [47-56] рассматривают частный случай открытых линий — многослойный тонкопленочный плавно нерегулярный интегрально-оптический волновод. Но плавные нерегулярности, рассмотренные ими, не ограничиваются частным случаем изменения «вдоль линии», рассмотренным авторами работ [34] и [36], а включают в себя произвольные плавные изменения вертикальных параметров многослойного интегрально-оптического волновода «вдоль горизонтальной плоскости». Такое расширение класса нерегулярностей переводит задачу из класса обыкновенных дифференциальных уравнений в класс дифференциальных уравнений в частных производных. В частном случае изменения вертикальных параметров многослойного интегрально-оптического волновода «вдоль линии» результаты [36] являются так называемым «горизонтальным приближением» метода «адиабатических мод», изложенного в работах [47-56]. Таким образом, метод «адиабатических мод» обобщает метод Шевченко для класса тонкопленочных плавно нерегулярных многослойных интегрально-оптических волноводов. Одним из достоинств разработанного метода оказывается отсутствие необходимости представлять искомое поле в виде интеграл и суммы полей волноводов сравнения. Оценки же, найденные Шевченко, оказались необходимыми для описания и обоснования метода и алгоритмов решения задачи описания трансформации электромагнитного поля при прохождении через нерегулярные участки интегрально-оптического волновода. Заметим, что описанные приближения оказываются применимыми и приводят к удовлетворительным результатам вычислений для широкого класса плавно нерегулярных волноводов. Именно таким методом Саутвелл [56, 57] вычислил переменную толщину дополнительного волноводного слоя на несимметричном регулярном трехслойном волноводе, обеспечивающую в «горизонтальном приближении» фокусировку падающей ТЕ0 моды на заданном фокусном расстоянии от центра тонкопленочной волноводной обобщенной линзы Люнеберга [58]. В своих исследованиях авторы работ [47-55] использовали сочетание асимптотического метода коротковолновых асимптотик [59, 60] и модифицированного метода осреднения [61]. Обзор современного состояния исследований интегрально-оптических открытых волноводов.и полученных результатов. Ранее в работах Каценеленбаума и др., Войтовича и др., Кинбера и др. и т.д. был разработан метод волноводов сравнения для описания распространения возмущенных волноводных мод в нерегулярных участках закрытого волновода. В данном методе разделение переменных производилось по поперечным волновым функциям невозмущенного волновода сравнения. Данный подход эквивалентен нулевому приближению метода адиабатических мод, огрубленному во всех пунктах его использования заменой тангенциальных граничных условий их горизонтальными проекциями. В дальнейшем мы будем для такого огрубления использовать название «матричная модель метода волноводов сравнения». Разработанный В.В. Шевченко метод анализа распространения электромагнитных волн в плавно-нерегулярных открытых волноводах является обобщением метода волноводов сравнения и также эквивалентен матричной модели метода волноводов сравнения. В настоящее время описание распространения возмущенных волноводных мод в нерегулярных участках трехмерного многослойного "интегрально-оптического волновода производится методами теории возмущения без предварительного разделения переменных [66, 95, 101, 108, 109, 111, 112, 136] (см. Н.П. Жук, Е.И. Голант и К.М. Голант, А. Снайдер и Дж. Лав, А.Б. Сотский и Л.И. Сотская, и т.п.), что приводит к необходимости анализировать сложные многократные интегралы, описывающие характеристики возмущенных волноводных мод. Нами установлено, что в нулевом приближении описания волноводные моды, линейно поляризованные в регулярном участке волновода, при прохождении через нерегулярный участок волновода деформируются таким образом, что их исходная поляризация сохраняется. Напротив, в первом приближении наряду с возмущениями нулевого приближения появляется эффект деполяризации исходных мод, превращающий их в слабо (адиабатически) гибридные моды. Предлагаемый нами подход учитывает векторный характер полей, т.