Математические методы анализа инвестиций в месторождения нефти и газа Коршунов Арсений Андреевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Исходные данные и динамические модели 18

1. Анализ исходных данных (динамики цен на нефть) 18

1. Типы данных; источники данных, провайдеры.

2. Динамика реаль ных цен.

2. Стохастические динамические системы 23

3. Математика инвестиционных стратегий 26

4. CRR–модель финансового рынка с дискретным временем 30

5. Модели финансового рынка с непрерывным временем 33

1. BMS-модель и формула Блэка–Шоулза.

2. Обобщенная модель

Дюпайра.

Глава II. Построение модели 37

1. Разбиение на участки стабильности 37

1. Первый метод разбиения на участки стабильности.

2. Второй метод разбиения на участки стабильности .

2. Моделирование цен на участках стабильности 45

1. Проверка статистических гипотез.

2. Показатели (индикаторы) бли-зости.

3. Формирование модельных траекторий.

4. Аппроксимирующая траектория.

5. Оценка длины базы. 6. Исследование надёжности значений показателей близости.

7. Исследование надёжности оценки длины базы

Глава III. Анализ результатов моделирования и приложения 88

1. Качество аппроксимации 88

2. Тренд 90

3. Финансовые показатели 93

4. Динамика инвестиционного проекта, реальные опционы и приме нение формулы Блэка–Шоулза 95

5. Новая интерпретация формулы Блэка–Шоулза 98

6. Информационно–вычислительное решение 103

Заключение 109

Литература

• Стохастические динамические системы
• CRR–модель финансового рынка с дискретным временем
• Второй метод разбиения на участки стабильности
• Динамика инвестиционного проекта, реальные опционы и приме нение формулы Блэка–Шоулза

Введение к работе

Актуальность исследования.

Процесс принятия решений об инвестировании в разработку месторождений нефти и газа является сложной и ответственной деятельностью, поскольку требует больших материальных и временных затрат. Поэтому задачи анализа инвестиционных проектов в нефтегазовой индустрии (НГИ) следует признать и трудными, и актуальными.

Важнейшие экономические характеристики для принятия решения о разработке и эксплуатации месторождения нефти и газа – стоимость запасов, связанная с динамикой цен нефтяных рынков (доходная часть инвестиционного проекта), и затраты, связанные с рисками. Мнение о чрезвычайной трудности их прогнозирования, а, следовательно, создания хорошего, вызывающего доверие инвестиционного проекта, представляется разумным и обоснованным. На практике обязательной экономической характеристикой инвестиционного проекта считается Net present value (NPV) – чистый дисконтированный доход (ЧДД). NPV равен разности суммарных доходов (выручки) и суммарных расходов (затрат), однако, как выручка, так и затраты содержат недетерминированные доходы и расходы соответственно. К числу таких доходов относятся такие, которые зависят от цен на нефть и газ, от объемов запасов. К числу таких расходов относятся нематериальные активы, связанные с рисками и неопределенностью (лицензии, права и т.д.). Поскольку, уже начиная с XX века влияние политических (а не экономических!) факторов на нефтяные цены чрезвычайно сильно, доминирует мнение о невозможности не только их прогнозирования, но и сколь-нибудь точного моделирования на стабильных периодах. Поэтому проблема определения, что можно (или нельзя) смоделировать, посредством чего и с какой степенью адекватности, представляется принципиально важной.

В инвестиционном анализе широко используемым является так называемый метод сценариев. Чаще всего их три: пессимистичный, вероятный и оптимистичный; в каждом финансовые потоки и стратегии (реакции, методы управления) и тем более вероятности определяются из общих соображений. Ценовые характеристики могут различаться существенно. В такой ситуации возможность принципиальной ошибки (войти в нерентабельный проект или отказаться от рентабельного) велика.

Математическое моделирование стало в настоящее время важнейшим инструментом при проведении инвестиционных исследований. Для формирования моделей

объектов инвестиционной деятельности используется информация, накапливаемая в процессе планирования и управления инвестиционными проектами, сбора и обработки статистической информации, инвестиционного анализа и т.д. Таким образом, актуальной и важной задачей является повышение качества оценки инвестиционных проектов НГИ за счёт создания такой математической модели, которая, во-первых, давала бы хорошие оценки стохастических доходов и затрат (связанных со случайностью или неопределенностью), то есть близкие к реальным траектории ценовой динамики, а во-вторых, позволяла бы вычислить оценку минимального объема начальных инвестиций для выхода на планируемые экономические показатели.

Степень разработанности темы.

