Содержание к диссертации
Введение
1 Система Глуховского-Должанского, описывающая конвекцию жидкости во вращающейся эллипсоидальной полости 9
1.2 Система Глуховского-Должанского и обобщенная система Лоренца 14
2 Аттракторы в системе Глуховского-Должанского 16
2.1.1 Динамические системы, заданные системами дифференциальных урав
2.1.4 Самовозбуждающиеся и скрытые колебания 21
2.2 Скрытый аттрактор в системе Глуховского-Должанского 23
2.2.1 Область устойчивости состояний равновесия 23
2.2.2 Сценарий перехода к хаосу и локализация самовозбуждающегося ат
2.2.3 Аналитико-численная процедура локализации скрытого аттрактора 29
3 Вычисление ляпуновской размерности аттракторов 32
3.1 Хаусдорфова, фрактальная и ляпуновская размерность аттракторов 32
3.2 Гипотеза о ляпуновской размерности аттракторов систем Гёсслера и системы
3.2.1 Системы Гёсслера 34
3.2.3 Численная проверка гипотезы о ляпуновской размерности 38
4 Формула ляпуновской размерности аттрактора системы Глуховского Должанского 41
4.1 Функции Ляпунова в теории размерности аттракторов 41
4.2 Оценка ляпуновской размерности аттрактора обобщенной системы Лоренца
4.3 Формула ляпуновской размерности аттрактора системы Глуховского Должанского 50
Заключение 57
А Реализация алгоритма вычисления ляпуновских показателей и проверки гипотезы Леонова 58
А.1 Вычисление ляпуновских показателей алгоритмом Бенеттина 58
А.2 Вычисление ляпуновских показателей алгоритмом Стюарта 60
Б Реализация алгоритма локализации скрытых аттракторов в системе Глуховского-Должанского 65
Список литературы
- Система Глуховского-Должанского и обобщенная система Лоренца
- Скрытый аттрактор в системе Глуховского-Должанского
- Гипотеза о ляпуновской размерности аттракторов систем Гёсслера и системы
- Формула ляпуновской размерности аттрактора системы Глуховского Должанского
Введение к работе
Актуальность темы.
Важную роль в нелинейной динамике играет вопрос о локализации предельных множеств в фазовом пространстве динамической системы. Классические аттракторы, обнаруженные в известных динамических системах Лоренца, Рёсслера, Чуа и др. оказались самовозбуждающимися, т. е. возбуждались из окрестности неустойчивых состояний равновесия. Для локализации таких аттракторов применяется стандартная вычислительная процедура, в которой после переходного процесса траектория, описывающая поведение системы, начинающаяся в малой окрестности неустойчивого состояния равновесия, притягивается к аттрактору и тем самым его визуализирует.
Позднее были открыты другие типы аттракторов, названные скрытыми аттракторами. Бассейн притяжения таких аттракторов не пересекается с малыми окрестностями неустойчивых состояний равновесия. Поэтому численная локализация таких аттракторов является гораздо более сложной задачей и требует разработки специальных методов. Таким образом, локализация и анализ скрытых аттракторов в системах является актуальной задачей.
В последние два десятилетия известный в теории устойчивости прямой метод Ляпунова показал свою эффективность при анализе размерностей аттракторов динамических систем. Для ряда известных динамических систем построение специальных функций Ляпунова позволило получить верхние оценки, а для других — точные формулы ляпуновской размерности аттракторов. Это делает актуальным дальнейшее применение этого подхода для системы Глуховского-Должанского, которая является математической моделью конвекции жидкости во вращающейся эллипсоидальной полости при внешнем нагреве. Эта система, в отличии от системы Лоренца (являющейся моделью двумерного конвективного потока), описывает трехмерный конвективный поток, который может быть интерпретирован как модель океанских течений.
Цели работы. Разработка метода локализации скрытого аттрактора и построение функции Ляпунова для оценки его размерности в системе Глуховского-Должанского.
Численная проверка гипотезы о достижении максимума ляпуновской размерности аттрактора в стационарной точке для системы Глуховского-Должанского и двух типов систем Рёсслера.