е. позволяет вполне адекватно в отличие от традиционного скалярного рассмотрения описать реальные плавно-нерегулярные многослойные трехмерные волноведущие структуры. Важно отметить, что разрабатываемая нами теория и методы исследования применимы для анализа аналогичных структур из диэлектрических, магнитных и мета- материалов (в том числе состоящих из N слоев) в достаточно широком диапазоне электромагнитных длин волн, что является их несомненным преимуществом и отличает от ранее разработанных методов исследования подобных волноведущих структур [113-115]. Направляемые моды при распространении вдоль регулярного участка интегрально-оптического волновода являются независимыми, они не обмениваются энергией между собой и с окружающей волновод средой [1, 27]. На участке волновода с плавными нерегулярностями показателей преломления слоев или их толщин направляемая волноводная мода испытывает возмущение[155-161]. Эту слабо возмущенную моду можно рассматривать как «квазиволноводную» моду. Эта мода характеризуется тем, что в поперечном сечении волновода волна является стоячей, и количество узлов (нулей) напряженности электромагнитного поля остается неизменным при волноводном распространении моды. Квазиволноводные моды могут обмениваться энергией между собой и с окружающей средой [2, 4, 24, 26-29, 31, 32, 34, 36, 44, 48, 56, 57, 59, 62, 63]. Эта энергия составляет малую часть мощности, переносимой отдельными модами, что позволяет использовать для исследования плавно-нерегулярных волноводов приближенные методы (см., например, [4, 28, 32, 34, 36, 44, 56, 57, 59]). Для успешного решения задачи эффективной передачи энергии через различные элементы сопряжения (линзы, разветвители, призмы, мультиплексоры) необходимо учесть векторный характер полей на всех этапах решения электродинамической задачи распространения плоской монохроматической световой волны в планарной многослойной интегральной оптической структуре. Эффективность сопряжения, как известно, сильно зависит от согласования между полями до и после элемента сопряжения [2, 4, 24, 26, 27, 28, 29, 31, 32, 36,48, 116, 117]. Как показывает анализ таких процессов [2, 4, 26-29, 31, 32, 34, 36, 44, 48, 56, 57, 59, 62-66] моды плавно-нерегулярного участка волновода являются слабо гибридными квази-ТЕ и квази-ТМ модами [2, 31, 32, 48, 66]. Удержание в граничных условиях и в решении квазиволновых уравнений слагаемых, пропорциональных градиенту диэлектрической проницаемости, позволяет учесть векторный характер распространения монохроматического электромагнитного поля вдоль плавно-нерегулярных участков многослойного многомодового интегрально-оптического волновода [4, 27, 28, 31, 32, 64-66, 140-143]. Заметим, что векторное рассеяние волноводной моды в статистически нерегулярном волноводе рассмотрено достаточно подробно в работах [4, 28, 31, 32, 66, 118-122, 136], в том числе и при наличии шума [63]. Отметим, что развитие векторной трехмерной (3D) теории волноводного распространения и рассеяния света является одной из актуальных задач современной интегральной оптики и волноводной оптоэлектроники [2, 4, 24, 28, 29, 31, 32, 48, 62-66, 123-135]. Действительно, применение скалярного двухмерного (2D) волнового уравнения [1,4, 27, 34, 44, 56, 57] при переходе в субмикронный и тем более в нанометровый диапазон линейных размеров ограничивает возможности для решения задач анализа и синтеза элементов интегральных оптических устройств [48]. Интересные результаты получены в работах [67-70]. Они примыкают к методу адиабатических мод, но используют безкоординатный подход к записи основных соотношений. В предыдущем пункте мы получили решения ОДУ с постоянными коэффициентами, описывающие