Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ методов математического моделирования физических процессов в нестационарных условиях 16
1.1. Основы моделирования физических процессов 16
1.2. Модель преобразователя физической величины 19
1.2.1. Обзор характеристик и выбор математической модели... 19
1.2.2. Способы оценивания полных динамических характеристик 26
1.2.3. Восстановление значений преобразуемой физической величины 29
1.3. Процессы в загруженной тонкостенной емкости 30
1.3.1. Способы оценивания геометрических параметров 33
1.3.2. Модель измерения количества загруженной жидкости . 36
1.4. Численные методы моделирования физических процессов 43
1.4.1. Обработка наблюдений физических величин 43
1.4.2. Оценивание и коррекция характеристик преобразователей физических величин 44
1.4.3. Проблемы программного обеспечения 47
Выводы 50
Глава 2. Моделирование физических процессов с нестационарными свойствами 51
2.1. Анализ и постановка задачи моделирования 51
2.1.1. Постановка задачи наилучшего приближения 51
2.1.2. Анализ методов аппроксимации 52
2.1.3. Примеры приближающих множеств 54
2.1.4. Наилучшее приближение поведения процесса 57
2.2. Наилучшее приближение изолированного процесса 58
2.2.1. Общая постановка задачи 58
2.2.2. Приближение линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами 62
2.2.3. Экстремальные свойства приближения линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами 66
2.3. Учет внешних воздействий 67
2.4. Численное приближение разностным уравнением 70
2.4.1. Разностный аналог линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами 70
2.4.2. Численное приближение 71
2.4.3. Определение порядка модели 72
2.4.4. Наилучшее приближение наблюдаемых значений 75
2.5. Выбор экстремального приближающего множества 77
2.5.1. Примеры решения краевой задачи 80
2.5.1.1. Натуральная показательная функция 80
2.5.1.2. Степенная функция 81
2.5.1.3. Сложная функция 82
2.5.1.4. Табличные данные 83
2.5.1.5. Модели большего порядка 84
2.5.2. Пример численного моделирования 86
2.6. Наилучшее приближение многомерного процесса 87
2.6.1. Численное моделирование многомерного процесса 90
2.6.2. Пример численного моделирования объекта 92
Выводы 96
Глава 3. Система численных методов моделирования 97
3.1. Разработка структуры системы численного анализа 97
3.1.1. Анализ библиотек проблемно-ориентированных процедур 97
3.1.2. Структура объектно-ориентированной системы 98
3.1.3. Типовое действие «скалярное произведение» 100
3.2. Простейшие типовые операции 104
3.2.1. Объекты типовых операций 104
3.2.2. Умножение матриц 105
3.2.3. Обращение матриц специального вида 108
3.2.4. Решение СЛАУ с матрицей специального вида 110
3.3. Типовая операция «разложение матриц» 111
3.3.1. Методы треугольного разложения Гаусса 113
3.3.2. Ортогонализация Грама-Шмидта 116
3.3.3. Преобразование матрицами отражений и вращений 120
3.3.4. Проверка корректности разложения 129
3.4. Типовая задача «решение СЛАУ» 129
3.4.1. Методика решения СЛАУ с матрицей полного ранга 131
3.4.2. Методика решения СЛАУ с матрицей неполного ранга... 132
3.4.3. Возмущения решений СЛАУ 133
3.4.4. Итерационное уточнение решения СЛАУ 135
3.4.5. Стандартные этапы решения СЛАУ 137
3.4.6. Реализация типовой задачи «Решение СЛАУ» 138
3.5. Типовая задача «Обращение матриц» 144
3.5.1. Определения 144
3.5.2. Методика обращения матриц полного ранга 145
3.5.3. Уточнение первоначального результата обращения 146
3.5.4. Реализация типовой задачи «Обращение матриц» 147
3.6. Быстрый алгоритм решения недоопределенной СЛАУ . 151
Выводы 159
Глава 4. Моделирование преобразователей физических величин в нестационарных условиях 160
4.1. Оценивание динамических характеристик 160
4.1.1. Постановка задачи 160
4.1.2. Алгоритмы оценивания ДХ 166
4.2. Восстановление значений преобразуемой физической величины в реальных условиях эксплуатации 171
4.2.1. Анализ способов восстановления 171
4.2.2. Алгоритмы восстановления 172
4.3. Определение статической характеристики преобразования 180
Выводы 187
Глава 5. Моделирование процессов в загруженной тонкостенной емкости . 188
5.1. Модель измерения количества жидкости 188
5.1.1. Теоретические основы базовой модели 190
5.2. Определение плотности загруженной жидкости 191
5.2.1. Зависимость плотности жидкости от температуры 192
5.2.2. Зависимость плотности жидкости от давления. 199
5.3. Зависимость площади горизонтального сечения емкости от деформаций стенок 200
5.4. Основные положения расчета деформаций емкости 204
5.4.1. Расчет деформаций днищ 207
5.4.2. Расчет деформаций стен вертикальных цилиндрических тонкостенных емкостей 209
5.4.3. Расчет деформаций корпуса под воздействием температуры 214
5.5. Измерение массы жидкости в емкости 215
5.6. Оценивание инвариантных геометрических параметров емкости 221
Выводы 224