Методы финансовой математики, применяющиеся при оценке и прогнозировании финансовых показателей, используют модели и результаты теории стохастических процессов, начиная с диссертационной работы 1900 г. Л. Башелье. В виду того, что предложенная Башелье модель для описания динамики стоимости акций обладала рядом недостатков, она была модифицирована в 1965 г. П. Самуэльсоном, который предложил описывать стоимость акций так называемым геометрическим броуновским движением. Модель Самуэльсона по сей день используется для описания динамики биржевых активов, в том числе и нефтяных фьючерсов. Наряду с ней широко применяется биномиальная модель, предложенная в 70-х годах XX в. американскими экономистами и инженерами-математиками Д. Коксом, Р. Россом и М. Рубинштейном. Не смотря на массовое применение данных моделей в практике, анализ реальной статистики нефтяных цен, проведённый в диссертационной работе, показал, что эти модели не описывают динамики цен адекватно. В 2011 г. С. Ю. Жолко-вым, профессором РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина, была предложена более точная модель, названная обобщенной моделью Дюпайра, представляющая собой аналог модели Самуэльсона для стабильных периодов. Обязательный компонент построения модели – разбиение всей статистики цен на участки (периоды) стабильности, на которых стабильна интенсивность роста или падения цен. Проведенные в диссертации исследования подтвердили, что данная модель позволяет с хорошей точностью описать динамику нефтяных цен. Помимо вышеназванных, для моделирования динамики рыночных цен на практике используются различные стохастические модели: линейные (модель скользящего среднего MA(q), авторегрессионная модель AR(p), модель авторегрессии и скользящего среднего ARMA(p,q), интегральная модель ARIMA(p,d,q)), нелинейные (ARCH, GARCH, EGARCH, TGARCH, HARCH); а также модели, основанные на применении нейронных сетей и фракталов. Однако,

для целей инвестиционного анализа целесообразным представляется использование таких моделей, в которых динамика цен актива является составной частью баланса инвестиционного проекта. Для инвестиционного проекта не менее важной является задача определения минимальных инвестиций для выхода на заданную платежную функцию (достижение желаемых уровней прибыли и рентабельности).

Вследствие этого, особое значение приобретают разработка и совершенствование подходов и методов управления инвестиционными проектами по освоению нефтегазовых месторождений с учетом рисков, способствующих снижению до минимума возможных потерь и издержек у инвесторов. Один из глубоких методов анализа основан на применении так называемых «реальных опционов». В его основе лежат идеи и методы стохастической теории управления портфелем активов, впервые предложенные и разработанные в 1970–90-е годы в сериях работ следующих американских экономистов: F. Black (University of Chicago); M. Scholes, R.C. Merton (Massachusetts Institute of Technology); J.S. Cox, R.A. Ross, M. Rubinstein. Благодаря этим исследованиям были получены фундаментальные результаты, позволяющие дать справедливую оценку стоимости опционов, а именно: формула Блэка–Шоулза, биномиальная формула цены опциона. Первые попытки применить «реальные опционы» в инвестиционном анализе были предложены в работах таких западных экономистов как: J.L. Paddock, D.R. Siegel, J.L. Smith. Однако, в данных исследованиях, как и в работах их последователей (R.S. Pindyck, J.E. Smith, E.S. Schwartz, M.A.G. Dias, K.M.C. Rocha), опционные механизмы спекулятивного портфеля заимствовались с полной аналогией, что нельзя признать вполне корректным уже потому, что по основополагающей идее опцион – это страхование против риска, а «реальный опцион» как лицензия – это дополнительные затраты, которые только увеличивают риск.

В настоящей работе задача была переформулирована для реального инвестиционного проекта разработки месторождений. Для инвестиционной стратегии опцион – не страхование против риска, а минимальные затраты (рациональная цена опциона) для получения запланированной функции прибыли. А динамика инвестиционного портфеля – оценка динамики затрат и доходов (подробнее см. гл.3). Такое понимание реальных опционов вместе с подтверждением правомерности описания динамики нефтяных цен на стабильных периодах биномиальной моделью или моделью Са-муэльсона дает благоприятные перспективы использования опционных механизмов для инвестиционных проектов.

Целью диссертационного исследования является разработка математических методов моделирования динамики нефтяных цен, адекватных реальной статистике цен, построение алгоритмов, соответствующих этим методам, и их компьютерная реализация, а также определение важнейших ценовых характеристик для анализа инвестиционных проектов разработки месторождения нефти и газа.