напряженности электромагнитного поля ТМ- и ТЕ-мод в регулярных многослойных волноводах. Эти напряженности записаны виде общих решений ОДУ с неопределенными амплитудными коэффициентами А,. и Вj. Решение электродинамической задачи описания распространения поляризованного монохроматического света во всем многослойном диэлектрическом волноводе, состоящем из нескольких слоев, является частным решением ОДУ в каждом из слоев и удовлетворяет тангенциальным граничным условиям на границах раздела регулярных горизонтальных слоев, то есть для компонент Ez и Н для ТМ-мод и для компонент Я, и Е для ТЕ-мод. Пусть границами раздела являются горизонтальные плоскости, пересекающие ось Ох в точках х = ах для границы между подложкой и волноводным слоем и в точке х — а2 для границы между волноводным слоем и покровным слоем в случае трехслойного волновода. В случае четырехслойного волновода в точке х = а2 проходит граница между первым и вторым волноводными слоями, а граница между вторым волноводным слоем и покрывным слоями проходит через точку х = а3. Особый интерес представит анализ выведенных ниже соотношений для случая перехода четырехслойного волновода в трехслойный, то есть при а3—а2—»0. С целью проведения указанного анализа выпишем полное решение электродинамической задачи, как для трехслойного, так и для четырехслойного диэлектрических волноводов. Полное решение получается при разрешении системы условий совместности общих решений в слоях, то есть системы тангенциальных граничных условий на границах раздела слоев. Граничные условия для трехслойного волновода Рассмотрим ТЕ-моду, записанную в продольных компонентах в декартовых координатах Для трехслойного волновода на границе х = ах между подложкой и волноводным слоем выполняются тангенциальные граничные условия. При этом для ТЕ-моды Ну=0 и Е, = О, так что значащими остаются граничные условия для Hzn Еу. Таким образом, 29 Уравнение (1.64) является алгебраическим трансцендентным уравнением относительно р, допускающим дискретное множество корней Дн,р",...,/3",... Здесь индекс j перечисляет корни в порядке их возрастания, а индекс Н фиксирует тот факт, что и матрица М Е и корни /3" относятся к описанию Н-мод (ТЕ-мод) трехслойного диэлектрического волновода. При фиксированной толщине d — —c волноводного слоя получаем фиксированные коэффициенты фазового замедления J3" ,J32H,...,j8",... Зависимость Р" от толщины волноводного слоя d принято называть дисперсионным соотношением, потому что эта зависимость является следствием зависимости Р от частоты изучаемого монохроматического света (см., например, [1, 22, 23, 24, 26] и др.). Приведем примеры такой зависимости. 30 Уравнение (1.70) является алгебраическим трансцендентным уравнением относительно Р, допускающим дискретное множество корней Д,Д,...,Д,... Здесь индекс j перечисляет корни в порядке их возрастания, а индекс Е фиксирует тот факт, что и матрица М}м и корни fif относятся к описанию Е-мод (ТМ-мод) трехслойного диэлектрического волновода. При фиксированной толщине d=a2—ax волноводного слоя получаем фиксированные коэффициенты фазового замедления Д,/?2,...,/??,... Зависимость /3j от толщины волноводного слоя d принято называть дисперсионным соотношением, потому что эта зависимость является следствием зависимости /? от частоты изучаемого монохроматического света (см., например, [1, 22, 23, 24, 26] и ДР-). Уравнение (1.70) имеет вещественный корень J3f при d d r для некоторого фиксированного значения d r, зависящего от ns,nf,nc и называемого толщиной отсечки (см. [2, 3,4, 27, 28] и др.). Толщины отсечек ТМ-мод и ТЕ-мод различны. При исследовании распространения электромагнитного излучения в волноводах, характеризующихся наличием выделенного направления распространения Oz, обычно приводят систему уравнений Максвелла к уравнениям второго порядка для пары потенциалов, соответствующих двум поляризациям электромагнитного поля. Обычно