Методы исследования. Методы локализации скрытых аттракторов в системе Глуховского-Должанского включают в себя аналитические методы построения области устойчивости их состояний равновесия и численные
методы локализации последовательностей аттракторов.
Для получения формулы ляпуновской размерности аттрактора использовался подход, основанный на прямом методе Ляпунова и введении в оценки размерностей аттракторов функций Ляпунова.
Основные положения, выносимые на защиту:
-
Алгоритм численной локализации скрытых аттракторов для системы Глуховского-Должанского, реализованный в пакете MATLAB.
-
Алгоритм численной проверки гипотезы о достижении максимума ля-пуновской размерности аттрактора в стационарной точке для системы Глуховского-Должанского и двух типов систем Рёсслера.
-
Точная формула ляпуновской размерности глобального аттрактора в системе Глуховского-Должанского.
Научная новизна. Пункты 1-3, перечисленные в положениях, выносимых на защиту, являются новыми и получены автором самостоятельно.
Теоретическая и практическая значимость. В диссертации для системы Глуховского-Должанского построены новые классы функций Ляпунова, позволяющие получить точную формулу ляпуновской размерности аттрактора этой системы.
Разработанный в диссертации алгоритм позволил найти значения параметров системы Глуховского-Должанского, которые соответствуют существованию скрытого аттрактора, и визуализировать его.
Достоверность изложенных в работе теоретических результатов обеспечивается их строгим математическим доказательством.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международных конференциях "The Seventh International Conference on Diferential and Functional Diferential Equations"(Россия, Москва – 2014), "13th International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics"(Greece, Rhodes – 2015).
Также результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры прикладной кибернетики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.
Результаты диссертационной работы были получены в рамках выполнения проектов Федеральной целевой программы "Научно и научно-педагогические кадры инновационной России"на 2009–2013 годы, Санкт-Петербургского государственного университета (проект 6.38.505.2014) и Российского научного фонда (проект 14-21-00041).
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 5 публикациях [–], 3 из которых опубликованы в журналах, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией [–].
В работе [] диссертанту принадлежит разработка численного алгоритма для проверки гипотезы Леонова и реализация проверки гипотезы для двух из трех исследуемых систем Рёсслера, соавторам принадлежат постановка задачи и остальные результаты. В работе [] диссертанту принадлежит реализация алгоритмов и компьютерное моделирование, соавторам — постановка задачи. В работе [] диссертанту принадлежит построение области существования самовозбуждающийхся аттракторов в системе, реализация алгоритма локализации скрытых аттракторов и компьютерное моделирование, а также теоретические результаты, связанные с оценкой размерности аттракторов; постановка задачи и остальные результаты принадлежат соавторам. В работе [] диссертанту принадлежит теоретические результаты по построению подходящих функций Ляпунова, формулировки и доказательства теорем, соавторам — постановка задачи.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и двух приложений. Полный объем диссертации 83 страницы текста с 19 рисунками и 1 таблицей. Список литературы содержит 159 наименований.
Система Глуховского-Должанского и обобщенная система Лоренца
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международных Также результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры прикладной кибернетики математико-механического факультета СПбГУ.
Результаты диссертационной работы были получены в рамках выполнения проектов Федеральной целевой программы "Научно и научно-педагогические кадры инновационной России"на 2009-2013 годы, Санкт-Петербургского государственного университета (проект 6.38.505.2014) и Российского научного фонда (проект 14-21-00041).
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 7 публикациях [16, 29-34], 4 из которых опубликованы в журналах, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией [16,29,31,32].
В работе [29] диссертанту принадлежит разработка численного алгоритма для проверки гипотезы Леонова и реализация проверки гипотезы для двух из трех исследуемых систем Рёсслера, соавторам принадлежат постановка задачи и остальные результаты. В работе [31] соавторам принадлежит постановка задачи, диссертанту — реализация алгоритмов и компьютерное моделирование. В работе [16] диссертанту принадлежит построение областей устойчивости состояний равновесия исследуемых систем, реализация алгоритма локализации скрытых колебаний и компьютерное моделирование, а также теоретические результаты, связанные с оценкой размерности аттракторов. Постановка задачи и остальные результаты принадлежат соавторам. В работе [32] соавтору Г. А. Леонову принадлежит постановка задачи, диссертанту — теоретические результаты по построению подходящей функции Ляпунова, формулировки и доказательства теорем. В работах [33,34] диссертанту принадлежит локализация скрытого аттрактора в системе Рабиновича, соавторам принадлежат постановка задачи и остальные результаты.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и двух приложений.