Поставленная цель требует решения следующих задач:

– Выбор необходимого и достаточного объема данных динамики нефтяных цен;

– Анализ и обработка выбранных данных и поиск периодов стабильности и точек рассогласования для выбранных данных;

– Разработка универсальной процедуры построения аппроксимирующих траекторий на найденных периодах стабильности и её апробация;

– Поиск характеристик адекватности обобщённой модели Дюпайра;

– Разработка оптимального комплекса программ для динамического анализа полученных аппроксимаций и показателей экономической эффективности инвестиций.

Данные задачи соответствуют следующим областям исследований паспорта специальности ВАК:

1. Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений;

2. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий;

3. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента;

4. Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента;

5. Разработка новых математических методов и алгоритмов проверки адекватности математических моделей объектов на основе данных натурного эксперимента.

Методы исследования.

Для решения поставленных задач в диссертационном исследовании использовались математические методы стохастической теории управления портфелем активов и различные методы моделирования, такие как: регрессионный анализ, статистическое моделирование, построение программных комплексов и архитектуры данных. Для программной реализации использовались языки программирования VBA, T-SQL, MATLAB и, соответственно, среды разработки Microsoft VBE для Microsoft Excel, Microsoft SQL Server Management Studio 2008, MathWorks MATLAB R2010a. В

качестве методологического средства исследования использован принцип системности.

Научная новизна диссертационного исследования.

– Впервые проведен детальный анализ коммерческой статистики цен на нефть за 1988–2016 гг. для построения адекватных математических моделей динамики цен;

– Предложено два новых алгоритма поиска разбиений статистики цен на периоды стабильности (которые также решают самостоятельную актуальную задачу поиска точек рассогласования траекторий динамических систем) для улучшения качества аппроксимации математических моделей;

– Впервые разработана универсальная процедура построения аппроксимирующих траекторий на периодах стабильности, подтверждающая адекватность обобщённой модели Дюпайра реальной динамике цен и найдены характеристики адекватности модели;

– Разработан программный комплекс для динамического анализа получаемых данных и поиска индикаторов стабильности и рассогласования временного ряда цен;

– Впервые предложена интерпретация формулы Блэка–Шоулза, проясняющая её взаимосвязь с моделью Самуэльсона и дающая возможность её интуитивного понимания;

– Предложены методики и рекомендации для практического применения в инвестиционных проектах НГИ.

Научно-теоретическая и практическая значимость исследования. В диссертации доказано, что обобщенная модель Дюпайра адекватна реальной динамике цен, она дает хорошую аппроксимацию на периодах стабильности, что позволяет применять формулу Блэка-Шоулза для оценки минимальных начальных инвестиций, а, следовательно, повышает качество оценки инвестиционных проектов НГИ. Разработанные математические методы могут быть использованы для исследования периодов турбулентности на нефтегазовых рынках и поиска достаточного набора их характеристик. Полученные результаты могут быть использованы для практических оценок эффективности и рентабельности инвестиций в НГИ.

Основные положения, выносимые на защиту:

6. Новая модель динамики нефтяных цен, позволяющая применять методы стохастической финансовой математики при оценке рентабельности проектов разработки нефтегазовых месторождений.

7. Два новых алгоритма поиска стабильных периодов.

3. Универсальная процедура построения аппроксимирующих траекторий на периодах стабильности, подтверждающая адекватность обобщённой модели Дюпайра реальной динамике цен, показатели близости моделирующих траекторий к динамике реальных цен.

4. Программный комплекс для динамического анализа получаемых данных и поиска индикаторов стабильности и рассогласования временного ряда цен.

5. Новая практическая интерпретация формулы Блэка–Шоулза.
Апробация результатов работы. Идеи диссертационной работы и результаты

исследований излагались в выступлениях на следующих конференциях и семинарах:

2011: V международная конференция «Управление развитием крупномасштабных систем (MLSD’2011)». ИПУ РАН (3–5 октября 2011). Москва;

Международная конференция УБС-2011–«Теория активных систем (ТАС– 2011)». ИПУ РАН (14–16 ноября 2011). Москва;

2012: IX Всероссийская научно-техническая конференция «Актуальные проблемы развития нефтегазового комплекса России». РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина (30 января – 1 февраля 2012). Москва;

2014: Научная сессия аспирантов РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина (25 сентября 2012). Москва;

2015: Научная сессия аспирантов РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина (сентябрь 2015). Москва;

2016: Международная конференция «Теория активных систем» (ТАС–2016). ИПУ РАН (16–17 ноября 2016). Москва;

Семинар "Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование

реальных процессов". ЦЭМИ РАН (14 декабря 2016). Москва.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Объём работы составляет 114 страниц текста, включая 79 рисунков, 29 таблиц. Список литературы состоит из 56 источников, из них 26 на иностранных языках.