Глава 6. Анализ способов и алгоритмов моделирования измерительных преобразователей 225
6.1. Устройства оценивания и коррекции характеристик преобразователей в нестационарных условиях 225
6.2. Исследование алгоритма приближения поведения. 233
6.3. Пример коррекции характеристик датчика температуры 243
6.4. Сравнение результатов коррекции характеристик преобразователей предлагаемым способом и прототипом.. 247
Выводы 253
Глава 7. Экспериментальное исследование модели загруженной тонкостенной емкости 254
7.1. Методические указания. Определение градуировочных характеристик стальных вертикальных цилиндрических резервуаров. Методика выполнения измерений жидкостным способом 254
7.2. Жидкостный способ градуировки 256
7.3. Планирование эксперимента 257
7.4. Активный эксперимент 263
7.5. Обработка экспериментальных данных 267
7.5.1. Оценивание инвариантной функции площади сечения 267
7.5.2. Функция распределения температуры жидкости 268
7.6. Погрешность оценивания параметров инвариантной функции площади сечения 272
Выводы 275
Заключение 276
Библиографический список использованной литературы.. 279
Приложение 1 292
Приложение 2 311
- Процессы в загруженной тонкостенной емкости
- Приближение линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами
- Преобразование матрицами отражений и вращений
- Восстановление значений преобразуемой физической величины в реальных условиях эксплуатации
Введение к работе
I Актуальность темы. Математическое моделирование физических процессов в сложных развивающихся объектах является фундаментальной проблемой и предметом активного изучения при мониторинге природных и техногенных процессов, анализе сложных объектов промышленности, геофизики, медицины, экономики и др. Актуальность разработки новых методов математического моделирования физических процессов с нестационарными свойствами диктуется как научными, так и практическими аспектами.
Особо следует выделить растущие требования к математическому обеспечению сложных развивающихся объектов в нестационарных условиях экс- шгуатации. В этом смысле показательны введенные в действие с 2002 г госу дарственные стандарты ГОСТ 8.346-2000, ГОСТ 8.570-2000 и ГОСТ Р 8.595-2002, которые регламентируют современные методики поверки резервуаров и измерения количества нефтепродуктов.
Методики выполнения измерений, основанные на трудах Хусаинова Б. Г. [4, 5], Кюрегяна С. Г. [6-12], Губина В. Е., Новоселова В. Ф. и Тугунова П. И. [13], Корниенко В. С. [14], Едигарова С. Г. [15], Стулова Т. Т., Бунчука В. А. [16,17], Фатхутдинова А. Ш. [18] и др., служат для количественной оценки , вместимости и количества продукта в резервуаре. Эти методики содержат при сущие и их зарубежным аналогам (например, стандартам США API 2555, 2540 [19]) недостатки. Отечественные стандарты [3] регламентируют погрешность измерения массы нефтепродуктов от ста тонн и выше не более 0.4%. При этом доля методических погрешностей известных методов измерений составляет не менее половины общей погрешности измерения массы. Источником методических погрешностей является усредненный учет нестационарных свойств физических процессов в загруженной тонкостенной емкости.
Моделирование физических процессов актуально и для задачи измерения переменных физических величин, частным случаем которой является измере-ние массы жидкости на потоке.
Реализация способов, рассмотренных в трудах Василенко Г. И. [20], Грановского В. А. [21], Пронкина Н. С. [22], Заико А. И. [23-25] и Чуракова Е. П. [26] в нашей стране, Тернера Д. М., Трейчлера Д. Р., Феррара Э. Р.-мл., Фрид- лендера Б., Адамса П. Ф., Гранта П. М., Коуэна К. Ф. Н. [27], Бассвиль М., Вил- ски А., Банвениста А. [28] и др., для оценивания и коррекции характеристик преобразователей в нестационарных условиях наталкивается на ряд трудностей принципиального характера. В этих трудах идеализирована доступность значений переменной испытательной физической величины, используемой при оценивании полных динамических характеристик преобразователей. Как следствие, не удается учитывать влияние дестабилюирующих факторов условий из- ,j\ мерения на физические процессы преобразования.
Таким образом, разработанные в диссертационной работе методы, алгоритмы, система численных методов и способы математического моделирования физических процессов для оценивания новых характеристик и использования их в нестационарных условиях эксплуатации сложных объектов являются важными и актуальными.
Целью работы является разработка и применение методов математического моделирования физических процессов с нестационарными свойствами для оценивания параметров состояния сложных развивающихся объектов. Для достижения цели необходимо разработать:
1. Метод математического моделирования физических процессов с нестационарными свойствами линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами.