В первой главе рассматривается задача конвекции вязкой несжимаемой жидкости, заключенной внутри эллипсоида и находящейся в условиях стационарного неоднородного внешнего нагрева. Трехмодовая модель, описывающая эту задачу и предложенная А.Б. Глу-ховским и Ф.В. Должанским [10], получается из уравнений Навье-Стокса с помощью применения метода Галеркина. В главе приведен подробный вывод этой модели, рассматривается связь этой системы с обобщенной системой Лоренца. Вторая глава диссертации посвящена локализации скрытых аттракторов в фазовом пространстве системы Глуховского-Должанского. Раздел 2.1 посвящен введению необходимых определений и теорем. В разделе 2.2 для системы Глуховского-Должанского аналитически строится область существования скрытых аттракторов и численно проводится локализация скрытого аттрактора.
Третья глава диссертации посвящена численному подтверждению гипотезы о достижении максимума ляпуновской размерности аттрактора в стационарной точке для системы Глуховского-Должанского и двух систем Рёсслера.
Четвертая глава посвящена оценке размерностей аттракторов, возникающих в обобщенной системе Лоренца и системе Глуховского-Должанского. Раздел 4.1 посвящен введению необходимых теорем. В разделе 4.2 рассмотренные в предыдущем разделе теоремы применяются для получения верхней оценки ляпуновской размерности аттрактора обобщенной системы Лоренца и вывода точной формулы ляпуновской размерности аттрактора системы Глуховского-Должанского.
В заключении приведены основные результаты работы. В приложении представлены исходники кода всех численных процедур, применяемых в рамках данной диссертационной работы. В приложении А дан код алгоритма вычисления ляпуновских показателей и проверки гипотезы Леонова. В приложении Б — код алгоритма локализации скрытых аттракторов в системе Глуховского-Должанского. Код написан в пакете математических вычислений MATLAB. Глава 1
Система Глуховского-Должанского, описывающая конвекцию жидкости во вращающейся эллипсоидальной полости
Опираясь на работы [10,35], приведем здесь подробный вывод системы Глуховского-Должанского из задачи о конвекции нагреваемой жидкости во вращающейся эллипсоидальной полости. В общем виде физическая постановка этой задачи выглядит следующим образом. Вязкая несжимаемая жидкость, ограниченная поверхностью эллипсоида, уравнение которого имеет вид S(xu х2, х3) = I — ) +( —) +( — ) -1 = 0, аг а2 а3 0, находится в условиях стационарного неоднородного внешнего нагрева. Эллипсоид вместе с источниками тепла приведен в состояние равномерного вращения с угловой скоростью Г20 вокруг оси, проходящей через его центр инерции и составляющей постоянный угол а с вектором ускорения силы тяжести g, неподвижным относительно эллипсоида. Величина Г20 предполагается такой, что центробежными силами можно пренебречь по сравнению с влиянием гравитационного поля.
Поведение такой системы описывается уравнениями гидродинамики в приближении Бус-синеска [35]. Эта модель состоит из уравнений Навье-Стокса и уравнения теплопроводности где v — вектор скорости течения, р и /3 — средняя плотноств и коэффициент объемного расширения жидкости соответственно, Т — отклонение температурві от некоторого постоянного значения То, определяемого конкретными условиями задачи, f — внутренние вязкие силы, для которвгх V х f т 0, к — приток тепла к единице массві жидкости за счет внешнего нагрева и теплопроводности, которвій предполагается линейной функцией пространственнвгх координат (хі, Х2, хз), ср — уделвная теплоемкоств при постоянном давлении, V — оператор набла, г — время. Поступление энергии от внешних источников тепла к жидкости задется по закону Нвютона-Рихмана — = ц(Т-Т), ср где /і — эффективный коэффициент теплопроводности, обратная величина которого определяет характерное время затухания в неподвижной среде отклонений от равновесной температурві Т. Последняя предполагается заданной линейной функцией пространственнвгх координат.