Стохастические динамические системы

В более широком смысле реальные опционы используются для оценки затрат, связанных со случайностью или неопределенностью.

В российской литературе анализ инвестиционных проектов с использованием реальных опционов изложен в трудах более 10 авторов, напр. [18,9], в РГУ нефти и газа защищены 8 диссертаций по экономике, связанных с этой тематикой.

В 1998 г. Dias и Rocha [37] применили этот подход для описания ценообразования в нефтяной промышленности, как в нормальной ситуации, так и при значительных скачках в нефтяных ценах. Способность модели распознавать возможность резких скачков может вылиться в более продуманное корпоративное решение, что и было продемонстрировано в декабре 1998 г. компанией Petrobras, когда цена на нефть сорта Brent упала до $10 / баррель. В это время Petrobras и контрагент этой компании применили реверсионную модель, учитывающую резкие изменения, и установили «пол» и «потолок» при подписании важного взаимовыгодного контракта, рассчитанного на 10 лет и привязанного к нефтяным ценам. Опыт был признан удачным, что укрепило доверие к этому подходу.

Поскольку задача нахождения всех значимых экономических ценообразую-щих параметров и функциональных зависимостей считается трудноразрешимой, СЮ. Жолковым, профессором РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина, был предложен и реализован в [12; 13; 15] иной подход к моделированию цен - статистический. Если имеющаяся статистика показывает, что рынок вошел в период стабильности (далее будет указано, что это означает), то мы можем с хорошей точностью (в 9% среднеквадратичного отклонения, далее будут приведены и другие индикаторы близости) продолжить уже найденную аппроксимирующую траекторию до окончания стабильного периода.

Заметим, исследуются методы оценки долгосрочных реальных инвестиций, для спекулятивных операций и выработки стратегии и тактики биржевых игр все по-другому - другие методы исследований, другие стратегии (игровые).

Для моделирования динамики рыночных цен на практике используются различные стохастические модели: линейные (модель скользящего среднего MA(q), авторегрессионная модель AR(p), модель авторегрессии и скользящего среднего ARMA(p,q), интегральная модель ARIMA(p,d,q)), нелинейные (ARCH, GARCH, EGARCH, TGARCH, HARCH); а также модели, основанные на применении нейронных сетей и фракталов. [29. Гл.П], см. также [34; 38; 46; 33]. Однако, для целей инвестиционного анализа целесообразным представляется использование таких моделей, в которых динамика цен актива является составной частью баланса инвестиционного проекта. Для инвестиционного проекта не менее важной является задача определения минимальных инвестиций для выхода на заданную платежную функцию (достижение желаемых уровней прибыли и рентабельности).

Такие задачи решаются с помощью безарбитражной B-S модели Блэка-Мертона-Шоулза (BMS-модель) или CRR-модели - модели Кокса-Росса-Рубинштейна, которые детально описаны в [29]. Однако, анализ реального движения нефтегазовых цен показал, что эти модели описывают ценовую динамику неадекватно. В работе С.Ю.Жолкова [12] была предложена модель, названная обобщенной моделью Дюпайра (В. Dupire) [сравн. 29. Т.1, с.347]. В ней динамика цены случайного актива S = (St)t описывалась стохастическим дифференциальным уравнением dSt=St(\x,tdt+ 5tdwt), где коэффициенты постоянны на каждом периоде стабильности (на которые предварительно разбивается вся статистика цен), но зависят от Sh т.е. случайны: jLxt =\i((o,t,St),at=a((o,t,St). Таким образом, дина 12 мика актива (нефтяных цен) описывается последовательностью (диффузионных) моделей Самуэльсона: (dSt =St( kdt + akdwt))k 0, где к- индекс номера стабильного периода. Решение этого уравнения (с различными JLI и а на каждом из периодов): St=S0QH{t\ где H(t) = (yL-G2/2)t + Gwt (wt - винеровский процесс). Это позволяет использовать все результаты, полученные для модели Блэка-Мертона-Шоулза (BMS-модели) [29, с.345,912; 32; 44], в частности, формулу Блэка-Шоулза для начальных инвестиций (подробно см. главу III).

Проведенные исследования показали, что именно эта модель позволяет с хорошей точностью (см. [15]; [19]) описать динамику цен.