это делается с использованием электромагнитных потенциалов, векторного и скалярного, и векторов Герца, ориентированных вдоль направления Oz , электрического и магнитного. К данному представлению можно также прийти, применяя оператор ротора к обеим частям векторных уравнений Максвелла. В этом случае получаются векторные уравнения для напряженностей электрического и магнитного полей. Получающиеся волновые уравнения редуцируются к уравнениям Гельмгольца в случае монохроматического излучения. Для регулярных волноводов трехмерный оператор Лапласа методом разделения переменных приводится к виду суммы поперечного и продольного. Регулярность волновода вдоль направления Oz приводит к тому, что решения имеют вид и(х, у, z,t) = u(x,y)exp{iQX±ik0/3z}. Волноводными модами называют такие решения уравнений Максвелла указанного вида, для которых и(х,у), являющиеся решениями уравнения A1uj{x,y) + k (n2{x,y)-/3])uj{x,y) 0, (2.1) являются квадратично интегрируемыми. Таким образом, волноводные моды для каждой поляризации задаются собственными функциями и,(х,у) поперечного оператора Лапласа Ах. Для регулярных волноводов с круглым и прямоугольным сечением собственные функции двумерного уравнения Пуассона с граничными 55 условиями первого или второго рода хорошо изучены. Они и перечисляют все волноводные моды регулярного волновода. В случае планарного открытого волновода уравнение (2.1) сводится к задаче Штурма-Лиувилля на прямой, потенциал которой имеет разные асимптотики. В этом случае собственные функции отвечают собственным значениям, заключенным между значениями асимптотик. Их имеется конечное число для каждой поляризации. Основным результатом в теории регулярных волноводов является утверждение о представимости любого возбуждения электромагнитного ПОЛЯ в волноводе в виде линейной комбинации волноводных мод. Для закрытых волноводов он был получен А.Н. Тихоновым и А.А. Самарским. Для открытых волноводов с компактным сечением он был установлен А.Г. Свешниковым. Для планарных открытых волноводов он был установлен В.В. Шевченко. Среди нерегулярных волноводов можно выделить поперечно нерегулярные и продольно нерегулярные волноводы. Для поперечно нерегулярных волноводов регулярность вдоль направления Oz приводит к тому, что решения имеют вид u(x,y,z,t) = u{x,y)exp{i6tM±ik0j3z}. В этом случае поперечная часть волнового оператора отличается от двумерного оператора Лапласа и соответствующее уравнение лишь в исключительных случаях допускает аналитическое решение. Во всех остальных случаях оно решается приближенно и численными методами. Наибольшее признание получил неполный метод Галеркина, разработанный Свешниковым. Для продольно нерегулярных волноводов не удается для волноводных мод методом разделения переменных получить решения в виде u(x,y,z,t) = u(x,y)exp{iO)t±ik0j3z}. В случае закрытого волновода Б.З. Каценеленбаум предложил для их описания метод волноводов сравнения, который в принципиальных чертах повторяет адиабатический метод Борна-Фока. В этом методе решения для направляемых мод ищется в виде разложения по полному набору волноводных мод регулярного волновода сравнения. При этом и волноводные моды волновода сравнения, и коэффициенты разложения А,,В. выбираются зависящими от координаты z. В.В. Шевченко обобщил метод волноводов сравнения на открытые волноводы. В этом случае вместо дискретного спектра имеет место смешанный спектр, содержащий дискретную и непрерывную части. В теории Д. Маркузе рассеяние на поверхностных неровностях границ раздела сред продольно нерегулярных волноводов рассматривается как вид потерь на излучение, при котором нерегулярности волновода приводят к «перекачке» энергии распространяющихся мод в излучательные моды. Решение основано на методе связанных мод. Произвольное распределение поля нерегулярного волновода представляется в виде разложения по ортогональной системе мод регулярного (идеального плоского) волновода, в котором суммирование 56 проводится по направляемым (дискретным) модам, а интегрирование - по излучательным (непрерывным) модам. Метод Маркузе развит в работах М.