С помощвю метода Галеркина решение системы (1.1) сводится к решению конечномерной системы обыкновенных дифференциалвных уравнений. Так как движение реалвной жидкости при определеннвгх условиях хорошо описвівается линейным (по координатам) полем скоростей, то решение исходной системы (1.1) ищется в классе функций, удовлетворяющих условиям
Скрытый аттрактор в системе Глуховского-Должанского
в «п. Т. о., по теореме Следуя работам [5,16,48] введем понятие динамической системы. Рассмотрим автономную систему дифференциальных уравнений = f(x) (2-1) где f : Шп — Шп — непрерывная вектор-функция, удовлетворяющая локальному условию Липшица Пикара (см., например, [49,50]) для любого х0 Є «п существует единственное решение x(t,x0) дифференциального уравнения (2.1) с начальным условием х(0,Хо) = Хо, которое задано на некотором конечном интервале: t Є / С Ш. По теореме о непрерывной зависимости от начальных данных [49, 50] x(t,Xo) непрерывно зависит от х0.
Для изучения предельного поведения траекторий и вычисления предельных величин, характеризующих траектории, решения (2.1) рассматриваются при t — +оо или при t — ±ос. Вообще говоря, для произвольных квадратичных систем существование решений при t Є [to, + оо), не влечет существование при t Є (—ос, to] (например, молено рассмотреть классический одномерный пример х = х1 или многомерные примеры из [51] про полноту квадратичных полиномиальных систем). Известно [52], что если f непрерывно дифференцируемая (f Є С1), то f является локально Липшицевой в W1. Также известна следующая теорема о продолжимости решений системы дифференциальных уравнений
Теорема 1 ( [53]). Если функция f : «п «п является локально Липшицевой, тогда для любого х0 Є Шп решение х(-, х0) : I - Шп уравнения (2.1) существует на максимальном временном интервале I = (t_, t+) Є Ш, где -оо L 0 и 0 t+ +сю. .ЕЬш t+ +; тогда x(t,x0) -) оо при t -) t+ и, если t_ -ос, тогда x(t,x0) -) оо n t -) t_.
Из этой теоремы следует, что решение дифференциального уравнения (2.1) продолжимо до тех пор, пока оно остается ограниченным.
Для удобства введем множество значений времени Т Є {R,R+}. Существование и единственность решений (2.1) при всех t Є Т обеспечивается, например, глоболъной Липшецево-стъю вектор-функции f в W1. Еще одним эффективным методом для доказательства ограниченности решений при t Є Т является построение функций Ляпунова.
Известно [49,50,54], что, если выполнены условия существования и единственности для всех t Є Т, то 1) для решения (2.1) справедливо следующее групповое свойство x(t + s,x0)=x(t,x(s,x0)), Vt,seT (2.2) и 2) по теореме о непрерывной зависимости решения дифференциального уравнения от на чальных данных х(-, -):ТхГч W1 является непрерывным отображением. Таким образом, если решения системы дифференциальных уравнений (2.1) существуют и удовлетворяют групповому свойству (2.2) при всех t Є Т, то система (2.1) порождает динамическую си стему [55] на фазовом пространстве (№п, ). Здесь х = л/xj -\ \- х\ евклидова норма вектора х = (хі,... ,хп) Є Шп, порождающая метрику в Шп. Далее для сокращения вместо динамическая система, порожденная дифференциальным уравнением (2.1) будем писать динамическая система (2.1). В качестве начального момента времени естественно выбирать х(0,х0) =х0.
Рассмотрим систему (1.11). Правая чать (1.11) непрерывно дифференцируемая в W1 из чего следует, что она является локально Липшецевой в W1 (но не глобально Липшецевой W\ т.к. достаточно рассмотреть случай, когда х = y,z = 0 и выбрать точки {у,у,0) и (0,0,0), чтобы показать, что неравенство в условии Липшица не выполняется). По аналогии с результатами для системы Лоренца для системы (1.11) можно доказать существование её решений при всех t Є К, т.е. показать, что система (1.11) обратима. Для этого можно использовать следующую функцию Ляпунова (см. подраздел 3.2.2)
Таким образом, для системы (1.11) можно переходить к изучению предельного поведения её траекторий. 2.1.2 Аттракторы динамических систем
Понятие аттрактора возникает в теории динамических систем при изучении предельного поведения их траекторий. Далее дадим определение аттрактора, следуя работам [5,6,56-60].