Возникают вопросы о том, возможно ли и полезно ли применение «реальных опционов». В первоначальной постановке опцион-call европейского типа (option call) - право купить актив за оговоренную цену через некоторое время вне зависимости от текущей цены на рынке как спекулятивная операция. Ее можно рассматривать как страхование против риска роста цены нужного инвестору в будущем актива выше, чем критический для него уровень К - цена исполнения опциона (цена страйк) (предполагается, что этот актив он будет покупать через время N). Премию продавцу, которую также называют стоимостью опциона, обозначают через СN, или FN.

В оригинальной постановке проблемы интересы покупателя опциона колл и продавца противоположны. Плодотворная идея - синтезировать их в модели инвестиционного (спекулятивного) портфеля, содержащего различные (преимущественно сопряженные с рисками) активы; держатель этого портфеля, рационально управляя ими, должен обеспечить выполнение обязательств по опциону колл без ущерба. Тогда необходимый для этой цели минимальный начальный капитал портфеля можно считать "справедливой" платой эмитенту опциона за снятие рисков с покупателя опциона колл.

CRR–модель финансового рынка с дискретным временем

Поскольку в реальности действия рынка и изменения в инвестиционном портфеле происходят в дискретные моменты времени, рассматриваемая модель может вполне адекватно описывать поведение рынка и его участников.

Важными являются требования (см. [29. Гл.5]) 1) самофинансируемости портфеля ценных бумаг, в котором изменение капитала банковского счета может осуществляться лишь за счет изменения в составе пакета акций, и наоборот; 2) безарбитражности (Д5)-рынка, рынка, на котором отсутствуют возможности получения гарантированного безрискового дохода. Выбор модели динамики цен нефтегазового рынка (как для дискретного времени, так и для непрерывного) определяется следующими требованиями. 1. Динамика цен является составной частью баланса инвестиционного проекта (инвестиционного портфеля). 2. Инвестиционный портфель должен включать все планируемые затраты и доходы - с точки зрения стохастической теории управления портфелем активов это означает выполнение «условия самофинансирования»; 3. Оценка рисков с помощью опционов, т.е. определение минимальных инвестиций для выхода на заданную функцию прибыли, возможна только на «безарбитражных рынках».

Подробное описание и анализ этих условий приводится в [29]. Простейшая стохастическая модель динамики цен и капиталов, удовлетворяющая приведённым выше требованиям и лишенная недостатков модели Башелье - биномиальная модель Кокса-Росса-Рубинштейна (CRR-модель). Это модель с дискретным временем, в которой банковский капитал (-би)и о и цены актива (S„)„ o, дающего прибыль, изменяются по законам и Bn={\ + rn)Bn_l=Y\{\ + rk)B0 , к=\ п к=\ где пик- индексы времени, г\,...,гп- неслучайные параметры (быть может, равные друг другу), определяющие процентные ставки,р1,...,рп - независимые св. Бернулли, принимающие с равными вероятностями два значения а и Ь, такие, что -1 a b. So- начальное значение цены актива, это либо число, либо св., не зависящая от каждогор1,...,рп. BQ- начальное числовое значение банковского капитала. Первая формула описывает переменную стоимость денег, вторая - актива. Для отсутствия арбитражной возможности параметры а и b должны быть таковыми, что множество (а, Ь) содержит точку 0 [29]. Отсюда следует, что а 0 Ь. Для положительности цен S надо потребовать, чтобы также а -1. Так как Sn = = Sn-Sn_l=(\+pn)Sn_l-Sn_l = Sn_lpn, то ASn =Sn_Ya («цены идут вниз») или и = Sn-Xb («цены идут вверх»). Таким образом, значение S„ = Sn.xB с вероятностью р = P{pn=b)илиSn = Sn-XA, гдеB=\+ b иA = \+a.

Поскольку в CRR-модели (pn)nN - последовательность независимых одинаково распределенных с. в., принимающих два значения а и Ь, -1 а Ь, то поведение последовательности (Sn)n o описывается «деревом цен» (см. рисунок 9).

Важнейшая операция по управлению инвестиционным портфелем - хеджирование. В оригинальной трактовке хеджирование (от англ. hedge - ограда) - действия, ограничивающие экономические риски. Для капитала портфеля рисковых активов хедж - стратегия (управления капиталом), гарантирующая получение в фиксированный момент времени N капитала, достаточного для выполнения обязательств по выплате в размере fN.

Портфель ценных бумаг ж = (,) с = („), = (и); п = 0,1,...,N, называется совершенным (х,/ы)-хеджем, если XQ= х, х 0, и Хжы= fN. Если существует совершенный хедж, обеспечивающий выполнение платежного обязательства/ , то интервал приемлемых цен [С , С ] (рисунок 8) сводится к единственной цене C(fN ; P), которую естественно считать рациональной (справедливой) ценой платежного обязательства , устраивающей и покупателя, и продавца, поскольку отклонение от этой цены неминуемо приведет к тому, что один из них будет иметь безрисковый доход. C(fN ; P) также называется ценой совершенного хеджирования Европейского типа (платежного поручения//), C(fN,P) = mf{x 0-3x сХ =х и Хжы = / (Pп.н.)}. (В, 5)-рынок ценных бумаг называется N-полным или полным (по отношению к моменту времени 7V), если всякое ограниченное платежное поручение /м, достижимо (или воспроизводимо), т.е. при некотором х найдется совершенный (х, fN,)-хедж ж, т.е. портфель (стратегия), для которого X N = fN (P-п.н.) В противном случае рынок называется TV-неполным (по отношению к моменту времени К). Решение вопроса, когда рынок является полным, представляет значительный интерес, поскольку позволяет однозначно определить рациональную цену обязательства fN . Для безарбитражных рынков проблема их полноты допускает вполне исчерпывающее решение. И в этом случае цена C(/Jv; P) может быть найдена в явном виде, причем она не зависит от структуры рассматриваемого (х, /у)-хеджа п. Иначе говоря, если я- -другой хедж, то начальные цены х и х совпадают.

В биномиальном (В, -рынке рациональная цена обязательства fN и динамика капитала стратегии совершенного хеджа могут быть найдены в явном виде и он не слишком сложен. Отметим, из этих формул следует: если платежная функция не убывает, совершенный хедж является хеджем без взятия акции взаймы. Особенно интересен случай стандартного опциона колл - когда платежное обязательство f[SN) = (SN - K)+ = max{{SN - K); 0}, где /V- момент исполнения (maturity time) и К - цена исполнения (striking price). Получается биномиальная формула рациональной стоимости Европейского опциона-колл.

Второй метод разбиения на участки стабильности

Моделирование цен на стабильном интервале при одних и тех же значениях параметров а и а2 даёт огромное разнообразие стандартных траектории с большим разбросом относительно реальных цен (см. рисунок 12), большая часть которых плохо аппроксимирует реальные данные. Поэтому в работе была разработана специальная процедура, формирующая аппроксимирующие траектории, являющиеся более устойчивыми: лучше отражающие динамику реальных цен на интервале с точки зрения индикаторов близости и с меньшим разбросом (см. рисунок 13). Вычисление таких траекторий также основано на предварительных оценках параметров а и а2 по обучающей выборке. Сравнение качества приближения стандартными и аппроксимирующими траекториями приведено на рисунке 14 в форме статистических диаграмм (аналог гистограммы, но по оси абсцисс отложены диапазоны значений индикатора близости, по оси ординат - количество значений, попавших в данный диапазон), построенных для всех трёх индикаторов близости, которые были рассчитаны на основе аппроксимирующих траекторий, изображённых на рисунке 13, и стандартных траекторий, изображённых на рисунке 12. Траектории, подтверждающие адекватность модели, предлагается искать в классе аппроксимирующих.

Так же как и стандартные траектории, аппроксимирующие являются реализациями случайного процесса (2.3), следовательно, для оценки качества приближения ими реальных данных в работе были проведены серии одинаковых вычислительных экспериментов для каждого стабильного интервала, и вычислены агрегированные показатели - средние арифметические по серии экспериментов значения показателей близости (2.6), (2.7), (2.8), которые и представляют собой оценку качества аппроксимации.

Реальная траектория (жирная красная линия) и 100 аппроксимирующих (тонкие линии разных цветов) на 1-м стабильном интервале Рисунок 14. Статистические диаграммы для индикаторов maxJ, qdav, swav: Верхние три - для индикаторов maxd, qdav, swav (слева направо) аппроксимирующих траекторий Нижние три - для индикаторов maxd, qdav, swav (слева направо) стандартных траекторий.

Для получения аппроксимирующей траектории на каждом стабильном интервале, показатель (2.7) для которой не превосходит 9 %, оценки а и а2 могут быть вычислены на основе обучающей выборки, состоящей из определённого количества начальных точек стабильного интервала, меньшего, чем длина самого интервала. Такая обучающая выборка названа базой. Существование базы позволяет строить аппроксимирующие траектории в условиях нехватки информации (будущих данных о реальных торговых операциях) и использовать их в качестве условных прогнозов на интервалах стабильности.