2. Способы и устройства оценивания и коррекции характеристик преобразователей физических величин в реальных условиях.
3. Способы и устройства оценивания градуировочных характеристик тонкостенной емкости большой вместимости.
4. Объектно-ориентированную программную систему численных методов •М) решения типовых задач математического моделирования.
Методы исследования базируются на положениях классической физики и математической теории систем, теории автоматического управления, математическом аппарате теории линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и их разностных аналогов, функционального анализа и линейной алгебры.
Научная новизна. В диссертационной работе выделены три основных направления исследования, на которых базируется исследование сложных развивающихся объектов:
1. Метод математического моделирования физических процессов с нестационарными свойствами, отличающийся тем, что он строит наилучшее приближение процесса в классе всех элементарных функций. Основой метода является наилучшее приближение линейными дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами и его фундаментальной системой решений. Предложена новая краевая задача, решение которой определяет наличие нестационарных свойств процесса и систему отсчета, в которой свойства процесса являются стационарными.
2. Способы оценивания динамических характеристик сложных развивающихся объектов, отличающиеся реализацией в нестационарных условиях.
3. Объектно-ориентированная программная система численных методов, отличающаяся автоматическим построением устойчивого численного решения типовых задач математического моделирования.
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что оно позволяет заменить приближенные формулы расчета в методике моделирования физических процессов в загруженной тонкостенной емкости точными формулами, и удовлетворить требованиям точности отечественных стандартов и стандартов промышленно развитых стран. Разработанные методы математического моделирования актуальны и для исследования сложных объектов в других отраслях. Такие модели адекватно описывают [28, стр. 5] вибрации в машиностроении, сейсмограммы в геофизике, электрокардиограммы в медицине и др.
Достоверность научных положений, теоретических выводов и практических результатов диссертационной работы подтверждается:
- корректным обоснованием и анализом математических моделей физических процессов с применением методов классической физики, функционального анализа, математической теории систем, линейной алгебры и математического аппарата теории линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и их разностных аналогов;
- экспериментальной поверкой способов, алгоритмов и программных средств с использованием стандартных тестов на основе известных методик.
Практическая значимость результатов диссертационной работы определяется следующими фактами:
- точные формулы перехода от оценок параметров разностной модели к параметрам линейных дифференциальных уравнений позволяют решать многие задачи аппроксимации, не прибегая к численному дифференцированию;
- решение предлагаемой краевой задачи позволяет определить изменения свойств сигналов при анализе вибраций в машиностроении, сейсмограмм в геофизике, электрокардиограмм в медицине и др. путем непосредственной обработки наблюдений, не прибегая к моделированию этих процессов;
- решение предлагаемой краевой задачи позволяет использовать существующие приборы анализа процессов со стационарными свойствами и для анализа процессов с нестационарными свойствами путем изменений в системе отсчета наблюдений;
- корректный учет влияния нестационарных условий эксплуатации на физические процессы в промышленных резервуарах устраняет методическую составляющую погрешностей измерения, что позволяет не менее, чем в два раза, снизить общую погрешность измерений без огромных затрат на разработку высокоточных приборов.
Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, заключения и приложений.
В первой главе приводятся анализ состояния математического моделирования сложных развивающихся объектов: основных определений и моделей преобразователей физических процессов, способов и алгоритмов оценивания и коррекции нелинейных характеристик преобразователей физических величин в нестационарных режимах эксплуатации, и требования к методам анализа процессов.
Вторая глава посвящена разработке метода математического моделирования физических процессов с нестационарными свойствами. Здесь проанализированы известные методы наилучшего приближения и их базисных функций. В качестве инструмента приближения разрабатывается метод моделирования физических процессов линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Путем исследования экстремальных свойств алгоритма приближения показано, что наилучшая сходимость этого метода достигается, если изолированный процесс подчиняется законам сохранения энергии. Приведены точные формулы перехода от оценок параметров разностного аналога к дифференциальному уравнению. Показаны способы учета внешних воздействий на физический процесс. Затем обоснован метод учета нестационарных свойств физического процесса путем выбора экстремального приближающего множества в классе элементарных функций. Разработан алгоритм моделирования совокупности взаимодействующих физических процессов системой линейных дифференциальных уравнений. Приведены примеры численного моделирования.