Определение 1. Будем говорить, что множество К С W\ К 0 является положительно инвариантным для динамической системы (2.1), если
Замечание 1. Так как замыкание локально притягивающего инвариантного множества К тоже является локально притягивающим инвариантным множеством, то в определении аттрактора для единственности предполагается замкнутость множества К. Иногда в определении аттрактора свойство замкнутости опускается (см. [61]). Кроме того, также иногда опускается свойство ограниченности (см. [62]). Например, аттрактор в системе, описывающей движение маятника не ограничен в фазовом пространстве R2 (однако, он ограничен в цилиндрическом фазовом пространстве). Неограниченные аттракторы возникают при изучении неавтономных систем дифференциальных уравнений в расширенном фазовом пространстве. Отметим, что если динамическая система определена для t Є Ш, то локально притягивающее инвариантное множество К состоит только из целых траекторий, т.е. если х0 Є К, то х(, х0) Є К для V Є R (см. [60]).
Замечание 2. Из определения следует, что глобальный В-аттрактор также является глобальным аттрактором. Поэтому целесообразно ввести понятие минимального глобального аттрактора (и соответственно минимального аттрактора), т.е. наименьшего замкнутого ограниченного инвариантного множества, обладающего свойством 2 (или свойством 1). Далее под аттракторами (и глобальными аттракторами) будут пониматься именно минимальные аттракторы (минимальные глобальные аттракторы).
Определение 3. Для аттрактора К бассейном притяжения называется множество начальных состояний ВІК) С Шп, такое что
С вычислительной точки зрения, проверка свойства 1 для всех начальных состояний фазового пространства динамической системы не представляется возможной. Поэтому рассматривается естественное обобщение понятия аттрактора для случая более слабых условий притяжения: для почти всех точек или для множеств положительной борелевской конечной меры (см., например, [63]). Также рассматриваются траекторные аттракторы [64-66].
Обычно аттрактор (или глобальный аттрактор) наблюдаются в численных экспериментах при интегрировании системы (2.1). Понятие В-аттрактора чаще рассматривается в теории размерности, где используются покрытия инвариантных множеств замкнутыми шарами. Из условия равномерного притяжения (свойство 4) следует, что глобальный В-аттрактор содержит стационарное множество (S) и его неустойчивое многообразие WU(S) = {х0 Є Rn I lim cop x xo)) = 0} (см., например, [59,60]). Это свойство верно и для В-аттрактора, если рассматриваемая в свойстве 3 окрестность К (є) содержит некоторые стационарные точки из S. С вычислительной точки зрения, проверка свойства 3 также является сложной задачей. Поэтому если бассейн притяжения содержит неустойчивые многообразия стационарных точек, то численно обнаруженный минимальный аттрактор и неустойчивое многообразие, которое к нему притягивается, могут рассматриваться как численное приближение В-аттрактора.
Гипотеза о ляпуновской размерности аттракторов систем Гёсслера и системы
Для проверки гипотезы о ляпуновской размерности были реализованы две численные процедуры - алгоритм Бенеттина [132, 133] (см. Приложение А.1) и алгоритм Стюарта [134,135] (см. Приложение А.2) - для расчета приближенного спектра ляпуновских показателей. Используя спектр ляпуновских показателей, можно вычислить [130,136,137] локальную ляпуновскую размерность динамической системы, заданной дифференциальным уравнением (2.1), в точке (3.1). Локализовав (численно или аналитически) аттрактор в кубе и выбрав на кубе сетку точек с достаточно малым шагом, можно посчитать ляпуновскую размерность каждой точки сетки, вычислить максимум из полученных значений (следуя формуле (3.2)) и сравнить полученное значение с локальной ляпуновской размерностью в стационарной точке. Согласно гипотезе полученный максимум не должен превосходить значение локальной ляпуновской размерностью в стационарной точке.