С. Содхи, А.К. Гхатака и А.А. Егорова для случая случайных трехмерных нерегулярностей. Содха и Гхатак применили метод функций Грина для изучения преобразования мод в оптическом волноводе, распределение диэлектрической проницаемости в котором можно представить в виде суммы двух составляющих: первая соответствует идеальному волноводу, а вторая - учитывает отклонения от идеальности, обусловленные различными трехмерными нерегулярностями. Анализ проведен в предположении, что вклад от второй составляющей мал по сравнению с вкладом первой. Они использовали для решения поставленной задачи скалярное волновое трехмерное уравнение справедливое для любой декартовой компоненты электрического или магнитного полей, т.е. пренебрегли векторным характером полей и не рассматривали соответствующие поляризационные явления. Они также не учитывали влияния шума. А.А. Егоров предложил обобщение метода Маркузе для случая случайных трехмерных волноводных нерегулярностей, включающее случаи не только распространяющихся, но и затухающих мод излучения (в ближней зоне). Электродинамическая задача о рассеянии направляемой волноводной моды в нерегулярном трехмерном интегрально-оптическом волноводе при наличии шума решена методом связанных мод с помощью теории возмущений и метода функций Грина. В результате получены выражения для трехмерных векторных полей излучения, в том числе с учетом поляризацизационных явлений в нерегулярном интегрально-оптическом волноводе, а также выражение для потерь мощности направляемой моды на трехмерное векторное рассеяние. Как следствие может быть определено поляризационное строение рассеянных волн и найден коэффициент затухания направляемой моды. В регулярных волноводах волноводные моды линейно независимы. В поперечно нерегулярных волноводах приближенно найденные волноводные моды также линейно независимы. В методе волноводов сравнения оказываются зависимыми направляемые моды с одинаковым поперечным профилем, бегущие навстречу друг другу. Остальные моды остаются линейно независимыми. В плавно нерегулярном интегрально-оптическом волноводе (типа тонкопленочной волноводной линзы Люнеберга) экспериментально наблюдается интерференция различных направляемых мод. Это вынуждает к построению математической модели направляемых мод плавно нерегулярного интегрально-оптического волновода (типа тонкопленочной волноводной линзы Люнеберга), обеспечивающей слабую связь различных направляемых мод [144, 145, 146]. Такой моделью является модель метода адиабатических мод, разработанная А.А. Егоровым и Л.А. Севастьяновым. 7 2.1 Концепция адиабатических мод для плавно-нерегулярного интегрально-оптического волновода. При анализе распространения поляризованного монохроматического электромагнитного поля в многослойном интегрально-оптическом ЗБ-волноводе с плавно изменяющимися толщинами слоев в работах [47, 49-55] было использовано сочетание асимптотического метода коротковолновых асимптотик [59, 60] и модифицированного метода осреднения [61]. В четырехслойном волноводе граничные условия для ТЕ-моды образуют однородную систему 6 линейных алгебраических уравнений для шести неопределенных амплитудных коэффициентов Bs,Bj,B ,Bc: При этом матричные элементы зависят от коэффициента фазового замедления Р. Система (2.79) разрешима при условии: Граничные условия для ТМ-моды образуют однородную систему шести линейных алгебраических уравнений для шести неопределенных амплитудных коэффициентов As,Aj,Af,Ac: При этом матричные элементы зависят от коэффициента фазового замедления /3. Система (2.81) разрешима при условии: Трансцендентное алгебраическое уравнение (2.80) допускает дискретное множество корней Д,Д2Я ,...,ДЕ,... при фиксированных значениях толщин первого волноводного слоя d — a2—ax и второго волноводного слоя к — аг—а2. Трансцендентное алгебраическое уравнение (2.82) допускает дискретное множество корней J3" ,/3" ,...,/3",... при фиксированных значениях толщин первого волноводного слоя d = а2 — аг и второго волноводного слоя Ь — аъ—а2. При плавном изменении толщин основного d — a2-ax и дополнительного к = аъ—а2 волноводных слоев плавно изменяются соответствующие решения /3j(d,h) и Р" (d,h). Эти плавные зависимости являются дисперсионными соотношениями, у которых существуют толщины отсечек d r и d" . После вычисления P{0)(y,z) выражения для параметров полей в разных областях постоянства диэлектрической проницаемости получают конкретные численные значения. Однако неопределенные амплитудные множители пока не получили своих численных значений. Указанные амплитуды удовлетворяют однородной системе линейных алгебраических уравнений. Для решения однородной СЛАУ воспользуемся методом точной штрафной функции [92] и методом Тихоновской регуляризации [86]. равномерно по всей оси Ox при произвольных (y,z)e yOz (см. подробнее в [93]). Теперь, когда выполнен анализ решения в нулевом и первом приближениях для произвольной поляризации моды, попадающей из трехслойного регулярного 20-волновода в четырехслоиныи нерегулярный ЗБ-волновод, рассмотрим два частных случая. А именно, распространение ТЕ или ТМ-моды из регулярного трехслойного интегрально-оптического 20-волновода в четырехслоиныи плавно-нерегулярный интегрально-оптический ЗО-волновод (правая часть рисунка). Главное внимание уделим трансформации вертикального распределения полей . этих мод в четырехслойном волноводе. Начнем наше рассмотрение с ТЕ-моды. Коэффициент фазового замедления /3 удовлетворяет дисперсионному соотношению [51] det(MatrB) = 0 для шести амплитуд В продольной компоненты напряженности поля Н,. Допустимые значения /3 задаются корнями дисперсионного соотношения /3",/3",... (заданного в матричном виде с помощью матрицы MatrB). Они же являются корнями дисперсионного соотношения в общепринятой тригонометрической форме записи [1. 27]. На ЗЭ-нерегулярном участке сомножители Hz(x;y,z) и Ez(x;y,z), входящие в продольные компоненты полей Н и Е вида (2.4), удовлетворяют уравнениям (2.87), (2.88). В эти уравнения входят функции fx и /2, зависящие в случае ТЕ-моды от /3" за границей области нерегулярности. При переходе ТЕ-моды в область нерегулярности она деформируется и начинает удовлетворять дисперсионному соотношению det(MatrVB) = 0, включающему все двенадцать амплитуд Aj, Bj [51]. Решение нулевого приближения данного дисперсионного соотношения, совпадающее с одним из корней jB" на границе области нерегулярности, будем обозначать через j3"(y,z). Такое решение может быть найдено численно. Обозначим fx{j3"{y,zj) через /,я, a f2(ffi{y,z)) - через f". С учетом этих обозначений уравнения (2.87), (2.88) можно записать в следующем виде: Решения этих уравнений в первом приближении задаются выражениями (2.98), (2.99), в которых конкретизирована зависимость функций /j, /2 и х от коэффициента /3" {y,z). 86 Следовательно, при переходе ТЕ-моды в область нерегулярности и последующем распространении деформирующейся моды в нерегулярном 3D-волноводе амплитуды Hz(x;y,z), Е (x;y,z) и Hx(x;y,z) параметрически зависят через зависимость fl"(y,z) от горизонтальных аргументов (y,z). Одновременно амплитуды E,(x;y,z), Hy(x;y,z) и Ex(x;y,z) перестают быть равными нулю и также параметрически зависят через зависимость J3"(y,z) от переменных (y,z). Итак в нулевом приближении падающие моды сохраняют исходную линейную поляризацию, а в первом приближении происходит деполяризация падающей волноводной моды - она изменяет исходную поляризацию. В случае ТМ-моды коэффициент фазового замедления /3 удовлетворяет дисперсионному соотношению [51] det(MatrA) = 0 для шести амплитуд А. продольной компоненты напряженности поля Ez. Допустимые значения /3 задаются корнями дисперсионного соотношения Д,Д,... (они же являются корнями дисперсионного соотношения в общепринятой тригонометрической форме записи [1, 27]). На нерегулярном участке сомножители Hz(x;y,z) и Е,(х;у,z), входящие в продольные компоненты полей Н и Е вида (2.4), удовлетворяют уравнениям (2 87), (2.88). В эти уравнения входят функции /, и /2, зависящие в случае ТМ-моды от /? за границей области нерегулярности. При переходе ТМ-моды в область нерегулярности она деформируется и начинает удовлетворять дисперсионному соотношению det(MatrAB) = 0, включающему все двенадцать амплитуд Aj, В. [51]. Решение нулевого приближения данного дисперсионного соотношения, совпадающее с одним из корней /? на границе области нерегулярности, будем обозначать через fl%(y,z). Такое решение также ищется численными методами. Обозначим /, (Д {y,z)) через /, , а /2 (/? {y,z)) - через //. С учетом этих обозначений уравнения (2.87), (2.88) можно записать в следующем виде: Здесь также в нулевом приближении (2.87), (2.88) падающие моды сохраняют исходную линейную поляризацию, а в первом приближении происходит их деполяризация. В работе [66] исследуются собственные волны среднего поля в статистически нерегулярном волноводе. Полученные в ней решения имеют структуру, аналогичную структуре изучаемых нами квази-ТЕ и квази-ТМ волн. Выражения для сдвигов спектральных (собственных волновых) чисел получены в [66] методом теории возмущений (родственным асимптотическому методу, 87 используемому нами) в виде формального выражения через многократный интеграл. Мы получили подобные результаты в явном виде. Анализ распределения комплексных постоянных распространения, искажение их спектра, структуры соответствующих мод следует проводить на комплексной плоскости [66, 94-100]. Учет структуры изучаемых мод приводит уравнения (2.87), (2.88) для квази-ТМ моды к виду: Зная профиль толщины тонкопленочной волноводной линзы Люнеберга h(г), вычисленный в рамках метода волноводов сравнения, мы можем подставить полученные численные значения в однородную систему линейных алгебраических уравнений M (j3(r),d,h(r))(A(r),B{r)) =0. При каждом фиксированном г однородная система линейных алгебраических уравнений решается с помощью программного модуля, реализованного для регулярных волноводов по методу Тихоновской регуляризации: Рассмотрим теперь процедуру вычисления полей направляемой моды тонкопленочной волноводной линзы Люнеберга при трансформации направляемой моды вдоль семейства лучей. При перемещении вдоль каждого из лучей y-(z) мы в разных точках траектории оказываемся при разных значениях г и при разных толщинах h(г) дополнительного волноводного слоя. Здесь следует отметить, что в реальной физической тонкопленочной волноводной линзе Люнеберга поле направляемой моды плавно деформируется при движении волнового фронта вдоль семейства траекторий. Это значит, что при переходе от точки \yj\z(j,z{\ к точке {yj{zJk+l),zJk+l) для вычисления поля в новой точке с амплитудными коэффициентами Ак+1,Вк+1 мы должны в качестве А\,В0 брать амплитудные коэффициенты Ак,Вк поля в предыдущей точке. Таким образом, для вычисления трансформации вертикального распределения поля направляемой моды вдоль траектории };Дг/) мы должны конкретизировать Тихоновский функционал в виде: Полученный в п.3.7. набор данных \d,ht ( ), Д (г)] определяет дисперсионную зависимость, которую мы используем для вычисления полей направляемых мод. 1. Имея набор данных {d,/i,(г),Д.(г)], мы можем вычислять элементы матрицы (комплексные числа). 2. Вычисление полей производится для всей дисперсионной кривой. Для расчета амплитудных коэффициентов полей в первой точке задаем начальное приближение. 3. Вычисляются на основе набора данных дисперсионной кривой элементы матрицы, описывающей искомую СЛАУ. 4. Элементы матрицы представляют собой комплексные числа. Поэтому необходимо модифицировать штрафной функционал. Перевести его область значений из комплексной области в действительную. При этом необходимо минимизировать не только невязку, но и расстояние между амплитудными векторами в текущей и в предыдущей точках дисперсионной кривой. Для первой точки в роли предыдущей точки выступает начальное приближение. 5. Методом Нелдера-Мида (деформируемого многогранника) находим для каждой точки минимум штрафной функции. Соответственно имеем значения амплитудных коэффициентов. 6. Подставляем амплитудные коэффициенты в вид решения в каждом диэлектрическом слое. Полученные профили выводим на экран. Можно видеть, что вертикальное распределение электромагнитного поля направляемой моды действительно плавно трансформируется при перемещении из точки в точку двумерной траектории при перемещении фазового фронта направляемой моды вдоль плавно-нерегулярного участка тонкопленочнои волноводной линзы Люнеберга. Зная профиль толщины тонкопленочной волноводной линзы Люнеберга h(y,z), вычисленный в рамках нулевого приближения метода адиабатических мод, мы можем подставить полученные численные значения в однородную систему линейных алгебраических уравнений М (j3(y,z),d,h(y,z))[A{y,z),B(y,z)) = 0. Рассмотрим теперь процедуру вычисления полей направляемой моды тонкопленочной волноводной обобщенной линзы Люнеберга при трансформации направляемой моды вдоль семейства лучей. При перемещении вдоль каждого из лучей } j(z) мы в разных точках траектории оказываемся при разных значениях профиля толщины h(у, z) дополнительного волноводного слоя. Как и в случае модели волноводов сравнения, для вычисления трансформации вертикального распределения поля направляемой моды вдоль траектории уДгЛ мы должны конкретизировать Тихоновский функционал в виде: Алгоритм расчета вертикального распределения полей в нулевом приближении модели адиабатических мод. Ранее был получен набор данных ,йДг),Д (г)}, определяющий дисперсионную зависимость. 1. Имея набор данных {of,/z. (г),Д. (г)], мы можем вычислять элементы матрицы (комплексные числа). 2. Вычисление полей производится для всей дисперсионной кривой. Для расчета амплитудных коэффициентов полей в первой точке задаем начальное приближение. 3. Вычисляются на основе набора данных дисперсионной кривой элементы матрицы, описывающей искомую СЛАУ. 4. Элементы матрицы представляют собой комплексные числа. Поэтому необходимо модифицировать штрафной функционал. Перевести его область значений из комплексной области в действительную. При этом необходимо минимизировать не только невязку, но и расстояние между амплитудными векторами в текущей и в предыдущей точках дисперсионной кривой. Для первой точки в роли предыдущей точки выступает начальное приближение. 5. Методом Нелдера-Мида (деформируемого многогранника) находим для каждой точки минимум штрафной функции. Соответственно имеем значения амплитудных коэффициентов. 6. Подставляем амплитудные коэффициенты в вид решения в каждом диэлектрическом слое. Полученные профили выводим на экран. Реализация данного программного модуля в Delphi позволила получить следующие численные результаты.J^"(f ffifc Данное'2'dx -> mm,
вещественного параметра j3e[ns,n,]. Дисперсионное уравнение det(M)=0 имеет
вид FDisp (/3, /3y,/3z;h, dh/ду, dh/bz ;ns,nf,nl,nc,d) = 0 нелинейногор^-у-г.>2}{Ш ?min.Моды тонкопленочных диэлектрических многослойных волноводов в декартовых координатах через продольные компоненты
Вывод уравнений и выражений для вертикальных распределений направляемых мод
Решение дисперсионных соотношений регулярного четырехслойного волновода. Дисперсионная зависимость при переходе от трехслойного волновода к четырехслойному
Устойчивое вычисление полей направляемых мод плавно-нерегулярных волноводов методом волноводов сравнения
Похожие диссертации на Компьютерное моделирование полей направляемых мод тонкопленочной обобщенной волноводной линзы Люнеберга