Поиск базы, оценка её длины, осуществляется в серии одинаковых итерационных вычислений. Для этого вводится функция g(k, т\ где к - номер стабильного интервла, т - номер итерации, представляющая собой длину обучающей выборки. На первой итерации длина обучающей выборки составляет не меньше 10% длины основного интервала, на последующих итерациях длина увеличивается на 10 точек за каждую итерацию (если длина стабильного интервала мала - на 5 точек за итерацию). На каждой итерации по обучающей выборке оцениваются параметры модели и строится аппроксимирующая траектория, затем вычисляются показатели близости (2.6), (2.7), (2.8). Проведя итерационные расчёты на первом стабильном интервале и проанализировав результирующую таблицу (см. таблицу 5.1), заметим, что начиная с 7-й итерации значения индикаторов не меняются, это свидетельствует о том, что аппроксимирующая траектория остаётся той же самой на последующих итерациях, т.е. стабилизируется, что означает, что с ростом длины обучающей выборки показатели близости уменьшаются, и требуемого 9 %-го значения показателя (2.7) удаётся достичь уже на 7-й итерации, при длине обучающей выборки равной 112. Таким образом, обучающая выборка 7-й итерации является базой. На рисунке 15.1 приведена реальная траектория и аппроксимирующие при m = 1,3,5,6,7, соответствующие таблице 5.1. Заметим, что ввиду случайности аппроксимирующей траектории, значения индикаторов в таблице, будучи функциями от случайной траектории, являются реализациями с.в., поэтому номер итерации, начиная с которого происходит стабилизация аппроксимирующей траектории, и длина базы также являются случайными величинами. Однако, ниже приводятся результаты исследования, которое подтверждает надёжность результатов итерационного процесса по оценке длины базы. На рисунках 15.2, 15.3,

Динамика инвестиционного проекта, реальные опционы и приме нение формулы Блэка–Шоулза

Стохастическая последовательность Хж = (Х )п 0 : рассмотренная в главе I, может интерпретироваться не только общепринятым образом - как капитал портфеля ценных бумаг ж = (тги) =фп,уп), где = (и) = (уи(ю),...,уи(ю))и о - количество акций или других активов каждого типа, а = = («())« о - размер капитала, свободного или взятого взаймы. Для инвестиционного проекта Хж - финансовый план проекта, динамика его доходов, расходов и заемного капитала. „ - размер доходных или расходных статей (с разными знаками), и - размер капитала, свободного или взятого взаймы. Нефть здесь является главным доходным активом. Для моделей с дискретным временем инвестиционный проект (стратегия, портфель) ж называется самофинансируемым, если соответствующий финансовый план представляется в виде XZ=XZ+[VkbBk+yk-&Skl п \ к=\ что равносильно: B„-iW„+Sn_vAyn = 0, п \.

Это означает, что изменение капитала (5и_іи) за счет изменения банковского счета может осуществляться лишь за счет изменения (S„-\ -и) в составе расходов и доходов, и наоборот. То есть проект содержит в себе все займы, расходы и доходы. Повторим, что для моделей с непрерывным временем (X = tBt + yt-St), в частности, для BMS-модели самофинансируемость (консервативность) проекта п задается следующим образом: Xf = XQ + \$sdBs + \ysdSs (здесь применяются о о стохастические интегралы Ито).

Стратегия тг = (, ) с = („), = («); n = 0,l,..., N, называется совершенным (х, / -хеджем, если XQ= x,x 0, иX =fN. Как уже отмечалось, BMS-модель без арбитражна и полна. В этой модели как капитал (х,/ )-хеджа п, так и цена хеджа F (рациональная стоимость опциона), находятся в явном виде (формула Блэка-Шоулза). Таким образом, для инвестиционного проекта (стратегии) стоимость опциона - минимальный начальный капитал для выхода на заданную доходность в финальный момент времени N, а условие самофинансируемости инвестиционного проекта - это возможность оценки общих затрат. В модели BMS существует стратегия тг=ф,у) для которой капитал Х таков, что Х%= F, X= fT. Положим ( s ( ст2ЛЛ I г где y(t,s)= In—h гл— t /сг\д, y_(t,s)=y(t,s)-cr-Jt, Ф - стандартная нор К J V \ J мальная функция распределения, г - ставка по банковскому капиталу, К - планируемая стоимость капитала в момент времени Т. В [29] доказано, что соответствующий стратегии тс капитал Xf= РД + уД = F(f,S,) = St Фy(T,Sty) -К Тч) Ф(y_(T,St)) , при этом yt = —(t,St)=Ф(y(T,St)), J3,= e r Ф(y_(T,St)). ds BQ Последние три формулы, определяющие динамику капитала хеджа (функциональные характеристики хеджирующего портфеля), дают оценку оптимального бюджета проекта.

Начиная с исследований по инвестиционному анализу проектов разработки нефтяных месторождений, предпринятых в 80-х гг. в Массачусетском технологическом институте (см. [48]), методы стохастического анализа инвестиционных портфелей стали применяться и в нефтегазовой индустрии. В [48] предложено разделить затраты на детерминированные и стохастические: E = D + F и для определения стоимости лицензий при морских разработках и момента начала инвестирования использовать опционы, названные авторами «реальными». Этот подход был поддержан рядом авторов, ссылки приводятся в списке литературы (перечень указан во введении).

В работе [48] было предложено следующее соответствие между финансовыми и реальными опционами: Финансовые опционы (Black, Scholes, Merton) Реальные опционы (Paddock, Siegel и Smith) Стоимость финансового опциона Стоимость реального опциона на разработку запасов (F) Текущая цена акции, положенная в основу финансового опциона Текущая стоимость извлеченных запасов (V) Цена исполнения опциона Инвестиционные затраты на разработку запасов(D)

Дивиденды по акции Денежный поток, представляющий собой уменьшение стоимости запасов во времени; в каждый конкретный момент, вычисляется как доля от V Безрисковая ставка процента Безрисковая ставка процента (r) Волатильность цены акции Волатильность стоимости извлеченных запасов Срок истечения опциона Срок истечения лицензии на разработку участка недр (T) Как уже отмечалось, прямая аналогия спорна уже потому, что по основополагающей идее опцион – это страхование против риска. А «реальный опцион» как лицензия – это дополнительные затраты, которые только увеличивают риск. К тому же финансовый план инвестиционного проекта и спекулятивный портфель принципиально различны и по природе, и по целям, и по стратегии, и по времени наблюдения. И, следовательно, по методам анализа и моделирования.

Подход, рассмотренный в [12-15] и настоящей диссертации, где Хк - финансовый план инвестиционного проекта, а не капитал портфеля ценных бумаг ж, реальный опцион - это рациональные начальные вложения, для выхода на запланированные экономические показатели, а условие самофинансируемости инвестиционного портфеля - возможность оценки общих затрат, дает понятную интерпретации методу «реальных опционов». В частности, функция F = F(/r) = =S0Ф(y(T, So)) - К& гТФ(у_(Т, So)), определяемая формулой Блэка-Шоулза, допускает интерпретацию как рациональная стоимость лицензии, которая может быть основой переговоров между недродержателем и недропользователем, что соответствует идеям, предложенным в работах M.A.G. Dias, К.М.С. Rocha, E.S. Schwartz.

Разумеется, в реальном инвестиционном проекте участвуют не только экономические, но и геотехнологические показатели месторождения, включающие в себя множество реальных индикаторов НГИ в комплексном, системном понимании. Эта сложная системная задача требует сотрудничества специалистов в экономике и геотехнологиях.

В главе I была приведена формула Блэка-Шоулза, представляющая собой, в условиях BMS-модели, справедливую, исключающую возможность для арбитража на рынке, оценку стоимости покупки опциона типа «колл» (опцион далее). Актив в векторном инвестиционном портфеле, «против которого» выставляется опцион, на принято называть базисным активом опциона. Далее под базисом будем понимать базисный актив опциона, под страйком - как обычно, цену его исполнения. Также положим, что с учётом безрисковой годовой ставки г, при условии непрерывного начисления процента, приведённой стоимостью произвольного актива будущей его стоимости Ст будет величина Со = ЄгТСт, где стоимость в нулевой момент времени будем обозначать С0, а в момент времени Т обозначим Ст, либо, в зависимости от контекста, просто С. Согласно формуле (1.5), в нулевой момент времени стоимость опциона на покупку базиса по цене K в момент экспирации (исполнения) T должна составлять (здесь для удобства используем приведённый страйк К0 = ЄгТК).

Введём вероятностное пространство (, a(), P), где - пространство элементарных исходов, представляющее собой описание всех элементарных исходов на рынке, которые известны к моменту и в момент исполнения опциона Т, а() -минимальная а-алгебра событий, порождённая событиями-подмножествами , P - вероятность на а(). Зададим на (, a(), P) с. в. G, имеющую стандартное нормальное распределение, и преобразуем (3.1) к виду