Отметим, что для нелинейных систем (3.3) и (1.10) не существует точных формул, задающих решения этих систем в общем виде. Поэтому рассматриваются приближенные решения, получаемые численным интегрированием систем, основанным на различных разностных схемах и более сложных методах [138,139]. Для системы Рёсслера (3.3.2) задача о соответствии её аналитического решения и численного решения была изучена в [140], где для ряда случаев оказалось возможным показать их топологическую эквивалентность.
В этой работе для интегрирования систем (3.3) использовались конечно-разностные схемы Рунге-Кутты порядка 4-5 с адаптивным шагом (ode45). Абсолютная и относительная погрешности (abs_tol, reljbol) были выбраны равными 10"8 для обеспечения хорошей точности при интегрировании. Дальнейшее уменьшение этих параметров сильно увеличивало время выполнения процедуры. Параметр процедуры h, отвечающий за время интегрирования на каждой итерации, выбирался достаточно малым, чтобы столбцы фундаментальной матрицы оставались линейно независимыми. Параметр К - количество итераций - должен (а) Инвариантное множество системы (3.3.1) (b) Инвариантное множество системы (3.3.2) Рисунок 3.2: Локализация инвариантных множеств систем (3.3) быть большим, чтобы траектория, с начальной точкой на аттракторе, покрывала его достаточно плотно. Для выбранных параметров проводился эксперимент, когда количество итераций увеличивалось в 2 раза, а шаг в 2 раза уменьшался и результат проверки при этом качественно не менялся. Для каждой исследуемой системы её компактное инвариантное множество было численно локализовано в кубе (см. рис. 3.2) на основе стандартной численной процедуры (см. раздел 2.1.4). Затем на каждом кубе выбиралась сетка с определенным шагом, и для каждой точки сетки запускался алгоритм вычисления локальной ляпуновской размерности. Полученные значения сравнивались с локальной ляпуновской размерностью стационарной точки. Затем рассматривались точки сетки со значениями ляпуновской размерности наиболее близкими к значению для стационарной точки. Вокруг каждой такой точки рассматривалась сетка с меньшим шагом и для точек этой новой сетки вычислялись их локальные ляпуновские размерности. Эти значения также сравнивались со значением в стационарной точке. Результаты, представленные в таблице (3.1), численно подтверждают выдвинутую гипотезу.
В последние два десятилетия известный в теории устойчивости прямой метод Ляпунова показал свою эффективность при анализе размерностей аттракторов динамических систем [3-5,7,9,141-155]. Для ряда известных динамических систем построение специальных функций Ляпунова позволило получить верхние оценки, а для других — точные формулы ляпуновской размерности аттракторов.
Обозначим через F (x0) = x(t, х0) оператор сдвига вдоль решений уравнения (2.1) и предположим, что множество К С Шп ограниченно и инвариантно: FtK = К, Ш Є Ш. Пусть J(x) - матрица Якоби вектор-функции f(x) Тогда любое ограниченное на [0, + оо) решение системы (2.1) стремится при t — +оо к некоторому состоянию равновесия. Таким образом, если выполнено условие (4.2), то аттрактор системы (2.1) совпадает с ее стационарным множеством.
Обозначим через К ограниченное инвариантное множество системы (1.11) содержащее стационарную точку SQ = (0, 0, 0). Можно доказать [16, 157] теорему, дающую верхнюю оценку ляпуновской размерности аттрактора системы (1.11).
В предыдущем подразделе было показано, что верхняя оценка ляпуновской размерности аттрактора обобщенной системы Лоренца (1.11), полученная для произвольного Ъ 0, обращается в равенство, когда о = аг. Однако при переходе от системы (1.11) к системе Глуховского-Должанского (1.10) равенство в оценке (4.5) не достигается, т. к. а аг. Тогда можно доказать [16,32,157] следующую теорему, дающую точную формулу ляпуновской размерности аттрактора системы (1.11) для случая Ъ = 1 и, следовательно, точную формулу ляпуновской размерности аттрактора системы (1.10).