В третьей главе рассматривается методика проектирования объектно-ориентированной программной системы численных методов решения типовых задач моделирования. Показано, что численные методы целесообразно реализовать путем разделения на уровни типовых действий, типовых операций и типовых задач. Базовым является уровень типовых действий. Этот уровень определяется типом элементов исходных данных, разрабатывается наиболее кропотливо и вне зависимости от других уровней. В качестве примеров типов элемен тов исходных данных показаны массивы числовых данных и явно заданные функции. Приведены примеры реализации типовых действий «скалярное произведение» и «деление». Уровень «типовых операций» работает с матрицами специальных типов и содержит операции умножения, обращения матриц и решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с матрицами специального типа, а также содержит операции разложения матриц на сомножители специального типа. Этот уровень реализуется на базе типовых действий и логика операций не зависит от формы представления исходных данных. Уровень типовых задач включает в себя типовые задачи «решение СЛАУ», «обращение матриц» и др. задачи линейной алгебры. В работе подробно показано, как строить устойчивое и эффективное численное решение для типовой задачи путем последовательного анализа исходных данных типовыми операциями. Приведены способы оценивания достоверности решения типовых задач. Показан пример решения задачи, в которой априори известен самый быстрый метод решения. Этот пример примечателен и тем, что программная система обеспечивает и различные уровни доступа пользователя.
Четвертая глава посвящена моделированию преобразователей физических величин. Целью этой главы является планирование таких экспериментов, которые позволяют эффективно строить математические модели преобразователей. Оценивание характеристик предлагается реализовать в два этапа. Полные динамические характеристики оценивают на этапе градуировки. Затем, на этапе эксплуатации преобразователей необходимо уточнять динамические характеристики, искаженные влиянием нестационарных условий. Приведены алгоритмы коррекции нелинейных характеристик преобразователей — восстановления значений входной физической величины. В выводах к главе перечислены и требования к устройствам оценивания полных динамических характеристик преобразователей и к устройствам линеаризации их характеристик.
В пятой главе рассматривается целостная математическая модель загруженной тонкостенной емкости. Подробно рассматривается физически точ нал модель измерения количества загруженной в емкость жидкости. Приводят- ся точные описания физических процессов в загруженной жидкости, в корпусе емкости и влияние нестационарных условий эксплуатации на эти процессы. В качестве основных недостатков известных методов выделены не обеспеченные точными формулами учета нестационарных свойств объемные характеристики вместимости промышленных резервуаров. В качестве инвариантной характеристики вместимости предлагается функция площади горизонтального сечения рабочей области недеформированной емкости. Получены точные формулы учета зависимости реальной вместимости загруженной емкости от функции площади горизонтального сечения рабочей области недеформированной емкости и г» деформаций корпуса под воздействием нестационарных условий. Построен ал горитм измерения количества жидкости в емкости и показано не только отсутствие методических погрешностей, но и то, что погрешность измерения по этой модели меньше, чем по известным моделям, зависит от приборных погрешностей. Предложен алгоритм оценивания инвариантных геометрических параметров емкости и выработаны требования к устройствам моделирования.
В шестой главе проводится анализ методов, способов, устройств и результатов моделирования и коррекции характеристик преобразователей физических величин. Приведены схемы устройств оценивания и коррекции характе- (4! ристик преобразователей в нестационарных режимах. Исследованы свойства алгоритма построения оптимальной системы базисных функций. Рассмотрен частный случай коррекции характеристик преобразователей в нестационарном режиме. Проведено сравнение результатов коррекции характеристик преобразователей предлагаемым способом и прототипом.
Седьмая глава посвящена экспериментальному исследованию метода моделирования загруженной тонкостенной емкости. Приводится описание методики выполнения измерений градуировочных характеристик стальных вертикальных цилиндрических резервуаров жидкостным способом. Описание мето- i \ дики включает перечисление всех обязательных шагов жидкостного способа градуировки, планирования эксперимента и активного эксперимента. Пояснено, что включает в себя обработка экспериментальных данных, и показаны алгоритмы использования полученных моделей. Результаты градуировки включают оценки функции площади сечения недеформированной емкости и функция распределения температуры жидкости в резервуаре. При этом рассматривается наиболее сложный случай - подземный вертикальный цилиндрический резервуар. Проведен анализ погрешностей оценивания инвариантных параметров.
В заключении подведены итоги диссертационной работы. Здесь сформулированы основные выводы по результатам исследований и приведены сведения об апробации, о полноте опубликования в научной печати основного со- держания диссертации, ее результатов и выводов.
В приложениях приведены:
- текст файла заголовков объектно-ориентированной программной системы численных методов;
- акты внедрения результатов диссертационной работы. Основные научные результаты, которые выносятся на защиту:
1. Метод математического моделирования физического процесса с нестационарными свойствами линейным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами путем обработки наблюдаемой фазовой координаты ис Ф следуемого процесса.
2. Способы и устройства оценивания и коррекции нелинейных характеристик преобразователей физических величин в нестационарных условиях.
3. Способы, устройства и методики определения градуировочных характеристик промьппленного резервуара и модель измерения массы загруженной в него жидкости, свободные от методических погрешностей измерения.
4. Объектно-ориентированная программная система численных методов, которая на этапе обработки результатов наблюдения строит устойчивые и эффективные решения типовых задач математического моделирования.
Процессы в загруженной тонкостенной емкости
К основным физическим величинам, характеризующим свойства загруженной емкости, относятся линейные размеры корпуса, площади сечений, объем рабочей области и масса загруженной жидкости. При этом состояние емкости определяется гидростатическим давлением и температурой загруженной жидкости, а также воздействием окружающей среды - грунта, грунтовых вод и солнечных лучей. Рассмотрим описания физических величин этого объекта. Масса жидкости, заключенной в объеме dV = S{h)dh, определяется формулой: где Я- уровень загрузки жидкости, p(h) - зависимость плотности жидкости от уровня h, S(h) - функция площади горизонтального сечения рабочей области емкости (0 h H). При этом плотность p(h) и функция S(h) сложным образом зависят от уровня загрузки жидкости и влияния среды. В общем случае температурное поле в загруженной части емкости может быть описано дифференциальным уравнением зависимости температур от трех пространственньгх координат и от времени. Считаем, что в рассматриваемом отрезке времени температурное поле от времени не зависит. Строить трёхмерное описание сложно и не целесообразно. На практике температурное поле достаточно описывать с помощью градиента температуры. Этот вектор перпендикулярен изотермическим поверхностям, совпадающим с плоскостями горизонтального сечения. Тогда параметры состояния жидкости (температура, плотность, коэффициенты объемного температурного расширения и сжатия под давлением и др.) внутри объема dV постоянны. Влияние температуры жидкости на физические процессы загруженной емкости очень сложное, и на этапе градуировки емкости нужно стремиться, чтобы температура жидкости на всех уровнях была одинакова. Плотность жидкости при заданной температуре t(h) вычисляют по формуле, предложенной Д. И. Менделеевым: Здесь Pt - коэффициент объемного температурного расширения или температурная поправка на 1С, определяемая по таблицам в зависимости от плотности р0 жидкости в нормальных условиях (например, [15, стр. 12]). Зависимость плотности жидкости от давления/? описывают формулой: Коэффициент объемного сжатия под давлением рр на 1
Па зависит от конкретной жидкости. Например, в [19, стр. 11] приведены коэффициенты pt и Рр для распространенных жидкостей и газов в жидком состоянии. При этом гидростатическое давление жидкостиp(h) (0 h H) описывается дифференциальной зависимостью и значением избыточного давления газов на поверхности жидкостир(Н)= Ргаз. Таким образом, физические свойства загруженной жидкости точно описываются формулами (1.13) - (1.16). Остается только определить функцию S(h) площади горизонтального сечения и температуру жидкости t(h) в рабочей области емкости (0 h H). Определение геометрических параметров емкостей является неотъемлемой частью метрологического обеспечения промышленных резервуаров. В действующих стандартах [1,2] эти параметры связаны с основной метрологической характеристикой резервуара - резервуар назван средством измерения. Но, согласно [36] (п.6.2), средство измерения обязано иметь нормированные метрологические характеристики. По ГОСТ [1, 2] «главной характеристикой резервуара как средства измерения является величина погрешности определения объема жидкости (при наполнении или опорожнении)». Но эта метрологическая характеристика в ГОСТ пока еще не нормирована и не обоснована точными формулами методик выполнения измерений. Одной из целей диссертационной работы является разработка точных моделей учета геометрических параметров емкости при измерениях количества загруженной жидкости. Способы измерений геометрических параметров резервуара зависят от огромного количества факторов, зачастую недоступных непосредственному наблюдению, что обусловило наличие большого количества различных методов. По технологии эксплуатации резервуаров при выборе метода калибровки необходимо в первую очередь учитывать вместимость и форму. Международные требования единства измерений привели к стандартизации методов калибровки и выделению среди них двух основных [19, стр. 33-34]: - геометрический метод внешнего обмера линейных размеров резервуара с погрешностью «измерения окружности 0.03-0.05%»; - жидкостный метод с погрешностью «измерения объема 0.04%». Рассмотрим, что же на самом деле измеряют известными методами.
«Геометрический метод заключается в определении вместимости резервуара измерением его геометрических размеров и проведения расчетов для получения градуировочной характеристики, т. е. зависимости объема жидкости от уровня заполнения резервуара» [5, стр. 5]. «Перед выполнением измерений внутри резервуара при геометрическом методе резервуар должен быть полностью опорожнен и зачищен от остатков хранившегося продукта». «При выполнении остальных измерений он может быть либо порожним, либо заполненным на произвольную высоту. В случае заполненного резервуара разрешается использовать результаты внутренних измерений, измерений вместимости «мертвой» полости, а также участка резервуара до всплытия плавающего покрытия, полученные ранее (в течение одного года)» [5, стр. 7].
Приближение линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами
В принятых схемах реализации способов оценивания ДХ и ПДХ первое требование относится к методам раздельного определения СХ и ДХ преобразователя. В основе принципа действия преобразующего устройства лежат физические законы, а так как «основные законы физики часто линейны» (Р. Фейн-ман [35]) и конструктор устройства стремится сделать его линейным, методы аппроксимаций характеристик должны базироваться на приближении поведения исследуемых процессов линейными дифференциальными уравнениями.
Далее, алгоритмы оценивания ПДХ в лабораторных испытаниях и уточнения ДХ в реальных условиях эксплуатации должны учитывать возможности мощных ЭВМ и маломощных бортовых вычислительных систем. Естественно, что этим алгоритмам доступны только значения выходного сигнала исследуемого преобразователя и образцового преобразователя в дискретные моменты времени. Поэтому необходимо эффективно использовать всю информацию не только о выходном сигнале, но и о характеристиках помех, поведении выходной совокупности (1.14) или (1.8), устойчивости или неустойчивости преобразования (не все преобразователи допускают статический режим работы).
Дискретный характер поступления исходных данных обуславливает оценивание параметров разностного аналога дифференциального уравнения, и эти параметры после минимального количества арифметических преобразований поступают в алгоритмы коррекции характеристик. Использование разностных моделей удобно еще и тем, что задача оценивания характеристик сводится к решению СЛАУ. Это позволяет применять аппарат статистической математики для получения показателей адекватности построенных или уточненных моделей, точностных характеристик оценок.
Особенность задачи коррекции заключается в зависимости качественных и количественных параметров решения от большого числа факторов, основное место среди которых занимает степень полноты охватываемых коррекцией характеристик преобразователя. На практике нет необходимости корректировать все процессы, связанные с преобразованием входной физической величины в выходной цифровой сигнал. Так же нет необходимости строить математическую модель, со всей полнотой описывающую всевозможные свойства преобразователя и влияние дестабилизирующих факторов.
Обычно из огромного множества свойств в соответствии с целью, требованиями по качеству и точности коррекции, режимами эксплуатации или определенной областью допустимых входных воздействий выбирают ограниченную совокупность характеристик, для которой строят математическую модель и алгоритм коррекции.
При этом необходимо учитывать возмущенность исходных данных, как в левой, так и в правой части СЛАУ. И эта проблема имеет не только математический, но и физический смысл. Реальный испытательный сигнал всегда имеет убывающий по интенсивности спектральный состав, что так же справедливо для устойчивого отклика преобразователя. По этим двум сигналам необходимо найти характеристику, которая их однозначно связывает. В областях низких и средних частот, где интенсивность спектров достаточно высока, удастся достоверно определить искомую характеристику, причем возмущения исходных данных и процесса вычисления действуют «регулярным» образом, т. е. несущественно искажают оценку, не меняя принципиально его характера. В области высших частот, где интенсивности спектров соизмеримы с погрешностями наблюдения выходного сигнала, возмущения исходных данных могут обусловить неопределенность решения, которая принимает форму искажений истинного решения так, что последнее оказывается совершенно подавленным. Забегая вперед, скажем, что путем понижения порядка дифференциальной модели необходимо исключить из рассмотрения высокочастотные (быстропротекающие) процессы. Тем самым ограничивается полоса пропускания преобразователя и алгоритмов коррекции, но нахождение спектра искомой входной величины внутри этой полосы гарантирует однозначность решения задачи коррекции [21].
Этим еще раз подчеркивается важность и сложность проблемы оценивания не только моделей, но и их адекватности и достоверности при определенной полосе пропускания. Ясно, что проблема возмущенности исходных данных в первую очередь выливается в проблему определения порядка аппроксимирующих моделей. И к этой задаче необходимо относиться серьезно хотя бы потому, что из рассмотрения вместо высокочастотных можно исключить низкочастотные скрытые процессы.
Рассмотрим проблемы программного обеспечения обработки результатов экспериментов. Очевидно, что на некотором этапе обработки данных мы неизбежно столкнемся с решением сложных задач наименьших квадратов — обратных задач линейной алгебры. Рассмотрим два примера, которые указывают на необходимость разработки интеллектуальной программной системы, способной строить наилучшие численные методы обработки реально получаемых данных.
Первый пример. Известна [47] библиотека программ на языке Си для решения типовых задач численного анализа. Эта версия библиотеки была создана «посредством автоматизированного перевода программ Библиотеки с языка Фортран на язык Си» [47]. Она содержит огромное количество процедур решения типовых задач численного анализа. Львиную долю общего объема библиотеки, естественно, занимают численные методы линейной алгебры [47]. Описание только этой части библиотеки содержит около 1600 статей в 84 главах и 13 разделах [48]. «Материал охватывает все наиболее часто используемые сведения и открыт для расширения» [48]. Для практики моделирования эта библиотека была неудобна уже во времена расцвета языка Фортран. Дело в том, что для любой, даже однозначно определенной задачи моделирования, существуют различные численные реализации, оптимальные для реальных данных. При этом оптимальную численную реализацию в этой библиотеке можно выявить только путем перебора различных процедур. Нетрудно представить, если обработка данных является частью общей системы управления, то сбой применяемого численного метода может привести к катастрофическим последствиям.
Преобразование матрицами отражений и вращений
В объектно-ориентированной системе [50] реализован один из этапов разработки программных систем численного анализа методами восходящего программирования и последующего применения технологии СОМ. Система сохранила один из недостатков восходящего программирования — большое количество переделок. Этот недостаток относится к описанию типов обрабатываемых данных, не затрагивая наиболее сложную часть - реализованные в системе методы линейной алгебры. Представим, что разработаны интеллектуальная программная система методов, правила организации входных данных, обращения к библиотеке и получения реально вычисленного решения типовых задач линейной алгебры.
Примером служит файл заголовков (прил. 1) системы [50]. Пусть метод математического моделирования представлен в виде последовательности решения типовых задач. Видимая исследователю часть численной реализации определяется однозначно: он знает типовые задачи в рамках задачи моделирования и правила работы с данной системой. И только система, получив данные и название зада чи, в соответствии с канонами линейной алгебры может построить наилучший численный метод, оценить паспорт реально вычисленного решения. Причем современные технологии программирования позволяют строить очень компактные системы численных методов с богатейшими вычислительными возможностями [50, 67, 75]. Рассмотрим пример проектирования системы [50], которая строит наи лучшие по точности численные решения типовых задач линейной алгебры в условиях такой неопределенности. Отдельно, в конце главы, рассмотрим и ме тод решения СЛАУ, оптимизированный по скорости решения [76-79]. Численные методы решения задач линейной алгебры представляют собой некую последовательность выполнения типовых операций, что наталкивает на мысль о необходимости создания интеллектуальной библиотеки, содержащей конечный набор и способной строить оптимальную последовательность типовых операций решения любой типовой задачи.
На уровне типовых операций проще разрабатывать количественные критерии выбора или построения наилучших численных методов, поскольку любая типовая операция проще типовой задачи и отсутствует сложное влияние некоторых объективных факторов, например, отсутствует влияние числа обусловленности на оценки эквивалентных возмущений выполнения типовой операции. Число обусловленности влияет на точность решения задачи. Погрешность решения типовой задачи, например СЛАУ, прямо пропорционально зависит от числа обусловленности, помноженного на суммарную погрешность округлений, накопленного в процессе выполнения типовых операций над матрицей СЛАУ. Число обусловленности матрицы задачи мы изменить не можем, но можем подобрать такую последовательность операций и действий, которая позволит уменьшить результирующую погрешность округления. Все типовые операции состоят из последовательности узкой разновидно сти типовых действий, например таких, как скалярное произведение строк и столбцов матриц. Именно выполнение этих действий сопряжено с погрешно стями округления. Тогда, продолжая идею детализации, приходим к необходимости создания библиотеки, содержащей эффективное выполнение этого узкого набора типовых действий. Круг основных типовых действий, например, при работе с матрицами вещественных чисел, можно ограничить четырьмя действиями арифметики, операцией извлечения квадратного корня, скалярным произведением векторов и взятием абсолютного значения. Может показаться, что излишне называть эти действия типовыми. На самом деле это не так. Во-первых, хотя бы потому, что именно начиная с этого простейшего вида матриц и нужно разрабатывать сие 100 тему численных методов. Во-вторых, в целях повышения точности вычислений может понадобиться переопределение даже стандартных арифметических действий языка программирования.
В силу простоты эти действия здесь не рассматриваются, но пример реализации скалярного произведения будет показан. Таким образом, система численных методов решения типовых задач линейной алгебры имеет сложную структуру, на нижнем уровне которой находятся типовые действия, а более высокие уровни могут наращиваться по мере разработки типовых операций. Наиболее рациональным является отдельная реализация уровней типовых операций и типовых задач, а реализацию уровня типовых действий необходимо возложить на пользователя системы. Этот подход имеет следующие преимущества: 1. Ядро программной системы (типовые операции и типовые задачи) разрабатывает специалист в области вычислительной математики, что гарантирует качественную реализацию наиболее сложных вычислительных методов. 2. Пользователь, специализируюгцийся в конкретной области науки, описывает типы исходных данных и типовые действия для работы с ними, и ставит задачу численного моделирования. При этом он знает лишь требования к интерфейсу системы, а ядро системы останется неизменным. 3. Программная система разностороннее развивается, не ожидая реализации всевозможных типовых действий.
Восстановление значений преобразуемой физической величины в реальных условиях эксплуатации
Оценки динамических параметров измерительных преобразователей составляют каркас, на которой строят алгоритмы коррекции нелинейных характеристик преобразователей.
Выходной сигнал преобразователя нелинейным образом связан с наблюдаемой переменной физической величиной, зависит от статических и динамических характеристик канала, через который проходит и преобразуется входная величина одной физической природы в выходную величину другой физической природы. При этом сами ДХ подвергаются неконтролируемому влиянию дестабилизирующих факторов условий эксплуатации, и учитывать это влияние априорно удается в редких случаях. Поэтому ДХ преобразователя нужно оценивать в реальных условиях эксплуатации, и алгоритмы коррекции нелинейных характеристик строить на базе этих оценок.
Задача определения ПДХ содержит большое количество трудоемких вычислительных процедур, требующих мощные ресурсы ЭВМ и вмешательства человека для принятия сложных решений. Выходом из этой ситуации является определение ПДХ преобразователя на испытательных стендах (рис. 1.2 б) в лабораторных условиях и уточнение изменившихся параметров ДХ в реальных условиях эксплуатации (рис. 1.2а).
При таком разделении задач ддентификации на долю бортовых ЭВМ достается лишь часть вычислительных операций, не требующих принятия сложных решений и занимающих минимальное количество времени [31-33, 56-59, 86-91].
Предварительно рассмотрим два основных, широко применяемых на практике, подхода (косвенный и прямой методы [21, 92]) к решению задачи идентификации характеристик преобразователей. В косвенных методах для определения характеристик «... переменный испытательный сигнал регистрируют одновременно с откликом и по соотношению между значениями зарегистрированных переменного испытательного сигнала, отклике...» [92] определяют искомые характеристики. В данном случае для измерения переменной испытательной величины используют цифровой измерительный прибор (ЦИП) со всеми присущими преобразователям аналог-код нелинейными искажениями входной величины. Известно, что даже для образцовых средств измерений эти искажения достигают 10%, а для рабочих средств измерений - до 50% [21, 92]. И также известно [20, 21, 31-34, 92], что задача динамических измерений не менее сложна, чем исходная задача коррекции характеристик преобразователей. Таким образом, при этом подходе к решению задачи оценивания ДХ преобразователей наталкиваемся на дополнительную, не менее сложную задачу восстановления значений переменной испытательной величины. Прямые методы [21, 93] основаны на оценивании параметров модели (например, переходной характеристики, передаточной функции и др.) линейной, стационарной динамической системы по её отклику на характеристические испытательные сигналы (сигналы ограниченной формы). Кроме строгих ограничений на форму испытательного сигнала в этих методах накладывают ограничения и по начальным условиям [21, 92, 93], которые затем нужно учитывать в алгоритмах коррекции характеристик. Вообще говоря, ограничения по линейности и стационарности характеристик приводят к тому, что оцениваемые характеристики в нашем случае могут быть только частными динамическими.
Полными динамическими характеристиками преобразователей являются нелинейные дифференциальные уравнения (1.7), которые, независимо от ограничений известных методов [21, 92, 93], адекватно описывают зависимость между входной величиной и результатом преобразования (выходным сигналом) и могут охватить все присущие процессу преобразования физиче ские явления и воздействия внешней среды на параметры модели. Пойдя по такому пути построения модели, т.е. описывая все процессы в строгом соответствии с законами физики, в конечном итоге можно получить точную математическую зависимость между значениями входной величины, результата преобразования и всех сопровождающих преобразование процессов. Однако физически строгое описание может сильно усложнить задачу оценивания параметров и свести к нулю практическую ценность полученной модели. Поэтому необходимо разумно применить методы упрощения модели.
С точки зрения практической ценности модели удобно воспользоваться областью X допустимых значений входной величины x(t) или полосой пропускания преобразователя. Пусть построена полная, физически строгая математическая модель преобразователя. Также известны область X изменения входной величины x(t) є X и некоторый функционал F(t), количественно характеризующий функционирование преобразователя на интересующем нас отрезке t є [ /» «] Необходимо оценить функциональный вес AFj параметра Л;- математической модели. Если этот вес не более некоторой заранее заданной малой величины с, приравнять этот параметр нулю или исключить соответствующую часть из модели. Количественно это описьгоается следующим образом [62]. Определяют функциональный вес всех параметров модели Я- (j = 1,2,...,п) по формуле: где Fj(t) - функционал, характеризующий во времени функционирование модели преобразователя при исключении из модели параметра Я} при некоторых x(t) є X. Выбирают параметр Як с минимальным функциональным весом AFk и исключают его, если выполняется условие : Процедуру упрощения модели повторяют до тех пор, пока это условие выполняется.
Другой подход к упрощению математической модели сложной физической системы (может быть продолжением предыдущего) основан на декомпозиции сложной системы на несколько подсистем [62]. При выборе структуры разбиения учитывают поставленные задачи, их физическую сущность, а алгоритм декомпозиции строят таким образом, чтобы минимизировать или упростить взаимовлияние подсистем, что в ряде случаев [62, 94] гарантирует практическую полноценность упрощенной модели. После получения такого разбиения, отдельно для каждой подсистемы решают поставленные задачи. При, например, разбиении на к равных частей /г-мерной исходной модели количество вычислительных операций уменьшается в ft1 раз, если количество операций в исходной модели было пропорционально п1 [62, 94]. Естественно, что упрощается и структура модели, устраняются существенные трудности вычислительных методов.