Формула ляпуновской размерности аттрактора системы Глуховского Должанского
В начальный период развития теории динамических систем основное внимание исследователей уделялось анализу устойчивости состояний равновесия и возникновению периодических колебаний. При этом структура многих прикладных систем (например, систем Рейлея [73], Дуффинга [74], Ван дер Поля [75], Трикоми [76], Белоусова-Жаботинского [77]) была такова, что существование в них периодических колебаний было почти очевидным, т. к. эти колебания возбуждались из неустойчивых состояний равновесия. Это позволило легко рассчитывать эти колебания, строя решение с начальными данными из малой окрестности состояния равновесия и наблюдая за тем как оно притягивается и визуализирует колебание {стандартная вычислительная процедура).
В общем случае, колебание может быть легко численно локализовано, если эволюция начальных данных из его открытой окрестности в фазовом пространстве задает траектории, которые с течением времени достигают это колебание. С вычислительной точки зрения, такое
колебание (или множество колебаний) называется аттрактором, а его притягивающее множество называется бассейном притяжения (т. е., множество начальных данных, для которых траектории стремятся к аттрактору).
Т. о., изучение колебаний в автономных системах обычно начинается с анализа состояний равновесия, которые всегда можно найти численно или аналитически. При этом одним из ключевых факторов в расчете колебания является его бассейн притяжения. Поэтому с вычислительной точки зрения естественно предложить следующую классификацию аттракторов, основанную на сложности определения в фазовом пространстве области притяжения
Определение 6. [12-15] Аттрактор будем называть самовозбуждающимся, если бассейн притяжения этого аттрактора пересекается с любыми открытыми окрестностями его стационарных точек. В противном случае будем называть аттрактор скрытым.
Для скрытого аттрактора его бассейн притяжения не содержит окрестностей стационарных точек. Скрытыми аттракторами, например, являются локальные аттракторы в системах без состояний равновесия или только с одним устойчивым состоянием равновесия (специальный случай мультистабильности: сосуществование аттракторов в мультиустойчивой системе). В то время как сосуществование самовозбуждающихся аттракторов в системе может быть обнаружено с помощью стандартной вычислительной процедуры, нет эффективного способа предсказать и обнаружить существование или сосуществование скрытых аттракторов.
Впервые задача нахождения скрытых колебаний возникает в 16-й проблеме Гильберта (1900 г.) для двумерных полиномиальных систем [17]. За более чем вековую историю решения этой проблемы было получено множество теоретических и численных результатов [78-82]. Однако, эта проблема еще далека от решения даже для простых классов квадратичных систем.
Также задача анализа скрытых колебаний возникает в инженерных проблемах автоматического управления. В 1961 г. Губарь [83] аналитически продемонстрировал возможность существования скрытых колебаний в двумерных системах фазовой автоподстройки частоты с кусочно-постоянной импульсной нелинейностью. В [84,85] показано существование таких колебаний. В 50-60-х годах прошлого века исследования известных гипотез Маркуса-Ямабе [86], Айзермана [18] и Калмана [19] об абсолютной устойчивости привели к обнаружению скрытых колебаний в системах автоматического управления с единственной устойчивой неподвижной точкой и с нелинейностью, принадлежащей сектору линейной устойчивости (см., например, [87-92]).
В конце прошлого века проблема численного анализа скрытых колебаний возникла при моделировании систем управления угловым положением летательных аппаратов (задача синтеза «антивиндап»-коррекции) [22,93-96], в моделировании буровых установок [23,24,97-101] и упругих ракета-носителей [102]. Наличие таких колебаний в системах с внешним возмущением задает наряду с ожидаемым устойчивым решением, соответствующим желаемому поведению системы, другие устойчивые и неустойчивые решения, которые соответствуют нежелательному и опасному поведению, часто приводящему к поломке.
Затем в 2010 г. был впервые рассчитан хаотический скрытый аттрактор в обобщенном контура Чуа [12], а затем он был обнаружен и в классическом контуре Чуа [13].
Свежие примеры скрытых аттракторов могут быть найдены в [103-113] и в специальном выпуске журнала The European Physical Journal Special Topics: Multistability: Uncovering Hidden Attractors, 2015 (см. [114-125]). то состояния равновесия S± устойчивы. Доказательство. Известно, что состояние равновесия автономной нелинейной системы асимптотически устойчиво, если все корни характеристического многочлена линеаризованной системы лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости С, и неустойчиво, если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости.